In der Mathematik ist das Axiom der Wahl oder AC, ein Axiom der Mengenlehre feststellend, dass für jede Familie von nichtleeren Sätzen dort eine Familie von Elementen solch das für jeden besteht. Informell gestellt sagt das Axiom der Wahl, dass gegeben jede Sammlung von Behältern, jeder, mindestens einen Gegenstand enthaltend, es möglich ist, eine Auswahl an genau einem Gegenstand von jedem Behälter zu machen. In vielen Fällen kann solch eine Auswahl gemacht werden, ohne das Axiom der Wahl anzurufen; das ist insbesondere der Fall, wenn die Zahl von Behältern begrenzt ist, oder wenn eine Auswahlregel verfügbar ist: Ein unterscheidendes Eigentum, das zufällig für genau einen Gegenstand in jedem Behälter hält. Zum Beispiel für irgendwelchen (sogar unendlich) Sammlung von Paaren von Schuhen kann man den linken Schuh von jedem Paar auswählen, um eine passende Auswahl zu erhalten, aber für eine unendliche Sammlung von Paaren von Socken (angenommen, keine Unterscheidungsmerkmale zu haben), kann solch eine Auswahl nur durch das Hervorrufen des Axioms der Wahl erhalten werden.

Das Axiom der Wahl wurde 1904 von Ernst Zermelo formuliert. Obwohl ursprünglich umstritten, wird es jetzt vorbehaltlos von den meisten Mathematikern verwendet. Eine Motivation für diesen Gebrauch ist, dass mehrere allgemein akzeptierte mathematische Ergebnisse, wie der Lehrsatz von Tychonoff, das Axiom der Wahl für ihre Beweise verlangen.

Zeitgenössische Satz-Theoretiker studieren auch Axiome, die mit dem Axiom der Wahl wie das Axiom von determinacy nicht vereinbar sind. Verschieden vom Axiom der Wahl werden diese Alternativen für den Gebrauch in der allgemeinen Mathematik, aber nur als Weisen nicht normalerweise vorgeschlagen, alternative Mengenlehren mit interessanten Folgen zu bauen.

Behauptung

Eine auserlesene Funktion ist eine Funktion f, definiert auf einer Sammlung X von nichtleeren Sätzen, solch, dass für jeden Satz s in X f (s) ein Element von s ist. Mit diesem Konzept kann das Axiom festgesetzt werden:

:For jeder Satz X von nichtleeren Sätzen, dort besteht eine auserlesene Funktion f definiert auf X.

So stellt die Ablehnung des Axioms der Wahl fest, dass dort eine Reihe nichtleerer Sätze besteht, der keine auserlesene Funktion hat.

Jede auserlesene Funktion auf einer Sammlung X von nichtleeren Sätzen ist ein Element des Kartesianischen Produktes der Sätze in X. Das ist nicht die allgemeinste Situation eines Kartesianischen Produktes einer Familie von Sätzen, wo derselbe Satz mehr vorkommen kann als einmal als ein Faktor; jedoch kann man sich auf Elemente solch eines Produktes konzentrieren, die dasselbe Element jedes Mal auswählen, wenn ein gegebener Satz als Faktor erscheint, und solche Elemente einem Element des Kartesianischen Produktes aller verschiedenen Sätze in der Familie entsprechen. Das Axiom der Wahl behauptet die Existenz solcher Elemente; es ist deshalb gleichwertig zu:

:Given jede Familie von nichtleeren Sätzen, ihr Kartesianisches Produkt ist ein nichtleerer Satz.

Nomenklatur ZF, AC und ZFC

In diesem Artikel und anderen Diskussionen des Axioms der Wahl sind die folgenden Abkürzungen üblich:

• AC - das Axiom der Wahl.
• ZF - Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, das Axiom der Wahl weglassend.
• ZFC - Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, erweitert, um das Axiom der Wahl einzuschließen.

Varianten

Es gibt viele andere gleichwertige Behauptungen des Axioms der Wahl. Diese sind im Sinn gleichwertig, dass, in Gegenwart von anderen grundlegenden Axiomen der Mengenlehre, sie das Axiom der Wahl einbeziehen und dadurch einbezogen werden.

Eine Schwankung vermeidet den Gebrauch von auserlesenen Funktionen durch, tatsächlich jede auserlesene Funktion durch seine Reihe ersetzend.

:Given jeder Satz X von zusammenhanglosen nichtleeren Sätzen von pairwise, dort besteht mindestens ein Satz C, der genau ein Element genau wie jeder der Sätze in X enthält.

Das versichert für jede Teilung eines Satzes X die Existenz einer Teilmenge C von X, genau ein Element von jedem Teil der Teilung enthaltend.

Ein anderes gleichwertiges Axiom denkt nur Sammlungen X, die im Wesentlichen powersets von anderen Sätzen sind:

:For jeder Satz A, der Macht-Satz (mit dem leeren Satz entfernt) hat eine auserlesene Funktion.

