In der Vektor-Rechnung ist die Locke (oder rotovator) ein Vektor-Maschinenbediener, der die unendlich kleine Folge eines 3-dimensionalen Vektorfeldes beschreibt. An jedem Punkt im Feld wird die Locke dieses Feldes durch einen Vektoren vertreten. Die Attribute dieses Vektoren (Länge und Richtung) charakterisieren die Folge an diesem Punkt.

Die Richtung der Locke ist die Achse der Folge, wie bestimmt, durch die rechte Regel, und der Umfang der Locke ist der Umfang der Folge. Wenn das Vektorfeld die Fluss-Geschwindigkeit einer bewegenden Flüssigkeit vertritt, dann ist die Locke die Umlauf-Dichte der Flüssigkeit. Ein Vektorfeld, dessen Locke Null ist, wird rotationsfrei genannt.

Die Locke ist eine Form der Unterscheidung für Vektorfelder. Die entsprechende Form des Hauptsatzes der Rechnung ist der Lehrsatz von Stokes, der das Oberflächenintegral der Locke eines Vektorfeldes zur Linie verbindet, die des Vektorfeldes um die Grenzkurve integriert ist.

Der alternative Fachsprache-Rotor oder die alternativen und Rotationsnotationen lassen F verfaulen, und ×F werden häufig verwendet (der erstere besonders in vielen europäischen Ländern, der Letztere, mit dem del Maschinenbediener und dem Kreuzprodukt, wird in anderen Ländern mehr verwendet) für die Locke und Locke F.

Verschieden vom Anstieg und der Abschweifung verallgemeinert Locke einfach betreffs anderer Dimensionen nicht; einige Generalisationen sind möglich, aber nur in drei Dimensionen ist die geometrisch definierte Locke eines Vektorfeldes wieder ein Vektorfeld. Das ist ein ähnliches Phänomen als im 3 dimensionalen Kreuzprodukt, und die Verbindung wird in der Notation &times widerspiegelt; für die Locke.

Der Name "Locke" wurde zuerst von James Clerk Maxwell 1871 angedeutet.

Definition

Die Locke eines Vektorfeldes F, angezeigte Locke F oder ×F, an einem Punkt werden in Bezug auf seinen Vorsprung auf verschiedene Linien durch den Punkt definiert. Wenn ein Einheitsvektor ist, wird der Vorsprung der Locke von F darauf definiert, um der Begrenzungswert einer geschlossenen Linie zu sein, die in einem Flugzeug integriert ist, das dazu orthogonal ist, weil der im Integral verwendete Pfad unendlich klein in der Nähe vom Punkt wird, der durch das eingeschlossene Gebiet geteilt ist.

Als solcher stellt der Locke-Maschinenbediener C-Funktionen von R bis R zu C-Funktionen von R bis R. kartografisch dar

Implizit wird Locke definiert durch:

:

Hier ist eine Linie, die entlang der Grenze des fraglichen Gebiets integriert ist, und A ist der Umfang des Gebiets. Wenn ein äußeres instufigem normales Hinweisen ist, wohingegen die Einheitsvektor-Senkrechte zum Flugzeug ist (sieh Überschrift am Recht), dann wird die Orientierung von C gewählt, so dass eine Vektor-Tangente zu C wenn und nur wenn Formen eine positiv orientierte Basis für R (rechte Regel) positiv orientiert wird.

Die obengenannte Formel bedeutet, dass die Locke eines Vektorfeldes als die unendlich kleine Bereichsdichte des Umlaufs dieses Feldes definiert wird. Zu dieser Definition passend natürlich (i) Kelvin-schürt Lehrsatz, als eine globale Formel entsprechend der Definition, und (ii) das folgende "leicht, sich" Definition der Locke in orthogonalen krummlinigen Koordinaten, z.B in kartesianischen Koordinaten, kugelförmig, oder zylindrisch, oder sogar elliptisch oder Parabolical-Koordinaten einzuprägen:

:

Wenn (x, x, x) die Kartesianischen Koordinaten sind und (u, u, u) sind die krummlinigen Koordinaten, dann ist die Länge des Koordinatenvektoren entsprechend. Die restlichen zwei Bestandteile der Locke ergeben sich aus zyklischer Index-Versetzung: 3,1,2  1,2,3  2,3,1.

