In der abstrakten Algebra enthält ein algebraisch geschlossenes Feld F eine Wurzel für jedes nichtunveränderliche Polynom in F [x], dem Ring von Polynomen in der Variable x mit Koeffizienten in F.

Beispiele

Als ein Beispiel wird das Feld von reellen Zahlen nicht algebraisch geschlossen, weil die polynomische Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in reellen Zahlen hat, wenn auch alle seine Koeffizienten (1 und 0) echt sind. Dasselbe Argument beweist, dass kein Teilfeld des echten Feldes algebraisch geschlossen wird; insbesondere das Feld von rationalen Zahlen wird nicht algebraisch geschlossen. Außerdem wird kein begrenztes Feld F, weil wenn a, a, … algebraisch geschlossen, der Elemente von F, dann das Polynom zu sein (x − a) (x − a) ··· (x − a) + 1

hat keine Null in F. Im Vergleich stellt der Hauptsatz der Algebra fest, dass das Feld von komplexen Zahlen algebraisch geschlossen wird. Ein anderes Beispiel eines algebraisch geschlossenen Feldes ist das Feld von (komplizierten) algebraischen Zahlen.

Gleichwertige Eigenschaften

In Anbetracht Feldes F wird die Behauptung "F algebraisch geschlossen" ist zu anderen Behauptungen gleichwertig:

Die einzigen nicht zu vereinfachenden Polynome sind diejenigen des Grads ein

Feld F wird algebraisch geschlossen, wenn, und nur wenn die einzigen nicht zu vereinfachenden Polynome im polynomischen Ring F [x] diejenigen des Grads ein sind.

Die Behauptung "die Polynome des Grads man ist nicht zu vereinfachend", ist für jedes Feld trivial wahr. Wenn F algebraisch geschlossen wird und p (x) ein nicht zu vereinfachendes Polynom von F [x] ist, dann hat es eine Wurzel a, und deshalb p (x) ist ein Vielfache von x − a. Seitdem p (x) ist nicht zu vereinfachend, das bedeutet dass p (x) = k (x − a), für einen k  F \{0}. Andererseits, wenn F nicht algebraisch geschlossen wird, dann gibt es ein nichtunveränderliches Polynom p (x) in F [x] ohne Wurzeln in F. Lassen Sie q (x) ein nicht zu vereinfachender Faktor von p (x) sein. Seitdem p (x) hat keine Wurzeln in F, q (x) hat auch keine Wurzeln in F. Deshalb, q (x) hat Grad, der größer ist als einer, da jedes erste Grad-Polynom eine Wurzel in F hat.

Jedes Polynom ist ein Produkt der ersten Grad-Polynome

Feld F wird algebraisch geschlossen, wenn, und nur wenn sich jedes Polynom p (x) des Grads n  1, mit Koeffizienten in F, in geradlinige Faktoren aufspaltet. Mit anderen Worten gibt es Elemente k, x, x, …, x solchen Feldes F dass p (x) = k (x − x) (x − x) ··· (x − x).

Wenn F dieses Eigentum hat, dann klar hat jedes nichtunveränderliche Polynom in F [x] eine Wurzel in F; mit anderen Worten wird F algebraisch geschlossen. Andererseits, dass das Eigentum festgesetzt hat, hier hält für F, wenn F algebraisch geschlossen wird, folgt aus dem vorherigen Eigentum zusammen mit der Tatsache, dass, für jedes Feld K, jedes Polynom in K [x] als ein Produkt von nicht zu vereinfachenden Polynomen geschrieben werden kann.

Polynome des Hauptgrads haben Wurzeln

J. Shipman hat 2007 gezeigt, dass, wenn jedes Polynom über F des Hauptgrads eine Wurzel in F hat, dann hat jedes nichtunveränderliche Polynom eine Wurzel in F so, F algebraisch geschlossen wird.

Das Feld hat keine richtige algebraische Erweiterung

Feld F wird algebraisch geschlossen, wenn, und nur wenn es keine richtige algebraische Erweiterung hat.

Wenn F keine richtige algebraische Erweiterung hat, lassen Sie p (x) sind ein nicht zu vereinfachendes Polynom in F [x]. Dann ist der Quotient von F [x] modulo das Ideal, das durch p (x) erzeugt ist, eine algebraische Erweiterung von F, dessen Grad dem Grad von p (x) gleich ist. Da es nicht eine richtige Erweiterung ist, ist sein Grad 1, und deshalb ist der Grad von p (x) 1.

Andererseits, wenn F etwas richtige algebraische Erweiterung K hat, dann ist das minimale Polynom eines Elements in K \F nicht zu vereinfachend, und sein Grad ist größer als 1.

Das Feld hat keine richtige begrenzte Erweiterung

Feld F wird algebraisch geschlossen, wenn, und nur wenn es keine begrenzte algebraische Erweiterung weil hat, wenn, innerhalb des vorherigen Beweises, das "algebraische" Wort durch das "begrenzte" Wort ersetzt wird, dann ist der Beweis noch gültig.

Jeder Endomorphismus von F hat einen Eigenvektoren

Feld F wird algebraisch geschlossen, wenn, und nur wenn, für jede natürliche Zahl n, jede geradlinige Karte von F in sich einen Eigenvektoren hat.

