Gebiet ist eine Menge, die das Ausmaß einer zweidimensionalen Oberfläche oder Gestalt im Flugzeug ausdrückt. Gebiet kann als der Betrag des Materials mit einer gegebenen Dicke verstanden werden, die notwendig sein würde, um ein Modell der Gestalt oder den Betrag von Farbe zu formen, die notwendig ist, um die Oberfläche mit einem einzelnen Mantel zu bedecken. Es ist das zweidimensionale Analogon der Länge einer Kurve (ein eindimensionales Konzept) oder das Volumen eines Festkörpers (ein dreidimensionales Konzept).

Das Gebiet einer Gestalt kann durch das Vergleichen der Gestalt mit Quadraten einer festen Größe gemessen werden. Im Internationalen System von Einheiten (SI) ist die Standardeinheit des Gebiets der Quadratmeter (m), der das Gebiet eines Quadrats ist, dessen Seiten ein Meter lang sind. Eine Gestalt mit einem Gebiet von drei Quadratmetern würde den gemeinsamen Bereich als drei solche Quadrate haben. In der Mathematik wird das Einheitsquadrat definiert, um Gebiet ein zu haben, und das Gebiet jeder anderen Gestalt oder Oberfläche ist eine ohne Dimension reelle Zahl.

Es gibt mehrere wohl bekannte Formeln für die Gebiete von einfachen Gestalten wie Dreiecke, Rechtecke und Kreise. Mit diesen Formeln kann das Gebiet jedes Vielecks durch das Teilen des Vielecks in Dreiecke gefunden werden. Für Gestalten mit der gekrümmten Grenze ist Rechnung gewöhnlich erforderlich, das Gebiet zu schätzen. Tatsächlich war das Problem, das Gebiet von Flugzeug-Zahlen zu bestimmen, eine Hauptmotivation für die historische Entwicklung der Rechnung.

Für eine feste Gestalt wie ein Bereich, Kegel oder Zylinder, wird das Gebiet seiner Grenzoberfläche die Fläche genannt. Formeln für die Flächen von einfachen Gestalten wurden von den alten Griechen geschätzt, aber Computerwissenschaft der Fläche einer mehr komplizierten Gestalt verlangt gewöhnlich mehrvariable Rechnung.

Gebiet spielt eine wichtige Rolle in der modernen Mathematik. Zusätzlich zu seiner offensichtlichen Wichtigkeit in der Geometrie und Rechnung ist Gebiet mit der Definition von Determinanten in der geradlinigen Algebra verbunden, und ist ein grundlegendes Eigentum von Oberflächen in der Differenzialgeometrie. In der Analyse wird das Gebiet einer Teilmenge des Flugzeugs mit dem Maß von Lebesgue definiert, obwohl nicht jede Teilmenge messbar ist. Im Allgemeinen wird das Gebiet in der höheren Mathematik als ein spezieller Fall des Volumens für zweidimensionale Gebiete gesehen.

Formelle Definition

Eine Annäherung an das Definieren, was durch das Gebiet gemeint wird, ist durch Axiome. Zum Beispiel können wir Gebiet als eine Funktion von einer Sammlung M der speziellen Art von Flugzeug-Zahlen (genannte messbare Mengen) zum Satz von reellen Zahlen definieren, der die folgenden Eigenschaften befriedigt:

• Für den ganzen S in der M, (S)  0.
• Wenn S und T in der M dann sind, auch sind S  T und S  T, und auch (ST) = (S) + (T)  (ST).
• Wenn S und T in der M mit S  T dann T  S sind, ist in der M und (TS) = (T)  (S).
• Wenn ein Satz S in der M ist und S zu T dann T kongruent ist, ist auch in der M und (S) = (T).
• Jedes Rechteck R ist in der M. Wenn das Rechteck Länge h und Breite k dann (R) = hk hat.
• Lassen Sie Q ein Satz sein, der zwischen zwei Schritt-Gebieten S und T eingeschlossen ist. Ein Schritt-Gebiet wird von einer begrenzten Vereinigung von angrenzenden Rechtecken gebildet, die auf einer allgemeinen Basis ruhen, d. h. S  Q  T. Wenn es eine einzigartige solche Nummer c dass (S)  c  (T) für alle diese Schritt-Gebiete S und T, dann (Q) = c gibt.

