Ein Kartesianisches Koordinatensystem gibt jeden Punkt einzigartig in einem Flugzeug durch ein Paar von numerischen Koordinaten an, die die unterzeichneten Entfernungen vom Punkt bis geleitete Linien der zwei festen Senkrechte sind, die in derselben Einheit der Länge gemessen sind. Jede Bezugslinie wird eine Koordinatenachse oder gerade Achse des Systems genannt, und der Punkt, wo sie sich treffen, ist sein Ursprung, gewöhnlich am befohlenen Paar (0,0). Die Koordinaten können auch als die Positionen der rechtwinkligen Vorsprünge des Punkts auf die zwei Äxte definiert werden, hat als unterzeichnete Entfernungen vom Ursprung ausgedrückt.

Man kann denselben Grundsatz verwenden, um die Position jedes Punkts im dreidimensionalen Raum durch drei Kartesianische Koordinaten, seine unterzeichneten Entfernungen zu drei gegenseitig rechtwinkligen Flugzeugen (oder, gleichwertig, durch seinen rechtwinkligen Vorsprung auf drei gegenseitig Lotlinien) anzugeben. Im Allgemeinen kann man einen Punkt in einem Raum jeder Dimension n durch den Gebrauch von n Kartesianischen Koordinaten, den unterzeichneten Entfernungen von n gegenseitig rechtwinkligen Hyperflugzeugen angeben.

Die Erfindung von Kartesianischen Koordinaten im 17. Jahrhundert durch René Descartes (Latinisierter Name: Cartesius) hat Mathematik durch die Versorgung der ersten systematischen Verbindung zwischen der Euklidischen Geometrie und Algebra revolutioniert. Mit dem Kartesianischen Koordinatensystem können geometrische Gestalten (wie Kurven) durch Kartesianische Gleichungen beschrieben werden: Algebraische Gleichungen, die die Koordinaten der Punkte einschließen, die auf der Gestalt liegen. Zum Beispiel kann ein Kreis des Radius 2 als der Satz aller Punkte beschrieben werden, deren Koordinaten x und y die Gleichung x + y = 4 befriedigen.

Kartesianische Koordinaten sind das Fundament der analytischen Geometrie, und stellen aufschlussreiche geometrische Interpretationen für viele andere Zweige der Mathematik, wie geradlinige Algebra, komplizierte Analyse, Differenzialgeometrie, multivariate Rechnung, Gruppentheorie, und mehr zur Verfügung. Ein vertrautes Beispiel ist das Konzept des Graphen einer Funktion. Kartesianische Koordinaten sind auch wesentliche Werkzeuge für die meisten angewandten Disziplinen, die sich mit Geometrie, einschließlich Astronomie, Physik, Technik und noch viele befassen. Sie sind das allgemeinste Koordinatensystem, das in der Computergrafik, dem computergestützten geometrischen Design und der anderen Geometrie-zusammenhängenden Datenverarbeitung verwendet ist.

Geschichte

Der adjektivische Kartesianer bezieht sich auf den französischen Mathematiker und Philosophen René Descartes (wer den Namen Cartesius in Latein verwendet hat).

Die Idee von diesem System wurde 1637 in Schriften von Descartes und unabhängig von Pierre de Fermat entwickelt, obwohl Fermat, der auch in drei Dimensionen gearbeitet ist, und die Entdeckung nicht veröffentlicht hat. Beide Autoren haben eine einzelne Achse in ihren Behandlungen verwendet und ließen eine variable Länge in der Verweisung auf diese Achse messen. Das Konzept, ein Paar von Äxten zu verwenden, wurde in der späteren Arbeit von Kommentatoren eingeführt, die versuchten, die im La Géométrie von Descartes enthaltenen Ideen zu klären.

Die Entwicklung des Kartesianischen Koordinatensystems würde eine innere Rolle in der Entwicklung der Rechnung durch Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz spielen.

