In der Mathematik sind binomische Koeffizienten eine Familie von positiven ganzen Zahlen, die als Koeffizienten im binomischen Lehrsatz vorkommen. Sie werden durch zwei natürliche Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen; der binomische Koeffizient, der durch n und k mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist, wird gewöhnlich geschrieben, und es ist der Koeffizient des X-Begriffes in der polynomischen Vergrößerung der binomischen Macht (1 + x). Das Ordnen binomischer Koeffizienten in Reihen für aufeinander folgende Werte von n, und in der K-Reihen von 0 bis n, gibt Dreieck des genannten Pascal einer Dreiecksreihe.

Diese Familie von Zahlen entsteht auch in vielen anderen Gebieten als Algebra namentlich in combinatorics. Für jeden Satz, der n Elemente enthält, wird die Zahl von verschiedenen K-Element-Teilmengen davon, die gebildet werden können (die K-Kombinationen seiner Elemente) durch den binomischen Koeffizienten gegeben. Deshalb wird häufig gelesen, weil "n k wählen". Die Eigenschaften von binomischen Koeffizienten haben zum Verlängern der Bedeutung des Symbols außer dem grundlegenden Fall geführt, wo n und k natürliche Zahlen damit sind; solche Ausdrücke werden dann noch binomische Koeffizienten genannt.

Die Notation wurde von Andreas von Ettingshausen 1826 eingeführt, obwohl die Zahlen bereits bekannte Jahrhunderte davor waren (sieh das Dreieck des Pascal). Die frühste bekannte ausführlich berichtete Diskussion von binomischen Koeffizienten ist in einem Kommentar des zehnten Jahrhunderts, wegen Halayudha, auf einem alten hinduistischen Klassiker, dem chandaśāstra von Pingala. Ungefähr 1150 hat der hinduistische Mathematiker Bhaskaracharya eine sehr klare Ausstellung von binomischen Koeffizienten in seinem Buch Lilavati gegeben.

Alternative Notationen schließen C (n, k), C, C, C, C ein, in von dem allem der C für Kombinationen oder Wahlen eintritt.

Definition und Interpretationen

Für natürliche Zahlen (genommen, um 0 einzuschließen), n und k kann der binomische Koeffizient als der Koeffizient des Monoms X in der Vergrößerung dessen definiert werden. Derselbe Koeffizient kommt auch (wenn) in der binomischen Formel vor

:

(gültig für irgendwelche Elemente x, y eines Ersatzrings),

der den Namen "binomischer Koeffizient" erklärt.

Ein anderes Ereignis dieser Zahl ist in combinatorics, wo es die Zahl von Wegen gibt, Ordnung ignorierend, dass K-Gegenstände aus der Zahl von N-Gegenständen gewählt werden können; mehr formell ist die Zahl von K-Element-Teilmengen (oder K-Kombinationen) eines N-Elements untergegangen. Diese Zahl kann als gleich derjenigen der ersten Definition unabhängig von einigen der Formeln unten gesehen werden, um es zu schätzen: Wenn in jedem der n Faktoren der Macht man provisorisch den Begriff X mit einem Index i etikettiert (von 1 bis n laufend), dann gibt jede Teilmenge von k Indizes nach der Vergrößerung werden ein Beitrag X und der Koeffizient dieses Monoms im Ergebnis die Zahl solcher Teilmengen sein. Das zeigt sich insbesondere, dass das eine natürliche Zahl für irgendwelche natürlichen Zahlen n und k ist. Es gibt viele andere kombinatorische Interpretationen von binomischen Koeffizienten (Probleme aufzählend, für die die Antwort durch einen binomischen mitwirkenden Ausdruck gegeben wird), zum Beispiel wird durch die Zahl von Wörtern, die n Bit (Ziffern 0 oder 1) gebildet sind, deren Summe k ist, gegeben, während die Zahl von Weisen zu schreiben, wo jeder einer natürlichen Zahl durch zu sein, gegeben wird. Wie man leicht sieht, sind die meisten dieser Interpretationen zum Zählen von K-Kombinationen gleichwertig.

Die Computerwissenschaft des Werts binomischer Koeffizienten

Mehrere Methoden bestehen, um den Wert zu schätzen, ohne wirklich eine binomische Macht auszubreiten oder K-Kombinationen aufzuzählen.

