In der Mathematik ist der Cantor untergegangen ist eine Reihe von Punkten, die auf einem einzelnen Liniensegment liegt, das mehrere bemerkenswerte und tiefe Eigenschaften hat. Es wurde 1875 von Henry John Stephen Smith entdeckt und vom deutschen Mathematiker Georg Cantor 1883 eingeführt.

Durch die Rücksicht davon haben Kantor und andere geholfen, die Fundamente der modernen allgemeinen Topologie zu legen. Obwohl Kantor selbst den Satz auf eine allgemeine, abstrakte Weise definiert hat, ist der allgemeinste moderne Aufbau der Kantor dreifältiger Satz, der durch das Entfernen der Mitte-Drittel eines Liniensegmentes gebaut ist. Kantor selbst hat nur den dreifältigen Aufbau im Vorbeigehen, als ein Beispiel einer allgemeineren Idee, dieser eines vollkommenen Satzes erwähnt, der nirgends dicht ist.

Aufbau und Formel des dreifältigen Satzes

Der Kantor dreifältiger Satz wird geschaffen, indem er die offenen Mitte-Drittel von einer Reihe von Liniensegmenten wiederholt löscht. Man fängt an, indem man das offene mittlere Drittel vom Zwischenraum [0, 1] löscht, zwei Liniensegmente verlassend: [0],  [1]. Dann wird das offene mittlere Drittel von jedem dieser restlichen Segmente gelöscht, vier Liniensegmente verlassend: [0],  []  []  [1]. Dieser Prozess wird ad infinitum, wo der n-te Satz fortgesetzt

:

Dreifältiger Satz des Kantoren enthält alle Punkte im Zwischenraum [0, 1], die an keinem Schritt in diesem unendlichen Prozess gelöscht werden.

Die ersten sechs Schritte dieses Prozesses werden unten illustriert.

Eine ausführliche Formel für den Kantor-Satz ist

:

Lassen Sie uns bemerken, dass diese Beschreibung des Kantor-Satzes die Ergänzung des Kantor-Satzes genau seit den Sätzen nicht charakterisiert, die durch die Formel gegeben sind

:sind

nicht zusammenhanglos.

Der Beweis der Formel wird oben durch die Idee von Selbstähnlichkeitstransformationen getan und kann im Detail gefunden werden.

Zusammensetzung

Da der Kantor-Satz als der Satz von nicht ausgeschlossenen Punkten definiert wird, kann das Verhältnis (d. h., Maß) des restlichen Einheitszwischenraums durch die entfernte Gesamtlänge gefunden werden. Diese Summe ist der geometrische Fortschritt

:

So dass das verlassene Verhältnis 1 - 1 = 0 ist.

(Intuitiv konnte man sich die geometrische Reihe als seiend 3 Grunddezimalzahlen vorstellen, so dass das 0.2222... Wiederholen 1, ebenso in der Basis 10 gleich ist, ist das 0.999... Wiederholen 1 gleich.)

Diese Berechnung zeigt, dass der Kantor-Satz keinen Zwischenraum der Nichtnulllänge enthalten kann. Tatsächlich kann es überraschend scheinen, dass es noch etwas - schließlich geben sollte, ist die Summe der Längen der entfernten Zwischenräume der Länge des ursprünglichen Zwischenraums gleich. Jedoch offenbart ein näherer Blick auf den Prozess, dass es etwas Verlassenes, seit dem Entfernen des "mittleren Drittels" jedes beteiligten Zwischenraums geben muss, offene Sätze entfernend (Sätze, die ihre Endpunkte nicht einschließen). So lässt das Entfernen des Liniensegmentes (/,/) vom ursprünglichen Zwischenraum [0, 1] die Punkte / und / zurück. Nachfolgende Schritte entfernen diese (oder anderer) Endpunkte nicht, da die entfernten Zwischenräume immer zu den restlichen Zwischenräumen inner sind. So ist der Kantor untergegangen, ist nicht leer, und enthält tatsächlich eine unendliche Zahl von Punkten.