Nicole Oresme, ein französischer Kleriker und Freund des dauphin (später, um König Charles V zu werden), vom 14. Jahrhundert, hat Aufbauten verwendet, die Kartesianischen Koordinaten kurz vor der Zeit von Descartes und Fermat ähnlich sind.

Viele andere Koordinatensysteme sind seit Descartes, wie die Polarkoordinaten für das Flugzeug und die kugelförmigen und zylindrischen Koordinaten für den dreidimensionalen Raum entwickelt worden.

Definitionen

Zahlenstrahl

Die Auswahl eines Kartesianischen Koordinatensystems für einen eindimensionalen Raum — d. h. für eine Gerade — bedeutet, einen Punkt O von der Linie (der Ursprung), eine Einheit der Länge und eine Orientierung für die Linie zu wählen. Eine Orientierung wählt, welche von den zwei durch O bestimmten Halblinien das positive ist, und der negativ ist; wir sagen dann, dass die Linie "" (oder "Punkte") von der negativen Hälfte zur positiven Hälfte orientiert wird. Dann kann jeder Punkt p der Linie durch seine Entfernung von O angegeben werden, der mit + oder -Zeichen genommen ist, abhängig von dem Halblinie p enthält.

Eine Linie mit einem gewählten Kartesianischen System wird einen Zahlenstrahl genannt. Jede reelle Zahl, ob ganze Zahl, vernünftig, oder vernunftwidrig, eine einzigartige Position auf der Linie hat. Umgekehrt kann jeder Punkt auf der Linie als eine Zahl in einem bestellten Kontinuum interpretiert werden, das die reellen Zahlen einschließt.

Kartesianische Koordinaten in zwei Dimensionen

Das moderne Kartesianische Koordinatensystem in zwei Dimensionen (hat auch ein rechteckiges Koordinatensystem genannt), wird von einem befohlenen Paar von Lotlinien (Äxte), eine einzelne Einheit der Länge für beide Äxte und einer Orientierung für jede Achse definiert. (Frühe Systeme haben "schiefe" Äxte, d. h. Äxte erlaubt, die sich rechtwinklig nicht getroffen haben.) Werden die Linien allgemein den x und die Y-Achsen genannt, wo die X-Achse genommen wird, um horizontal zu sein, und die Y-Achse genommen wird, um vertikal zu sein. Der Punkt, wo sich die Äxte treffen, wird als der Ursprung für beide genommen, so jede Achse in einen Zahlenstrahl verwandelnd. Für einen gegebenen Punkt P wird eine Linie durch die P Senkrechte zur X-Achse gezogen, um es an X zu entsprechen, und die zweite Linie wird durch die P Senkrechte zur Y-Achse gezogen, um es an Y zu entsprechen. Die Koordinaten von P sind dann X und Y, der als Nummern x und y auf den entsprechenden Zahlenstrahlen interpretiert ist. Die Koordinaten werden als ein befohlenes Paar (x, y) geschrieben.

Der Punkt, wo sich die Äxte treffen, ist der allgemeine Ursprung der zwei Zahlenstrahlen und wird einfach den Ursprung genannt. Es wird häufig O etikettiert, und wenn so dann die Äxte Ox und Oy genannt werden. Ein Flugzeug mit x und definierten Y-Achsen wird häufig das Kartesianische Flugzeug oder xy Flugzeug genannt. Der Wert von x wird die X-Koordinate oder Abszisse genannt, und der Wert von y wird die Y-Koordinate oder Ordinate genannt.

Die Wahlen von Briefen kommen aus der ursprünglichen Tagung, die ist, den letzten Teil des Alphabetes zu verwenden, um unbekannte Werte anzuzeigen. Der erste Teil des Alphabetes wurde verwendet, um bekannte Werte zu benennen.

Im Kartesianischen Flugzeug wird Verweisung manchmal zu einem Einheitskreis oder einer Einheitshyperbel gemacht.