Intuitive Interpretation

Nehmen Sie an, dass das Vektorfeld das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeitsströmung beschreibt (vielleicht eine große Zisterne von Wasser oder Benzin) und ein kleiner Ball innerhalb der Flüssigkeit oder des Benzins (das Zentrum des Balls gelegen wird, der an einem bestimmten Punkt wird befestigt). Wenn der Ball eine raue Oberfläche hat, wird das Flüssigkeitsfließen vorbei daran ihn rotieren lassen. Die Drehachse (orientiert gemäß der Regel der rechten Hand) Punkte in der Richtung auf die Locke des Feldes am Zentrum des Balls und der winkeligen Geschwindigkeit der Folge ist Hälfte des Umfangs der Locke an diesem Punkt.

Gebrauch

In der Praxis wird die obengenannte Definition selten verwendet, weil in eigentlich allen Fällen der Locke-Maschinenbediener mit einem Satz von krummlinigen Koordinaten angewandt werden kann, für die einfachere Darstellungen abgeleitet worden sind.

Die Notation ×F hat seine Ursprünge in den Ähnlichkeiten zum 3 dimensionalen Kreuzprodukt, und es ist als ein mnemonischer in Kartesianischen Koordinaten nützlich, wenn wir  als ein Vektor-Differenzialoperator del nehmen. Solche Notation, die Maschinenbediener einbezieht, ist in der Physik und Algebra üblich. Wenn bestimmte Koordinatensysteme, zum Beispiel, polare-toroidal Koordinaten verwendet werden (üblich in der Plasmaphysik), wird das Verwenden der Notation ×F ein falsches Ergebnis nachgeben.

Ausgebreitet in Kartesianischen Koordinaten (sieh: Del in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten für kugelförmige und zylindrische Koordinatendarstellungen), ×F ist für F, der aus [F, F, F] zusammengesetzt ist:

:

{\\frac {\\teilweise} {\\teilweise x\} & {\\frac {\\teilweise} {\\teilweise y\} & {\\frac {\\teilweise} {\\teilweise z\} \\

\\F_x & F_y & F_z \end {vmatrix} </Mathematik>

wo ich, j, und k die Einheitsvektoren für den x-, y-, und Z-Äxte beziehungsweise sind. Das breitet sich wie folgt aus:

:

Obwohl ausgedrückt, in Bezug auf Koordinaten ist das Ergebnis invariant unter richtigen Folgen der Koordinatenäxte, aber der umgekehrten Ergebnis-Bogen unter dem Nachdenken.

In einem allgemeinen Koordinatensystem wird die Locke durch gegeben

:

wo ε das Symbol von Levi-Civita anzeigt, wird der metrische Tensor verwendet, um den Index auf F zu senken, und die Summierungstagung von Einstein deutet an, dass wiederholte Indizes summiert werden. Gleichwertig,

:

wo e die Koordinatenvektorfelder sind. Gleichwertig, mit der Außenableitung, kann die Locke als ausgedrückt werden:

:

Hier und sind der Musikisomorphismus, und ist der Doppel-Hodge. Diese Formel zeigt, wie man die Locke von F in jedem Koordinatensystem berechnet, und wie man die Locke zu jeder orientierten dreidimensionalen Sammelleitung von Riemannian erweitert. Da das von einer Wahl der Orientierung abhängt, ist Locke eine chiral Operation. Mit anderen Worten, wenn die Orientierung umgekehrt wird, dann wird die Richtung der Locke auch umgekehrt.