Rekursive Formel

Man hat eine rekursive Formel für binomische Koeffizienten

:

mit Anfangswerten

::

Die Formel folgt entweder davon, die Beiträge zu X in, oder durch das Zählen von K-Kombinationen} zu verfolgen, die n enthalten, und die n getrennt nicht enthalten.

Es folgt leicht dass = 0 wenn k > n, und = 1 für den ganzen n, so kann der recursion anhalten, wenn er solche Fälle erreicht. Diese rekursive Formel erlaubt dann den Aufbau des Dreiecks des Pascal.

Formel von Multiplicative

Eine effizientere Methode, individuelle binomische Koeffizienten zu schätzen, wird durch die Formel gegeben

:

wo der Zähler des ersten Bruchteils als ein Fallen factorial Macht ausgedrückt wird.

Diese Formel ist am leichtesten, für die kombinatorische Interpretation von binomischen Koeffizienten zu verstehen.

Der Zähler gibt die Zahl von Weisen, eine Folge von k verschiedenen Gegenständen auszuwählen, die Ordnung der Auswahl von einer Reihe von N-Gegenständen behaltend. Der Nenner zählt die Zahl von verschiedenen Folgen auf, die dieselbe K-Kombination definieren, wenn Ordnung ignoriert wird.

Formel von Factorial

Schließlich gibt es eine Formel mit factorials, der leicht ist sich zu erinnern:

:

wo n! zeigt den factorial von n an. Diese Formel folgt aus der multiplicative Formel oben durch das Multiplizieren des Zählers und Nenners dadurch; demzufolge schließt es viele Faktoren ein, die für den Zähler und Nenner üblich sind. Es ist für die ausführliche Berechnung weniger praktisch, wenn gemeinsame Faktoren zuerst nicht annulliert werden (insbesondere, da factorial Werte sehr schnell wachsen). Die Formel stellt wirklich eine Symmetrie aus, die von der multiplicative Formel weniger offensichtlich ist (obwohl es aus den Definitionen ist)

Generalisation und Verbindung zur binomischen Reihe

Die multiplicative Formel erlaubt der Definition von binomischen Koeffizienten, durch das Ersetzen n durch eine beliebige Zahl α (negativ, echt, kompliziert) oder sogar ein Element jedes Ersatzrings erweitert zu werden, in dem alle positiven ganzen Zahlen invertible sind:

:

\quad\mbox {für} k\in\N \mbox {und willkürlich} \alpha.

</Mathematik>

Mit dieser Definition hat man eine Generalisation der binomischen Formel (mit einem des Variable-Satzes zu 1), der noch das Benennen der binomischen Koeffizienten rechtfertigt:

Diese Formel ist für alle komplexen Zahlen α und X mit |X &lt gültig; 1. Es kann auch als eine Identität der formellen Macht-Reihe in X interpretiert werden, wo es wirklich als Definition von willkürlichen Mächten der Reihe mit dem unveränderlichen Koeffizienten dienen kann, der 1 gleich ist; es ist nämlich so, dass mit dieser Definition die ganze Identität meint, dass man für exponentiation, namentlich erwartet

:

Wenn α eine natürliche Zahl n ist, dann sind alle Begriffe mit k> n Null, und die unendliche Reihe wird eine begrenzte Summe, dadurch die binomische Formel wieder erlangend. Jedoch für andere Werte von α, einschließlich negativer ganzer Zahlen und rationaler Zahlen, ist die Reihe wirklich unendlich.

Das Dreieck des Pascal

Die Regel des Pascal ist die wichtige Wiederauftreten-Beziehung

der verwendet werden kann, um sich durch die mathematische Induktion zu erweisen, die eine natürliche Zahl für den ganzen n und k ist, (gleichwertig zur Behauptung das k! teilt das Produkt von k aufeinander folgenden ganzen Zahlen), eine Tatsache, die von der Formel (1) nicht sofort offensichtlich ist.

