In der Mathematik ist eine binäre Operation eine Berechnung, die mit zwei operands verbunden ist (eine Operation, deren arity zwei ist). Beispiele schließen die vertrauten arithmetischen Operationen von Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung ein.

Lassen Sie A, B und C drei Sätze sein. Dann ist eine Beziehung * von X B-> C eine binäre Beziehung. Das ist eine allgemeine binäre Beziehung. Gewöhnlich, aber nicht immer, ist der Fall von binären auf einem einzelnen Satz definierten Beziehungen von Interesse.

Fachsprache

Genauer ist eine binäre Operation auf einem Satz eine binäre Beziehung, die Elemente des Kartesianischen Produktes &times kartografisch darstellt; zu:

Solch eine binäre Operation von S×SS wird eine geschlossene binäre Operation auf S genannt

Wenn nicht eine Funktion ist, aber stattdessen eine teilweise Funktion ist, wird es eine teilweise Operation genannt. Zum Beispiel ist die Abteilung von reellen Zahlen eine teilweise Funktion, weil man sich durch die Null nicht teilen kann: Wird für keinen echt definiert. Bemerken Sie jedoch, dass sowohl in der Algebra als auch in Mustertheorie die binären betrachteten Operationen auf dem ganzen definiert werden.

Manchmal, besonders in der Informatik, wird der Begriff für jede binäre Funktion gebraucht. Das nimmt Werte in demselben Satz, der seine Argumente zur Verfügung stellt, ist das Eigentum des Verschlusses.

Binäre Operationen sind der Schlussstein von algebraischen in der abstrakten Algebra studierten Strukturen: Sie bilden einen Teil von Gruppen, monoids, Halbgruppen, Ringen, und mehr.

Am meisten allgemein ist ein Magma ein Satz zusammen mit jeder binären darauf definierten Operation.

Gesetze über Operationen

Viele binäre Operationen von Interesse sowohl in der Algebra als auch in formalen Logik sind auswechselbar oder assoziativ.

Viele haben auch Identitätselemente und umgekehrte Elemente.

Typische Beispiele von binären Operationen sind die Hinzufügung (+) und Multiplikation (&times) Zahlen und matrices sowie Zusammensetzung von Funktionen auf einem einzelnen Satz.

Ein Beispiel einer Operation, die nicht auswechselbar ist, ist Subtraktion (). Beispiele von teilweisen Operationen, die nicht auswechselbar sind, schließen Abteilung (/), exponentiation (^), und tetration () ein.

Notation

Binäre Operationen werden häufig mit der klammerlosen Darstellung solcher als, oder (durch ohne Symbol) aber nicht durch die funktionelle Notation der Form geschrieben. Mächte werden gewöhnlich auch ohne Maschinenbediener, aber mit dem zweiten Argument als Exponent geschrieben.

Binäre Operationen verwenden manchmal Präfix oder postbefestigen Notation; das verzichtet auf Parenthesen. Präfix-Notation wird auch polnische Notation genannt; auf Notation der postüblen Lage, auch genannt polnische Rücknotation, wird wahrscheinlich öfter gestoßen.

Paar und Tupel

Eine binäre Operation hängt vom befohlenen Paar und so ab (wo die Parenthesen hier bedeuten, zuerst funktionieren auf dem befohlenen Paar und funktionieren dann auf dem Ergebnis dieses Verwendens des befohlenen Paares hängt im Allgemeinen vom befohlenen Paar ab. So, für den allgemeinen, nichtassoziativen Fall, können binäre Operationen mit binären Bäumen vertreten werden.

Jedoch:

• Wenn die Operation assoziativ ist, dann hängt der Wert nur vom Tupel (a, b, c) ab.
• Wenn die Operation auswechselbar ist, dann hängt der Wert nur von {{a, b}, c} ab, wo geschweifte Klammern Mehrsätze anzeigen.
• Wenn die Operation sowohl assoziativ als auch dann auswechselbar ist, hängt der Wert nur vom Mehrsatz {a, b, c} ab.
• Wenn die Operation sowohl assoziativ als auch auswechselbar ist und idempotent, dann hängt der Wert nur vom Satz {a, b, c} ab.

Binäre Außenoperationen

Eine binäre Außenoperation ist eine binäre Funktion von × dazu.

Das unterscheidet sich von einer binären Operation im strengen Sinn darin braucht nicht zu sein; seine Elemente kommen von der Außenseite.

Ein Beispiel einer binären Außenoperation ist Skalarmultiplikation in der geradlinigen Algebra.

Hier ist ein Feld und ist ein Vektorraum über dieses Feld.

Eine binäre Außenoperation kann als eine Handlung wechselweise angesehen werden; folgt.

Bemerken Sie, dass das Punktprodukt von zwei Vektoren nicht eine binäre Operation, äußerlich oder sonst ist, weil es von &times kartografisch darstellt; dazu, wo ein Feld ist und ein zu Ende Vektorraum ist.

Siehe auch

• Wiederholte binäre Operation
• Maschinenbediener, der (programmiert)
• Dreifältige Operation
• Unäre Operation