Kategorie-Theorie ist ein Gebiet der Studie in der Mathematik, die auf eine abstrakte Weise die Eigenschaften von besonderen mathematischen Konzepten untersucht, durch das Formalisieren von ihnen als Sammlungen von Gegenständen und Pfeilen (hat auch morphisms genannt, obwohl dieser Begriff auch einen spezifischen, nicht mit der Kategorie theoretischen Sinn hat), wo diese Sammlungen einige grundlegende Bedingungen befriedigen. Viele bedeutende Gebiete der Mathematik können als Kategorien formalisiert werden, und der Gebrauch der Kategorie-Theorie erlaubt vielen komplizierten und feinen mathematischen Ergebnissen in diesen Feldern, festgesetzt, und auf eine viel einfachere Weise bewiesen zu werden, als ohne den Gebrauch von Kategorien.

Das zugänglichste Beispiel einer Kategorie ist die Kategorie von Sätzen, wo die Gegenstände Sätze sind und die Pfeile Funktionen von einem Satz bis einen anderen sind. Jedoch ist es wichtig zu bemerken, dass die Gegenstände einer Kategorie Sätze noch die Pfeil-Funktionen nicht zu sein brauchen; jede Weise, ein mathematisches solches Konzept zu formalisieren, dass es die grundlegenden Bedingungen auf dem Verhalten von Gegenständen und Pfeilen entspricht, ist eine gültige Kategorie, und alle Ergebnisse der Kategorie-Theorie werden dafür gelten.

Eines der einfachsten Beispiele einer Kategorie ist das von groupoid, die als eine Kategorie definiert sind, deren Pfeile oder morphisms der ganze invertible sind. Das groupoid Konzept ist in der Topologie wichtig.

Kategorien erscheinen jetzt in den meisten Zweigen der Mathematik, einigen Gebieten der theoretischen Informatik, wo sie Typen und mathematischer Physik entsprechen, wo sie verwendet werden können, um Vektorräume zu beschreiben. Kategorien wurden zuerst von Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane in 1942-45, im Zusammenhang mit der algebraischen Topologie eingeführt.

Kategorie-Theorie hat mehrere Gesichter bekannt nicht nur Fachmännern, aber anderen Mathematikern. Ein Begriff, der von den 1940er Jahren, "allgemeiner abstrakter Quatsch datiert," bezieht sich auf sein hohes Niveau der Abstraktion im Vergleich zu mehr klassischen Zweigen der Mathematik. Algebra von Homological ist Kategorie-Theorie in seinem Aspekt des Organisierens und Vorschlagens von Manipulationen in der abstrakten Algebra. Das Diagramm-Verfolgen ist eine Sehmethode, mit abstrakten "Pfeilen" zu streiten, hat sich Diagrammen angeschlossen. Bemerken Sie, dass Pfeile zwischen Kategorien functors, Thema dem spezifischen Definieren commutativity Bedingungen genannt werden; außerdem können kategorische Diagramme und Folgen als functors (nämlich Mitchell, 1965) definiert werden. Ein Pfeil zwischen zwei functors ist eine natürliche Transformation, wenn es bestimmtem naturality oder commutativity Bedingungen unterworfen ist. Functors und natürliche Transformationen ('naturality') sind die Schlüsselkonzepte in der Kategorie-Theorie.

Theorie von Topos ist eine Form der abstrakten Bündel-Theorie mit geometrischen Ursprüngen, und führt zu Ideen wie sinnlose Topologie. Ein topos kann auch als ein spezifischer Typ der Kategorie mit zwei zusätzlichen topos Axiomen betrachtet werden.

Hintergrund

Die Studie von Kategorien ist ein Versuch axiomatisch zu gewinnen, was in verschiedenen Klassen von zusammenhängenden mathematischen Strukturen durch die Verbindung von ihnen mit den Struktur bewahrenden Funktionen zwischen ihnen allgemein gefunden wird. Eine systematische Studie der Kategorie-Theorie erlaubt uns dann, allgemeine Ergebnisse über einigen dieser Typen von mathematischen Strukturen von den Axiomen einer Kategorie zu beweisen.