Beispiele

Ein einfaches Vektorfeld

Nehmen Sie das Vektorfeld, das von x und y geradlinig abhängt:

:

Sein Anschlag sieht wie das aus:

Einfach durch die Sichtprüfung können wir sehen, dass das Feld rotiert. Wenn wir ein Paddel-Rad irgendwohin legen, sehen wir sofort seine Tendenz, im Uhrzeigersinn zu rotieren. Mit der rechten Regel nehmen wir an, dass die Locke in die Seite ist. Wenn wir ein rechtshändiges Koordinatensystem behalten sollen, in die Seite wird in der negativen z Richtung sein. Der Mangel an x und y Richtungen ist der Kreuzprodukt-Operation analog.

Wenn wir die Locke berechnen:

:</Mathematik>

Der tatsächlich in der negativen z Richtung, wie erwartet, ist. In diesem Fall ist die Locke wirklich eine Konstante ohne Rücksicht auf die Position. Der "Betrag" der Folge im obengenannten Vektorfeld ist dasselbe an jedem Punkt (x, y). Das Plotten der Locke von F ist nicht sehr interessant:

Ein beteiligteres Beispiel

Nehmen Sie an, dass wir jetzt ein ein bisschen mehr kompliziertes Vektorfeld denken:

:

Sein Anschlag:

Wir könnten keine Folge am Anfang sehen, aber wenn wir nah auf das Recht schauen, sehen wir ein größeres Feld an, sagen wir, x=4 als an x=3. Intuitiv, wenn wir ein kleines Paddel-Rad dorthin legen würden, würde der größere "Strom" auf seiner richtigen Seite das Stapelrad veranlassen, im Uhrzeigersinn zu rotieren, der einer Locke in der negativen z Richtung entspricht. Im Vergleich, wenn wir auf einen Punkt links schauen und ein kleines Paddel-Rad dorthin gelegt haben, würde der größere "Strom" auf seiner linken Seite das Stapelrad veranlassen, gegen den Uhrzeigersinn zu rotieren, der einer Locke in der positiven z Richtung entspricht. Wollen wir unsere Annahme überprüfen, indem Sie die Mathematik tun:

:</Mathematik>

Tatsächlich ist die Locke in der positiven z Richtung für negativen x und in der negativen z Richtung für positiven x, wie erwartet. Da diese Locke nicht dasselbe an jedem Punkt ist, ist sein Anschlag ein bisschen interessanter:

Wir bemerken, dass der Anschlag dieser Locke keine Abhängigkeit von y oder z hat (wie es gesollt hat nicht) und in der negativen z Richtung für positiven x und in der positiven z Richtung für negativen x ist.

Identität

Denken Sie das Beispiel  [v F]. Mit Kartesianischen Koordinaten kann ihm das gezeigt werden

::

Im Fall, wo das Vektorfeld v und der  ausgewechselt werden:

::

der die Subschrift-Notation von Feynman  einführt, was bedeutet, dass der subscripted Anstieg nur auf dem Faktor F funktioniert.

Ein anderes Beispiel ist  [ F]. Mit Kartesianischen Koordinaten kann es dass gezeigt werden:

::

der als ein spezieller Fall des vorherigen Beispiels mit dem Ersatz v   analysiert werden kann.

(Zeichen: Vertritt im Fall, der Vektor, der durch den individuellen laplacian jedes Bestandteils des fraglichen Vektoren gebildet ist)

,

Die Locke des Anstiegs jedes Skalarfeldes ist immer der Nullvektor:

::

Wenn geschätzte Funktion eines Skalars ist und F ein Vektorfeld, dann ist

::

Beschreibende Beispiele

• In einem Vektorfeld, das die geradlinigen Geschwindigkeiten jedes Teils einer rotierenden Platte beschreibt, hat die Locke denselben Wert an allen Punkten.
• Der Gleichungen von vier Maxwell können zwei-Faraday's Gesetz und das Gesetz von Ampère - mit der Locke kompakt ausgedrückt werden. Das Gesetz von Faraday stellt fest, dass die Locke eines elektrischen Feldes dem Gegenteil der Zeitrate der Änderung des magnetischen Feldes gleich ist, während das Gesetz von Ampère die Locke des magnetischen Feldes zum Strom und der Rate der Änderung des elektrischen Feldes verbindet.