Kartesianische Koordinaten in drei Dimensionen

Die Auswahl eines Kartesianischen Koordinatensystems für einen dreidimensionalen Raum bedeutet, einen befohlenen Drilling von Linien (Äxte), irgendwelche zwei von ihnen zu wählen, rechtwinklig seiend; eine einzelne Einheit der Länge für alle drei Äxte; und eine Orientierung für jede Achse. Als im zweidimensionalen Fall wird jede Achse ein Zahlenstrahl. Die Koordinaten eines Punkts p werden durch die Zeichnung einer Linie durch die p Senkrechte zu jeder Koordinatenachse und das Lesen der Punkte erhalten, wo diese Linien die Äxte als drei Zahlen dieser Zahlenstrahlen entsprechen.

Wechselweise können die Koordinaten eines Punkts p auch als die (unterzeichneten) Entfernungen von p bis die drei durch die drei Äxte definierten Flugzeuge genommen werden. Wenn die Äxte x, y, und z genannt werden, dann ist die X-Koordinate die Entfernung vom Flugzeug, das durch den y und die z Äxte definiert ist. Die Entfernung soll mit + oder &minus genommen werden; Zeichen, abhängig von welchem der zwei durch dieses Flugzeug getrennten Halbräume p enthält. Der y und die Z-Koordinaten können ebenso bei (x, z) und (x, y) Flugzeuge beziehungsweise erhalten werden.

Generalisationen

Man kann das Konzept Kartesianischer Koordinaten verallgemeinern, um Äxte zu erlauben, die auf einander und/oder verschiedenen Einheiten entlang jeder Achse nicht rechtwinklig sind. In diesem Fall wird jede Koordinate durch die Projektierung des Punkts auf eine Achse entlang einer Richtung erhalten, die zur anderen Achse (oder im Allgemeinen zum Hyperflugzeug parallel ist, das durch alle anderen Äxte definiert ist). In jenen schiefen Koordinatensystemen ist die Berechnung von Entfernungen und Winkeln mehr kompliziert als in Kartesianischen Standardsystemen, und viele Standardformeln (wie die Pythagoreische Formel für die Entfernung) halten nicht.

Notationen und Vereinbarung

Die Kartesianischen Koordinaten eines Punkts werden gewöhnlich in Parenthesen geschrieben und durch Kommas, als in (10,5) oder (3,5,7) getrennt. Der Ursprung wird häufig mit dem Großbuchstaben O etikettiert. In der analytischen Geometrie werden unbekannte oder allgemeine Koordinaten häufig durch die Briefe x und y auf dem Flugzeug, und x, y, und z im dreidimensionalen Raum angezeigt. w wird häufig für den vierdimensionalen Raum verwendet, aber die Seltenheit solchen Gebrauchs schließt konkrete Tagung hier aus. Diese Gewohnheit kommt aus einer alten Tagung der Algebra, um Briefe in der Nähe vom Ende des Alphabetes für unbekannte Werte zu verwenden (solche, die die Koordinaten von Punkten in vielen geometrischen Problemen waren), und Briefe in der Nähe vom Anfang für gegebene Mengen.

Diese herkömmlichen Namen werden häufig in anderen Gebieten, wie Physik und Technik verwendet. Jedoch können andere Briefe auch verwendet werden. Zum Beispiel in einem Graphen, der sich zeigt, wie sich ein Druck mit der Zeit ändert, können die Graph-Koordinaten t und P angezeigt werden. Jede Achse wird gewöhnlich nach der Koordinate genannt, die entlang ihr gemessen wird; so sagt man die X-Achse, die Y-Achse, die Taxis usw.

Eine andere allgemeine Tagung für das Koordinatennamengeben ist, Subschriften, als in x, x... x für die N-Koordinaten in einem n-dimensional Raum zu verwenden; besonders, wenn n größer ist als 3, oder Variable. Einige Autoren (und viele Programmierer) bevorzugen den numerierenden x, x... x. Diese Notationen sind in der Computerprogrammierung besonders vorteilhaft: Indem man die Koordinaten eines Punkts als eine Reihe statt einer Aufzeichnung versorgt, kann man wiederholende Befehle oder Verfahren-Rahmen verwenden, anstatt dieselben Befehle für jede Koordinate zu wiederholen.