Es kann scheinen, dass nur die Endpunkte verlassen werden, aber das ist nicht der Fall auch. Die Nummer 1/4 ist zum Beispiel im untersten Drittel, so wird es am ersten Schritt nicht entfernt, und ist im Spitzendrittel des untersten Drittels, und ist im untersten Drittel davon, und im Spitzendrittel davon, das und so weiter zwischen Spitze und untersten Dritteln ad infinitum abwechselnd ist. Da es nie in einem der Mitte-Drittel ist, wird es nie entfernt, und noch ist es auch nicht einer der Endpunkte jedes mittleren Drittels. Die Nummer 3/10 ist auch im Kantor-Satz und ist nicht ein Endpunkt.

Im Sinne cardinality sind die meisten Mitglieder des Kantor-Satzes nicht Endpunkte von gelöschten Zwischenräumen.

Eigenschaften

Cardinality

Es kann gezeigt werden, dass es so viele in diesem Prozess zurückgelassene Punkte gibt, wie es gab, wurde das entfernt, und dass deshalb der Kantor-Satz unzählbar ist. Um das zu sehen, zeigen wir, dass es eine Funktion f vom Kantor-Satz-C bis den geschlossenen Zwischenraum [0,1] gibt, der surjective ist (d. h. F-Karten von C auf [0,1]), so dass der cardinality von C nicht weniger ist als dieser [0,1]. Da C eine Teilmenge [0,1] ist, ist sein cardinality auch nicht größer, so müssen die zwei cardinalities tatsächlich durch den Cantor-Bernstein-Schroeder Lehrsatz gleich sein.

Um diese Funktion zu bauen, denken Sie die Punkte in [0, 1] Zwischenraum in Bezug auf die Basis 3 (oder dreifältig) Notation.

Rufen Sie zurück, dass einige Punkte mehr als eine Darstellung in dieser Notation, bezüglich des Beispiels / zulassen, der als 0.1 sondern auch als 0.022222..., und / geschrieben werden kann, der als 0.2 sondern auch als 0.12222 geschrieben werden kann....

(Diese alternative wiederkehrende Darstellung einer Zahl mit einer endenden Ziffer kommt in jedem Stellungssystem vor.)

Wenn wir das mittlere Drittel entfernen, enthält das die Zahlen mit dreifältigen Ziffern der Form 0.1xxxxx..., wo xxxxx... ausschließlich zwischen 00000... und 22222 ist.... So die Zahlen, die nachdem bleiben, besteht der erste Schritt aus

• Zahlen der Form 0.0xxxxx...
• / = 0.1 = 0.022222...
• / = 0.122222... = 0.2
• Zahlen der Form 0.2xxxxx....

Das kann durch den Ausspruch zusammengefasst werden, dass jene Zahlen, die eine dreifältige solche Darstellung zulassen, dass die erste Ziffer nach dem dezimalen Punkt nicht 1 ist, diejenigen sind, nach dem ersten Schritt bleibend.

Der zweite Schritt entfernt Zahlen der Form 0.01xxxx... und 0.21xxxx..., und (mit der passenden Sorge für die Endpunkte) kann es beschlossen werden, dass die restlichen Zahlen diejenigen mit einer dreifältigen Ziffer sind, deren zuerst zwei Ziffern nicht 1 sind. Auf diese Weise für eine am Schritt n nicht auszuschließende Zahl fortsetzend, muss es eine dreifältige Darstellung haben, deren n-te Ziffer nicht 1 ist. Für eine Zahl, um im Kantor-Satz zu sein, muss es an keinem Schritt ausgeschlossen werden, es muss eine Ziffer-Darstellung zulassen, die völlig aus 0s und 2s besteht. Es lohnt sich zu betonen, dass Zahlen wie 1, / = 0.1 und / = 0.21 im Kantor-Satz sind, weil sie dreifältige Ziffern haben, die völlig aus 0s und 2s bestehen: 1 = 0.2222..., / = 0.022222... und / = 0.2022222.... So, während eine Zahl in C entweder ein Enden oder eine wiederkehrende dreifältige Ziffer haben kann, wird eine seiner Darstellungen völlig aus 0s und 2s bestehen.

Es ist vermutet worden, dass alle algebraischen irrationalen Zahlen normal sind. Da Mitglieder des Kantor-Satzes nicht normal sind, würde das andeuten, dass alle Mitglieder des Kantor-Satzes entweder vernünftig oder transzendental sind.

Die Funktion von C bis [0,1] wird durch die Einnahme der Ziffer definiert, die wirklich völlig aus 0s und 2s besteht, ganz 2s durch 1s ersetzend, und die Folge als eine binäre Darstellung einer reellen Zahl interpretierend. In einer Formel,

:

Für jede Nummer y in [0,1] kann seine binäre Darstellung in eine dreifältige Darstellung einer Nummer x in C durch das Ersetzen ganz 1s durch 2s übersetzt werden. Damit, f (x) = y, so dass y im Rahmen f ist. Zum Beispiel, wenn y = / = 0.100110011001..., wir x = 0.200220022002... = / schreiben. Folglich ist f surjective; jedoch ist f nicht injective - interessanterweise genug, die Werte, für die f (x) zusammenfällt, sind diejenigen an gegenüberliegenden Enden von einem der entfernten Mitte-Drittel. Zum Beispiel, / = 0.2022222... und / = 0.2200000... so f (/) = 0.101111... = 0.11 = f (/).

Also gibt es so viele Punkte im Kantor-Satz, wie es in [0, 1] gibt, und der Kantor-Satz unzählbar ist (sieh das diagonale Argument des Kantoren). Jedoch ist der Satz von Endpunkten der entfernten Zwischenräume zählbar, also muss es unzählbar viele Zahlen im Kantor-Satz geben, die nicht Zwischenraum-Endpunkte sind. Wie bemerkt, oben ist ein Beispiel solch einer Zahl ¼, der als 0.02020202020... in der dreifältigen Notation geschrieben werden kann.

Der Kantor ist untergegangen enthält so viele Punkte wie der Zwischenraum, von dem es genommen wird, noch selbst enthält keinen Zwischenraum. Die irrationalen Zahlen haben dasselbe Eigentum, aber der Kantor-Satz hat das zusätzliche Eigentum davon, geschlossen zu werden, so ist es in jedem Zwischenraum verschieden von den irrationalen Zahlen nicht sogar dicht, die in jedem Satz von reellen Zahlen dicht sind.

Selbstähnlichkeit

Der Kantor ist untergegangen ist der Prototyp eines fractal. Es ist selbstähnlich, weil es zwei Kopien von sich gleich ist, wenn jede Kopie durch einen Faktor 3 zusammenschrumpfen gelassen und übersetzt wird. Genauer gibt es zwei Funktionen, den verlassenen und die richtigen Selbstähnlichkeitstransformationen, und, die abreisen, hat der Kantor invariant bis zu homeomorphism gesetzt:

Wiederholte Wiederholung dessen und kann als ein unendlicher binärer Baum vergegenwärtigt werden. D. h. an jedem Knoten des Baums kann man den Subbaum nach links oder nach rechts denken. Einnahme des Satzes zusammen mit der Funktionszusammensetzung bildet einen monoid, den dyadischen monoid.

Die automorphisms des binären Baums sind seine Hyperbelfolgen, und werden von der Modulgruppe gegeben. So ist der Kantor untergegangen ist ein homogener Raum im Sinn, dass für irgendwelche zwei Punkte und im Kantor-Satz, dort ein homeomorphism damit besteht. Diese homeomorphisms können ausführlich als Transformationen von Mobius ausgedrückt werden.

Die Hausdorff Dimension des Kantor-Satzes ist ln (2)/ln (3) = Klotz (2) gleich.

Topologische und analytische Eigenschaften

Da sich das obengenannte Summierungsargument zeigt, ist der Kantor-Satz unzählbar, aber lässt Lebesgue 0 messen. Da der Kantor-Satz die Ergänzung einer Vereinigung von offenen Sätzen ist, ist es selbst eine geschlossene Teilmenge des reals, und deshalb ein ganzer metrischer Raum. Da es auch völlig begrenzt wird, sagt der Lehrsatz von Heine-Borel, dass es kompakt sein muss.

Für jeden Punkt im Kantor-Satz und jeder willkürlich kleinen Nachbarschaft des Punkts gibt es eine andere Zahl mit einer dreifältigen Ziffer nur 0s und 2s, sowie Zahlen, deren dreifältige Ziffern 1s enthalten. Folglich ist jeder Punkt im Kantor-Satz ein Anhäufungspunkt (auch hat einen Traube-Punkt oder Grenze-Punkt genannt) des Kantor-Satzes, aber niemand ist ein Innenpunkt. Ein geschlossener Satz, in dem jeder Punkt ein Anhäufungspunkt ist, wird auch einen vollkommenen Satz in der Topologie genannt, während eine geschlossene Teilmenge des Zwischenraums ohne Innenpunkte im Zwischenraum nirgends dicht ist.

Jeder Punkt des Kantor-Satzes ist auch ein Anhäufungspunkt der Ergänzung des Kantor-Satzes.

Für irgendwelche zwei Punkte im Kantor-Satz wird es eine dreifältige Ziffer geben, wo sie sich unterscheiden - wird man 0 und die anderen 2 haben. Durch das Aufspalten des Kantoren geht in "Hälften" abhängig vom Wert dieser Ziffer unter, man erhält eine Teilung des Kantor-Satzes in zwei geschlossene Sätze, die die ursprünglichen zwei Punkte trennen. In der Verhältnistopologie auf dem Kantor-Satz sind die Punkte durch einen Clopen-Satz getrennt worden. Folglich ist der Kantor untergegangen wird völlig getrennt. Als ein völlig getrennter Kompaktraum von Hausdorff ist der Kantor untergegangen ist ein Beispiel eines Steinraums.

Als ein topologischer Raum ist der Kantor untergegangen ist natürlich homeomorphic zum Produkt von zählbar vielen Kopien des Raums, wohin jede Kopie die getrennte Topologie trägt. Das ist der Raum aller Folgen in zwei Ziffern

:

der auch mit dem Satz von 2-adic ganzen Zahlen identifiziert werden kann. Die Basis für die offenen Sätze der Produkttopologie ist Zylindersätze; der homeomorphism stellt diese zur Subraumtopologie kartografisch dar, die der Kantor-Satz von der natürlichen Topologie auf der Linie der reellen Zahl erbt. Diese Charakterisierung des Kantor-Raums als ein Produkt von Kompakträumen gibt einen zweiten Beweis, dass Kantor-Raum über den Lehrsatz von Tychonoff kompakt ist.

Von der obengenannten Charakterisierung ist der Kantor untergegangen ist homeomorphic zu den p-adic ganzen Zahlen, und, wenn ein Punkt davon zu den p-adic Zahlen entfernt wird.

Der Kantor ist untergegangen ist eine Teilmenge der reals, die ein metrischer Raum in Bezug auf die gewöhnliche metrische Entfernung sind; deshalb hat der Kantor gesetzt ist ein metrischer Raum, durch das Verwenden dass dasselbe metrisch. Wechselweise kann man das p-adic metrische verwenden auf: In Anbetracht zwei Folgen ist die Entfernung zwischen ihnen, wo der kleinste solcher Index dass ist; wenn es keinen solchen Index gibt, dann sind die zwei Folgen dasselbe, und man definiert die Entfernung, um Null zu sein. Diese zwei Metrik erzeugt dieselbe Topologie auf dem Kantoren, gehen unter.

Wir haben gesehen, über dem der Kantor-Satz ein völlig getrennter vollkommener metrischer Kompaktraum ist. Tatsächlich gewissermaßen ist es das einzige: Jeder nichtleere völlig getrennte vollkommene metrische Kompaktraum ist homeomorphic zum Kantor-Satz. Sieh, dass Kantor-Raum für mehr auf Räumen homeomorphic dem Kantoren untergegangen ist.

Der Kantor ist untergegangen wird manchmal als "universal" in der Kategorie von metrischen Kompakträumen betrachtet, da jeder metrische Kompaktraum ein dauerndes Image des Kantor-Satzes ist; jedoch ist dieser Aufbau nicht einzigartig, und so ist der Kantor-Satz im genauen kategorischen Sinn nicht universal. Das "universale" Eigentum hat wichtige Anwendungen in der Funktionsanalyse, wo es manchmal als der Darstellungslehrsatz für metrische Kompakträume bekannt ist.

Für q eine ganze Zahl ist die Topologie auf G=Z (die zählbare direkte Summe) getrennt. Obwohl die Doppelgruppe Γ auch Z ist, ist die Topologie von Γ kompakt. Man kann sehen, dass Γ völlig getrennt und vollkommen wird - so ist es homeomorphic zum Kantor-Satz. Es ist am leichtesten, den homeomorphism ausführlich im Fall q=2 auszuschreiben. (Sieh Rudin 1962 p 40.)

Maß und Wahrscheinlichkeit

Der Kantor ist untergegangen kann als die Kompaktgruppe von binären Folgen, und als solcher gesehen werden, es ist mit einem natürlichen Maß von Haar ausgestattet. Wenn normalisiert, so dass das Maß des Satzes 1 ist, ist es ein Modell einer unendlichen Folge des Münzwerfens. Außerdem kann man zeigen, dass das übliche Maß von Lebesgue auf dem Zwischenraum ein Image des Maßes von Haar auf dem Kantor-Satz ist, während die natürliche Einspritzung in den dreifältigen Satz ein kanonisches Beispiel eines einzigartigen Maßes ist. Es kann auch gezeigt werden, dass das Maß von Haar ein Image jeder Wahrscheinlichkeit ist, den Kantoren lassend, einen universalen Wahrscheinlichkeitsraum in mancher Hinsicht setzen.

Varianten

Smith-Volterra-Cantor ist untergegangen

Anstatt das mittlere Drittel jedes Stückes als im Kantoren wiederholt zu entfernen, geht unter, wir konnten auch fortsetzen, jeden anderen festen Prozentsatz (anders zu entfernen, als 0 % und 100 %) von der Mitte. Im Fall, wohin die Mitte / des Zwischenraums entfernt wird, bekommen wir einen bemerkenswert zugänglichen Fall - der Satz besteht aus allen Zahlen in [0,1], der als eine Dezimalzahl geschrieben werden kann, die völlig aus 0s und 9s besteht.

Indem

man progressiv kleinere Prozentsätze der restlichen Stücke in jedem Schritt entfernt, kann man auch Sätze homeomorphic zum Kantor-Satz bauen, die positiven Lebesgue messen lassen, noch nirgends dicht seiend. Sieh Smith-Volterra-Cantor für ein Beispiel untergehen.

Kantor-Staub

Kantor-Staub ist eine mehrdimensionale Version des Kantor-Satzes. Es kann durch die Einnahme eines begrenzten Kartesianischen Produktes des Kantor-Satzes mit sich, das Bilden davon einen Kantor-Raum gebildet werden. Wie der Kantor-Satz hat Kantor-Staub Nullmaß.

Eine verschiedene 2. Entsprechung des Kantor-Satzes ist der Teppich von Sierpinski, wo ein Quadrat in neun kleinere Quadrate und das mittlere entfernte zerteilt wird. Die restlichen Quadrate werden dann weiter in neun jeder und die Mitte entfernt und so weiter ad infinitum geteilt. Die 3D-Entsprechung davon ist der Schwamm von Menger.

Historische Bemerkungen

Kantor selbst hat den Satz auf eine allgemeine, abstrakte Weise definiert, und hat den dreifältigen Aufbau nur im Vorbeigehen, als ein Beispiel einer allgemeineren Idee, dieser eines vollkommenen Satzes erwähnt, der nirgends dicht ist. Das ursprüngliche Papier stellt mehrere verschiedene Aufbauten des abstrakten Konzepts zur Verfügung.

Dieser Satz würde abstrakt betrachtet worden sein, wenn Kantor ihn ausgedacht hat. Kantor selbst wurde danach durch praktische Sorgen über den Satz von Punkten geführt, wo eine trigonometrische Reihe scheitern könnte zusammenzulaufen. Die Entdeckung hat viel getan, um ihn auf dem Kurs zu setzen, für eine abstrakte, allgemeine Theorie von unendlichen Sätzen zu entwickeln.

Siehe auch

• Kantor-Funktion
• Kantor-Würfel
• Schneeflocke von Koch
• Anhänger von Knaster-Kuratowski
• Liste von fractals durch die Dimension von Hausdorff

Referenzen

• (Sieh Beispiel 29).
• Gary L. Wise und Eric B. Hall, Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeit und Echten Analyse. Presse der Universität Oxford, New York 1993. Internationale Standardbuchnummer 0-19-507068-2. (Sieh Kapitel 1).

Links

• Kantor-Sätze und Kantor-Satz und Funktion an der Knoten-Kürzung
• Kantor-Satz (ERSTER)