Es kann bewiesen werden, dass solch eine Bereichsfunktion wirklich besteht. (Sieh zum Beispiel, Elementare Geometrie von einer Fortgeschrittenen Einstellung durch Edwin Moise.)

Einheiten

Jede Einheit der Länge hat eine entsprechende Einheit des Gebiets, nämlich des Gebiets eines Quadrats mit der gegebenen Seitenlänge. So können Gebiete Maß in Quadratmetern (m), Quadratzentimeter (Cm), Quadratmillimeter (Mm), Quadratkilometer (km), Quadratfuß (ft), Quadrathöfe (yd), Quadratmeilen (mi) und so weiter sein. Algebraisch kann von diesen Einheiten als die Quadrate der entsprechenden Länge-Einheiten gedacht werden.

Die SI-Einheit des Gebiets ist der Quadratmeter, der betrachtet wird, hat ein SI Einheit abgeleitet.

Konvertierungen

Die Konvertierung zwischen zwei Quadrateinheiten ist das Quadrat der Konvertierung zwischen den entsprechenden Länge-Einheiten. Zum Beispiel, seitdem

:1 Fuß = 12 Zoll,

die Beziehung zwischen Quadratfuß und Quadratzoll ist

:1 Quadratfuß = 144 Quadratzoll,

wo 144 = 12 = 12 × 12. Ähnlich:

• 1 Quadratkilometer = 1,000,000 Quadratmeter
• 1 Quadratmeter = 10,000 Quadratzentimeter = 1,000,000 Quadratmillimeter
• 1 Quadratzentimeter = 100 Quadratmillimeter
• 1 Quadrathof = 9 Quadratfuß
• 1 Quadratmeile = 3,097,600 Quadrathöfe = 27,878,400 Quadratfuß

Außerdem,

• 1 Quadratzoll = 6.4516 Quadratzentimeter
• 1 Quadratfuß = Quadratmeter
• 1 Quadrathof = Quadratmeter
• 1 Quadratmeile = Quadratkilometer

Andere Einheiten

Es gibt mehrere andere allgemeine Einheiten für das Gebiet. Zu sein, war die ursprüngliche Einheit des Gebiets im metrischen System mit

• 1 sind = 100 Quadratmeter

Obwohl zu sein, aus dem Gebrauch gefallen ist, wird der Hektar noch allgemein verwendet, um Land zu messen:

• 1 Hektar = 100 ares = 10,000 Quadratmeter = 0.01 Quadratkilometer

Andere ungewöhnliche metrische Einheiten des Gebiets schließen die Vierbiteinheit, den hectad und die Myriade ein.

Der Acre wird auch allgemein verwendet, um Landgebiete, wo zu messen

• 1 Acre = 4,840 Quadrathöfe = 43,560 Quadratfuß.

Ein Acre ist etwa 40 % eines Hektars.

Auf der Atomskala wird Gebiet in Einheiten von Scheunen gemessen, dass, solch

• 1 Scheune = 10 Quadratmeter.

Die Scheune wird im Beschreiben des bösen Schnittgebiets der Wechselwirkung in der Kernphysik allgemein verwendet.

Grundlegende Bereichsformel

Rechtecke

Die grundlegendste Bereichsformel ist die Formel für das Gebiet eines Rechtecks. In Anbetracht eines Rechtecks mit der Länge und ist die Formel für das Gebiet

:

D. h. das Gebiet des Rechtecks ist die mit der Breite multiplizierte Länge. Als ein spezieller Fall wird das Gebiet eines Quadrats mit der Seitenlänge durch die Formel gegeben

Die Formel für das Gebiet eines Rechtecks folgt direkt von den grundlegenden Eigenschaften des Gebiets, und wird manchmal als eine Definition oder Axiom genommen. Andererseits, wenn Geometrie entwickelt wird, vor der Arithmetik kann diese Formel verwendet werden, um Multiplikation von reellen Zahlen zu definieren.

Sezieren-Formeln

Die meisten anderen einfachen Formeln für das Gebiet folgen aus der Methode des Sezierens.

Das schließt ein, eine Gestalt entzweischneidend, deren Gebiete zum Gebiet der ursprünglichen Gestalt resümieren müssen.