In mathematischen Illustrationen von zweidimensionalen Kartesianischen Systemen wird die erste Koordinate (hat traditionell die Abszisse genannt), entlang einer horizontalen Achse gemessen, die vom linken bis Recht orientiert ist. Die zweite Koordinate (die Ordinate) wird dann entlang einer vertikalen Achse gemessen, die gewöhnlich vom Boden bis Spitze orientiert ist.

Jedoch in der Computergrafik und dem Image, das bearbeitet, verwendet man häufig ein Koordinatensystem mit der y Achse, die unten (wie gezeigt, auf dem Schirm des Computers) hinweist. Diese Tagung hat sich in den 1960er Jahren (oder früher) von der Weise entwickelt, wie Images in Anzeigepuffern ursprünglich versorgt wurden.

Für dreidimensionale Systeme wird die z Achse häufig vertikal und hinweisend gezeigt (positiv), so dass der x und die y Äxte auf einer Horizontalebene liegen. Wenn ein Diagramm (3D-Vorsprung oder 2. Perspektivezeichnung) den x und die y Achse horizontal und vertikal beziehungsweise zeigt, dann sollte die z Achse gezeigt werden, "aus der Seite" zum Zuschauer oder der Kamera hinweisend. In solch einem 2. Diagramm eines 3D-Koordinatensystems würde die z Achse als eine Linie oder Strahl erscheinen, der unten und nach links oder unten und nach rechts, abhängig vom gewagten Zuschauer oder der Kameraperspektive hinweist. In jedem Diagramm oder Anzeige ist die Orientierung der drei Äxte als Ganzes willkürlich. Jedoch sollte die Orientierung der Äxte hinsichtlich einander immer die rechte Regel, wenn spezifisch nicht festgesetzt, sonst erfüllen. Alle Gesetze der Physik und Mathematik nehmen diese Rechtshändigkeit an, die Konsistenz sichert. Für 3D-Diagramme werden die Namen "Abszisse" und "Ordinate" für x und y beziehungsweise selten verwendet. Wenn sie sind, wird die Z-Koordinate manchmal den applicate genannt.

Die Wortabszisse, Ordinate und applicate werden manchmal verwendet, um sich zu beziehen, um Äxte aber nicht Werte zu koordinieren.

Quadranten und Oktanten

Die Äxte eines zweidimensionalen Kartesianischen Systems teilen das Flugzeug in vier unendliche Gebiete, genannt Quadranten, jeder, der durch zwei Halbäxte begrenzt ist. Diese werden häufig vom 1. bis 4. und angezeigtes durch Römische Ziffern numeriert: Ich (wo die Zeichen der zwei Koordinaten ich (+, +), II (, +), III (, ), und IV (+, ) sind. Wenn die Äxte gemäß der mathematischen Gewohnheit gezogen werden, geht das Numerieren gegen den Uhrzeigersinn, vom oberen richtigen ("nordöstlichen") Quadranten anfangend.

Ähnlich definiert ein dreidimensionales Kartesianisches System eine Abteilung des Raums in acht Gebiete oder Oktanten gemäß den Zeichen der Koordinaten der Punkte. Der Oktant, wo alle drei Koordinaten positiv sind, wird manchmal den ersten Oktanten genannt; jedoch gibt es keine feststehende Nomenklatur für die anderen Oktanten. Die n-dimensional Generalisation des Quadranten und Oktanten ist der orthant.

