In der Mathematik hat sich eine Cauchyfolge, genannt nach Augustin-Louis Cauchy (ausgesprochen), ist eine Folge, deren Elemente willkürlich in der Nähe von einander werden, als die Folge fortschreitet. Genauer, in Anbetracht jeder kleinen positiven Entfernung, sind alle außer einer begrenzten Zahl der Elemente der Folge weniger als diese gegebene Entfernung von einander.

Das Dienstprogramm von Cauchyfolgen liegt in der Tatsache, dass in einem ganzen metrischen Raum (derjenige, wo, wie man bekannt, alle diese Folgen zu einer Grenze zusammenlaufen) das Kriterium für die Konvergenz nur zu den Begriffen der Folge selbst abhängt. Das wird häufig in Algorithmen ausgenutzt, sowohl theoretisch als auch angewandt, wo, wie man zeigen kann, ein wiederholender Prozess relativ leicht eine Cauchyfolge erzeugt, aus dem Wiederholen bestehend.

Die Begriffe sind oben nicht so fremd, wie sie zuerst erscheinen könnten. Die übliche Annahme der Tatsache, dass jede reelle Zahl x eine dezimale Vergrößerung hat, ist eine implizite Bestätigung, dass eine besondere Cauchyfolge von rationalen Zahlen (dessen Begriffe die aufeinander folgenden Stutzungen der dezimalen Vergrößerung von x sind) die echte Grenze x hat. In einigen Fällen kann es schwierig sein, x unabhängig von solch einem Begrenzungsprozess zu beschreiben, der mit rationalen Zahlen verbunden ist.

Generalisationen von Cauchyfolgen in abstrakteren gleichförmigen Räumen bestehen in der Form des Filters von Cauchy und Netzes von Cauchy.

In Reellen Zahlen

Eine Folge

:

reeller Zahlen wird Cauchy, wenn für jede positive reelle Zahl ε genannt, es gibt eine positive ganze Zahl N solch das für alle natürlichen Zahlen M, n> N

:

wo die vertikalen Bars den absoluten Wert anzeigen. Auf eine ähnliche Weise kann man Cauchyfolgen von rationalen oder komplexen Zahlen definieren. Cauchy hat solch eine Bedingung formuliert, indem er verlangt hat, um für jedes Paar der unendlichen M, n unendlich klein zu sein.

In einem metrischen Raum

Um Cauchyfolgen in jedem metrischen Raum X zu definieren, wird der absolute Wert durch die Entfernung ersetzt (wo d: X × X  R mit einigen spezifischen Eigenschaften, sieh Metrisch (Mathematik)) zwischen und.

Formell, in Anbetracht eines metrischen Raums (X, d), eine Folge

:

ist Cauchy, wenn für jede positive reelle Zahl ε> 0 es eine positive ganze Zahl N solch das für alle natürlichen Zahlen M, n> N, die Entfernung gibt

:

Grob sprechend, werden die Begriffe der Folge näher und näher zusammen in einem Weg, der darauf hinweist, dass die Folge eine Grenze in X haben sollte. Dennoch besteht solch eine Grenze innerhalb X nicht immer.

Vollständigkeit

Ein metrischer Raum X, in dem jede Cauchyfolge zu einem Element X zusammenläuft, wird abgeschlossen genannt.

Beispiele

Die reellen Zahlen sind abgeschlossen, und einer der Standardaufbauten der reellen Zahlen ist mit Cauchyfolgen von rationalen Zahlen verbunden.

Ein ziemlich verschiedener Typ des Beispiels wird durch einen metrischen Raum X gewährt, der das getrennte metrische hat (wo irgendwelche zwei verschiedenen Punkte in der Entfernung 1 von einander sind). Jede Cauchyfolge von Elementen X muss außer einem festen Punkt unveränderlich sein, und läuft zum sich schließlich wiederholenden Begriff zusammen.

