In der Mathematik sind das Axiom der Regelmäßigkeit (auch bekannt als das Axiom des Fundaments) eines der Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre und wurden dadurch eingeführt. In der Logik der ersten Ordnung liest das Axiom:

Oder in der Prosa:

Nichtleerer Satz von:Every A enthält ein Element B, der von A zusammenhanglos ist.

Zwei Ergebnisse, die aus dem Axiom folgen, bestehen darin, dass "kein Satz ein Element von sich," und dass ist, "gibt es keine unendliche Folge (a) solch dass eines Elements für alles ich zu sein."

Mit dem Axiom der abhängigen Wahl (der eine geschwächte Form des Axioms der Wahl ist) kann dieses Ergebnis umgekehrt werden: Wenn es keine solche unendlichen Folgen gibt, dann ist das Axiom der Regelmäßigkeit wahr. Folglich ist das Axiom der Regelmäßigkeit in Anbetracht des Axioms der abhängigen Wahl zum alternativen Axiom gleichwertig, dass es keine unendlichen Mitgliedschaft-Ketten nach unten gibt.

Das Axiom der Regelmäßigkeit ist wohl die am wenigsten nützliche Zutat der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, da eigentlich alles auf die Zweige der auf der Mengenlehre gestützten Mathematik hinausläuft, halten sogar ohne Regelmäßigkeit (sieh Kapitel 3). Jedoch wird es umfassend im Herstellen von Ergebnissen über den gut bestellenden und die Ordnungszahlen im Allgemeinen verwendet. Zusätzlich zum Auslassen des Axioms der Regelmäßigkeit haben Sondermengenlehren tatsächlich die Existenz von Sätzen verlangt, die Elemente von sich sind.

In Anbetracht der anderen ZF Axiome ist das Axiom der Regelmäßigkeit zum Axiom der Induktion gleichwertig.

Elementare Implikationen der Regelmäßigkeit

Kein Satz ist ein Element von sich

Lassen Sie A ein Satz sein, und das Axiom der Regelmäßigkeit zu anzuwenden, der ein Satz durch das Axiom der Paarung ist. Wir sehen, dass es ein Element geben muss, der von zusammenhanglos ist. Seit dem einzigen Element, A zu sein, muss es sein, dass A von zusammenhanglos ist. Also, seit Einem  können wir Keinen  (durch die Definition von zusammenhanglosen) haben.

Keine unendliche hinuntersteigende Folge von Sätzen besteht

Nehmen Sie zum Gegenteil an, dass es eine Funktion, f, auf den natürlichen Zahlen mit f (n+1) ein Element von f (n) für jeden n gibt. Definieren Sie S = {f (n): n eine natürliche Zahl}, die Reihe von f, der, wie man sehen kann, ein Satz aus dem Axiom-Diagramm des Ersatzes ist. Wenn Sie das Axiom der Regelmäßigkeit zu S anwenden, lassen Sie B ein Element von S sein, der von S zusammenhanglos ist. Durch die Definition von S muss B f (k) für eine natürliche Zahl k sein. Jedoch sind wir vorausgesetzt, dass f (k) f (k+1) enthält, der auch ein Element von S ist. So f ist (k+1) in der Kreuzung von f (k) und S. Das widerspricht der Tatsache, dass sie zusammenhanglose Sätze sind. Seitdem unsere Annahme zu einem Widerspruch geführt hat, muss es keine solche Funktion, f geben.

Das Nichtsein eines Satzes, der sich enthält, kann als ein spezieller Fall gesehen werden, wo die Folge unendlich und unveränderlich ist.

Bemerken Sie, dass dieses Argument nur für Funktionen f gilt, der als Sätze im Vergleich mit undefinierbaren Klassen vertreten werden kann. Die hereditarily begrenzten Sätze, V, befriedigen das Axiom der Regelmäßigkeit (und alle anderen Axiome von ZFC außer dem Axiom der Unendlichkeit). So, wenn man eine nichttriviale Ultramacht V bildet, dann wird sie auch das Axiom der Regelmäßigkeit befriedigen. Das resultierende Modell wird Elemente, genannt umgangssprachliche natürliche Zahlen enthalten, die die Definition von natürlichen Zahlen in diesem Modell befriedigen, aber nicht wirklich natürliche Zahlen sind. Sie sind unechte natürliche Zahlen, die "größer" sind als jede wirkliche natürliche Zahl. Dieses Modell wird unendliche hinuntersteigende Folgen von Elementen enthalten. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass n eine umgangssprachliche natürliche Zahl, dann und und so weiter ist. Für jede wirkliche natürliche Zahl k. Das ist eine unaufhörliche hinuntersteigende Folge von Elementen. Aber diese Folge ist im Modell und so nicht einem Satz nicht definierbar. So kann kein Widerspruch zur Regelmäßigkeit bewiesen werden.