Generalisationen

Die Vektor-Rechnungsoperationen des Studenten im Aufbaustudium, der Locke und div werden am leichtesten verallgemeinert und im Zusammenhang von Differenzialformen verstanden, der mehrere Schritte einschließt. In einer Nussschale entsprechen sie den Ableitungen von 0 Formen, 1 Formen und 2 Formen beziehungsweise. Die geometrische Interpretation der Locke als Folge entspricht dem Identifizieren bivectors (2 Vektoren) in 3 Dimensionen mit der speziellen orthogonalen Lüge-Algebra von unendlich kleinen Folgen (in Koordinaten, verdrehen Sie - symmetrisch 3&times;3 matrices), während das Darstellen von Folgen durch Vektoren dem Identifizieren von 1 Vektoren (gleichwertig, 2 Vektoren) und dieser ganzer entspricht, 3-dimensionale Räume seiend.

Differenzialformen

In 3 Dimensionen ist ein 0-Formen-Differenzial einfach eine Funktion; eine unterschiedliche 1 Form ist der folgende Ausdruck: Ein 2-Formen-Differenzial ist die formelle Summe: Und ein 3-Formen-Differenzial wird durch einen einzelnen Begriff definiert: (Hier sind Koeffizienten echte Funktionen; die "Keil-Produkte", kann z.B als eine Art orientierte Bereichselemente, usw. interpretiert werden) Die Außenableitung einer K-Form darin wird als - Form von oben definiert (und in wenn, z.B,

So den Raum von K-Formen durch und der Außenableitung durch d anzeigend, bekommt man eine Folge:

:

Hier ist der Raum von Abteilungen des Außenalgebra-Vektor-Bündels über R, dessen Dimension der binomische Koeffizient ist, bemerken das für oder

:

die 1-dimensionalen Fasern entsprechen Funktionen und den 3-dimensionalen Fasern zu Vektorfeldern, wie beschrieben, unten. Bemerken Sie, dass modulo passende Identifizierungen, die drei nichttrivialen Ereignisse der Außenableitung Studenten im Aufbaustudium, Locke und div entsprechen.

Differenzialformen und das Differenzial können auf jedem Euklidischen Raum, oder tatsächlich jeder Sammelleitung ohne jeden Begriff von metrischem Riemannian definiert werden. Auf einer Sammelleitung von Riemannian, oder mehr allgemein pseudo-Riemannian Sammelleitung können K-Formen mit K-Vektorfeldern identifiziert werden (K-Formen sind k-covector Felder, und ein pseudo-Riemannian metrischer gibt einen Isomorphismus zwischen Vektoren und covectors), und auf einem orientierten Vektorraum mit einer nichtdegenerierten Form (ein Isomorphismus zwischen Vektoren und covectors), es gibt einen Isomorphismus zwischen K-Vektoren und - Vektoren; insbesondere auf (der Tangente-Raum) eine orientierte Pseudo-Riemannian-Sammelleitung. So auf einer orientierten Pseudo-Riemannian-Sammelleitung kann man K-Formen, K-Vektorfelder, - Formen, und - Vektorfelder auswechseln; das ist als Dualität von Hodge bekannt. Durch konkret, darauf wird gegeben:

• 1 Formen und 1 Vektorfelder: Die 1 Form entspricht dem Vektorfeld
• 1 Formen und 2 Formen: Man ersetzt durch die "Doppel"-Menge (d. h., lassen Sie dx weg), und ebenfalls, auf die Orientierung aufpassend: Entspricht und entspricht So der Form entspricht der "Doppelform"

So, 0 Formen und 3 Formen mit Funktionen, und 1 Formen und 2 Formen mit Vektorfeldern identifizierend:

• Student im Aufbaustudium nimmt eine Funktion, die zu einem Vektorfeld (1 Form) (0-Formen-) ist;
• Locke nimmt ein Vektorfeld (1 Form) zu einem (2-Formen-) Vektorfeld;
• div nimmt ein Vektorfeld, das zu einer Funktion (3-Formen-) (2-Formen-)

ist

Andererseits die Tatsache, die der Identität und für jede Funktion oder Vektorfeld entspricht

Student im Aufbaustudium und div verallgemeinern zu allen hat Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen mit derselben geometrischen Interpretation orientiert, weil die Räume von 0 Formen und N-Formen immer (fiberwise) 1-dimensional sind und mit Skalarfunktionen identifiziert werden können, während die Räume von 1 Formen und - Formen immer fiberwise n-dimensional sind und mit Vektorfeldern identifiziert werden können.

Locke verallgemeinert auf diese Weise zu 4 oder mehr Dimensionen (oder unten zu 2 oder weniger Dimensionen) nicht; in 4 Dimensionen sind die Dimensionen

:

so ist die Locke eines 1 Vektorfeldes (fiberwise 4-dimensional) ein 2 Vektorfeld, das 6-dimensional fiberwise ist (man hat

Jedoch kann man eine Locke eines Vektorfeldes als ein 2 Vektorfeld im Allgemeinen, wie beschrieben, unten definieren.

Locken Sie sich geometrisch

2 Vektoren entsprechen der Außenmacht in Gegenwart von einem Skalarprodukt in Koordinaten das ist das Verdrehen - symmetrische matrices, die als die spezielle orthogonale Lüge-Algebra von unendlich kleinen Folgen geometrisch betrachtet werden. Das hat Dimensionen, und erlaubt, das Differenzial eines 1 Vektorfeldes als seine unendlich kleinen Folgen zu interpretieren. Nur in 3 Dimensionen (oder trivial in 0 Dimensionen) ist, der der eleganteste und allgemeine Fall ist. ist In 2 Dimensionen die Locke eines Vektorfeldes ist nicht ein Vektorfeld, aber eine Funktion, weil 2-dimensionale Folgen durch einen Winkel gegeben werden (ein Skalar - ist eine Orientierung erforderlich zu wählen, ob man im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn Folgen als positiv zählt); bemerken Sie, dass das nicht der div ist, aber darauf ziemlich rechtwinklig ist. In 3 Dimensionen ist die Locke eines Vektorfeldes ein Vektorfeld, wie vertraut ist (in 1 und 0 die Locke eines Vektorfeldes dimensioniert, ist 0, weil es keine nichttrivialen 2 Vektoren gibt), während in 4 Dimensionen die Locke eines Vektorfeldes, geometrisch, an jedem Punkt ein Element der 6-dimensionalen Lüge-Algebra ist

Bemerken Sie auch, dass die Locke eines 3-dimensionalen Vektorfeldes, das nur von 2 Koordinaten abhängt (sagen x, y), einfach ein vertikales Vektorfeld ist (in der z Richtung), wessen Umfang die Locke des 2-dimensionalen Vektorfeldes, als in den Beispielen auf dieser Seite ist.

Wenn man

Locke weil betrachtet, ist ein 2 Vektorfeld (ein antisymmetrischer 2-Tensor-) verwendet worden, um Vektor-Rechnung und vereinigte Physik zu höheren Dimensionen zu verallgemeinern.

Siehe auch

• Del
• Anstieg
• Abschweifung
• Nabla in zylindrischen und kugelförmigen Koordinaten
• Vorticity
• Kreuzprodukt
• Zergliederung von Helmholtz

Referenzen

• Arfken, George B. und Hans J. Weber. Mathematische Methoden Für Physiker, Akademische Presse; 6 Ausgabe (am 21. Juni 2005). Internationale Standardbuchnummer 978-0120598762.

Außenverbindungen

• Die Idee von der Locke eines Vektorfeldes
• Locken Sie BetterExplained