Kartesianischer Raum

Ein Euklidisches Flugzeug mit einem gewählten Kartesianischen System wird ein Kartesianisches Flugzeug genannt. Da Kartesianische Koordinaten einzigartig und nichtzweideutig sind, können die Punkte eines Kartesianischen Flugzeugs mit allen möglichen Paaren von reellen Zahlen identifiziert werden; das ist mit dem Kartesianischen Produkt, wo der Satz des ganzen reals ist. Ebenso definiert man einen Kartesianischen Raum jeder Dimension n, dessen Punkte mit den Tupeln (Listen) von n reellen Zahlen, d. h. damit identifiziert werden können.

Kartesianische Formeln für das Flugzeug

Entfernung zwischen zwei Punkten

Die Euklidische Entfernung zwischen zwei Punkten des Flugzeugs mit Kartesianischen Koordinaten und ist

:

Das ist die Kartesianische Version des Lehrsatzes von Pythagoras. Im dreidimensionalen Raum, der Entfernung zwischen Punkten und ist

:

der durch zwei Konsekutivanwendungen des Lehrsatzes von Pythagoras erhalten werden kann.

Euklidische Transformationen

Die Euklidischen Transformationen oder Euklidischen Bewegungen sind der (bijektive) mappings von Punkten des Euklidischen Flugzeugs zu sich, die Entfernungen zwischen Punkten bewahren. Es gibt vier Typen dieser mappings (auch genannt Isometrien): Übersetzungen, Folgen, Nachdenken und Gleiten-Nachdenken.

Übersetzung

Das Übersetzen einer Reihe von Punkten des Flugzeugs, die Bewahrung der Entfernungen und Richtungen zwischen ihnen, sind zum Hinzufügen eines festen Paares von Zahlen (a, b) zu den Kartesianischen Koordinaten jedes Punkts im Satz gleichwertig. D. h. wenn die ursprünglichen Koordinaten eines Punkts (x, y) nach der Übersetzung sind, werden sie sein

:

Folge

Eine Zahl gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung durch einen Winkel rotieren zu lassen, ist zum Ersetzen jedes Punkts mit Koordinaten (x, y) durch den Punkt mit Koordinaten (x, y), wo gleichwertig

::

So:

Nachdenken

Wenn (x, y) die Kartesianischen Koordinaten eines Punkts sind, dann (−x, y) sind die Koordinaten seines Nachdenkens über die zweite Koordinatenachse (die Y Achse), als ob diese Linie ein Spiegel war. Ebenfalls, (x, −y) sind die Koordinaten seines Nachdenkens über die erste Koordinatenachse (die X Achse). In mehr Allgemeinheit, Nachdenken über eine Linie durch den Ursprung, der einen Winkel mit der X-Achse macht, ist zum Ersetzen jedes Punkts mit Koordinaten (x, y) durch den Punkt mit Koordinaten (x, y), wo gleichwertig

::So:

Gleiten-Nachdenken

Ein Gleiten-Nachdenken ist die Zusammensetzung eines Nachdenkens über eine Linie, die von einer Übersetzung in der Richtung auf diese Linie gefolgt ist. Es kann gesehen werden, dass die Ordnung dieser Operationen nicht von Bedeutung ist (die Übersetzung kann zuerst, gefolgt vom Nachdenken kommen).

Allgemeine Matrixform der Transformationen

Diese Euklidischen Transformationen des Flugzeugs können alle auf eine gleichförmige Weise durch das Verwenden matrices beschrieben werden. Das Ergebnis, eine Euklidische Transformation auf einen Punkt anzuwenden, wird durch die Formel gegeben

:

wo A 2×2 ist, sind orthogonale Matrix und b = (b, b) ein willkürliches befohlenes Paar von Zahlen; das, ist

::

wo

:: Bemerken Sie den Gebrauch von Zeilenvektoren für Punkt-Koordinaten, und dass die Matrix rechts geschrieben wird.

Um orthogonal zu sein, muss die Matrix A orthogonale Reihen mit derselben Euklidischen Länge von einer haben, die, ist

:

und

:

Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass Zeiten sein umgestellt die Identitätsmatrix sein müssen. Wenn diese Bedingungen nicht halten, beschreibt die Formel eine allgemeinere affine Transformation des Flugzeugs vorausgesetzt, dass die Determinante von A nicht Null ist.