Denken Sie das folgende Beispiel. Die Klasse Grp von Gruppen besteht aus allen Gegenständen, die eine "Gruppenstruktur" haben. Man kann fortfahren, Lehrsätze über Gruppen zu beweisen, indem man logische Abzüge vom Satz von Axiomen macht. Zum Beispiel wird es von den Axiomen sofort bewiesen, dass das Identitätselement einer Gruppe einzigartig ist.

Anstatt bloß auf die individuellen Gegenstände (z.B, Gruppen) das Besitzen einer gegebenen Struktur einzustellen, betont Kategorie-Theorie den morphisms - die Struktur-Bewahrung mappings - zwischen diesen Gegenständen; indem wir diese morphisms studieren, sind wir im Stande, mehr über die Struktur der Gegenstände zu erfahren. Im Fall von Gruppen sind die morphisms der Gruppenhomomorphismus. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen zwei Gruppen "bewahrt die Gruppenstruktur" in einem genauen Sinn - es ist ein "Prozess", der eine Gruppe einem anderen in einem Weg bringt, der entlang der Information über die Struktur der ersten Gruppe in die zweite Gruppe trägt. Die Studie des Gruppenhomomorphismus stellt dann ein Werkzeug zur Verfügung, um allgemeine Eigenschaften von Gruppen und Folgen der Gruppenaxiome zu studieren.

Ein ähnlicher Typ der Untersuchung kommt in vielen mathematischen Theorien vor, wie die Studie von dauernden Karten (morphisms) zwischen topologischen Räumen in der Topologie (wird die verbundene Kategorie Spitze genannt), und die Studie von glatten Funktionen (morphisms) in der mannigfaltigen Theorie.

Wenn axiomatizes Beziehungen statt Funktionen, man die Theorie von Allegorien erhält.

Functors

Wieder abstrahierend, ist eine Kategorie selbst ein Typ der mathematischen Struktur, so können wir nach "Prozessen" suchen, die diese Struktur in einem Sinn bewahren; solch ein Prozess wird einen functor genannt. Ein functor vereinigt zu jedem Gegenstand einer Kategorie einen Gegenstand einer anderen Kategorie, und zu jedem morphism in der ersten Kategorie ein morphism im zweiten.

Tatsächlich was wir getan haben, ist definieren eine Kategorie von Kategorien und functors - die Gegenstände sind Kategorien, und die morphisms (zwischen Kategorien) sind functors.

wir Kategorien und functors studieren, studieren wir nicht nur eine Klasse von mathematischen Strukturen und dem morphisms zwischen ihnen; wir studieren die Beziehungen zwischen verschiedenen Klassen von mathematischen Strukturen. Das ist eine grundsätzliche Idee, die zuerst in der algebraischen Topologie aufgetaucht ist. Schwierige topologische Fragen können in algebraische Fragen übersetzt werden, die häufig leichter sind zu lösen. Grundlegende Aufbauten, wie die grundsätzliche Gruppe oder grundsätzlicher groupoid eines topologischen Raums, können als grundsätzlicher functors zur Kategorie von groupoids auf diese Weise ausgedrückt werden, und das Konzept ist in der Algebra und seinen Anwendungen durchdringend.

Natürliche Transformation

Immer wieder abstrahierend, werden Aufbauten häufig" - ein vager Begriff auf den ersten Blick "natürlich verbunden. Das führt zum Erklären-Konzept der natürlichen Transformation, eine Weise, einen functor zu einem anderen "kartografisch darzustellen". Viele wichtige Aufbauten in der Mathematik können in diesem Zusammenhang studiert werden. "Naturality" ist ein Grundsatz wie allgemeine Kovarianz in der Physik, die tiefer schneidet, als am Anfang offenbar ist.