Die Regel des Pascal verursacht auch das Dreieck des Pascal:

:

Reihennummer n enthält die Zahlen für k = 0, …, n. Es wird durch das Starten mit an der Außenseite und dann immer das Hinzufügen zwei angrenzender Zahlen und das Schreiben der direkt unteren Summe gebaut. Diese Methode erlaubt die schnelle Berechnung von binomischen Koeffizienten ohne das Bedürfnis nach Bruchteilen oder Multiplikationen. Zum Beispiel, indem man auf die Reihennummer 5 des Dreiecks schaut, kann man davon schnell lesen

: (x + y) = 1 x + 5 xy + 10 xy + 10 xy + 5 x y + 1 y.

Die Unterschiede zwischen Elementen auf anderen Diagonalen sind die Elemente in der vorherigen Diagonale, demzufolge der Wiederauftreten-Beziehung oben.

Combinatorics und Statistik

Binomische Koeffizienten sind in combinatorics wichtig, weil sie bereite Formeln für bestimmte häufige zählende Probleme zur Verfügung stellen:

• Es gibt Weisen, k Elemente aus einer Reihe von n Elementen zu wählen. Sieh Kombination.
• Es gibt Weisen, k Elemente aus einer Reihe von n zu wählen, wenn Wiederholungen erlaubt wird. Sieh Mehrsatz.
• Es gibt Schnuren, die k und n Nullen enthalten.
• Es gibt Schnuren, die aus k und n solchen Nullen bestehen, dass keine zwei angrenzend sind.
• Die katalanischen Zahlen sind
• Der binomische Vertrieb in der Statistik ist
• Die Formel für eine Kurve von Bézier.

Binomische Koeffizienten als Polynome

Für jede natürliche Zahl k kann der Ausdruck vereinfacht und als ein durch k geteiltes Polynom definiert werden!:

:

Das präsentiert ein Polynom in t mit vernünftigen Koeffizienten.

Als solcher kann es an jeder reellen Zahl oder komplexer Zahl t bewertet werden, um binomische Koeffizienten mit solchen ersten Argumenten zu definieren.

Diese "verallgemeinerten binomischen Koeffizienten" erscheinen im verallgemeinerten binomischen Lehrsatz von Newton.

Für jeden k kann das Polynom als der einzigartige Grad k Polynom p (t) charakterisiert werden, p (0) = p (1) =... = p befriedigend (k &minus; 1) = 0 und p (k) = 1.

Seine Koeffizienten sind expressible in Bezug auf Zahlen von Stirling der ersten Art definitionsgemäß der Letzteren:

:

Die Ableitung dessen kann durch die logarithmische Unterscheidung berechnet werden:

:

Binomische Koeffizienten als eine Basis für den Raum von Polynomen

Über jedes Feld, das Q enthält, ist jedes Polynom p (t) des Grads am grössten Teil von d einzigartig expressible als eine geradlinige Kombination.

Der Koeffizient des k Unterschieds der Folge p (0), p (1), …, p (k) zu sein.

Ausführlich,

Auf die ganze Zahl geschätzte Polynome

Jedes Polynom wird auf die ganze Zahl geschätzt: Es nimmt Werte der ganzen Zahl an Eingängen der ganzen Zahl.

(Eine Weise, das zu beweisen, ist durch die Induktion auf k mit der Identität des Pascal.)

Deshalb wird jede ganze Zahl geradlinige Kombination von binomischen mitwirkenden Polynomen auch auf die ganze Zahl geschätzt.

Umgekehrt, zeigt, dass jedes auf die ganze Zahl geschätzte Polynom eine ganze Zahl geradlinige Kombination dieser binomischen mitwirkenden Polynome ist.

Mehr allgemein, für jeden Subring R einer Eigenschaft 0 Feld K, nimmt ein Polynom in K [t] Werte in R an allen ganzen Zahlen, wenn, und nur wenn es eine R-linear Kombination von binomischen mitwirkenden Polynomen ist.