Für ein Beispiel kann jedes Parallelogramm in ein Trapezoid und ein rechtwinkliges Dreieck, wie gezeigt, in der Zahl nach links unterteilt werden. Wenn das Dreieck auf die andere Seite des Trapezoids bewegt wird, dann ist die resultierende Zahl ein Rechteck. Hieraus folgt dass das Gebiet des Parallelogramms dasselbe als das Gebiet des Rechtecks ist:

Jedoch kann dasselbe Parallelogramm auch entlang einer Diagonale in zwei kongruente Dreiecke, wie gezeigt, in der Zahl nach rechts geschnitten werden. Hieraus folgt dass das Gebiet jedes Dreiecks Hälfte des Gebiets des Parallelogramms ist:

Ähnliche Argumente können verwendet werden, um Bereichsformeln für das Trapezoid und den Rhombus, sowie die mehr komplizierten Vielecke zu finden.

Kreise

Die Formel für das Gebiet eines Kreises basiert auf einer ähnlichen Methode. In Anbetracht eines Kreises des Radius ist es möglich, den Kreis in Sektoren, wie gezeigt, in der Zahl nach rechts zu verteilen. Jeder Sektor ist in der Gestalt ungefähr dreieckig, und die Sektoren können umgeordnet werden, um Parallelogramm zu bilden und ihm näher zu kommen. Die Höhe dieses Parallelogramms ist, und die Breite ist Hälfte des Kreisumfangs des Kreises, oder. So ist das Gesamtgebiet des Kreises, oder:

Obwohl das in dieser Formel verwendete Sezieren nur ungefähr ist, wird der Fehler kleiner und kleiner, weil der Kreis in immer mehr Sektoren verteilt wird. Die Grenze der Gebiete der ungefähren Parallelogramme ist genau, der das Gebiet des Kreises ist.

Dieses Argument ist wirklich eine einfache Anwendung der Ideen von der Rechnung. In alten Zeiten wurde die Methode der Erschöpfung auf eine ähnliche Weise verwendet, das Gebiet des Kreises zu finden, und diese Methode wird jetzt als ein Vorgänger zur Integralrechnung anerkannt. Mit modernen Methoden kann das Gebiet eines Kreises mit einem bestimmten Integral geschätzt werden:

Fläche

Die meisten grundlegenden Formeln für die Fläche können durch den Ausschnitt von Oberflächen und das Flachdrücken von ihnen erhalten werden. Zum Beispiel, wenn die Seitenoberfläche eines Zylinders (oder ein Prisma) längs geschnitten wird, kann die Oberfläche in ein Rechteck glatt gemacht werden. Ähnlich, wenn eine Kürzung entlang der Seite eines Kegels gemacht wird, kann die Seitenoberfläche in einen Sektor eines Kreises und das resultierende geschätzte Gebiet glatt gemacht werden.

Die Formel für die Fläche eines Bereichs ist schwieriger: Weil die Oberfläche eines Bereichs Nichtnullkrümmung von Gaussian hat, kann sie nicht glatt gemacht werden. Die Formel für die Fläche eines Bereichs wurde zuerst von Archimedes in seiner Arbeit Am Bereich und Zylinder erhalten. Die Formel ist

wo der Radius des Bereichs ist. Als mit der Formel für das Gebiet eines Kreises verwendet jede Abstammung dieser Formel von Natur aus der Rechnung ähnliche Methoden.

Liste von Formeln

Die obengenannten Berechnungen zeigen, wie man das Gebiet von vielen allgemeinen Gestalten findet.

Das Gebiet von unregelmäßigen Vielecken kann mit der Formel des "Landvermessers" berechnet werden.