Autoren, die diese Formulierung häufig verwenden, sprechen von der auserlesenen Funktion auf A, aber das empfohlen werden, ist das ein ein bisschen verschiedener Begriff der auserlesenen Funktion. Sein Gebiet ist der powerset (mit dem leeren Satz entfernt), und hat so Sinn für jeden Satz A, wohingegen mit der Definition verwendet anderswohin in diesem Artikel das Gebiet einer auserlesenen Funktion auf einer Sammlung von Sätzen ist, dass Sammlung, und so nur Sinn für Sätze von Sätzen hat. Mit diesem abwechselnden Begriff der auserlesenen Funktion kann das Axiom der Wahl als kompakt festgesetzt werden

:Every-Satz hat eine auserlesene Funktion.

der zu gleichwertig

ist

:For jeder Satz gibt es eine Funktion f solch, dass für jede nichtleere Teilmenge B A f (B) in B liegt.

Die Ablehnung des Axioms kann so als ausgedrückt werden:

:There ist ein Satz Ein solcher dass für alle Funktionen f (auf dem Satz von nichtleeren Teilmengen von A), es gibt einen solchen B, dass f (B) in B nicht liegt.

Beschränkung zu begrenzten Sätzen

Die Behauptung des Axioms der Wahl gibt nicht an, ob die Sammlung von nichtleeren Sätzen begrenzt oder unendlich ist, und so andeutet, dass jede begrenzte Sammlung von nichtleeren Sätzen eine auserlesene Funktion hat. Jedoch ist dieser besondere Fall ein Lehrsatz der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl (ZF); es wird durch die mathematische Induktion leicht bewiesen. Im noch einfacheren Fall einer Sammlung eines Satzes entspricht eine auserlesene Funktion gerade einem Element, so sagt dieses Beispiel des Axioms der Wahl, dass jeder nichtleere Satz ein Element hat; das hält trivial. Das Axiom der Wahl kann als das Erklären der Generalisation dieses Eigentums gesehen werden, das bereits für begrenzte Sammlungen zu willkürlichen Sammlungen offensichtlich ist.

Gebrauch

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurde das Axiom der Wahl häufig implizit verwendet, obwohl es noch nicht formell festgesetzt worden war. Zum Beispiel festgestellt, dass der Satz X nur nichtleere Sätze enthält, könnte ein Mathematiker gesagt haben "lassen F (s) eines der Mitglieder von s für den ganzen s in X." Im Allgemeinen sein, es ist unmöglich zu beweisen, dass F ohne das Axiom der Wahl besteht, aber das scheint, unbemerkt bis zu Zermelo gegangen zu sein.

Nicht jede Situation verlangt das Axiom der Wahl. Für begrenzte Sätze X folgt das Axiom der Wahl aus den anderen Axiomen der Mengenlehre. In diesem Fall ist es zum Ausspruch gleichwertig, dass, wenn wir mehrere (eine begrenzte Zahl) Kästen, jeder haben, mindestens einen Artikel dann enthaltend, wir genau einen Artikel aus jedem Kasten wählen können. Klar können wir das tun: Wir fangen am ersten Kasten an, wählen einen Artikel; gehen Sie zum zweiten Kasten, wählen Sie einen Artikel; und so weiter. Die Zahl von Kästen ist so schließlich begrenzt unser auserlesenes Verfahren läuft ab. Das Ergebnis ist eine ausführliche auserlesene Funktion: Eine Funktion, die den ersten Kasten ins erste Element bringt, das wir, der zweite Kasten zum zweiten Element gewählt haben, das wir und so weiter gewählt haben. (Ein formeller Beweis für alle begrenzten Sätze würde den Grundsatz der mathematischen Induktion verwenden, um sich "für jede natürliche Zahl k zu erweisen, jede Familie von k nichtleeren Sätzen hat eine auserlesene Funktion.") Diese Methode kann jedoch nicht verwendet werden, um zu zeigen, dass jede zählbare Familie von nichtleeren Sätzen eine auserlesene Funktion hat, wie durch das Axiom der zählbaren Wahl behauptet wird. Wenn die Methode auf eine unendliche Folge angewandt wird (X: Ich ω) nichtleerer Sätze wird eine Funktion in jeder begrenzten Bühne erhalten, aber es gibt keine Bühne, in der eine auserlesene Funktion für die komplette Familie gebaut wird, und keine auserlesene "Begrenzungs"-Funktion im Allgemeinen in ZF ohne das Axiom der Wahl gebaut werden kann.

Beispiele

Die Natur der individuellen nichtleeren Sätze in der Sammlung kann es möglich machen, das Axiom der Wahl sogar für bestimmte unendliche Sammlungen zu vermeiden. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass jedes Mitglied der Sammlung X eine nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen ist. Jede solche Teilmenge hat ein kleinstes Element, um so unsere auserlesene Funktion anzugeben, wir können einfach sagen, dass es jeden Satz zu kleinstem Element dieses Satzes kartografisch darstellt. Das gibt uns eine bestimmte Wahl eines Elements von jedem Satz, und macht es unnötig, das Axiom der Wahl anzuwenden.

