In der Mathematik ist eine assoziative Algebra A ein assoziativer Ring, der eine vereinbare Struktur eines Vektorraums über ein bestimmtes Feld K oder, mehr allgemein, von einem Modul über einen Ersatzring R hat. So ist A mit binären Operationen der Hinzufügung und Multiplikation ausgestattet, die mehrere Axiome, einschließlich associativity der Multiplikation und distributivity, sowie vereinbaren Multiplikation durch die Elemente Feldes K oder den Ring R befriedigt.

In einigen Gebieten der Mathematik, wie man normalerweise annimmt, haben assoziative Algebra eine multiplicative Einheit, angezeigt 1. Um diese Extraannahme verständlich zu machen, werden diese assoziativen Algebra unital Algebra genannt.

Formelle Definition

Lassen Sie R ein fester Ersatzring sein. Eine assoziative R-Algebra ist ein Zusatz abelian gruppieren sich, der die Struktur sowohl eines Rings als auch eines R-Moduls auf solche Art und Weise hat, dass Ringmultiplikation R-bilinear ist:

:

für den ganzen r  R und x, y  A.

Wir sagen, dass A unital ist, wenn es ein Element 1 solcher dass enthält

:

für den ganzen x  A.

Wenn selbst (als ein Ring) dann auswechselbar ist, wird es eine ErsatzR-Algebra genannt.

Von R-Modulen

Mit einem R-Modul A anfangend, bekommen wir eine assoziative R-Algebra, indem wir mit einem R-bilinear ausstatten &times kartografisch darzustellen; ein  Ein solcher dass

:

für den ganzen x, y, und z in A. Dieser R-bilinear, der dann kartografisch darstellt, gibt die Struktur eines Rings und einer assoziativen R-Algebra. Jede assoziative R-Algebra entsteht dieser Weg.

Außerdem wird die Algebra Ein gebauter dieser Weg unital wenn und nur wenn sein

:

Diese Definition ist zur Behauptung gleichwertig, dass eine unital assoziative R-Algebra ein monoid in R-Mod' (die monoidal Kategorie von R-Modulen) ist.

Von Ringen

Mit einem Ring A anfangend, bekommen wir eine unital assoziative R-Algebra, indem wir einen Ringhomomorphismus zur Verfügung stellen, dessen Image im Zentrum von A liegt. Von der Algebra A kann dann als ein R-Modul durch das Definieren gedacht werden

:

für den ganzen r  R und x  A.

Wenn A dann auswechselbar ist, ist das Zentrum von A A gleich, so dass eine ErsatzR-Algebra einfach als ein Homomorphismus von Ersatzringen definiert werden kann.

Algebra-Homomorphismus

Ein Homomorphismus zwischen zwei assoziativen R-Algebra ist ein R-Linear-Ringhomomorphismus. Ausführlich, ist ein assoziativer Algebra-Homomorphismus wenn

:::

Für einen Homomorphismus von unital assoziativen R-Algebra fordern wir auch das

:

Die Klasse aller unital assoziativen R-Algebra zusammen mit dem Algebra-Homomorphismus zwischen ihnen bildet eine Kategorie, manchmal hat R-Alg angezeigt'.

Die Unterkategorie von ErsatzR-Algebra kann als die coslice Kategorie R/CRing charakterisiert werden, wo CRing die Kategorie von Ersatzringen ist.