Zusätzliche Formeln

Gebiete von 2-dimensionalen Zahlen

• ein Dreieck: (Wo B jede Seite ist, und h die Entfernung von der Linie ist, auf der B zum anderen Scheitelpunkt des Dreiecks liegt). Diese Formel kann verwendet werden, wenn die Höhe h bekannt ist. Wenn die Längen der drei Seiten dann bekannt sind, kann die Formel des Reihers verwendet werden: Wo a, b, c die Seiten des Dreiecks sind, und Hälfte seines Umfangs ist. Wenn ein Winkel und seine zwei eingeschlossenen Seiten gegeben werden, ist das Gebiet, wo C der gegebene Winkel und a ist und b seine eingeschlossenen Seiten sind. Wenn das Dreieck auf einem Koordinatenflugzeug grafisch dargestellt wird, kann eine Matrix verwendet werden und wird zum absoluten Wert dessen vereinfacht. Diese Formel ist auch bekannt als die Schnürsenkel-Formel und ist eine leichte Weise, für das Gebiet eines Koordinatendreiecks durch das Ersetzen der 3 Punkte (x, y), (x, y), und (x, y) zu lösen. Die Schnürsenkel-Formel kann auch verwendet werden, um die Gebiete anderer Vielecke zu finden, wenn ihre Scheitelpunkte bekannt sind. Eine andere Annäherung für ein Koordinatendreieck soll Unendlich kleine Rechnung verwenden, um das Gebiet zu finden.
• ein einfaches Vieleck hat auf einem Bratrost von gleich übergeholten Punkten (d. h., Punkten mit Koordinaten der ganzen Zahl) solch gebaut, dass Scheitelpunkte ganzen Vielecks Bratrost-Punkte sind: wo ich die Zahl von Bratrost-Punkten innerhalb des Vielecks bin und b die Zahl von Grenzpunkten ist. Dieses Ergebnis ist als der Lehrsatz der Auswahl bekannt.

Gebiet in der Rechnung

• Das Gebiet zwischen einer positiv geschätzten Kurve und der horizontalen Achse, die zwischen zwei Werten a und b (b> a) auf der horizontalen Achse gemessen ist, wird durch das Integral von bis b der Funktion gegeben, die die Kurve vertritt.
• Das Gebiet zwischen den Graphen von zwei Funktionen ist dem Integral einer Funktion, f (x), minus das Integral der anderen Funktion, g (x) gleich.
• Ein Gebiet, das durch eine Funktion r = r (θ) begrenzt ist, ausgedrückt in Polarkoordinaten ist.
• Das Gebiet, das durch eine parametrische Kurve mit Endpunkten eingeschlossen ist, wird durch die Linienintegrale gegeben

::

(sieh den Lehrsatz von Green), oder der Z-Bestandteil von

Fläche von 3-dimensionalen Zahlen

• Kegel: wo r der Radius der kreisförmigen Basis ist, und h die Höhe ist. Das kann auch als umgeschrieben werden, wo r der Radius ist und l die Schräge-Höhe des Kegels ist. ist das Grundgebiet, während die seitliche Fläche des Kegels ist.
• Würfel: wo s die Länge eines Randes ist.
• Zylinder: wo r der Radius einer Basis ist und h die Höhe ist. 2r kann auch als d umgeschrieben werden, wo d das Diameter ist.
• Prisma: 2B + ist ph, wo B das Gebiet einer Basis, P ist, der Umfang einer Basis, und h ist die Höhe des Prismas.
• Pyramide: wo B das Gebiet der Basis ist, ist P der Umfang der Basis, und L ist die Länge der Schräge.
• rechteckiges Prisma: wo die Länge ist, ist w die Breite, und h ist die Höhe.

Allgemeine Formel

Die allgemeine Formel für die Fläche des Graphen unaufhörlich differentiable fungiert, wo und ein Gebiet im xy-plane mit der glatten Grenze ist:

Die noch allgemeinere Formel für das Gebiet des Graphen einer parametrischen Oberfläche im Vektoren formt sich, wo unaufhörlich differentiable Vektor-Funktion ist:

Minimierung

In Anbetracht einer Leitungskontur ist die Oberfläche von kleinstem Bereichsüberspannen, das es (füllt), eine minimale Oberfläche. Vertraute Beispiele schließen Seifenblasen ein.

Die Frage des sich füllenden Gebiets des Kreises von Riemannian bleibt offen.

Siehe auch

• Equi-Flächen-kartografisch darzustellen
• Integrierter
• Größenordnungen (Gebiet)-A Liste von Gebieten durch die Größe.
• Umfang
• Planimeter, ein Instrument, um kleine Gebiete z.B auf Karten zu messen.
• Volumen

Referenzen

Links

• Bereichsrechenmaschine
• Bereichsformeln
• Umwandlungskabeldiameter, um Querschnittsfläche und umgekehrt zu umkreisen