Gegenbeispiel: rationale Zahlen

Die rationalen Zahlen Q sind (für die übliche Entfernung) nicht abgeschlossen:

Es gibt Folgen von rationals, die (in R) zu irrationalen Zahlen zusammenlaufen; das sind Cauchyfolgen, die keine Grenze in Q haben. Tatsächlich, wenn eine reelle Zahl x vernunftwidrig ist, dann gibt die Folge (x), dessen n-ter Begriff die Stutzung zu n dezimalen Plätzen der dezimalen Vergrößerung von x ist, eine Cauchyfolge von rationalen Zahlen mit der vernunftwidrigen Grenze x. Irrationale Zahlen bestehen sicher zum Beispiel:

• Die Folge, die dadurch definiert ist, besteht aus rationalen Zahlen (1, 3/2, 17/12...), der aus der Definition klar ist; jedoch läuft es zur vernunftwidrigen Quadratwurzel zwei zusammen, sieh babylonische Methode, Quadratwurzel zu schätzen.
• Die Folge von Verhältnissen von Konsekutivfibonacci-Zahlen der, wenn es überhaupt zusammenläuft, läuft zu einer Grenze-Zufriedenheit zusammen, und keine rationale Zahl hat dieses Eigentum. Wenn man das als eine Folge von reellen Zahlen jedoch betrachtet, läuft sie zur reellen Zahl, dem Goldenen Verhältnis zusammen, das vernunftwidrig ist.

Wie man

• bekannt, sind die Werte des Exponential-, Sinus und Kosinus-Funktionen, exp (x), Sünde (x), weil (x), für jeden vernünftigen Wert von x0 vernunftwidrig, aber jeder kann als die Grenze einer vernünftigen Cauchyfolge, des Verwendens, zum Beispiel, der Reihe von Maclaurin definiert werden.

Gegenbeispiel: offener Zwischenraum

Der offene Zwischenraum im Satz von reellen Zahlen mit einer gewöhnlichen Entfernung in R ist nicht ein ganzer Raum: Es gibt eine Folge darin, der Cauchy ist (für die willkürlich kleine Entfernung hat gebunden alle Begriffe dessen fügen den Zwischenraum ein), jedoch läuft in X nicht zusammen — seine 'Grenze', Nummer 0, gehört dem Raum X nicht.

Andere Eigenschaften

• Jede konvergente Folge (mit der Grenze s, sagen) ist eine Cauchyfolge, seitdem, in Anbetracht jeder reellen Zahl ε> 0, außer einem festen Punkt, jeder Begriff der Folge ist innerhalb der Entfernung ε/2 von s, so sind irgendwelche zwei Begriffe der Folge innerhalb der Entfernung ε von einander.
• Jede Cauchyfolge von echten (oder Komplex) Zahlen werden begrenzt (da für einen N alle Begriffe der Folge vom N-ten vorwärts innerhalb der Entfernung 1 von einander sind, und wenn M der größte absolute Wert der Begriffe bis zu und einschließlich des N-ten ist, dann hat kein Begriff der Folge absoluten Wert, der größer ist als M+1).
• In jedem metrischen Raum ist eine Cauchyfolge, die eine konvergente Subfolge mit der Grenze s hat, selbst (mit derselben Grenze), seitdem, in Anbetracht jeder reellen Zahl r> 0, außer einem festen Punkt in der ursprünglichen Folge konvergent, jeder Begriff der Subfolge ist innerhalb der Entfernung r/2 von s, und irgendwelche zwei Begriffe der ursprünglichen Folge sind innerhalb der Entfernung r/2 von einander, so ist jeder Begriff der ursprünglichen Folge innerhalb der Entfernung r von s.

Diese letzten zwei Eigenschaften, zusammen mit einem im Beweis des Bolzano-Weierstrass Lehrsatzes verwendeten Lemma, geben einen Standardbeweis der Vollständigkeit der reellen Zahlen nach, die nah sowohl mit dem Bolzano-Weierstrass Lehrsatz als auch mit dem Lehrsatz von Heine-Borel verbunden sind. Das Lemma in der Frage stellt fest, dass jede begrenzte Folge von reellen Zahlen eine konvergente Subfolge hat. In Anbetracht dieser Tatsache, jede Cauchyfolge von reellen Zahlen wird folglich begrenzt, hat eine konvergente Subfolge, folglich ist selbst konvergent. Es sollte aber bemerkt werden, dass dieser Beweis der Vollständigkeit der reellen Zahlen implizit vom am wenigsten oberen bestimmten Axiom Gebrauch macht. Die alternative Annäherung, die oben erwähnt ist, die reellen Zahlen als die Vollziehung der rationalen Zahlen zu bauen, macht die Vollständigkeit der reellen Zahlen tautologisch.