Die Formel definiert eine Übersetzung, wenn, und nur wenn A die Identitätsmatrix ist. Die Transformation ist eine Folge um einen Punkt, wenn, und nur wenn A eine Folge-Matrix ist, das bedeutend

:

Nachdenken- oder Gleiten-Nachdenken wird wenn, erhalten

:

Das Annehmen, dass Übersetzung nicht verwendete Transformationen ist, kann durch das einfache Multiplizieren der verbundenen Transformation matrices verbunden werden.

Affine Transformation

Eine andere Weise, Koordinatentransformationen in Kartesianischen Koordinaten zu vertreten, ist durch affine Transformationen. In affine Transformationen wird eine Extradimension hinzugefügt, und alle Punkte werden ein Wert von 1 für diese Extradimension gegeben. Der Vorteil, das zu tun, besteht darin, dass dann alle euklidischen Transformationen geradlinige Transformationen werden und mit der Matrixmultiplikation vertreten werden können. Durch die affine Transformation wird gegeben:

:: Bemerken Sie Eine Matrix wurde von oben umgestellt. Die Matrix ist links, und Spaltenvektoren für Punkt-Koordinaten werden verwendet.

Mit affine Transformationen können vielfache verschiedene euklidische Transformationen einschließlich der Übersetzung durch das einfache Multiplizieren des entsprechenden matrices verbunden werden.

Schuppen

Ein Beispiel einer affine Transformation, die nicht eine Euklidische Bewegung ist, wird durch das Schuppen angeführt. Eine Zahl größer oder kleiner zu machen, ist zum Multiplizieren der Kartesianischen Koordinaten jedes Punkts durch dieselbe positive Zahl M gleichwertig. Wenn (x, y) die Koordinaten eines Punkts auf der ursprünglichen Zahl sind, hat der entsprechende Punkt auf der schuppigen Zahl Koordinaten

:

Wenn M größer ist als 1, wird die Zahl größer; wenn M zwischen 0 und 1 ist, wird es kleiner.

Schur

Eine mähende Transformation wird die Spitze eines Quadrats seitwärts drängen, ein Parallelogramm zu bilden. Horizontale Schur wird definiert durch:

:

Schur kann auch vertikal angewandt werden:

:

Orientierung und Händigkeit

In zwei Dimensionen

Das Befestigen oder die Auswahl der X-Achse bestimmen die Y-Achse bis zur Richtung. Nämlich ist die Y-Achse notwendigerweise die Senkrechte zur X-Achse durch den Punkt gekennzeichnet 0 auf der X-Achse. Aber es gibt eine Wahl welch der zwei Hälften von Linien auf der Senkrechte, um als positiv und der als negativ zu benennen. Jede dieser zwei Wahlen bestimmt eine verschiedene Orientierung (auch genannt Händigkeit) des Kartesianischen Flugzeugs.

Die übliche Weise, die Äxte, mit dem positiven X-Achse-Hinweisen-Recht und der positiven Y-Achse zu orientieren, die (und die X-Achse hinweist, die das "erste" und die Y-Achse die "zweite" Achse ist), wird als die positive oder normale Orientierung, auch genannt die rechtshändige Orientierung betrachtet.

Allgemein verwendet mnemonisch, für die positive Orientierung zu definieren, ist die Regel der rechten Hand. Eine etwas geschlossene rechte Hand auf dem Flugzeug mit dem Daumen legend, der hinweist, weisen die Finger von der X-Achse bis die Y-Achse in einem positiv orientierten Koordinatensystem hin.

Die andere Weise, die Äxte zu orientieren, folgt der Regel der linken Hand, die linke Hand auf dem Flugzeug mit dem Daumen legend, der hinweist.

Wenn

sie den Daumen weg vom Ursprung entlang einer Achse anspitzt, zeigt die Krümmung der Finger eine positive Folge entlang dieser Achse an.