Beispiele

• Das Quadrat n-by-n matrices mit Einträgen von Feld K bildet eine einheitliche assoziative Algebra über K.
• Die komplexen Zahlen bilden eine 2-dimensionale einheitliche assoziative Algebra über die reellen Zahlen.
• Die quaternions bilden eine 4-dimensionale einheitliche assoziative Algebra über den reals (aber nicht eine Algebra über die komplexen Zahlen, seitdem wenn komplexe Zahlen als eine Teilmenge des quaternions behandelt werden, pendeln komplexe Zahlen und quaternions nicht).
• Die 2 × 2 echte matrices bilden eine assoziative Algebra, die im kartografisch darstellenden Flugzeug nützlich ist.
• Die Polynome mit echten Koeffizienten bilden eine einheitliche assoziative Algebra über den reals.
• In Anbetracht jedes Banachraums X, der dauernden geradlinigen Maschinenbediener A: X  X bilden eine einheitliche assoziative Algebra (Zusammensetzung von Maschinenbedienern als Multiplikation verwendend); das ist eine Algebra von Banach.
• In Anbetracht jedes topologischen Raums X bilden die dauernden echten - oder Komplex-geschätzte Funktionen auf X eine echte oder komplizierte einheitliche assoziative Algebra; hier werden die Funktionen hinzugefügt und pointwise multipliziert.
• Ein Beispiel einer nichteinheitlichen assoziativen Algebra wird durch den Satz aller Funktionen f angeführt: R  R, dessen sich Grenze als x Unendlichkeit nähert, ist Null.
• Die Algebra von Clifford, die in der Geometrie und Physik nützlich sind.
• Vorkommen-Algebra lokal begrenzter teilweise bestellter Sätze sind einheitliche assoziative in combinatorics betrachtete Algebra.
• Jeder Ring A kann als eine Z-Algebra auf eine einzigartige Weise betrachtet werden. Der einzigartige Ringhomomorphismus von Z bis A wird durch die Tatsache bestimmt, dass es 1 an die Identität in A senden muss. Deshalb sind Ringe und Z-Algebra gleichwertige Konzepte ebenso, dass abelian Gruppen und Z-Module gleichwertig sind.
• Jeder Ring der Eigenschaft n ist (Z/nZ) - Algebra ebenso.
• Jeder Ring A ist eine Algebra über sein Zentrum Z (A), oder über jeden Subring seines Zentrums.
• Jeder Ersatzring R ist eine Algebra über sich oder jeder Subring von R.
• In Anbetracht eines R-Moduls hat M, der Endomorphismus-Ring der M, angezeigt, dass Ende (M) eine R-Algebra durch das Definieren ist (r · φ) (x) = r · φ (x).
• Jeder Ring von matrices mit Koeffizienten in einem Ersatzring R bildet eine R-Algebra unter der Matrixhinzufügung und Multiplikation. Das fällt mit dem vorherigen Beispiel zusammen, wenn M ein begrenzt erzeugtes, freies R-Modul ist.
• Jeder polynomische Ring R [x..., x] ist eine ErsatzR-Algebra. Tatsächlich ist das die freie ErsatzR-Algebra auf dem Satz {x..., x}.
• Die freie R-Algebra auf einem Satz E ist eine Algebra von Polynomen mit Koeffizienten in R und indeterminates genommen vom Satz E nichtpendelnd.
• Die Tensor-Algebra eines R-Moduls ist natürlich eine R-Algebra. Dasselbe ist für Quotienten wie die äußerlichen und symmetrischen Algebra wahr. Kategorisch sprechend, wird dem functor, der ein R-Modul zu seiner Tensor-Algebra kartografisch darstellt, adjoint zum functor verlassen, der eine R-Algebra an sein zu Grunde liegendes R-Modul (das Vergessen der Ringstruktur) sendet.
• In Anbetracht eines Ersatzrings R und jedes Rings das Tensor-Produkt kann RA die Struktur einer R-Algebra durch das Definieren r gegeben werden · (sa) = (rsa). Dem functor, der an RA sendet, wird adjoint zum functor verlassen, der eine R-Algebra an seinen zu Grunde liegenden Ring (das Vergessen der Modul-Struktur) sendet.

Aufbauten

Subalgebra: Eine Subalgebra einer R-Algebra A ist eine Teilmenge, der sowohl ein Subring als auch ein Untermodul von A ist. D. h. es muss unter der Hinzufügung, Ringmultiplikation, Skalarmultiplikation geschlossen werden, und es muss das Identitätselement von A enthalten.

Quotient-Algebra: Lassen Sie A eine R-Algebra sein. Jedes ringtheoretische Ideal I in A ist automatisch ein R-Modul seitdem r · x = (r1) x. Das gibt dem Quotient-Ring A/I die Struktur eines R-Moduls und, tatsächlich, eine R-Algebra. Hieraus folgt dass jeder Ring homomorphic Image von A auch eine R-Algebra ist.

Direkte Produkte: Das direkte Produkt einer Familie von R-Algebra ist das ringtheoretische direkte Produkt. Das wird eine R-Algebra mit der offensichtlichen Skalarmultiplikation.

Freie Produkte: Man kann ein freies Produkt vom freien Produkt von Gruppen gewissermaßen ähnlichen R-Algebra bilden. Das freie Produkt ist der coproduct in der Kategorie von R-Algebra.

Tensor-Produkte: Das Tensor-Produkt von zwei R-Algebra ist auch eine R-Algebra auf eine natürliche Weise. Sieh Tensor-Produkt von Algebra für mehr Details.