Die Schwierigkeit erscheint, wenn es keine natürliche Wahl von Elementen von jedem Satz gibt. Wenn wir ausführliche Wahlen nicht machen können, wie wissen wir, dass unser Satz besteht? Nehmen Sie zum Beispiel an, dass X der Satz aller nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen ist. Zuerst könnten wir versuchen weiterzugehen, als ob X begrenzt waren. Wenn wir versuchen, ein Element aus jedem Satz zu wählen, dann, weil X unendlich ist, wird unser auserlesenes Verfahren, und folglich nie ablaufen, wir werden nie im Stande sein, eine auserlesene Funktion für alle X zu erzeugen. Als nächstes könnten wir versuchen, kleinstes Element von jedem Satz anzugeben. Aber einige Teilmengen der reellen Zahlen haben kleinste Elemente nicht. Zum Beispiel hat der offene Zwischenraum (0,1) kleinstes Element nicht: Wenn x in (0,1) ist, dann auch ist x/2, und x/2 ist immer ausschließlich kleiner als x. So scheitert dieser Versuch auch.

Denken Sie zusätzlich zum Beispiel den Einheitskreis S und die Handlung auf S durch eine Gruppe G, aus allen vernünftigen Folgen bestehend. Nämlich sind das Folgen durch Winkel, die vernünftige Vielfachen von π sind. Hier ist G zählbar, während S unzählbar ist. Folglich löst sich S in unzählbar viele Bahnen unter G auf. Mit dem Axiom der Wahl konnten wir einen einzelnen Punkt aus jeder Bahn aufpicken, eine unzählbare Teilmenge erhaltend, sind X von S mit dem Eigentum, das alles von seinem durch G übersetzt, von X zusammenhanglos. Mit anderen Worten wird der Kreis in eine zählbare Sammlung von zusammenhanglosen Sätzen verteilt, die alle pairwise kongruent sind. Jetzt ist es leicht, sich zu überzeugen, dass der Satz X für ein zählbar zusätzliches Maß nicht vielleicht messbar sein konnte. Folglich konnte man nicht annehmen, zu finden, dass ein Algorithmus einen Punkt in jeder Bahn gefunden hat, ohne das Axiom der Wahl zu verwenden. Sieh nichtmessbare Menge für mehr Details.

Der Grund, dass wir im Stande sind, kleinste Elemente aus Teilmengen der natürlichen Zahlen zu wählen, ist die Tatsache, dass die natürlichen Zahlen gut bestellt werden: Jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen hat einen einzigartigen kleinstes Element unter der natürlichen Einrichtung. Man könnte sagen, "Wenn auch die übliche Einrichtung der reellen Zahlen nicht arbeitet, kann es möglich sein, eine verschiedene Einrichtung der reellen Zahlen zu finden, die ein gut bestellender ist. Dann kann unsere auserlesene Funktion kleinstes Element jedes Satzes unter unserer ungewöhnlichen Einrichtung wählen." Das Problem wird dann das des Konstruierens eines gut bestellenden, der sich erweist, das Axiom der Wahl für seine Existenz zu verlangen; jeder Satz kann gut bestellt werden, wenn, und nur wenn das Axiom der Wahl hält.

Nichtkonstruktive Aspekte

Ein Beweis, der das Axiom der Wahl verlangt, ist nichtkonstruktiv: Wenn auch der Beweis die Existenz eines Gegenstands gründet, kann es unmöglich sein, den Gegenstand auf der Sprache der Mengenlehre zu definieren. Zum Beispiel, während das Axiom der Wahl andeutet, dass es eine gut bestellende von den reellen Zahlen gibt, gibt es Modelle der Mengenlehre mit dem Axiom der Wahl, in der nicht gut bestellend des reals definierbar ist. Als ein anderes Beispiel, wie man beweisen kann, besteht eine Teilmenge der reellen Zahlen, die nicht messbarer Lebesgue ist, mit dem Axiom der Wahl, aber es entspricht, dass kein solcher Satz definierbar ist.

Das Axiom der Wahl erzeugt diese immateriellen Werte (Gegenstände, die, wie man beweist, durch einen nichtkonstruktiven Beweis bestehen, aber nicht ausführlich gebaut werden können), der einige philosophische Grundsätze kollidieren kann. Weil es nicht gut bestellend aller Sätze kanonisch gibt, kann ein Aufbau, der sich auf einen gut bestellenden verlässt, kein kanonisches Ergebnis erzeugen, selbst wenn ein kanonisches Ergebnis gewünscht wird (wie häufig der Fall in der Kategorie-Theorie ist). In constructivism sind alle Existenz-Beweise erforderlich, völlig ausführlich zu sein. D. h. man muss im Stande sein, auf eine ausführliche und kanonische Weise, irgendetwas zu bauen, was, wie man beweist, besteht. Dieses Fundament weist das volle Axiom der Wahl zurück, weil es die Existenz eines Gegenstands behauptet, ohne seine Struktur einzigartig zu bestimmen. Tatsächlich zeigt der Diaconescu-Goodman-Myhill Lehrsatz, wie man das konstruktiv unannehmbare Gesetz der ausgeschlossenen Mitte oder eine eingeschränkte Form davon in der konstruktiven Mengenlehre von der Annahme des Axioms der Wahl ableitet.