Unabhängig von der Regel, die verwendet ist, um die Äxte zu orientieren, das Koordinatensystem rotieren lassend, wird die Orientierung bewahren. Die Schaltung irgendwelcher zwei Äxte wird die Orientierung umkehren.

In drei Dimensionen

Sobald der x- und die Y-Achsen angegeben werden, bestimmen sie die Linie, entlang der die Z-Achse liegen sollte, aber es gibt zwei mögliche Richtungen auf dieser Linie. Die zwei möglichen Koordinatensysteme, welches Ergebnis 'rechtshändig' und 'linkshändig' genannt wird. Die Standardorientierung, wo der xy-plane horizontal ist und die Z-Achse-Punkte (und der x- und die Y-Achse bilden ein positiv orientiertes zweidimensionales Koordinatensystem im xy-plane, wenn beobachtet, von über dem xy-plane), wird rechtshändig oder positiv genannt.

Der Name ist auf die rechte Regel zurückzuführen. Wenn der Zeigefinger der rechten Hand vorwärts angespitzt wird, hat sich der Mittelfinger nach innen im rechten Winkel dazu, und der Daumen gelegt im rechten Winkel zu beiden gebogen, die drei Finger zeigen die Verhältnisrichtungen des x-, y-, und Z-Äxte in einem rechtshändigen System an. Der Daumen zeigt die X-Achse, der Zeigefinger die Y-Achse und der Mittelfinger die Z-Achse an. Umgekehrt, wenn dasselbe mit der linken Hand getan wird, resultiert ein linkshändiges System.

Abbildung 7 zeichnet einen linken und ein rechtshändiges Koordinatensystem. Weil ein dreidimensionaler Gegenstand auf dem zweidimensionalen Schirm, der Verzerrung und dem Zweideutigkeitsergebnis vertreten wird. Die Achse, die nach unten (und nach rechts) hinweist, wird auch gemeint, um zum Beobachter hinzuweisen, wohingegen die "mittlere" Achse gemeint wird, um weg vom Beobachter hinzuweisen. Der rote Kreis ist zum horizontalen xy-plane parallel und zeigt Folge von der X-Achse bis die Y-Achse (in beiden Fällen) an. Folglich geht der rote Pfeil vor der Z-Achse.

Abbildung 8 ist ein anderer Versuch des Zeichnens eines rechtshändigen Koordinatensystems. Wieder gibt es eine verursachte Zweideutigkeit durch die Projektierung des dreidimensionalen Koordinatensystems ins Flugzeug. Viele Beobachter sehen Abbildung 8 als, "in und" zwischen einem Würfel und einer "Ecke" schnipsend. Das entspricht den zwei möglichen Orientierungen des Koordinatensystems. Das Sehen der Zahl als konvex gibt ein linkshändiges Koordinatensystem. So soll sich die "richtige" Weise, Abbildung 8 anzusehen, die X-Achse als hinweisend zum Beobachter vorstellen und so eine konkave Ecke sehend.

Das Darstellen eines Vektoren in der Standardbasis

Ein Punkt im Raum in einem Kartesianischen Koordinatensystem kann auch durch einen Positionsvektoren vertreten werden, von dem als ein Pfeil gedacht werden kann, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt hinweist. Wenn die Koordinaten Raumpositionen (Versetzungen) vertreten, ist es üblich, den Vektoren vom Ursprung bis den Punkt von Interesse als zu vertreten. In zwei Dimensionen kann der Vektor vom Ursprung bis den Punkt mit Kartesianischen Koordinaten (x, y) als geschrieben werden:

:

wo, und Einheitsvektoren in der Richtung auf die X-Achse und Y-Achse beziehungsweise, allgemein gekennzeichnet als die Standardbasis sind (in einigen Anwendungsgebieten, können diese auch versors genannt werden). Ähnlich in drei Dimensionen kann der Vektor vom Ursprung bis den Punkt mit Kartesianischen Koordinaten als geschrieben werden:

:

wo der Einheitsvektor in der Richtung auf die Z-Achse ist.

