In der Mathematik ist ein bilinearer Maschinenbediener eine Funktion, die Elemente von zwei Vektorräumen verbindet, um ein Element eines dritten Vektorraums nachzugeben, der in jedem seiner Argumente geradlinig ist. Matrixmultiplikation ist ein Beispiel.

Definition

Lassen Sie V, W und X drei Vektorräume über das dasselbe Grundfeld F sein. Eine bilineare Karte ist eine Funktion

:B: V × W → X

solch das für jeden w in W die Karte

:v B (v, w)

ist eine geradlinige Karte von V bis X, und für jeden v in V die Karte

:w B (v, w)

ist eine geradlinige Karte von W bis X.

Mit anderen Worten, wenn wir den ersten Zugang der bilinearen Karte befestigt halten, es hat sich den zweiten Zugang ändern lassen, das Ergebnis ein geradliniger Maschinenbediener, und ähnlich ist, wenn wir den zweiten Zugang befestigt halten. Bemerken Sie das, wenn wir das Produkt V &times betrachten; W als ein Vektorraum dann ist B nicht eine geradlinige Transformation von Vektorräumen (wenn V=0 oder W=0) weil zum Beispiel.

Wenn V = W und wir B (v, w) = B (w, v) für den ganzen v, w in V haben, dann sagen wir, dass B symmetrisch ist.

Der Fall, wo X F ist, und haben wir eine bilineare Form, ist besonders nützlich (sieh zum Beispiel Skalarprodukt, Skalarprodukt und quadratische Form).

Die Definition arbeitet ohne irgendwelche Änderungen, wenn statt Vektorräume über ein Feld k wir Module über einen Ersatzring R verwenden. Es kann auch zu n-stufigen Funktionen leicht verallgemeinert werden, wo der richtige Begriff mehrgeradlinig ist.

Für den Fall eines Nichtersatzgrundrings R und eines richtigen Moduls M und ein linkes Modul N können wir eine bilineare Karte B definieren: M × N  T wo T eine abelian Gruppe, solch ist, dass für jeden n in N M  B (M, n) ein Gruppenhomomorphismus, und für jede M in der M, n  B ist (M, n) ist ein Gruppenhomomorphismus auch, und der auch befriedigt

:B (mt, n) = B (M, tn)

für die ganze M in der M, n in N und t in R.

Eigenschaften

Eine erste unmittelbare Folge der Definition ist das

wann auch immer x=o oder y=o. (Das wird durch das Schreiben des ungültigen Vektoren o als 0 gesehen · o und das Bewegen des Skalars 0 "Außenseite", vor B, durch die Linearität.)

Der Satz L (V, W; X) aller bilinearen Karten ist ein geradliniger Subraum des Raums (nämlich Vektorraum, Modul) aller Karten von V×W in X.

Wenn V, W, X endlich-dimensional sind, dann auch ist L (V, W; X). Für X=F, d. h. bilineare Formen ist die Dimension dieses Raums dimV×dimW (während der Raum L (V×W; K) geradliniger Formen ist der Dimension dimV+dimW). Um das zu sehen, wählen Sie eine Basis für V und W; dann kann jede bilineare Karte durch die Matrix, und umgekehrt einzigartig vertreten werden.

Jetzt, wenn X ein Raum der höheren Dimension ist, haben wir offensichtlich dimL (V, W; X) =dimV×dimW×dimX.

Beispiele

• Matrixmultiplikation ist eine bilineare Karte M (M, n) × M (n, p)  M (M, p).
• Wenn ein Vektorraum V über die reellen Zahlen R ein Skalarprodukt trägt, dann ist das Skalarprodukt eine bilineare Karte V × V  R.
• Im Allgemeinen, für einen Vektorraum V über Feld F, ist eine bilineare Form auf V dasselbe als eine bilineare Karte V × V  F.
• Wenn V ein Vektorraum mit dem Doppelraum V * ist, dann ist der Anwendungsmaschinenbediener, b (f, v) = f (v) eine bilineare Karte von V* × V zum Grundfeld.
• Lassen Sie V und W Vektorräume über das dasselbe Grundfeld F sein. Wenn f ein Mitglied von V* und g ein Mitglied von W * ist, dann b (v w) = f (v) definiert g (w) eine bilineare Karte V × W  F.
• Das Kreuzprodukt in R ist eine bilineare Karte R × R  R.
• Lässt B: V × W  X, eine bilineare Karte und L sein: U  W, eine geradlinige Karte, dann (v, u)  B (v, Lu) sein, ist eine bilineare Karte auf V × U
• Die ungültige Karte, die durch für alle (v, w) in V×W definiert ist, ist die einzige Karte von V×W bis X, der bilinear und zur gleichen Zeit geradlinig ist. Tatsächlich, wenn (v, w) V×W, dann, wenn B geradlinig ist, wenn B bilinear ist.

Siehe auch

• Tensor-Produkt
• Sesquilinear bilden
• Bilineare Entstörung
• Mehrgeradlinige Karte

Links

• Gebrauch von Bilinearen Karten in der Geheimschrift