Ein anderes Argument gegen das Axiom der Wahl ist, dass es die Existenz von gegenintuitiven Gegenständen einbezieht. Ein Beispiel davon ist das Paradox von Banach-Tarski, das sagt, dass es möglich ist sich zu zersetzen (zerstückeln) den 3-dimensionalen festen Einheitsball in begrenzt viele Stücke und, mit nur Folgen und Übersetzungen, versammeln die Stücke in zwei feste Bälle jeder mit demselben Volumen wie das Original wieder. Die Stücke in dieser Zergliederung, das gebaute Verwenden des Axioms der Wahl, sind nichtmessbare Mengen.

Die Mehrheit von Mathematikern akzeptiert das Axiom der Wahl als ein gültiger Grundsatz, um neue Ergebnisse in der Mathematik zu beweisen. Die Debatte ist jedoch interessant genug, als der es des Zeichens betrachtet wird, wenn ein Lehrsatz in ZFC (ZF plus AC) (mit gerade den ZF Axiomen) zum Axiom der Wahl logisch gleichwertig ist, und Mathematiker nach Ergebnissen suchen, die das Axiom der Wahl verlangen, falsch zu sein, obwohl dieser Typ des Abzugs weniger üblich ist als der Typ, der das Axiom der Wahl verlangt, wahr zu sein.

Es ist möglich, viele Lehrsätze zu beweisen, weder das Axiom der Wahl noch seine Ablehnung verwendend; das ist in der konstruktiven Mathematik üblich. Solche Behauptungen werden in jedem Modell der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF), unabhängig von der Wahrheit oder Unehrlichkeit des Axioms der Wahl in diesem besonderen Modell wahr sein. Die Beschränkung zu ZF macht jeden Anspruch, der sich entweder auf das Axiom der Wahl oder auf seine unbeweisbare Ablehnung verlässt. Zum Beispiel ist das Paradox von Banach-Tarski weder nachweisbar noch vom ZF allein widerlegbar: Es ist unmöglich, die erforderliche Zergliederung des Einheitsballs in ZF, sondern auch unmöglich zu bauen, zu beweisen, dass es keine solche Zergliederung gibt. Ähnlich haben alle Behauptungen Schlagseite gehabt, unter dem verlangen, dass Wahl oder eine schwächere Version davon für ihren Beweis in ZF unbeweisbar sind, aber da jeder in ZF plus das Axiom der Wahl nachweisbar ist, gibt es Modelle von ZF, in dem jede Behauptung wahr ist. Behauptungen wie das Paradox von Banach-Tarski können als bedingte Behauptungen zum Beispiel umformuliert werden, "Wenn AC hält, besteht die Zergliederung im Paradox von Banach-Tarski." Solche bedingten Behauptungen sind in ZF nachweisbar, wenn die ursprünglichen Behauptungen von ZF und dem Axiom der Wahl nachweisbar sind.

Unabhängigkeit

Das Annehmen von ZF entspricht, Kurt Gödel hat gezeigt, dass die Ablehnung des Axioms der Wahl nicht ein Lehrsatz von ZF durch das Konstruieren eines inneren Modells ist (das constructible Weltall), der ZFC befriedigt und so zeigend, dass ZFC entspricht. Das Annehmen von ZF entspricht, Paul Cohen hat die Technik des Zwingens, entwickelt für diesen Zweck verwendet, um zu zeigen, dass das Axiom der Wahl selbst nicht ein Lehrsatz von ZF durch das Konstruieren eines viel komplizierteren Modells ist, das ZF ¬ C (ZF mit der Ablehnung von AC hinzugefügt als Axiom) befriedigt und so zeigend, dass ZF ¬ C entspricht. Zusammen stellen diese Ergebnisse fest, dass das Axiom der Wahl von ZF logisch unabhängig ist. Die Annahme, dass ZF entspricht, ist harmlos, weil das Hinzufügen eines anderen Axioms zu einem bereits inkonsequenten System die Situation schlechter nicht machen kann. Wegen der Unabhängigkeit, die Entscheidung, ob zum Gebrauch des Axioms der Wahl (oder seine Ablehnung) in einem Beweis durch die Bitte an andere Axiome der Mengenlehre nicht gemacht werden kann. Die Entscheidung muss über anderen Boden getroffen werden.

Ein Argument, das für das Verwenden des Axioms der Wahl gegeben ist, ist, dass es günstig ist, es zu verwenden, weil es erlaubt, einige Vereinfachungsvorschläge zu beweisen, die sonst nicht bewiesen werden konnten. Viele Lehrsätze, die nachweisbare Verwenden-Wahl sind, sind eines eleganten allgemeinen Merkmals: Jedes Ideal in einem Ring wird in einem maximalen Ideal enthalten, jeder Vektorraum hat eine Basis, und jedes Produkt von Kompakträumen ist kompakt. Ohne das Axiom der Wahl können diese Lehrsätze nicht für mathematische Gegenstände von großem cardinality halten.

