In der Geometrie ist ein Würfel ein dreidimensionaler fester Gegenstand, der durch sechs Quadratgesichter, Seiten oder Seiten mit drei Sitzung an jedem Scheitelpunkt begrenzt ist. Der Würfel kann auch einen regelmäßigen hexahedron genannt werden und ist einer der fünf Platonischen Festkörper. Es ist eine spezielle Art des Quadratprismas, rechteckigen parallelepiped und trigonal trapezohedron. Der Würfel ist zum Oktaeder Doppel-. Es hat kubische Symmetrie (auch hat octahedral Symmetrie genannt). Es ist speziell, indem es ein cuboid und ein rhombohedron gewesen wird.

Orthogonale Vorsprünge

Der Würfel hat vier spezielle orthogonale Vorsprünge, in den Mittelpunkt gestellt, auf einem Scheitelpunkt, Rändern, Gesicht und normal zu seiner Scheitelpunkt-Zahl. Das erste und dritte entsprechen dem A und B Coxeter Flugzeuge.

Kartesianische Koordinaten

Für einen Würfel, der am Ursprung, mit der Rand-Parallele zu den Äxten und mit einer Rand-Länge 2 in den Mittelpunkt gestellt ist, sind die Kartesianischen Koordinaten der Scheitelpunkte

:(±1, ±1, ±1)

während das Interieur aus allen Punkten (x, x, x) mit 1 besteht

| -

|volume

|align=center|

| -

|face-Diagonale

|align=center|| -

|space-Diagonale

|align=center|| -

|radius des umschriebenen Bereichs

|align=center|| -

|radius der Bereich-Tangente zu Rändern

|align=center|| -

|radius des eingeschriebenen Bereichs

|align=center|| -

|angles zwischen Gesichtern (in radians)

|align=center|| }\

Da das Volumen eines Würfels die dritte Macht seiner Seiten ein × ein × a ist, werden die dritten Mächte Würfel, analog mit Quadraten und den zweiten Mächten genannt.

Ein Würfel hat das größte Volumen unter cuboids (rechteckige Kästen) mit einer gegebenen Fläche. Außerdem hat ein Würfel das größte Volumen unter cuboids mit derselben geradlinigen Gesamtgröße (length+width+height).

Uniform colorings und Symmetrie

Der Würfel hat drei Uniform colorings, genannt durch die Farben der Quadratgesichter um jeden Scheitelpunkt: 111, 112, 123.

Der Würfel hat drei Klassen der Symmetrie, die durch das mit dem Scheitelpunkt transitive Färben der Gesichter vertreten werden kann. Die höchste octahedral Symmetrie O hat alle Gesichter dieselbe Farbe. Die zweiflächige Symmetrie D kommt aus dem Würfel, der ein Prisma mit allen vier Seiten ist, die dieselbe Farbe sind. Die niedrigste Symmetrie D ist auch eine prismatische Symmetrie mit Seiten, die Farben abwechseln lassen, also gibt es drei Farben, die durch Gegenseiten paarweise angeordnet sind. Jede Symmetrie-Form hat ein verschiedenes Symbol von Wythoff.

Geometrische Beziehungen

Ein Würfel hat elf Netze (ein gezeigter oben): D. h. es gibt elf Weisen, einen hohlen Würfel durch den Ausschnitt von sieben Rändern glatt zu machen. Um den Würfel zu färben, so dass keine zwei angrenzenden Gesichter dieselbe Farbe haben, würde man mindestens drei Farben brauchen.

Der Würfel ist die Zelle, des dreidimensionalen Euklidischen Raums einzig regelmäßig mit Ziegeln zu decken. Es ist auch unter den Platonischen Festkörpern einzigartig, indem es hat, konfrontiert mit einer geraden Zahl von Seiten und folglich, es ist das einzige Mitglied dieser Gruppe, die ein zonohedron ist (jedes Gesicht hat Punkt-Symmetrie).

Der Würfel kann in sechs identische Quadratpyramiden geschnitten werden. Wenn diese Quadratpyramiden dann den Gesichtern eines zweiten Würfels beigefügt werden, wird ein rhombisches Dodekaeder erhalten (mit Paaren von coplanar in rhombische Gesichter verbundenen Dreiecken.)

Andere Dimensionen

Die Entsprechung eines Würfels im vierdimensionalen Euklidischen Raum hat einen speziellen Namen — ein tesseract oder Hyperwürfel. Richtiger sind ein Hyperwürfel (oder n-dimensional Würfel oder einfach N-Würfel) die Entsprechung des Würfels im n-dimensional Euklidischen Raum, und ein tesseract ist der Hyperwürfel des Auftrags 4. Ein Hyperwürfel wird auch ein Maß polytope genannt.

Es gibt Entsprechungen des Würfels in niedrigeren Dimensionen auch: ein Punkt in der Dimension 0, einem Segment in einer Dimension und einem Quadrat in zwei Dimensionen.

Zusammenhängende Polyeder

Der Quotient des Würfels durch die antipodische Karte gibt ein projektives Polyeder, den hemicube nach.

Wenn der ursprüngliche Würfel Rand-Länge 1 hat, hat sein Doppelpolyeder (ein Oktaeder) Rand-Länge.

Der Würfel ist ein spezieller Fall in verschiedenen Klassen von allgemeinen Polyedern:

Die Scheitelpunkte eines Würfels können in zwei Gruppen vier, jeder gruppiert werden, ein regelmäßiges Tetraeder bildend; mehr allgemein wird das einen demicube genannt. Diese zwei bilden zusammen eine regelmäßige Zusammensetzung, der stella octangula. Die Kreuzung der zwei Formen ein regelmäßiges Oktaeder. Die symmetries eines regelmäßigen Tetraeders entsprechen denjenigen eines Würfels, die jedes Tetraeder zu sich kartografisch darstellen; die anderen symmetries des Würfels stellen die zwei zu einander kartografisch dar.

Ein solches regelmäßiges Tetraeder hat ein Volumen von diesem des Würfels. Der restliche Raum besteht aus vier gleichen unregelmäßigen tetrahedra mit einem Volumen dieses des Würfels, jedes.

Der berichtigte Würfel ist der cuboctahedron. Wenn kleinere Ecken abgeschnitten werden, bekommen wir ein Polyeder mit sechs achteckigen Gesichtern und acht dreieckigen. Insbesondere können wir regelmäßige Achtecke (gestutzter Würfel) bekommen. Der rhombicuboctahedron wird durch das Abschneiden von von sowohl Ecken als auch Rändern zum richtigen Betrag erhalten.

Ein Würfel kann in einem Dodekaeder eingeschrieben werden, so dass jeder Scheitelpunkt des Würfels ein Scheitelpunkt des Dodekaeders ist und jeder Rand eine Diagonale von einem der Gesichter des Dodekaeders ist; Einnahme aller dieser Würfel verursacht die regelmäßige Zusammensetzung von fünf Würfeln.

Wenn zwei entgegengesetzte Ecken eines Würfels an der Tiefe der drei mit ihnen direkt verbundenen Scheitelpunkte gestutzt sind, wird ein unregelmäßiges Oktaeder erhalten. Acht dieser unregelmäßigen octahedra können den Dreiecksgesichtern eines regelmäßigen Oktaeders beigefügt werden, um den cuboctahedron zu erhalten.

Der cuboctahedron ist eine einer Familie von gleichförmigen Polyedern, die mit dem Würfel und regelmäßigen Oktaeder verbunden sind.

Alle diese Zahlen haben octahedral Symmetrie.

Der Würfel ist ein Teil einer Folge von rhombischen Polyedern und tilings mit [n, 3] Gruppensymmetrie von Coxeter. Der Würfel kann als ein rhombischer hexahedron gesehen werden, wo die Rhomben Quadrate sind.

In gleichförmigen Honigwaben und polychora

Es ist ein Element von 9 von 28 konvexen gleichförmigen Honigwaben:

Es ist auch ein Element von fünf vierdimensionaler Uniform polychora:

Kombinatorische Würfel

Eine verschiedene Art des Würfels ist der Würfel-Graph, der der Graph von Scheitelpunkten und die Ränder des geometrischen Würfels ist. Es ist ein spezieller Fall des Hyperwürfel-Graphen.

Eine Erweiterung ist der dreidimensionale k-ary Graph von Hamming, der für k = 2 der Würfel-Graph ist. Graphen dieser Sorte kommen in der Theorie der parallelen Verarbeitung in Computern vor.

Siehe auch

• Einheitswürfel
• Tesseract
• Würfel (Film)
• Trapezohedron
• Yoshimoto Würfel
• Der Würfel (Quizsendung)
• Der Würfel von Prinzen Rupert
• OLAP Würfel
• Würfel von Lövheim des Gefühls
• Würfel von Heymans
• Necker Würfel
• Der Würfel von Rubik

Links

• Editable druckfähiges Netz eines Würfels mit der interaktiven 3D-Ansicht
• Würfel: Interaktives Polyeder-Modell
• K.J.M. MacLean, eine geometrische Analyse der fünf platonischen Festkörper und anderen halbregelmäßigen Polyeder

Die gleichförmigen Polyeder

• Polyeder der virtuellen Realität
• Volumen eines Würfels, mit dem interaktiven Zeichentrickfilm