In der abstrakten Algebra eine Felderweiterung wird L/K algebraisch genannt, wenn jedes Element von L über K algebraisch ist, d. h. wenn jedes Element von L eine Wurzel von einem Nichtnullpolynom mit Koeffizienten in K ist. Felderweiterungen, die nicht algebraisch sind, d. h. die transzendentale Elemente enthalten, werden transzendental genannt.

Zum Beispiel ist die Felderweiterung R/Q, der das Feld von reellen Zahlen als eine Erweiterung des Feldes von rationalen Zahlen ist, transzendental, während die Felderweiterungen C/R und Q (2)/Q algebraisch sind, wo C das Feld von komplexen Zahlen ist.

Alle transzendentalen Erweiterungen sind vom unendlichen Grad. Das deutet der Reihe nach an, dass alle begrenzten Erweiterungen algebraisch sind. Das gegenteilige ist jedoch nicht wahr: Es gibt unendliche Erweiterungen, die algebraisch sind. Zum Beispiel ist das Feld aller algebraischen Zahlen eine unendliche algebraische Erweiterung der rationalen Zahlen.

Wenn algebraisch über K zu sein, dann ist K, der Satz aller Polynome in mit Koeffizienten in K, nicht nur ein Ring, aber ein Feld: Eine algebraische Erweiterung von K, der begrenzten Grad über K hat. Im speziellen Fall, wo K = Q das Feld von rationalen Zahlen, Q ist eines Beispiels eines Feldes der algebraischen Zahl zu sein.

Ein Feld ohne richtige algebraische Erweiterungen wird algebraisch geschlossen genannt. Ein Beispiel ist das Feld von komplexen Zahlen. Jedes Feld hat eine algebraische Erweiterung, die algebraisch geschlossen wird (hat seinen algebraischen Verschluss genannt), aber Beweis davon verlangt im Allgemeinen eine Form des Axioms der Wahl.

Ein ErweiterungsL/K ist algebraisch, wenn, und nur wenn jede U-Boot-K-Algebra von L ein Feld ist.

Generalisationen

Mustertheorie verallgemeinert den Begriff der algebraischen Erweiterung auf willkürliche Theorien: Ein Einbetten der M in N wird eine algebraische Erweiterung wenn nach jedem x in N genannt es gibt eine Formel p mit Rahmen in der M, solch, dass p (x) wahr ist und der Satz

: {y in N | p (y) }\

begrenzt. Es stellt sich heraus, dass die Verwendung dieser Definition zur Theorie von Feldern die übliche Definition der algebraischen Erweiterung gibt. Die Galois Gruppe von N über die M kann wieder als die Gruppe von automorphisms definiert werden, und es stellt sich heraus, dass der grösste Teil der Theorie von Gruppen von Galois für den allgemeinen Fall entwickelt werden kann.

Siehe auch

• Algebraisch geschlossenes Feld
• Algebraischer Verschluss

Zeichen

• Junge. V.1, p. 223 von
• P.J. McCarthy, Algebraische Erweiterungen von Feldern, Veröffentlichungen von Dover, 1991, internationale Standardbuchnummer 0-486-66651-4.
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebra, Ringe und Module. Band 1. 2004. Springer, 2004. Internationale Standardbuchnummer 1-4020-2690-0