Der Beweis des Unabhängigkeitsergebnisses zeigt auch, dass eine breite Klasse von mathematischen Behauptungen, einschließlich aller Behauptungen, die auf der Sprache der Arithmetik von Peano ausgedrückt werden können, in ZF nachweisbar ist, wenn, und nur wenn sie in ZFC nachweisbar sind. Behauptungen in dieser Klasse schließen die Behauptung dass P = NP, die Hypothese von Riemann und viele andere ungelöste mathematische Probleme ein. Wenn man versucht, Probleme in dieser Klasse zu beheben, macht sie keinen Unterschied entweder ZF, oder ZFC wird verwendet, wenn die einzige Frage die Existenz eines Beweises ist. Es ist jedoch möglich, dass es einen kürzeren Beweis eines Lehrsatzes von ZFC gibt als von ZF.

Das Axiom der Wahl ist nicht die einzige bedeutende Behauptung, die von ZF unabhängig ist. Zum Beispiel ist die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese (GCH) von ZF nicht nur unabhängig, sondern auch von ZFC unabhängig. Jedoch bezieht ZF plus GCH AC ein, GCH einen ausschließlich stärkeren Anspruch machend, als AC, wenn auch sie beide von ZF unabhängig sind.

Stärkere Axiome

Das Axiom von constructibility und der verallgemeinerten Kontinuum-Hypothese beide bezieht das Axiom der Wahl ein, aber ist ausschließlich stärker als es.

In Klassentheorien wie Mengenlehre von Von Neumann-Bernays-Gödel und Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley gibt es ein mögliches Axiom genannt das Axiom der globalen Wahl, die stärker ist als das Axiom der Wahl für Sätze, weil es auch für richtige Klassen gilt. Und das Axiom der globalen Wahl folgt aus dem Axiom der Beschränkung der Größe.

Entsprechungen

Es gibt wichtige Behauptungen, die, die Axiome von ZF, aber weder AC noch ¬ AC annehmend, zum Axiom der Wahl gleichwertig sind. Die wichtigsten unter ihnen sind das Lemma von Zorn und der gut bestellende Lehrsatz. Tatsächlich hat Zermelo am Anfang das Axiom der Wahl eingeführt, um seinen Beweis des gut bestellenden Lehrsatzes zu formalisieren.

• Mengenlehre
• Gut bestellender Lehrsatz: Jeder Satz kann gut bestellt werden. Folglich hat jeder Kardinal eine anfängliche Ordnungszahl.
• Der Lehrsatz von Tarski: Für jeden unendlichen Satz A gibt es eine bijektive Karte zwischen den Sätzen A und A×A.
• Trichotomy: Wenn zwei Sätze gegeben werden, dann haben entweder sie denselben cardinality, oder man hat einen kleineren cardinality als der andere.
• Das Kartesianische Produkt jeder Familie von nichtleeren Sätzen ist nichtleer.
• Der Lehrsatz von König: Umgangssprachlich ist die Summe einer Folge von Kardinälen ausschließlich weniger als das Produkt einer Folge von größeren Kardinälen. (Der Grund für den Begriff "umgangssprachlich", ist, dass die Summe oder das Produkt einer "Folge" von Kardinälen ohne etwas Aspekt des Axioms der Wahl nicht definiert werden können.)
• Jede Surjective-Funktion hat ein richtiges Gegenteil.
• Ordnungstheorie
• Das Lemma von Zorn: Jeder nichtleere teilweise bestellte Satz, in dem jede Kette (d. h. völlig bestellte Teilmenge) einen gebundenen oberen hat, enthält mindestens ein maximales Element.
• Hausdorff maximaler Grundsatz: In jedem teilweise bestellten Satz wird jede völlig bestellte Teilmenge in einer maximalen völlig bestellten Teilmenge enthalten. Der eingeschränkte Grundsatz "Jeder teilweise bestellte Satz hat eine maximale völlig bestellte Teilmenge" ist auch zu AC über ZF gleichwertig.
• Das Lemma von Tukey: Jede nichtleere Sammlung des begrenzten Charakters hat ein maximales Element in Bezug auf die Einschließung.
• Antikettengrundsatz: Jeder teilweise bestellte Satz hat eine maximale Antikette.
• Abstrakte Algebra
• Jeder Vektorraum hat eine Basis.
• Jeder Unital-Ring außer dem trivialen Ring enthält ein maximales Ideal.
• Für jeden nichtleeren Satz S gibt es eine binäre Operation, die auf S definiert ist, der ihn eine Gruppe macht. (Eine cancellative binäre Operation ist genug.)
• Funktionsanalyse
• Der geschlossene Einheitsball des Doppel-von einem normed Vektorraum über den reals hat einen äußersten Punkt.
• Allgemeine Topologie
• Der Lehrsatz von Tychonoff, der feststellt, dass jedes Produkt von topologischen Kompakträumen kompakt ist.
• In der Produkttopologie ist der Verschluss eines Produktes von Teilmengen dem Produkt der Verschlüsse gleich.
• Mathematische Logik
• Wenn S eine Reihe von Sätzen der Logik der ersten Ordnung ist und B eine konsequente Teilmenge von S ist, dann wird B in einen Satz eingeschlossen, der unter konsequenten Teilmengen von S maximal ist. Der spezielle Fall, wo S der Satz aller Sätze der ersten Ordnung in einer gegebenen Unterschrift ist, ist schwächer, zu Boolean idealer Hauptlehrsatz gleichwertig; sieh die Abteilung "Schwächere Formen" unten.