Eine der Standardillustrationen des Vorteils, mit Cauchyfolgen arbeitsfähig zu sein, und macht von der Vollständigkeit Gebrauch wird durch die Rücksicht der Summierung einer unendlichen Reihe von reellen Zahlen zur Verfügung gestellt

(oder, mehr allgemein, Elemente von irgendwelchem vollenden normed geradlinigen Raum oder Banachraum). Solch eine Reihe

wird betrachtet, konvergent zu sein, wenn, und nur wenn die Folge von teilweisen Summen, wo konvergent

ist

. Es ist eine alltägliche Sache

zu bestimmen, ob die Folge von teilweisen Summen Cauchy oder nicht, ist

seitdem für positive ganze Zahlen p> q,

:

Wenn eine gleichförmig dauernde Karte zwischen den metrischen Räumen ist, sind M und N und (x) eine Cauchyfolge in der M, sind dann eine Cauchyfolge in N. Wenn und zwei Cauchyfolgen in den vernünftigen, echten oder komplexen Zahlen sind, dann sind die Summe und das Produkt auch Cauchyfolgen.

Generalisationen

In topologischen Vektorräumen

Es gibt auch ein Konzept der Cauchyfolge für einen topologischen Vektorraum: Picken Sie eine lokale Basis für ungefähr 0 auf; dann ist eine Cauchyfolge wenn für alle Mitglieder dessen, es gibt ein numerieren solch dass wann auch immer

x_n - x_m </Mathematik> ist ein Element dessen. Wenn die Topologie dessen mit einer metrischen Übersetzung-invariant vereinbar ist, stimmen die zwei Definitionen zu.

In topologischen Gruppen

Da die topologische Vektorraum-Definition der Cauchyfolge nur verlangt, dass es eine dauernde "Subtraktions"-Operation gibt, kann es genauso gut im Zusammenhang einer topologischen Gruppe festgesetzt werden: Eine Folge in einer topologischen Gruppe ist eine Cauchyfolge, wenn für jede offene Nachbarschaft der Identität darin dort besteht, numerieren ein solch dass wann auch immer hieraus folgt dass. Als oben ist es genügend, das für die Nachbarschaft in jeder lokalen Basis der Identität darin zu überprüfen.

Als im Aufbau der Vollziehung eines metrischen Raums kann man außerdem die binäre Beziehung auf Cauchyfolgen darin definieren und ist gleichwertig, wenn dort für jede offene Nachbarschaft der Identität darin besteht, numerieren ein solch dass wann auch immer hieraus folgt dass. Diese Beziehung ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung. Genauer ist es reflexiv, da die Folgen Cauchyfolgen sind. Es ist symmetrisch, seit dem durch die Kontinuität des Gegenteils eine andere offene Nachbarschaft der Identität ist. Es ist seitdem transitiv

In Gruppen

Es gibt auch ein Konzept der Cauchyfolge in einer Gruppe:

Lassen Sie, eine abnehmende Folge von normalen Untergruppen vom begrenzten Index zu sein.

Dann, wie man sagt, ist eine Folge in Cauchy (w.r.t). wenn, und nur wenn für irgendwelchen dort dass solch ist.

Technisch ist das dasselbe Ding wie eine topologische Gruppencauchyfolge für eine besondere Wahl der Topologie auf, nämlich dass, für den eine lokale Basis ist.

Der Satz solcher Cauchyfolgen bildet eine Gruppe (für das componentwise Produkt), und der Satz von ungültigen Folgen (s.th). ist eine normale Untergruppe dessen. Die Faktor-Gruppe wird die Vollziehung in Bezug darauf genannt.