Historische Zeichen

In 1942-45 haben Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane Kategorien, functors, und natürliche Transformationen als ein Teil ihrer Arbeit in der Topologie, besonders algebraischer Topologie eingeführt. Ihre Arbeit war ein wichtiger Teil des Übergangs von der intuitiven und geometrischen Homologie bis axiomatische Homologie-Theorie. Eilenberg und Mac Lane haben später geschrieben, dass ihre Absicht war, natürliche Transformationen zu verstehen; um zu tun, musste das, functors definiert werden, der Kategorien verlangt hat.

Stanisław Ulam und etwas Schreiben in seinem Interesse, haben behauptet, dass verwandte Ideen gegen Ende der 1930er Jahre in Polen aktuell waren. Eilenberg war polnisch, und hat Mathematik in Polen in den 1930er Jahren studiert. Kategorie-Theorie ist auch, in einem Sinn, einer Verlängerung der Arbeit von Emmy Noether (einer der Lehrer der Mac Lane) im Formalisieren abstrakter Prozesse; Noether hat begriffen, dass, um einen Typ der mathematischen Struktur zu verstehen, man die Prozesse verstehen muss, die diese Struktur bewahren. Um dieses Verstehen zu erreichen, haben Eilenberg und die Mac Lane eine axiomatische Formalisierung der Beziehung zwischen Strukturen und den Prozessen vorgeschlagen, die sie bewahren.

Die nachfolgende Entwicklung der Kategorie-Theorie wurde zuerst durch die rechenbetonten Bedürfnisse nach der homological Algebra, und später durch die axiomatischen Bedürfnisse nach der algebraischen Geometrie, das Feld angetrieben, das gegen den niederlege entweder in der axiomatischen Mengenlehre oder in der Ansicht von Russell-Whitehead von vereinigten Fundamenten am widerstandsfähigsten ist. Allgemeine Kategorie-Theorie, eine Erweiterung der universalen Algebra, die viele neue Eigenschaften hat, semantische Flexibilität und höherwertige Logik berücksichtigend, ist später gekommen; es wird jetzt überall in der Mathematik angewandt.

Bestimmte Kategorien haben topoi genannt (einzigartiger topos) kann sogar als eine Alternative zur axiomatischen Mengenlehre als ein Fundament der Mathematik dienen. Diese foundational Anwendungen der Kategorie-Theorie sind im schönen Detail als eine Basis für, und Rechtfertigung, konstruktive Mathematik ausgearbeitet worden. Neuere Anstrengungen, Studenten in Kategorien als ein Fundament für die Mathematik vorzustellen, schließen William Lawvere und Rosebrugh (2003) und Lawvere und Stephen Schanuel (1997) ein.

Kategorische Logik ist jetzt ein bestimmtes Feld, das auf der Typ-Theorie für die intuitionistic Logik, mit Anwendungen in der funktionellen Programmierung und Bereichstheorie gestützt ist, wo eine kartesianische geschlossene Kategorie als eine nichtsyntaktische Beschreibung einer Lambda-Rechnung genommen wird. Zumindest, Kategorie theoretische Sprache klärt, was genau diese zusammenhängenden Gebiete gemeinsam (in einem Sinn) haben.

Kategorie-Theorie ist in anderen Feldern ebenso angewandt worden. Zum Beispiel hat John Baez eine Verbindung zwischen Diagrammen von Feynman in der Physik und den monoidal Kategorien gezeigt. Kategorien sind verwendet, um semantischen Inhalt (durch eine Gestalt bekannt als ologs) zu modellieren, und Beispiele in der Material-Wissenschaft beworben worden.

Kategorien, Gegenstände und morphisms

Eine Kategorie C besteht aus den folgenden drei mathematischen Entitäten:

• Eine Klasse ob (C), dessen Elemente Gegenstände genannt werden;
• Eine Klasse hom (C), dessen Elemente morphisms oder Karten oder Pfeile genannt werden. Jeder morphism f lässt eine einzigartige Quelle 'a und Zielgegenstand 'b protestieren. Der Ausdruck, würde wörtlich festgesetzt, weil "f ein morphism von bis b".The Ausdruck — wechselweise ausgedrückt als ist, oder