Kategorie-Theorie

Es gibt mehrere laufen auf Kategorie-Theorie hinaus, die das Axiom der Wahl für ihren Beweis anrufen. Diese Ergebnisse könnten schwächer als, dazu gleichwertig oder stärker sein als das Axiom der Wahl abhängig von der Kraft der technischen Fundamente. Zum Beispiel, wenn man Kategorien in Bezug auf Sätze definiert, d. h. als Sätze von Gegenständen und morphisms (hat gewöhnlich eine kleine Kategorie genannt), oder sogar lokal kleine Kategorien, deren Hom-Gegenstände Sätze dann sind, gibt es keine Kategorie aller Sätze, und so ist es für eine mit der Kategorie theoretische Formulierung schwierig, für alle Sätze zu gelten. Andererseits sind andere foundational Beschreibungen der Kategorie-Theorie beträchtlich stärker, und eine identische mit der Kategorie theoretische Behauptung der Wahl kann stärker sein als die Standardformulierung, Theorie von à la class, die oben erwähnt ist.

Beispiele von mit der Kategorie theoretischen Behauptungen, die Wahl verlangen, schließen ein:

• Jede kleine Kategorie hat ein Skelett.
• Wenn zwei kleine Kategorien schwach gleichwertig sind, dann sind sie gleichwertig.
• Jeder dauernde functor auf einer klein-ganzen Kategorie, die die passende Lösungssatz-Bedingung befriedigt, hat einen nach-links-adjoint (Freyd adjoint functor Lehrsatz).

Schwächere Formen

Es gibt mehrere schwächere Behauptungen, die zum Axiom der Wahl nicht gleichwertig sind, aber nah verbunden sind. Ein Beispiel ist das Axiom der abhängigen Wahl (DC). Ein noch schwächeres Beispiel ist das Axiom der zählbaren Wahl (AC oder CC), der feststellt, dass eine auserlesene Funktion für jeden zählbaren Satz von nichtleeren Sätzen besteht. Diese Axiome sind für viele Beweise in der elementaren mathematischen Analyse genügend, und sind mit einigen Grundsätzen wie Lebesgue measurability aller Sätze von reals im Einklang stehend, die vom vollen Axiom der Wahl widerlegbar sind.

Andere auserlesene Axiome, die schwächer sind als Axiom der Wahl, schließen Boolean idealer Hauptlehrsatz und das Axiom von uniformization ein. Der erstere ist in ZF zur Existenz eines Ultrafilters gleichwertig, der jeden gegebenen Filter enthält, der von Tarski 1930 bewiesen ist.

Ergebnisse, die AC (oder schwächere Formen), aber schwächer verlangen als es

Einer der interessantesten Aspekte des Axioms der Wahl ist die Vielzahl von Plätzen in der Mathematik, die es heraufführt. Hier sind einige Behauptungen, die das Axiom der Wahl im Sinn verlangen, dass sie von ZF nicht nachweisbar sind, aber von ZFC (ZF plus AC) nachweisbar sind. Gleichwertig sind diese Behauptungen in allen Modellen von ZFC wahr, aber in einigen Modellen von ZF falsch.

Mengenlehre

• Jede Vereinigung von zählbar vielen zählbaren Sätzen ist selbst zählbar.
• Wenn der Satz A unendlich ist, dann dort besteht eine Einspritzung von den natürlichen Zahlen N zu (sieh Dedekind unendlich).
• Jedes unendliche Spiel, in dem eine Teilmenge von Borel des Raums von Baire ist, wird bestimmt.
• Maß-Theorie
• Der Lehrsatz von Vitali auf der Existenz von nichtmessbaren Mengen, die feststellt, dass es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, die nicht messbarer Lebesgue ist.
• Das Hausdorff Paradox.
• Das Paradox von Banach-Tarski.
• Das Lebesgue Maß einer zählbaren zusammenhanglosen Vereinigung von messbaren Mengen ist der Summe der Maßnahmen der individuellen Sätze gleich.
• Algebra
• Jedes Feld hat einen algebraischen Verschluss.
• Jede Felderweiterung hat eine Überlegenheitsbasis.
• Der Darstellungslehrsatz des Steins für Algebra von Boolean braucht Boolean idealer Hauptlehrsatz.
• Der Lehrsatz von Nielsen-Schreier, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe frei ist.
• Die zusätzlichen Gruppen von R und C sind isomorph. und

Funktionsanalyse

• Der Hahn-Banach Lehrsatz in der Funktionsanalyse, die Erweiterung von geradlinigem functionals erlaubend
• Der Lehrsatz, dass jeder Raum von Hilbert eine orthonormale Basis hat.
• Der Banach-Alaoglu Lehrsatz über die Kompaktheit von Sätzen von functionals.
• Der Baire Kategorie-Lehrsatz über ganze metrische Räume und seine Folgen, wie der offene kartografisch darstellende Lehrsatz und der geschlossene Graph-Lehrsatz.
• Auf jedem unendlich-dimensionalen topologischen Vektorraum gibt es eine diskontinuierliche geradlinige Karte.