Beispiel

Das auf die ganze Zahl geschätzte Polynom 3t (3t + 1)/2 kann als umgeschrieben werden

:

Identität, die binomische Koeffizienten einschließt

Die factorial Formel erleichtert Verbindung nahe gelegene binomische Koeffizienten. Zum Beispiel, wenn k eine positive ganze Zahl ist und n, dann willkürlich

ist

und, mit etwas mehr Arbeit,

:

Außerdem kann der folgende nützlich sein:

:

Reihe, die binomische Koeffizienten einschließt

Die Formel

wird bei erhalten, x = 1 verwendend. Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass sich die Elemente in einer Reihe des Dreiecks des Pascal immer auf zwei erhobene zu einer Macht der ganzen Zahl belaufen. Eine kombinatorische Interpretation dieser Tatsache, die das doppelte Zählen einschließt, wird durch das Zählen von Teilmengen der Größe 0, Größe 1, Größe 2, und so weiter bis zur Größe n eines Satzes S n Elemente gegeben. Da wir die Zahl von Teilmengen der Größe i für 0  i  n aufzählen, muss diese Summe der Zahl von Teilmengen von S gleich sein, der, wie man bekannt, 2 ist. D. h. Gleichung 5 ist eine Behauptung, dass die Macht, die für einen begrenzten Satz mit n Elementen gesetzt ist, Größe 2 hat.

Denken Sie ausführlicher wenig Schnur mit n Ziffern. Diese Bit-Schnur kann verwendet werden, um 2 Zahlen zu vertreten. Denken Sie jetzt alle Bit-Schnuren ohne in ihnen. Es gibt gerade ein, oder eher wählen n 0. Denken Sie als nächstes die Zahl von Bit-Schnuren mit gerade einer einzelnen in ihnen. Es gibt n, oder eher wählen n 1. Das Fortsetzen dieser Weise, wie wir sehen können, dass die Gleichung oben hält.

Die Formeln

und

folgen Sie , nach dem Unterscheiden in Bezug auf x (zweimal in den Letzteren) und dann das Ersetzen x = 1.

Die Identität von Chu-Vandermonde, die für irgendwelche komplizierten Werte M und n und jede natürliche Zahl k hält, ist

und kann durch die Überprüfung des Koeffizienten in der Vergrößerung (1 + x) (1 + x) = (1 + x) das Verwenden der Gleichung gefunden werden. Wenn M = 1, Gleichung zur Gleichung abnimmt.

Eine ähnlich aussehende Formel, die sich um irgendwelche ganzen Zahlen j, k, und n Zufriedenheit von 0  j  k  n bewirbt, ist

und kann durch die Überprüfung des Koeffizienten in der Vergrößerung von gefunden werden

das Verwenden

Wenn j = k, Gleichung gibt

:

Von der Vergrößerung , n = 2 M, k = M, und verwendend, findet man

Lassen Sie F (n) zeigen die n-te Fibonacci-Zahl an.

Wir erhalten eine Formel über die Diagonalen des Dreiecks des Pascal

Das kann durch das Induktionsverwenden bewiesen werden , oder durch die Darstellung von Zeckendorf (Bemerken gerade, dass der lhs die Zahl von Teilmengen {F (2)..., F (n)} ohne Konsekutivmitglieder gibt, die auch alle Zahlen unter F (n+1) bilden). Ein kombinatorischer Beweis wird unten gegeben.

Auch mit und Induktion kann man dem zeigen

Obwohl es keine geschlossene Formel für gibt

:

(wenn man Hypergeometrische Funktionen nicht aufsucht), kann man wieder und Induktion verwenden, um das für k = 0..., n&minus;1 zu zeigen

sowie

[außer im trivialen Fall wo n = 0, wo das Ergebnis 1 stattdessen] ist, der selbst ein spezieller Fall des Ergebnisses von der Theorie von begrenzten Unterschieden das für jedes Polynom P (x) des Grads weniger ist als n,

Das Unterscheiden k Zeiten und das Setzen x = &minus;1 geben das für nach

wenn 0  k\}\

wo der Koeffizient des Grads n in P (x) ist.

Mehr allgemein für ,

wo M und d komplexe Zahlen sind. Das folgt sofort Verwendung zum Polynom Q (x): =P (M + dx) statt P (x), und bemerkend, dass Q (x) noch Grad weniger hat als oder gleich n, und dass sein Koeffizient des Grads n da ist.

Die unendliche Reihe

ist

für k  2 konvergent. Diese Formel wird in der Analyse des deutschen Zisterne-Problems verwendet.

