Algebraischer Verschluss

In der Mathematik, besonders abstrakten Algebra, ist ein algebraischer Verschluss Feldes K eine algebraische Erweiterung von K, der algebraisch geschlossen wird. Es ist einer von vielen Verschlüssen in der Mathematik.

Mit dem Lemma von Zorn kann es gezeigt werden, dass jedes Feld einen algebraischen Verschluss hat, und dass der algebraische Verschluss Feldes K bis zu einem Isomorphismus einzigartig ist, der jedes Mitglied von K besticht. Wegen dieser wesentlichen Einzigartigkeit sprechen wir häufig vom algebraischen Verschluss von K, aber nicht einem algebraischen Verschluss von K.

Vom algebraischen Verschluss Feldes K kann als die größte algebraische Erweiterung von K gedacht werden.

Um das zu sehen, bemerken Sie dass, wenn L eine algebraische Erweiterung von K ist, dann ist der algebraische Verschluss von L auch ein algebraischer Verschluss von K, und so wird L innerhalb des algebraischen Verschlusses von K enthalten.

Der algebraische Verschluss von K ist auch das kleinste algebraisch geschlossene Feld, das K, enthält

weil, wenn M ein algebraisch geschlossenes Feld ist, das K enthält, dann bilden die Elemente der M, die über K algebraisch sind, einen algebraischen Verschluss von K.

Der algebraische Verschluss Feldes K hat denselben cardinality wie K, wenn K unendlich ist, und zählbar unendlich ist, wenn K begrenzt ist.

Beispiele

  • Der Hauptsatz der Algebra stellt fest, dass der algebraische Verschluss des Feldes von reellen Zahlen das Feld von komplexen Zahlen ist.
  • Der algebraische Verschluss des Feldes von rationalen Zahlen ist das Feld von algebraischen Zahlen.
  • Es gibt viele zählbare algebraisch geschlossene Felder innerhalb der komplexen Zahlen, und ausschließlich das Feld von algebraischen Zahlen enthaltend; das sind die algebraischen Verschlüsse von transzendentalen Erweiterungen der rationalen Zahlen, z.B der algebraische Verschluss von Q (π).
  • Für ein begrenztes Feld des ersten Auftrags p ist der algebraische Verschluss ein zählbar unendliches Feld, das eine Kopie des Feldes des Auftrags p für jede positive ganze Zahl n enthält (und tatsächlich die Vereinigung dieser Kopien ist).
  • Siehe auch Vergrößerung von Puiseux.

Trennbarer Verschluss

Ein algebraischer Verschluss K K enthält eine einzigartige trennbare Erweiterung K von K, der alle (algebraischen) trennbaren Erweiterungen von K innerhalb von K enthält. Diese Suberweiterung wird einen trennbaren Verschluss von K genannt. Da eine trennbare Erweiterung einer trennbaren Erweiterung wieder trennbar ist, gibt es keine begrenzten trennbaren Erweiterungen von K, des Grads> 1. Diesen anderen Weg sagend, wird K in einem trennbar geschlossenen algebraischen Erweiterungsfeld enthalten. Es ist (bis zum Isomorphismus) im Wesentlichen einzigartig.

Der trennbare Verschluss ist der volle algebraische Verschluss, wenn, und nur wenn K ein vollkommenes Feld ist. Zum Beispiel, wenn K ein Feld der Eigenschaft p ist, und wenn X über K transzendental ist, ist eine nichttrennbare algebraische Felderweiterung.

Im Allgemeinen ist die absolute Gruppe von Galois von K die Gruppe von Galois von K über K.

Siehe auch

Referenzen


Ammonius Grammaticus / Fortgeschrittenes Macht-Management
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