Allgemeine Topologie

• Ein gleichförmiger Raum ist kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen und völlig begrenzt ist.
• Jeder Raum von Tychonoff hat Stein-Čech compactification.

Mathematische Logik

• Der Vollständigkeitslehrsatz von Gödel für die Logik der ersten Ordnung: Jede konsistente Menge von Sätzen der ersten Ordnung hat eine Vollziehung. D. h. jede konsistente Menge von Sätzen der ersten Ordnung kann zu einer maximalen konsistenten Menge erweitert werden.

Stärkere Formen der Ablehnung von AC

Denken Sie jetzt stärkere Formen der Ablehnung von AC. Zum Beispiel, wenn wir durch BP den Anspruch abkürzen, dass jeder Satz von reellen Zahlen das Eigentum von Baire hat, dann ist BP stärker als ¬ AC, der das Nichtsein jeder auserlesenen Funktion auf vielleicht nur einem einzelnen Satz von nichtleeren Sätzen behauptet. Bemerken Sie, dass gestärkte Ablehnungen mit geschwächten Formen von AC vereinbar sein können. Zum Beispiel ZF + Gleichstrom + entspricht BP, wenn ZF ist.

Es ist auch mit ZF + Gleichstrom im Einklang stehend, dass jeder Satz von reals messbarer Lebesgue ist; jedoch kann dieses Konsistenz-Ergebnis, wegen Robert M. Solovays, nicht in ZFC selbst bewiesen werden, aber verlangt eine milde große grundsätzliche Annahme (die Existenz eines unzugänglichen Kardinals). Das viel stärkere Axiom von determinacy, oder n.Chr., deutet an, dass jeder Satz von reals messbarer Lebesgue ist, das Eigentum von Baire hat, und das vollkommene Satz-Eigentum hat (alle drei dieser Ergebnisse werden durch AC selbst widerlegt). ZF + entspricht Gleichstrom + n.Chr. vorausgesetzt, dass ein genug starkes großes grundsätzliches Axiom (die Existenz von ungeheuer vielen Kardinälen von Woodin) entspricht.

Mit der Ablehnung von AC im Einklang stehende Behauptungen

Es gibt Modelle der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, in der das Axiom der Wahl falsch ist. Wir werden "Zermelo-Fraenkel Mengenlehre plus die Ablehnung des Axioms der Wahl" durch ZF ¬ C abkürzen. Für bestimmte Modelle von ZF ¬ C ist es möglich, die Ablehnung von einigen Standardtatsachen zu beweisen.

Bemerken Sie, dass jedes Modell von ZF ¬ C auch ein Modell von ZF ist, so für jede der folgenden Behauptungen, dort besteht ein Modell von ZF, in dem diese Behauptung wahr ist.

• Dort besteht ein Modell von ZF ¬ C, in dem es eine Funktion f von den reellen Zahlen bis die solche reellen Zahlen gibt, dass f an a nicht dauernd ist, aber f ist an a, d. h., für jede Folge {x} folgend dauernd, zu a, lim f (x) =f (a) zusammenlaufend.
• Dort besteht ein Modell von ZF ¬ C, der einen unendlichen Satz von reellen Zahlen ohne eine zählbar unendliche Teilmenge hat.
• Dort besteht ein Modell von ZF ¬ C, in dem reelle Zahlen eine zählbare Vereinigung von zählbaren Sätzen sind.
• Dort besteht ein Modell von ZF ¬ C, in dem es ein Feld ohne algebraischen Verschluss gibt.
• In allen Modellen von ZF ¬ C gibt es einen Vektorraum ohne Basis.
• Dort besteht ein Modell von ZF ¬ C, in dem es einen Vektorraum mit zwei Basen von verschiedenem cardinalities gibt.
• Dort besteht ein Modell von ZF ¬ C, in dem es eine freie ganze boolean Algebra auf zählbar vielen Generatoren gibt.

Für Beweise, sieh Thomas Jech, Das Axiom der Wahl, der amerikanischen Bar Elsevier. Co. New York, 1973.

• Dort besteht ein Modell von ZF ¬ C, in dem jeder Satz in R messbar ist. So ist es möglich, gegenintuitive Ergebnisse wie das Paradox von Banach-Tarski auszuschließen, die in ZFC nachweisbar sind. Außerdem ist das möglich, während es das Axiom der abhängigen Wahl annimmt, die schwächer als AC, aber genügend ist, um den grössten Teil der echten Analyse zu entwickeln.
• In allen Modellen von ZF ¬ C hält die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese nicht.