Einfachere mit dem Satz theoretische Definition des befohlenen Paares

Das Axiom der Regelmäßigkeit ermöglicht, das befohlene Paar (a, b) als {a, {a, b}} zu definieren. Sieh befohlenes Paar für Details. Diese Definition beseitigt ein Paar von geschweiften Klammern aus der kanonischen Definition von Kuratowski (a, b) =.

Jeder Satz hat eine Ordnungsreihe

Das war wirklich die ursprüngliche Form des axiomatization von von Neumann. Das Konzept der Reihe eines Satzes war auch von Mirimanoff untersucht worden, aber diese Arbeit hat nicht gedacht, dass das Axiom "jeder Satz eine Reihe hat" noch die Folgen solch eines Axioms (sehen).

Das Axiom der abhängigen Wahl und keine unendliche hinuntersteigende Folge von Sätzen beziehen Regelmäßigkeit ein

Lassen Sie den nichtleeren Satz S ein Gegenbeispiel zum Axiom der Regelmäßigkeit sein; d. h. jedes Element von S hat eine nichtleere Kreuzung mit S. Wir definieren eine binäre Beziehung R auf S dadurch, der durch die Annahme komplett ist. So, durch das Axiom der abhängigen Wahl, gibt es eine Folge (a) in S, der aRa für den ganzen n in N befriedigt. Da das eine unendliche hinuntersteigende Kette ist, erreichen wir einen Widerspruch und so, kein solcher S besteht.

Regelmäßigkeit löst das Paradox von Russell nicht auf

In der naiven Mengenlehre ist das Paradox von Russell die Tatsache "der Satz aller Sätze, die sich nicht beherrschen, weil Mitglieder" zu einem Widerspruch führen. Das Paradox zeigt, dass dieser Satz mit jeder konsistenten Menge von Axiomen für die Mengenlehre nicht gebaut werden kann. Wenn auch das Axiom der Regelmäßigkeit andeutet, dass sich kein Satz als ein Mitglied beherrscht, dass Axiom das Paradox von Russell aus der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZF) nicht verbannt. Tatsächlich, wenn die ZF Axiome ohne Regelmäßigkeit bereits inkonsequent wären, dann würde das Hinzufügen der Regelmäßigkeit sie konsequent nicht machen. Das Paradox von Russell erscheint in ZF nicht, weil ZF nicht beweist, dass der vorgeschlagene paradoxe Satz wirklich besteht (z.B, erlaubt das Axiom von ZF der Trennung uns nur, Teilmengen von einem vorhandenen Satz zu bauen, und kann so nicht verwendet werden, um den gewünschten Satz zu bauen). Ein dem Paradox von Russell ähnlicher Gedankenfaden wird in ZF, nur damit enden zu beweisen, dass die Sammlung aller Sätze, die sich nicht beherrschen, nicht ein Satz, aber eine richtige Klasse (wirklich, die Klasse aller Sätze) ist.

Regelmäßigkeit und kumulative Hierarchie

In ZF kann es bewiesen werden, dass die Klasse (sieh kumulative Hierarchie), der Klasse aller Sätze gleich ist. Diese Behauptung ist sogar zum Axiom der Regelmäßigkeit gleichwertig (wenn wir in ZF mit diesem Axiom weggelassen arbeiten). Von jedem Modell, das Axiom der Regelmäßigkeit, ein Modell nicht befriedigt, das befriedigt, es kann durch die Einnahme gebaut werden nur setzt ein.

Siehe auch

• Wohl nichtbegründete Mengenlehre

Referenzen

Außenverbindungen

• http://www.trinity.edu/cbrown/topics_in_logic/sets/sets.html enthält eine informative Beschreibung des Axioms der Regelmäßigkeit unter der Abteilung auf der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre.