In der Topologie und den verwandten Zweigen der Mathematik ist ein verbundener Raum ein topologischer Raum, der als die Vereinigung von zwei oder mehr zusammenhanglosen nichtleeren offenen Teilmengen nicht vertreten werden kann. Zusammenhang ist einer der topologischen Haupteigenschaften, der verwendet wird, um topologische Räume zu unterscheiden. Ein stärkerer Begriff ist der eines Pfad-verbundenen Raums, der ein Raum ist, wo irgendwelche zwei Punkte durch einen Pfad angeschlossen werden können.

Eine Teilmenge eines topologischen Raums X ist ein verbundener Satz, wenn es ein verbundener Raum, wenn angesehen, als ein Subraum X ist.

Als ein Beispiel eines Raums, der nicht verbunden wird, kann man eine unendliche Linie vom Flugzeug löschen. Andere Beispiele von getrennten Räumen (d. h. Räume, die nicht verbunden werden) schließen das Flugzeug mit einem geschlossenen Ringrohr entfernt, sowie die Vereinigung von zwei zusammenhanglosen offenen Platten im zweidimensionalen Euklidischen Raum ein.

Formelle Definition

Wie man

sagt, wird ein topologischer Raum X getrennt, wenn es die Vereinigung von zwei zusammenhanglosen nichtleeren offenen Sätzen ist. Sonst, X wird gesagt, verbunden zu werden. Wie man sagt, wird eine Teilmenge eines topologischen Raums verbunden, wenn sie unter seiner Subraumtopologie verbunden wird. Einige Autoren schließen den leeren Satz (mit seiner einzigartigen Topologie) als ein verbundener Raum aus, aber dieser Artikel folgt dieser Praxis nicht.

Für einen topologischen Raum X sind die folgenden Bedingungen gleichwertig:

1. X wird verbunden.
2. X kann in zwei zusammenhanglose nichtleere geschlossene Sätze nicht geteilt werden.
3. Die einzigen Teilmengen X, die sowohl offen als auch geschlossen sind (clopen Sätze) sind X und der leere Satz.
4. Die einzigen Teilmengen X mit der leeren Grenze sind X und der leere Satz.
5. X kann als die Vereinigung von zwei nichtleeren getrennten Sätzen nicht geschrieben werden.
6. Die einzigen dauernden Funktionen von X bis {0,1} sind unveränderlich.

Verbundene Bestandteile

Die maximalen verbundenen Teilmengen (bestellt durch die Einschließung) eines nichtleeren topologischen Raums werden die verbundenen Bestandteile des Raums genannt.

Die Bestandteile jedes topologischen Raums X bilden eine Teilung X: Sie sind zusammenhanglos, nichtleer, und ihre Vereinigung ist der ganze Raum.

Jeder Bestandteil ist eine geschlossene Teilmenge des ursprünglichen Raums. Hieraus folgt dass im Fall, wo ihre Zahl begrenzt ist, jeder Bestandteil auch eine offene Teilmenge ist. Jedoch, wenn ihre Zahl unendlich ist, könnte das nicht der Fall sein; zum Beispiel sind die verbundenen Bestandteile des Satzes der rationalen Zahlen die Ein-Punkt-Sätze, die nicht offen sind.

Lassen Sie, ein verbundener Bestandteil von x in einem topologischen Raum X zu sein, und die Kreuzung aller offen geschlossenen Sätze zu sein, die x (genannt Quasibestandteil x.) Dann enthalten, wo die Gleichheit hält, ob X kompakter Hausdorff oder lokal verbunden ist.

Getrennte Räume

Ein Raum, in dem alle Bestandteile Ein-Punkt-Sätze sind, wird völlig getrennt genannt. Verbunden mit diesem Eigentum wird ein Raum X völlig getrennt genannt, wenn, für irgendwelche zwei Elemente x und y X, dort zusammenhanglose offene Nachbarschaft U x und V von solchen y bestehen, dass X die Vereinigung von U und V ist. Klar wird jeder völlig getrennte Raum völlig getrennt, aber das gegenteilige hält nicht. Nehmen Sie zum Beispiel zwei Kopien der rationalen Zahlen Q, und identifizieren Sie sie an jedem Punkt außer der Null. Der resultierende Raum, mit der Quotient-Topologie, wird völlig getrennt. Jedoch, indem man die zwei Kopien der Null denkt, sieht man, dass der Raum nicht völlig getrennt wird. Tatsächlich ist es nicht sogar Hausdorff, und die Bedingung davon, völlig getrennt zu werden, ist ausschließlich stärker als die Bedingung, Hausdorff zu sein.

Beispiele

• Der geschlossene Zwischenraum [0, 2] in der Standardsubraumtopologie wird verbunden; obwohl es zum Beispiel als die Vereinigung [0, 1 geschrieben werden kann), und [1, 2], ist der zweite Satz in der oben erwähnten Topologie [0, 2] nicht offen.
• Die Vereinigung [0, 1) und (1, 2] wird getrennt; beide dieser Zwischenräume sind im topologischen Standardraum [0, 1 offen)  (1, 2].
• (0, 1)  {3} wird getrennt.
• Ein konvexer Satz wird verbunden; es wird wirklich einfach verbunden.
• Ein Euklidisches Flugzeug, des Ursprungs ausschließend, (0, 0), wird verbunden, aber wird nicht einfach verbunden. Der dreidimensionale Euklidische Raum ohne den Ursprung wird verbunden, und sogar einfach verbunden. Im Gegensatz wird der eindimensionale Euklidische Raum ohne den Ursprung nicht verbunden.
• Ein Euklidisches Flugzeug mit einer entfernten Gerade wird nicht verbunden, da es aus zwei Halbflugzeugen besteht.
• Der Raum von reellen Zahlen mit der üblichen Topologie wird verbunden.
• Jeder topologische Vektorraum über ein verbundenes Feld wird verbunden.
• Jeder getrennte topologische Raum mit mindestens zwei Elementen wird tatsächlich getrennt solch ein Raum wird völlig getrennt. Das einfachste Beispiel ist der getrennte Zwei-Punkte-Raum.
• Der Kantor ist untergegangen wird völlig getrennt; da der Satz unzählbar viele Punkte enthält, hat er unzählbar viele Bestandteile.
• Wenn ein Raum X homotopy Entsprechung zu einem verbundenen Raum ist, dann X wird selbst verbunden.
• Die Sinuskurve des topologist ist ein Beispiel eines Satzes, der verbunden wird, aber weder Pfad verbunden noch lokal verbunden ist.
• Die allgemeine geradlinige Gruppe (d. h. die Gruppe von n-by-n echtem matrices) bestehen aus zwei verbundenen Bestandteilen: derjenige mit matrices der positiven Determinante und der anderen der negativen Determinante. Insbesondere es wird nicht verbunden. Im Gegensatz, wird verbunden. Mehr allgemein ist der Satz von invertible gesprungen Maschinenbediener auf einem (komplizierten) Raum von Hilbert wird verbunden.
• Das Spektrum eines lokalen Ersatzrings wird verbunden. Mehr allgemein wird das Spektrum eines Ersatzrings verbunden, wenn, und nur wenn es keinen idempotent hat, wenn, und nur wenn der Ring nicht ein Produkt von zwei Ringen auf eine nichttriviale Weise ist.

Pfad-Zusammenhang

Ein Pfad von einem Punkt x zu einem Punkt y in einem topologischen Raum X ist eine dauernde Funktion f vom Einheitszwischenraum [0,1] zu X mit f (0) = x und f (1) = y. Ein Pfad-Bestandteil X ist eine Gleichwertigkeitsklasse X unter der Gleichwertigkeitsbeziehung, die x Entsprechung zu y macht, wenn es einen Pfad von x bis y gibt. Wie man sagt, ist der Raum X Pfad-verbunden (oder pathwise verbunden oder 0-verbunden), wenn es höchstens einen Pfad-Bestandteil gibt, d. h. wenn es einen Pfad gibt, der sich irgendwelchen zwei Punkten bei X anschließt. Wieder schließen viele andere den leeren Raum aus.

Jeder Pfad-verbundene Raum wird verbunden. Das gegenteilige ist nicht immer wahr: Beispiele von verbundenen Räumen, die nicht Pfad-verbunden sind, schließen die verlängerte lange Linie L* und die Sinuskurve des topologist ein.

Jedoch werden Teilmengen der echten Linie R verbunden, wenn, und nur wenn sie Pfad-verbunden sind; diese Teilmengen sind die Zwischenräume von R.

Außerdem werden offene Teilmengen von R oder C verbunden, wenn, und nur wenn sie Pfad-verbunden sind.

Zusätzlich sind Zusammenhang und Pfad-Zusammenhang dasselbe für topologische Räume.

Kreisbogen-Zusammenhang

Wie man

sagt, ist ein Raum X Kreisbogen-verbunden oder verbundener arcwise, wenn irgendwelche zwei verschiedenen Punkte durch einen Kreisbogen angeschlossen werden können, der ein Pfad f ist, der ein homeomorphism zwischen dem Einheitszwischenraum [0, 1] und seinem Image f ([0, 1]) ist. Ihm kann jeder Raum von Hausdorff gezeigt werden, der Pfad-verbunden ist, ist auch Kreisbogen-verbunden. Ein Beispiel eines Raums, der Pfad-verbunden ist, aber nicht Kreisbogen-verbunden, wird durch das Hinzufügen einer zweiten Kopie 0' 0 zu den nichtnegativen reellen Zahlen 0,  zur Verfügung gestellt. Man dotiert diesen Satz mit einer teilweisen Ordnung, indem man dass 0'0, = {x | 0  x 0', = {x | 0'  x]] Raum, aber nicht ein Raum von Hausdorff angibt. Klar 0 und 0' kann durch einen Pfad, aber nicht durch einen Kreisbogen in diesem Raum verbunden werden.

Lokaler Zusammenhang

Wie man

sagt, wird ein topologischer Raum an einem Punkt x lokal verbunden, wenn jede Nachbarschaft von x eine verbundene offene Nachbarschaft enthält. Es wird lokal verbunden, wenn es eine Basis von verbundenen Sätzen hat. Es kann gezeigt werden, dass ein Raum X lokal verbunden wird, wenn, und nur wenn jeder Bestandteil jedes offenen Satzes X offen ist. Die Sinuskurve des topologist ist ein Beispiel eines verbundenen Raums, der nicht lokal verbunden wird.

Ähnlich, wie man sagt, ist ein topologischer Raum, wenn er eine Basis von Pfad-verbundenen Sätzen hat.

Eine offene Teilmenge eines lokal Pfad-verbundenen Raums wird verbunden, wenn, und nur wenn es Pfad-verbunden ist.

Das verallgemeinert die frühere Behauptung über R und C, von denen jeder lokal Pfad-verbunden ist. Mehr allgemein ist jede topologische Sammelleitung lokal Pfad-verbunden.

Lehrsätze

• Hauptlehrsatz: Lassen Sie X und Y topologische Räume sein und f zu lassen: X  Y, eine dauernde Funktion sein. Wenn X (Pfad-) verbunden dann ist, ist das Image f (X) (Pfad-) verbunden. Dieses Ergebnis kann als eine Generalisation des Zwischenwertlehrsatzes betrachtet werden.
• Wenn eine Familie von verbundenen Teilmengen eines topologischen Raums X mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch einen willkürlichen solchen Satz ist, dass für alle, darin, nichtleer ist, auch dann verbunden wird.
• Wenn eine nichtleere Familie von verbundenen Teilmengen eines topologischen Raums X solch ist, der nichtleer ist, auch dann verbunden wird.
• Jeder Pfad-verbundene Raum wird verbunden.
• Jeder lokal Pfad-verbundene Raum wird lokal verbunden.
• Ein lokal Pfad-verbundener Raum ist Pfad-verbunden, wenn, und nur wenn er verbunden wird.
• Der Verschluss einer verbundenen Teilmenge wird verbunden.
• Die verbundenen Bestandteile werden immer (aber im Allgemeinen nicht offen) geschlossen
• Die verbundenen Bestandteile eines lokal verbundenen Raums sind auch offen.
• Die verbundenen Bestandteile eines Raums sind zusammenhanglose Vereinigungen der Pfad-verbundenen Bestandteile (die im Allgemeinen weder offen noch geschlossen sind).
• Jeder Quotient eines verbundenen (resp. Pfad-verbunden) Raum wird (resp. Pfad-verbunden) verbunden.
• Jedes Produkt einer Familie von verbundenen (resp. Pfad-verbunden) Räume wird (resp. Pfad-verbunden) verbunden.
• Jede offene Teilmenge lokal verbundenen (resp. lokal Pfad-verbunden) Raum wird (resp. lokal Pfad-verbunden) lokal verbunden.
• Jede Sammelleitung ist lokal Pfad-verbunden.

Graphen

Graphen haben verbundene Teilmengen des Pfads, nämlich jene Teilmengen, für die jedes Paar von Punkten einen Pfad von Rändern hat, die sich ihnen anschließen.

Aber es ist nicht immer möglich, eine Topologie auf dem Satz von Punkten zu finden, der dieselben verbundenen Sätze veranlasst. Der 5-Zyklen-Graph (und jeder N-Zyklus mit n> 3 sonderbare) ist ein solches Beispiel.

Demzufolge kann ein Begriff des Zusammenhangs unabhängig von der Topologie auf einem Raum formuliert werden. Zum Witz gibt es eine Kategorie von verbindenden Räumen, die aus Sätzen mit Sammlungen von verbundenen Teilmengen bestehen, die Konnektivitätsaxiome befriedigen; ihre morphisms sind jene Funktionen, die verbundene Sätze zu verbundenen Sätzen kartografisch darstellen. Topologische Räume und Graphen sind spezielle Fälle von verbindenden Räumen; tatsächlich sind die begrenzten verbindenden Räume genau die begrenzten Graphen.

Jedoch kann jeder Graph in einen topologischen Raum, durch das Behandeln von Scheitelpunkten als Punkte und Ränder als Kopien des Einheitszwischenraums kanonisch gemacht werden (sieh topologischen Graphen theory#Graphs als topologische Räume). Dann kann man zeigen, dass der Graph verbunden wird (im Graphen theoretischer Sinn), wenn, und nur wenn es als ein topologischer Raum verbunden wird.

Stärkere Formen des Zusammenhangs

Es gibt stärkere Formen des Zusammenhangs für topologische Räume zum Beispiel:

• Wenn dort bestehen, müssen keine zwei zusammenhanglosen nichtleeren offenen Sätze in einem topologischen Raum, X, X verbunden werden, und so werden hyperverbundene Räume auch verbunden.
• Da ein einfach verbundener Raum definitionsgemäß auch erforderlich ist, verbundener Pfad zu sein, wird jeder einfach verbundene Raum auch verbunden. Bemerken Sie jedoch, dass, wenn die "Pfad Zusammenhang" Voraussetzung aus der Definition der einfachen Konnektivität fallen gelassen ist, ein einfach verbundener Raum nicht verbunden zu werden braucht.
• Und doch schließen stärkere Versionen der Konnektivität den Begriff eines contractible Raums ein. Jeder contractible Raum ist Pfad verbunden und so auch verbunden.

Bemerken Sie im Allgemeinen, dass jeder Pfad in Verbindung gestanden hat, muss Raum verbunden werden, aber dort verbundene Räume bestehen, die nicht verbundener Pfad sind. Der gelöschte Kamm-Raum stattet solch ein Beispiel aus, wie die Sinuskurve des obengenannten erwähnten topologist tut.

Siehe auch

• gleichförmig verbundener Raum
• lokal verbundener Raum
• verbundener Bestandteil (Graph-Theorie)
• n-connected

Geometrischer

• Zusammenhang-Ort
• Extremally hat Raum getrennt

Referenzen

Allgemeine Verweisungen

• .