Es ist zur Formel für die begrenzte Summe gleichwertig

:

der für die M> M durch die Induktion auf der M bewiesen wird.

Mit kann man ableiten

und

Reihe-Mehrabteilung gibt die folgende Identität für die Summe von binomischen Koeffizienten, die mit einem Schritt s und Ausgleich t genommen sind

:

Identität mit kombinatorischen Beweisen

Viele Identität, die binomische Koeffizienten einschließt, kann durch kombinatorische Mittel bewiesen werden. Zum Beispiel, die folgende Identität für natürliche Zahlen (der zu wenn q = 1) abnimmt:

kann ein doppelter zählender Beweis wie folgt gegeben werden. Die linke Seite zählt die Zahl von Weisen auf, eine Teilmenge von [n] = {1, 2, …, n} mit mindestens k Elemente auszuwählen, und q Elemente unter denjenigen zu kennzeichnen, die ausgewählt sind. Die richtige Seite zählt denselben Parameter auf, weil es Weisen gibt, eine Reihe von Q-Zeichen zu wählen, und sie in allen Teilmengen vorkommen, die zusätzlich eine Teilmenge der restlichen Elemente enthalten, von denen es gibt

In der Regel des Pascal

:

beide Seiten zählen die Zahl von K-Element-Teilmengen von [n] mit der rechten Seite rst Gruppierung von ihnen in diejenigen auf, die Element n und diejenigen enthalten, die nicht tun.

Die Identität hat auch einen kombinatorischen Beweis. Die Identität liest

:

Nehmen Sie an, dass Sie leere Quadrate hintereinander einordnen ließen und Sie kennzeichnen wollen (wählen) n von ihnen (aus). Es gibt Weisen, das zu tun. Andererseits können Sie Ihre n Quadrate auswählen, indem Sie k Quadrate aus der Zahl vom ersten n und Quadrate von den restlichen n Quadraten auswählen; jeder k von 1 bis n wird arbeiten. Das gibt

:

Wenden Sie sich jetzt , um das Ergebnis zu bekommen.

Die Identität ,

:

hat den folgenden kombinatorischen Beweis. Die Zahl zeigt die Zahl von Pfaden in einem zweidimensionalen Gitter von zum Verwenden von Schritten an und. Das ist leicht zu sehen: Es gibt Schritte insgesamt, und man kann die Schritte wählen. Ersetzen Sie jetzt jeden Schritt durch einen Schritt; bemerken Sie, dass es genau gibt. Dann kommt man in den Punkt mit Schritten an und. Das Tun davon für alle dazwischen und gibt alle Pfade vom Verwenden von Schritten und. Klar gibt es genau solche Pfade.

Summe der mitwirkenden Reihe

Die Zahl von K-Kombinationen für den ganzen k ist die Summe der n-ten Reihe (von 0 zählend), von den binomischen Koeffizienten. Diese Kombinationen werden durch die 1 Ziffern des Satzes der Basis 2 Zahlen aufgezählt, die von 0 bis zählen, wo jede Ziffer-Position ein Artikel vom Satz von n ist.

Die Identität von Dixon

Die Identität von Dixon ist

:

oder, mehr allgemein,

:

wo a, b, und c natürliche Zahlen sind.

Dauernde Identität

Bestimmte trigonometrische Integrale haben Werte expressible in Bezug auf

binomische Koeffizienten:

Für und

\binom {n} {M}

</Mathematik> |} }\

\binom {n} {M} & n \mbox {seltsam} \\

0 & \mbox {sonst} \\

\end {Reihe} \right. </math> |} }\

\binom {n} {M} & n \mbox {sogar} \\

0 & \mbox {sonst} \\\end {Reihe} \right. </math> |} }\

Diese können durch das Verwenden der Formel von Euler bewiesen werden, um trigonometrische Funktionen zum Komplex exponentials, die Erweiterung des Verwendens des binomischen Lehrsatzes und der Integrierung des Begriffes durch den Begriff umzuwandeln.

Das Erzeugen von Funktionen

Gewöhnliche Erzeugen-Funktionen

Für einen festen n ist die gewöhnliche Erzeugen-Funktion der Folge:

:

Für einen festen k ist die gewöhnliche Erzeugen-Funktion der Folge:

:

Der bivariate das Erzeugen der Funktion der binomischen Koeffizienten ist:

:

Ein anderer bivariate das Erzeugen der Funktion der binomischen Koeffizienten, die symmetrisch ist, ist:

:

Exponentialerzeugen-Funktion

Der Exponentialbivariate das Erzeugen der Funktion der binomischen Koeffizienten ist:

:

Teilbarkeitseigenschaften

1852 hat Kummer bewiesen, dass, wenn M und n natürliche Zahlen und p sind, eine Primzahl ist, dann kommt die größte Macht des P-Teilens p gleich, wo c die Zahl dessen ist, trägt, wenn M und n in der Basis p hinzugefügt werden.

Gleichwertig, die Hochzahl eines ersten p in

kommt der Zahl von natürlichen Zahlen j solch gleich, dass der Bruchteil von k/p größer ist als der Bruchteil von n/p. Es kann daraus abgeleitet werden, dass durch n/gcd (n, k) teilbar ist.

Ein etwas überraschendes Ergebnis durch David Singmaster (1974) besteht darin, dass jede ganze Zahl fast alle binomischen Koeffizienten teilt. Befestigen Sie genauer eine ganze Zahl d und lassen Sie f (N) zeigen die Zahl von binomischen Koeffizienten mit n an. Dann

:

Seit der Zahl von binomischen Koeffizienten mit n

sind

durch n teilbar.

Beweis:

Wenn p erst ist, teilt p

: für den ganzen 0

sonst der Zähler k (n&minus;1) (n&minus;2) &times;...&times; (n&minus;p+1) muss durch n = k&times;p teilbar sein, das kann nur wenn (n&minus;1) (n&minus;2) &times;...&times der Fall sein; (n&minus;p+1) ist durch p teilbar. Aber n ist durch p teilbar, so teilt sich p n&minus;1, n&minus;2..., n&minus;p+1 nicht, und weil p erst ist, wissen wir, dass sich p (n&minus;1) (n&minus;2) &times;...&times nicht teilt; (n&minus;p+1) und so kann der Zähler nicht durch n teilbar sein.

Grenzen und asymptotische Formeln

Die folgenden Grenzen dafür halten:

:

Die Annäherung von Stirling gibt die Grenzen nach:

: und, im Allgemeinen, für die M  2 und n  1,

und die Annäherung

: als

Die unendliche Produktformel (vgl Gammafunktion, alternative Definition)

:

gibt die asymptotischen Formeln nach

:

als.

Dieses asymptotische Verhalten wird in der Annäherung enthalten

:

ebenso. (Hier ist die k-th harmonische Zahl und ist die Euler-Mascheroni Konstante).

Die Summe von binomischen Koeffizienten kann durch einen Begriff begrenzt werden, der in und das binäre Wärmegewicht des größten Exponential-ist, das vorkommt. Genauer, für und

:

wo das binäre Wärmegewicht dessen ist.

Ein einfacher und raues ober gebunden für die Summe von binomischen Koeffizienten werden durch die Formel unten (nicht schwierig gegeben sich zu erweisen)

:

Generalisationen

Generalisation zu multinomials

Binomische Koeffizienten können zu multinomial Koeffizienten verallgemeinert werden.

Sie werden definiert, um die Zahl zu sein:

:wo:

Während die binomischen Koeffizienten die Koeffizienten von (x+y), die multinomial Koeffizienten vertreten

vertreten Sie die Koeffizienten des Polynoms

:

Sieh multinomial Lehrsatz. Der Fall r = 2 gibt binomische Koeffizienten:

:

Die kombinatorische Interpretation von multinomial Koeffizienten ist Vertrieb von n unterscheidbaren Elementen über r (unterscheidbare) Behälter, jeder, genau k Elemente enthaltend, wo ich der Index des Behälters bin.

Koeffizienten von Multinomial haben viele Eigenschaften, die diesen von binomischen Koeffizienten, zum Beispiel die Wiederauftreten-Beziehung ähnlich sind:

:

und Symmetrie:

:

wo eine Versetzung (1,2..., r) ist.

Generalisation zu negativen ganzen Zahlen

Wenn, dann

streckt sich bis zu alle aus.