Notierungen

"Das Axiom der Wahl, ist der gut bestellende Grundsatz offensichtlich falsch offensichtlich wahr, und wer kann über das Lemma von Zorn erzählen?" — Jerry Bona

:This ist ein Witz: Obwohl die drei alle mathematisch gleichwertig sind, finden viele Mathematiker das Axiom der Wahl, der gut bestellende Grundsatz intuitiv zu sein, um das Lemma des gegenintuitiven und Zorns zu sein, um für jede Intuition zu kompliziert zu sein.

"Das Axiom der Wahl ist notwendig, um einen Satz von einer unendlichen Zahl von Socken, aber nicht einer unendlichen Zahl von Schuhen auszuwählen." — Bertrand Russell

:The-Beobachtung hier besteht darin, dass man eine Funktion definieren kann, von einer unendlichen Zahl von Paaren von Schuhen auszuwählen, indem man zum Beispiel festsetzt, den linken Schuh zu wählen. Ohne das Axiom der Wahl kann man nicht behaupten, dass solch eine Funktion für Paare von Socken besteht, weil linke und richtige Socken (vermutlich) von einander nicht zu unterscheidend sind.

"Tarski hat versucht, seinen Lehrsatz [zu veröffentlichen, die Gleichwertigkeit zwischen AC und 'jedem unendlichen Satz A hat denselben cardinality wie AxA' sieh oben] in Comptes Rendus, aber Fréchet und Lebesgue haben sich geweigert, es zu präsentieren. Fréchet hat geschrieben, dass eine Implikation zwischen zwei weithin bekannten [wahren] Vorschlägen nicht ein neues Ergebnis ist, und Lebesgue geschrieben hat, dass eine Implikation zwischen zwei falschen Vorschlägen von keinem Interesse ist".

:Polish-amerikanischer Mathematiker Jan Mycielski verbindet diese Anekdote in einem 2006-Artikel in den Benachrichtigungen des AMS.

"Das Axiom bekommt seinen Namen, nicht weil Mathematiker es anderen Axiomen bevorzugen." — A. K. Dewdney

:This-Zitat kommt aus dem Artikel Day der berühmten Aprilnarren in der Computerunterhaltungssäule des Wissenschaftlichen Amerikaners, April 1989.

Zeichen

• Horst Herrlich, Axiom der Wahl, Vortrag-Zeichen von Springer in der Mathematik 1876, Springer Verlag Berlin Heidelberg (2006). Internationale Standardbuchnummer 3-540-30989-6.
• Paul Howard und Jean Rubin, "Folgen des Axioms der Wahl". Mathematische Überblicke und Monografien 59; amerikanische Mathematische Gesellschaft; 1998.
• Thomas Jech, "Über das Axiom der Wahl." Handbuch der Mathematischen Logik, John Barwises, Hrsg., 1977.
• Pro Martin-Löf, "100 Jahre des Axioms von Zermelo der Wahl: Wie war das Problem damit?", in Logicism, Intuitionism und Formalismus: Was Ist aus Ihnen Geworden? Leichte Maschinenpistole Lindström, Erik Palmgren, Krister Segerberg, und Viggo Stoltenberg-Hansen, Redakteure (2008). Internationale Standardbuchnummer 1-402-08925-2
• Gregory H Moore, "das Axiom von Zermelo von Wahl, Seinen Ursprüngen, Entwicklung und Einfluss", Springer; 1982. Internationale Standardbuchnummer 0-387-90670-3
• Herman Rubin, Jean E. Rubin: Entsprechungen vom Axiom der Wahl. Das nördliche Holland, 1963. Neu aufgelegt von Elsevier, April 1970. Internationale Standardbuchnummer 0720422256.
• Herman Rubin, Jean E. Rubin: Entsprechungen vom Axiom der Wahl II. Nördlicher Holland/Elsevier, Juli 1985, internationale Standardbuchnummer 0444877088.
• George Tourlakis, Vorträge in der Logik und Mengenlehre. Vol. II: Mengenlehre, Universität von Cambridge Presse, 2003. Internationale Standardbuchnummer 0-511-06659-7
• Ernst Zermelo "sterben Untersuchungen über Grundlagen der Mengenlehre I," Mathematische Annalen 65: (1908) Seiten 261-81. PDF laden über digizeitschriften.de herunter

:: Übersetzt in: Jean van Heijenoort, 2002. Von Frege bis Godel: Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik, 1879-1931. Neue Ausgabe. Universität von Harvard Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-674-32449-8

::*1904. "Beweis, dass jeder Satz," 139-41 gut bestellt werden kann.

::*1908. "Untersuchungen in den Fundamenten der Mengenlehre I," 199-215.

Links

• Das Axiom der Wahl und Seiner Entsprechungen an ProvenMath schließt formelle Behauptung des Axioms von Wahl, Maximalem Grundsatz von Hausdorff, Lemma von Zorn und formellen Beweisen ihrer Gleichwertigkeit unten zum feinsten Detail ein.
• Folgen des Axioms der Wahl, die auf dem Buch von Paul Howard und Jean Rubin gestützt ist.