Man kann dann zeigen, dass diese Vollziehung zur umgekehrten Grenze der Folge isomorph ist.

Ein Beispiel dieses Aufbaus, der in der Zahlentheorie vertraut

ist

und algebraische Geometrie ist der Aufbau der p-adic Vollziehung der ganzen Zahlen in Bezug auf einen ersten p. In diesem Fall ist G die ganzen Zahlen unter der Hinzufügung, und H ist die zusätzliche Untergruppe, die aus Vielfachen der ganzen Zahl von p besteht.

Wenn eine cofinal Folge ist (d. h. jede normale Untergruppe des begrenzten Index enthält einige), dann ist diese Vollziehung im Sinn kanonisch, dass es zur umgekehrten Grenze dessen isomorph ist, wo sich über alle normalen Untergruppen des begrenzten Index ändert.

Für weitere Details, sieh ch. Ich 10 in "der Algebra" von Lang.

In der konstruktiven Mathematik

In der konstruktiven Mathematik müssen Cauchyfolgen häufig mit einem Modul der Konvergenz von Cauchy gegeben werden, um nützlich zu sein. Wenn eine Cauchyfolge im Satz ist, dann ist ein Modul der Konvergenz von Cauchy für die Folge eine Funktion vom Satz von natürlichen Zahlen zu sich, solch dass

Klar ist jede Folge mit einem Modul der Konvergenz von Cauchy eine Cauchyfolge. Das gegenteilige (dass jede Cauchyfolge ein Modul hat) folgt aus dem gut bestellenden Eigentum der natürlichen Zahlen (lassen Sie, in der Definition der Cauchyfolge kleinstmöglich zu sein, nehmend, um zu sein). Jedoch hält dieses gut bestellende Eigentum in der konstruktiven Mathematik nicht (es ist zum Grundsatz der ausgeschlossenen Mitte gleichwertig). Andererseits spricht das auch folgt (direkt) vom Grundsatz der abhängigen Wahl (tatsächlich, es wird aus dem schwächeren AC folgen), der allgemein von konstruktiven Mathematikern akzeptiert wird. So sind Module der Konvergenz von Cauchy direkt nur von konstruktiven Mathematikern erforderlich, die (wie Fred Richman) keine Form der Wahl verwenden möchten.

Das hat gesagt, das Verwenden eines Moduls der Konvergenz von Cauchy kann sowohl Definitionen als auch Lehrsätze in der konstruktiven Analyse vereinfachen. Vielleicht noch nützlicher sind regelmäßige Cauchyfolgen, Folgen mit einem gegebenen Modul der Konvergenz von Cauchy (gewöhnlich oder). Jede Cauchyfolge mit einem Modul der Konvergenz von Cauchy ist (im Sinn gleichwertig, der verwendet ist, um die Vollziehung eines metrischen Raums zu bilden), zu einer regelmäßigen Cauchyfolge; das kann bewiesen werden, ohne jede Form des Axioms der Wahl zu verwenden. Regelmäßige Cauchyfolgen wurden vom Errett Bischof in seinen Fundamenten der Konstruktiven Analyse verwendet, aber sie sind auch von Douglas Bridges in einem nichtkonstruktiven Lehrbuch (internationale Standardbuchnummer 978-0-387-98239-7) verwendet worden. Jedoch arbeitet Bridges auch an mathematischem constructivism; das Konzept hat sich weit außerhalb dieses Milieus nicht ausgebreitet.

In einem hyperechten Kontinuum

Eine echte Folge hat eine natürliche hyperechte Erweiterung, die für hypernatürliche Werte H vom Index n zusätzlich zum üblichen natürlichen n definiert ist. Die Folge ist Cauchy, wenn, und nur wenn für jeden unendlichen H und K, die Werte und ungeheuer, oder adequal, d. h. nah

sind:

wo "der St." die Standardteil-Funktion ist.

Siehe auch

• Weisen der Konvergenz (kommentierter Index)

• (für den Gebrauch in der konstruktiven Mathematik)