In der Mathematik ist eine algebraische Zahl eine Zahl, die eine Wurzel eines Nichtnullpolynoms in einer Variable mit vernünftigen Koeffizienten (oder gleichwertig — durch die Reinigung von Nennern — mit Koeffizienten der ganzen Zahl) ist. Wie man sagt, sind Zahlen wie π, die nicht algebraisch sind, transzendental; fast alle reellen Zahlen und komplexe Zahlen sind transzendental. (Hier "haben fast alle" den Sinn "alle außer einem zählbaren Satz"; sieh Eigenschaften unten.)

Beispiele

• Die rationalen Zahlen, ausgedrückt als der Quotient von zwei ganzen Zahlen a und b, b nicht gleich der Null, befriedigen die obengenannte Definition, weil die Wurzel dessen ist.
• Die quadratischen surds (irrationale Wurzeln eines quadratischen Polynoms mit Koeffizienten der ganzen Zahl, und) sind algebraische Zahlen. Wenn das quadratische Polynom monic dann ist, sind die Wurzeln quadratische ganze Zahlen.
• Die constructible Zahlen (diejenigen, die, mit einer Einheitslänge anfangend, mit dem Haarlineal und Kompass gebaut werden kann). Diese schließen den ganzen quadratischen surds, alle rationalen Zahlen und alle Zahlen ein, die von diesen mit den grundlegenden arithmetischen Operationen und der Förderung von Quadratwurzeln gebildet werden können.
• Jeder Ausdruck hat das Verwenden jeder Kombination der grundlegenden arithmetischen Operationen gebildet, und die Förderung der n-ten Wurzeln gibt eine algebraische Zahl.
• Polynomische Wurzeln, die in Bezug auf die grundlegenden arithmetischen Operationen und Förderung der n-ten Wurzeln (wie die Wurzeln) nicht ausgedrückt werden können. Das geschieht mit vielen, aber nicht allen, Polynomen des Grads 5 oder höher.
• Ganze Zahlen von Gaussian: Jene komplexen Zahlen, wo beide und ganze Zahlen sind, sind auch quadratische ganze Zahlen.
• Trigonometrische Funktionen von vernünftigen Vielfachen (außer, wenn unbestimmt). Zum Beispiel, jeder von weil , weil , weil befriedigt. Dieses Polynom ist über den rationals nicht zu vereinfachend, und so sind diese drei Kosinus verbundene algebraische Zahlen. Ebenfalls, Lohe , Lohe , Lohe , Lohe befriedigen alle das nicht zu vereinfachende Polynom, und sind so verbundene algebraische ganze Zahlen.
• Einige irrationale Zahlen sind algebraisch, und einige sind nicht:
• Die Zahlen und sind algebraisch, da sie Wurzeln von Polynomen und beziehungsweise sind.
• Das goldene Verhältnis ist algebraisch, da es eine Wurzel des Polynoms ist.
• Die Zahlen und sind nicht algebraische Zahlen (sieh den Lindemann-Weierstrass Lehrsatz); folglich sind sie transzendental.

Eigenschaften

• Der Satz von algebraischen Zahlen ist (enumerable) zählbar.
• Folglich lässt der Satz von algebraischen Zahlen Lebesgue Null (als eine Teilmenge der komplexen Zahlen) messen, d. h. "fast alle" komplexen Zahlen sind nicht algebraisch.
• In Anbetracht einer algebraischen Zahl gibt es ein einzigartiges monic Polynom (mit vernünftigen Koeffizienten) von kleinstem Grad, der die Zahl als eine Wurzel hat. Dieses Polynom wird sein minimales Polynom genannt. Wenn sein minimales Polynom Grad hat, dann, wie man sagt, ist die algebraische Zahl des Grads. Eine algebraische Zahl des Grads 1 ist eine rationale Zahl.
• Alle algebraischen Zahlen sind berechenbar und deshalb definierbar und arithmetisch.
• Der Satz von echten algebraischen Zahlen wird geradlinig bestellt, zählbar, hat dicht, und ohne das erste oder letzte Element bestellt, ist so zum Satz von rationalen Zahlen mit der Ordnung isomorph.