Associativity und die kartografisch darstellende Multiplikation

Associativity wurde über der Quantitätsbestimmung über alle Elemente von A definiert. Es ist möglich, associativity in einem Weg zu definieren, der sich auf Elemente nicht ausführlich bezieht. Eine Algebra wird als eine Karte M (Multiplikation) auf einem Vektorraum A definiert:

:

Eine assoziative Algebra ist eine Algebra, wo die Karte M das Eigentum hat

:

Hier bezieht sich das Symbol, um Zusammensetzung und Id zu fungieren: Ein  A ist die Identitätskarte auf A.

Um die Gleichwertigkeit der Definitionen zu sehen, müssen wir nur verstehen, dass jede Seite der obengenannten Gleichung eine Funktion ist, die drei Argumente nimmt. Zum Beispiel handelt die linke Seite als

:

Ähnlich kann eine unital assoziative Algebra in Bezug auf einen Einheit Karte definiert werden

:

der das Eigentum hat

:

Hier nimmt die Einheitskarte η ein Element k in K zum Element k1 in A, wo 1 das Einheitselement von A ist. Die Karte s ist gerade einfach-alte Skalarmultiplikation:; So wird die obengenannte Identität manchmal mit dem Stehen von Id im Platz von s mit der Skalarmultiplikation geschrieben, die implizit wird versteht.

Coalgebras

Eine assoziative einheitliche Algebra über K basiert auf einem morphism A×AA 2 Eingänge (multiplicator und multiplicand) und eine Produktion (Produkt), sowie ein morphism KA das Identifizieren der Skalarvielfachen der multiplicative Identität zu haben. Diese zwei morphisms können dualized sein, der categorial Dualität durch das Umkehren aller Pfeile in den Ersatzdiagrammen verwendet, die die Algebra-Axiome beschreiben; das definiert die Struktur eines coalgebra.

Es gibt auch einen abstrakten Begriff von F-coalgebra.

Darstellungen

Eine Darstellung einer Algebra ist eine geradlinige Karte ρ: Ein  gl (V) von bis die allgemeine geradlinige Algebra von einem Vektorraum (oder Modul) V, der die multiplicative Operation bewahrt: d. h. ρ (xy) = ρ (x) ρ (y).

Bemerken Sie jedoch, dass es keine natürliche Weise gibt, ein Tensor-Produkt von Darstellungen von assoziativen Algebra zu definieren, ohne irgendwie zusätzliche Bedingungen aufzuerlegen. Hier, durch das Tensor-Produkt von Darstellungen, ist die übliche Bedeutung beabsichtigt: Das Ergebnis sollte eine geradlinige Darstellung auf dem Produktvektorraum sein. Das Auferlegen solcher zusätzlicher Struktur führt normalerweise zur Idee von einer Algebra von Hopf oder einer Lüge-Algebra, wie demonstriert, unten.

Motivation für eine Algebra von Hopf

Denken Sie zum Beispiel, zwei Darstellungen und. Man könnte versuchen, eine Tensor-Produktdarstellung gemäß zu bilden, wie sie dem Produktvektorraum, so dass folgt

:

Jedoch würde solch eine Karte nicht geradlinig sein, da man haben würde

:

für k  K. Man kann diesen Versuch retten und Linearität wieder herstellen, indem man zusätzliche Struktur auferlegt, indem man eine Karte Δ definiert: Ein  × A, und das Definieren der Tensor-Produktdarstellung als

:

Hier ist Δ ein comultiplication. Die resultierende Struktur wird einen bialgebra genannt. Um mit den Definitionen der assoziativen Algebra im Einklang stehend zu sein, muss der coalgebra co-associative sein, und, wenn die Algebra unital ist, dann muss die Co-Algebra unital ebenso sein. Bemerken Sie, dass bialgebras Multiplikation und Co-Multiplikation ohne Beziehung verlassen; so ist es üblich, die zwei (durch das Definieren eines Antipoden), so das Schaffen einer Algebra von Hopf zu verbinden.

Motivation für eine Lüge-Algebra

Man kann versuchen, im Definieren eines Tensor-Produktes klüger zu sein., Ziehen Sie zum Beispiel, in Betracht

:

so dass die Handlung auf dem Tensor-Produktraum durch gegeben wird

:.

Diese Karte ist in x klar geradlinig, und so hat es das Problem der früheren Definition nicht. Jedoch scheitert es, Multiplikation zu bewahren:

:.

Aber, im Allgemeinen, kommt das nicht gleich

:.

Gleichheit würde halten, ob das Produkt xy antisymmetrisch war (wenn das Produkt die Lüge-Klammer, d. h. war), so die assoziative Algebra in eine Lüge-Algebra verwandelnd.

• Die Ross Street, Quantum Groups: ein Hauptgericht zur modernen Algebra (1998). (Stellt eine gute Übersicht der Notation ohne Indizes zur Verfügung)