Ein Endomorphismus von F hat einen Eigenvektoren, wenn, und nur wenn sein charakteristisches Polynom eine Wurzel hat. Deshalb, wenn F algebraisch geschlossen wird, hat jeder Endomorphismus von F einen Eigenvektoren. Andererseits, wenn jeder Endomorphismus von F einen Eigenvektoren hat, lassen Sie p (x) ein Element von F [x] sein. Sich durch seinen Hauptkoeffizienten teilend, bekommen wir ein anderes Polynom q (x), der Wurzeln hat, wenn, und nur wenn p (x) Wurzeln hat. Aber wenn q (x) = x + Axt + ··· + a, dann q (x) ist das charakteristische Polynom der dazugehörigen Matrix

Zergliederung von vernünftigen Ausdrücken

Feld F wird algebraisch geschlossen, wenn, und nur wenn jede vernünftige Funktion in einer Variable x, mit Koeffizienten in F, als die Summe einer polynomischen Funktion mit vernünftigen Funktionen der Form / geschrieben werden kann (x − b), wo n eine natürliche Zahl ist, und a und b Elemente von F sind.

Wenn F dann algebraisch geschlossen wird, seit den nicht zu vereinfachenden Polynomen in F sind [x] der ganze Grad 1, das angegebene Eigentum hält durch den Lehrsatz auf der teilweisen Bruchteil-Zergliederung.

Nehmen Sie andererseits an, dass das angegebene Eigentum für Feld F hält. Lassen Sie p (x) ein nicht zu vereinfachendes Element in F [x] sein. Dann kann die vernünftige Funktion 1/p als die Summe einer polynomischen Funktion q mit vernünftigen Funktionen der Form / geschrieben werden (x − b). Deshalb, der vernünftige Ausdruck

kann als ein Quotient von zwei Polynomen geschrieben werden, in denen der Nenner ein Produkt der ersten Grad-Polynome ist. Seitdem p (x) ist nicht zu vereinfachend, es muss dieses Produkt und deshalb teilen, es muss auch ein erstes Grad-Polynom sein.

Relativ erste Polynome und Wurzeln

Für jedes Feld F, wenn zwei Polynome p (x) q (x)  F [x] dann relativ erst sind, haben sie keine gemeinsame Wurzel, weil, wenn ein  F eine gemeinsame Wurzel wäre, dann würden p (x) und q (x) beide Vielfachen von x &minus sein; a und deshalb würden sie nicht relativ erst sein. Die Felder, für die die Rückimplikation hält (d. h. die solche Felder, dass, wann auch immer zwei Polynome keine gemeinsame Wurzel dann haben, sie relativ erst sind) sind genau die algebraisch geschlossenen Felder.

Wenn Feld F algebraisch geschlossen wird, lassen Sie p (x) und q (x) zwei Polynome, die nicht relativ erst sind und r (x) lassen, sind ihr größter allgemeiner Teiler. Dann, seitdem r (x) ist nicht unveränderlich, es wird eine Wurzel a haben, der dann eine gemeinsame Wurzel von p (x) und q (x) sein wird.

Wenn F nicht algebraisch geschlossen wird, lassen Sie p (x) sind ein Polynom, dessen Grad mindestens 1 ohne Wurzeln ist. Dann sind p (x) und p (x) nicht relativ erst, aber sie haben keine gemeinsamen Wurzeln (da keiner von ihnen Wurzeln hat).

Andere Eigenschaften

Wenn F ein algebraisch geschlossenes Feld ist und n eine natürliche Zahl ist, dann enthält F alle n-ten Wurzeln der Einheit, weil das (definitionsgemäß) der n (nicht notwendigerweise verschieden) zeroes vom Polynom x &minus ist; 1. Eine Felderweiterung, die in einer durch die Wurzeln der Einheit erzeugten Erweiterung enthalten wird, ist eine cyclotomic Erweiterung, und die Erweiterung eines durch alle Wurzeln der Einheit erzeugten Feldes wird manchmal seinen cyclotomic Verschluss genannt. So algebraisch sind geschlossene Felder geschlossener cyclotomically. Das gegenteilige ist nicht wahr. Sogar dass jedes Polynom der Form x &minus annehmend; Spalte in geradlinige Faktoren sind nicht genug, um zu versichern, dass das Feld algebraisch geschlossen wird.

Wenn ein Vorschlag, der auf der Sprache der Logik der ersten Ordnung ausgedrückt werden kann, für ein algebraisch geschlossenes Feld wahr ist, dann ist es für jedes algebraisch geschlossene Feld mit derselben Eigenschaft wahr. Außerdem, wenn solch ein Vorschlag für ein algebraisch geschlossenes Feld mit der Eigenschaft 0 gültig ist, dann nicht nur ist es gültig für alle anderen algebraisch geschlossenen Felder mit der Eigenschaft 0, aber es gibt eine natürliche Zahl N solch, dass der Vorschlag für jedes algebraisch geschlossene Feld mit der Eigenschaft p wenn p &gt gültig ist; N.

Jedes Feld F hat etwas Erweiterung, die algebraisch geschlossen wird. Unter allen diesen Erweiterungen gibt es ein und (bis zum Isomorphismus) nur ein, der eine algebraische Erweiterung von F ist; es wird den algebraischen Verschluss von F genannt.

Die Theorie algebraisch geschlossener Felder hat quantifier Beseitigung.

Referenzen