Das Feld von algebraischen Zahlen

Die Summe, der Unterschied, das Produkt und der Quotient von zwei algebraischen Zahlen sind wieder algebraisch (diese Tatsache kann mit dem Endergebnis demonstriert werden), und die algebraischen Zahlen bilden deshalb ein Feld, das manchmal durch angezeigt ist (der auch den Adele-Ring anzeigen kann), oder. Jede Wurzel einer polynomischen Gleichung, deren Koeffizienten algebraische Zahlen sind, ist wieder algebraisch. Das kann durch den Ausspruch umformuliert werden, dass das Feld von algebraischen Zahlen algebraisch geschlossen wird. Tatsächlich ist es das kleinste algebraisch geschlossene Feld, das den rationals enthält, und wird deshalb den algebraischen Verschluss des rationals genannt.

Zusammenhängende Felder

Zahlen von Radikalen definiert

Alle Zahlen, die bei den ganzen Zahlen mit einer begrenzten Zahl von Hinzufügungen der ganzen Zahl, Subtraktionen, Multiplikationen, Abteilungen erhalten werden können, und die n-ten Wurzeln nehmend (wo n eine positive ganze Zahl ist) sind algebraisch. Das gegenteilige ist jedoch nicht wahr: Es gibt algebraische Zahlen, die auf diese Weise nicht erhalten werden können. Alle diese Zahlen sind Lösungen von Polynomen des Grads  5. Das ist ein Ergebnis der Theorie von Galois (sieh Gleichungen von Quintic und den Lehrsatz von Abel-Ruffini). Ein Beispiel solch einer Zahl ist die einzigartige echte Wurzel des Polynoms (der etwa 1.167304 ist).

Zahl der geschlossenen Form

Algebraische Zahlen sind alle Zahlen, die ausführlich oder implizit in Bezug auf Polynome definiert werden können, von den rationalen Zahlen anfangend. Man kann das zu "Zahlen der geschlossenen Form" verallgemeinern, die auf verschiedene Weisen definiert werden können. Am weit gehendsten werden alle Zahlen, die ausführlich oder implizit in Bezug auf Polynome, exponentials, und Logarithmen definiert werden können, "elementare Zahlen" genannt, und diese schließen die algebraischen Zahlen plus einige transzendente Zahlen ein. Am meisten mit knapper Not kann man Zahlen ausführlich als definiert in Bezug auf Polynome, exponentials, und Logarithmen betrachten - das schließt algebraische Zahlen nicht ein, aber schließt wirklich einige einfache transzendente Zahlen wie e oder Klotz (2) ein.

Algebraische ganze Zahlen

Eine algebraische ganze Zahl ist eine algebraische Zahl, die eine Wurzel eines Polynoms mit Koeffizienten der ganzen Zahl mit dem Hauptkoeffizienten 1 (ein monic Polynom) ist. Beispiele von algebraischen ganzen Zahlen sind, und (Bemerken Sie deshalb, dass die algebraischen ganzen Zahlen eine richtige Obermenge der ganzen Zahlen einsetzen, weil die Letzteren die Wurzeln von monic Polynomen für den ganzen sind

Die Summe, der Unterschied und das Produkt von algebraischen ganzen Zahlen sind wieder algebraische ganze Zahlen, was bedeutet, dass die algebraischen ganzen Zahlen einen Ring bilden. Algebraische ganze Zahl des Namens kommt aus der Tatsache, dass die einzigen rationalen Zahlen, die algebraische ganze Zahlen sind, die ganzen Zahlen sind, und weil die algebraischen ganzen Zahlen in jedem numerischen Feld auf viele den ganzen Zahlen analoge Weisen sind. Wenn K ein numerisches Feld ist, ist sein Ring von ganzen Zahlen der Subring von algebraischen ganzen Zahlen in K, und wird oft als O angezeigt.

Das sind die archetypischen Beispiele von Gebieten von Dedekind.

Spezielle Klassen der algebraischen Zahl

• Ganze Zahl von Gaussian
• Ganze Zahl von Eisenstein
• Quadratischer vernunftwidriger
• Grundsätzliche Einheit
• Wurzel der Einheit
• Periode von Gaussian
• Pisot-Vijayaraghavan Zahl
• Zahl von Salem

Referenzen

• G. H. Hardy und E. M. Wright 1978, 2000 (mit dem allgemeinen Index) Eine Einführung in die Theorie von Zahlen: 5. Ausgabe, Clarendon Press, Oxford das Vereinigte Königreich, internationale Standardbuchnummer 0-19-853171-0
• Erz von Øystein 1948, 1988, Zahlentheorie und Seine Geschichte, Dover Publications, Inc New York, internationale Standardbuchnummer 0-486-65620-9 (pbk).