Im speziellen Fall nimmt das zu ab

Reihe von Taylor

Mit Stirling Zahlen der ersten Art ist die Reihenentwicklung um jeden willkürlich gewählten Punkt

:

Binomischer Koeffizient mit n

1/2 = ==

Die Definition der binomischen Koeffizienten kann zum Fall erweitert werden, wo echt ist und ganze Zahl ist.

Insbesondere die folgende Identität hält für jede natürliche Zahl:

:

Das taucht auf, wenn es sich in eine Macht-Reihe mit der Binom-Reihe von Newton ausbreitet:

:

Identität für das Produkt von binomischen Koeffizienten

Man kann das Produkt von binomischen Koeffizienten als eine geradlinige Kombination von binomischen Koeffizienten ausdrücken:

:

wo die Verbindungskoeffizienten multinomial Koeffizienten sind. In Bezug auf etikettierte kombinatorische Gegenstände vertreten die Verbindungskoeffizienten die Zahl von Weisen, m+n-k Etiketten einem Paar von etikettierten kombinatorischen Gegenständen - des Gewichts M und n beziehungsweise zuzuteilen - die ihre ersten K-Etiketten identifiziert gehabt haben, oder zusammen geklebt haben, um einen neuen etikettierten kombinatorischen Gegenstand des Gewichts m+n-k zu bekommen. (D. h. um die Etiketten in drei Teile zu trennen, um für den geklebten Teil, den ungeklebten Teil des ersten Gegenstands und den ungeklebten Teil des zweiten Gegenstands zu gelten.) In dieser Beziehung sind binomische Koeffizienten zur Exponentialerzeugen-Reihe, welches Fallen factorials zur gewöhnlichen Erzeugen-Reihe sind.

Teilweise Bruchteil-Zergliederung

Die teilweise Bruchteil-Zergliederung des Gegenteils wird durch gegeben

: und

Die binomische Reihe des Newtons

Die binomische Reihe von Newton, genannt nach Herrn Isaac Newton, ist eine der einfachsten Reihen von Newton:

:

Die Identität kann durch die Vertretung erhalten werden, dass beide Seiten die Differenzialgleichung (1+z) f' (z) = α f (z) befriedigen.

Der Radius der Konvergenz dieser Reihe ist 1. Ein alternativer Ausdruck ist

:

wo die Identität

:

wird angewandt.

Zwei echte oder komplizierte geschätzte Argumente

Der binomische Koeffizient wird zu zwei echten oder komplizierten geschätzten Argumenten mit der Gammafunktion oder Beta-Funktion über verallgemeinert

:

Diese Definition erbt diese im Anschluss an zusätzliche Eigenschaften von:

:

außerdem,

:

Die resultierende Funktion ist wenig studiert worden, anscheinend zuerst darin grafisch dargestellt. Namentlich scheitert viele binomische Identität: aber für den n positiv (so negativ). Das Verhalten ist ziemlich kompliziert, und in verschiedenen Oktanten (d. h. in Bezug auf den x und die y Äxte und die Linie) mit dem Verhalten für negativen x deutlich verschieden Eigenartigkeiten an negativen Werten der ganzen Zahl und einem Damebrett von positiven und negativen Gebieten zu haben:

• im Oktanten ist es eine glatt interpolierte Form des üblichen Binoms, mit einem Kamm ("der Kamm des Pascal").
• im Oktanten und im Quadranten ist die Funktion Null nah.
• im Quadranten ist die Funktion positiv und negativ auf den Parallelogrammen mit Scheitelpunkten abwechselnd sehr groß
• im Oktanten ist das Verhalten positiv und negativ, aber auf einem Quadratbratrost wieder abwechselnd sehr groß.
• im Oktanten ist es Null, abgesehen von der Nähe die Eigenartigkeiten nah.

Generalisation zur Q-Reihe

Der binomische Koeffizient ließ eine Q-Analoggeneralisation als der Binom-Koeffizient von Gaussian bekannt.