Es gibt keine natürliche Interpretation von multiplizierenden Vektoren, um einen anderen Vektoren zu erhalten, der in allen Dimensionen arbeitet, jedoch gibt es eine Weise, komplexe Zahlen zu verwenden, um solch eine Multiplikation zur Verfügung zu stellen. In einem zwei dimensionalen kartesianischen Flugzeug, identifizieren Sie den Punkt mit Koordinaten (x, y) mit der komplexen Zahl z = x + iy. Hier bin ich die komplexe Zahl, deren Quadrat die reelle Zahl 1 ist und mit dem Punkt mit Koordinaten (0,1) identifiziert wird, so ist es nicht der Einheitsvektor in der Richtung auf die X-Achse (diese Verwirrung ist gerade ein unglücklicher historischer Unfall). Da die komplexen Zahlen multipliziert werden können, eine andere komplexe Zahl gebend, stellt diese Identifizierung ein Mittel zur Verfügung, Vektoren "zu multiplizieren". In einem dreidimensionalen kartesianischen Raum kann eine ähnliche Identifizierung mit einer Teilmenge des quaternions gemacht werden.

Anwendungen

Jede Achse kann verschiedene Einheiten des Maßes haben, das damit (wie Kilogramme, Sekunden, Pfunde, usw.) vereinigt ist. Obwohl vier - und hoch-dimensionale Räume schwierig sind sich zu vergegenwärtigen, kann die Algebra von Kartesianischen Koordinaten relativ leicht zu vier oder mehr Variablen erweitert werden, so dass bestimmte Berechnungen, die mit vielen Variablen verbunden sind, getan werden können. (Diese Sorte der algebraischen Erweiterung ist, was verwendet wird, um die Geometrie von hoch-dimensionalen Räumen zu definieren.) Umgekehrt ist es häufig nützlich, die Geometrie von Kartesianischen Koordinaten in zwei oder drei Dimensionen zu verwenden, um sich algebraische Beziehungen zwischen zwei oder drei von vielen Nichtraumvariablen zu vergegenwärtigen.

Der Graph einer Funktion oder Beziehung ist der Satz aller Punkte, die diese Funktion oder Beziehung befriedigen. Für eine Funktion einer Variable, f, des Satzes aller Punkte (x, y), wo y = f (x) der Graph der Funktion f ist. Für eine Funktion von zwei Variablen, g, dem Satz aller Punkte (x, y, z), wo z = g (x, y) der Graph der Funktion g ist. Eine Skizze des Graphen solch einer Funktion oder Beziehung würde aus allen hervorspringenden Teilen der Funktion oder Beziehung bestehen, die seinen relativen extrema, seine Konkavität und Punkte der Beugung, irgendwelche Punkte der Diskontinuität und seines Endverhaltens einschließen würde. Alle diese Begriffe werden in der Rechnung mehr völlig definiert. Solche Graphen sind in der Rechnung nützlich, um die Natur und das Verhalten einer Funktion oder Beziehung zu verstehen.

Bemerken Sie dass Positionen auf einer Oberfläche in der Navigationsgebrauch-Breite und Länge in einem ähnlichen zwei dimensionalen System. Jedoch werden die Koordinaten in der entgegengesetzten Folge, effektiv (y, x) geschrieben.

Siehe auch

• Diagramm von Jones, das vier Variablen aber nicht zwei plant.

Referenzen

Weiterführende Literatur

Links

• Kartesianisches Koordinatensystem
• Druckfähige kartesianische Koordinaten
• Beschreibung von MathWorld von Kartesianischen Koordinaten
• Koordinatenkonverter - wandelt sich zwischen polaren, Kartesianischen und kugelförmigen Koordinaten um
• Koordinaten eines Punkts Interaktives Werkzeug, um Koordinaten eines Punkts zu erforschen