Generalisation unendlichen Kardinälen

Die Definition des binomischen Koeffizienten kann unendlichen Kardinälen durch das Definieren verallgemeinert werden:

:

wo A ein Satz mit cardinality ist. Man kann zeigen, dass der verallgemeinerte binomische Koeffizient im Sinn bestimmt ist, der, egal was gesetzt wir beschließen, die Grundzahl zu vertreten, dasselbe bleiben wird. Für begrenzte Kardinäle fällt diese Definition mit der Standarddefinition des binomischen Koeffizienten zusammen.

Das Axiom der Wahl annehmend, kann man das für jeden unendlichen Kardinal zeigen.

Binomischer Koeffizient auf Programmiersprachen

Die Notation ist in der Handschrift günstig, aber für Schreibmaschinen und Computerterminals ungünstig. Viele Programmiersprachen bieten kein Standardunterprogramm an, für den binomischen Koeffizienten zu schätzen, aber zum Beispiel verwendet die J Programmiersprache das Ausrufungszeichen: k! n.

Naive Durchführungen der factorial Formel, wie der folgende Schnipsel in der Pythonschlange:

def binomialCoefficient (n, k):

vom Matheimport factorial

geben Sie factorial (n)//(factorial (k) * factorial (n - k)) zurück

</syntaxhighlight>

sind

sehr langsam und berechnen factorials von sehr hohen Zahlen nutzlos (auf Sprachen als C oder Java, das sie unter Überschwemmungsfehlern wegen dieses Grunds ertragen). Eine direkte Durchführung der multiplicative Formel arbeitet gut:

def binomialCoefficient (n, k):

wenn k

geben Sie 0 zurück

wenn k> n - k: # nutzen die Symmetrie aus

k = n - k

c = 1

weil ich in der Reihe (k):

c = c * (n - (k - (i+1)))

c = c//(i+1)

geben Sie c zurück

</syntaxhighlight>

(Bemerken Sie, dass Reihe (k) eine Liste von 0 bis k-1 und demzufolge ist, müssen wir i+1 in der obengenannten Funktion verwenden).

Das Beispiel, das oben erwähnt ist, kann auch im funktionellen Stil geschrieben werden. Das folgende Schema-Beispiel verwendet rekursive Definition

:

Vernünftige Arithmetik kann mit der Abteilung der ganzen Zahl leicht vermieden werden

:

Die folgende Durchführung verwendet alle diese Ideen

(definieren Sie (Binom n k)

; Helfer-Funktion, C (n, k) über fortgeschrittenen recursion zu schätzen

(definieren Sie (Binom-iter n k i prev)

(wenn (> = ich k)

prev

(Binom-iter n k (+ ich 1) (/(* (-n i) prev) (+ ich 1)))))

; Verwenden Sie Symmetrie-Eigentum C (n, k) =C (n, n-k)

(wenn (

Eine andere Weise, den binomischen Koeffizienten zu schätzen, wenn das Verwenden der großen Anzahl das anerkennen

soll:

{n \choose k} = \frac {n!} {k! \, (n-k)!} = \frac {\\Gamma (n+1)} {\\Gamma (k+1) \, \Gamma (n-k+1)} = \exp (\ln\Gamma (n+1)-\ln\gamma (k+1)-\ln\gamma (n-k+1)), </Mathematik>

wo   zeigt den natürlichen Logarithmus der Gammafunktion daran an. Es ist eine spezielle Funktion, die leicht geschätzt wird und auf einigen Programmiersprachen wie das Verwenden log_gamma in Maxima, LogGamma in Mathematica oder gammaln in MATLAB normal ist. Fehler von Roundoff kann den zurückgegebenen Wert veranlassen, eine ganze Zahl nicht zu sein.

Siehe auch

• Binomischer Hauptkoeffizient
• Binom gestaltet um
• Davidsstern-Lehrsatz
• Tisch der Newtonischen Reihe
• Liste von factorial und binomischen Themen
• Vielfältigkeit von Einträgen im Dreieck des Pascal
• Die neugierige Identität der Sonne
• Der Lehrsatz von Kummer auf Hauptmacht-Teilern von binomischen Koeffizienten
• Der Lehrsatz von Lucas

Zeichen

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer (2003). Beweise, die Wirklich zählen: Die Kunst des Kombinatorischen Beweises, Mathematische Vereinigung Amerikas.

Links

• Berechnung des binomischen Koeffizienten