Der chinesische Rest-Lehrsatz ist ein Ergebnis über Kongruenzen in der Zahlentheorie und seine Generalisationen in der abstrakten Algebra.

In seiner grundlegenden Form wird der chinesische Rest-Lehrsatz eine Nummer n bestimmen, die, wenn geteilt, durch einige gegebene Teiler gegebene Reste verlässt. Zum Beispiel wie ist die niedrigste Nummer n dass, wenn geteilt, durch 3 Blätter ein Rest 2, wenn geteilt, durch 5 Blätter ein Rest 3, und wenn geteilt, durch 7 Blätter ein Rest 2? Ein allgemeines einleitendes Beispiel ist eine Frau, die einem Polizisten sagt, dass sie ihren Korb von Eiern verloren hat, und dass, wenn sie drei auf einmal daraus genommen hat, sie mit 2 verlassen wurde, wenn sie fünf auf einmal daraus genommen hat, wurde sie mit 3 verlassen, und wenn sie sieben auf einmal daraus genommen hat, wurde sie mit 2 verlassen. Sie fragt dann den Polizisten, was die minimale Zahl von Eiern ist, die sie gehabt haben muss. Die Antwort auf beide Probleme ist 23.

Lehrsatz-Behauptung

Die ursprüngliche Form des Lehrsatzes, enthalten schreibt im dritten Jahrhundert n.Chr. Sun Zi suanjing ( Der Mathematische Klassiker von Sun Zi) durch den chinesischen Mathematiker Sun Tzu und später neu veröffentlicht in einem 1247-Buch von Qin Jiushao ein, der Shushu Jiuzhang ( Mathematische Abhandlung in Neun Abteilungen) ist eine Behauptung über gleichzeitige Kongruenzen (sieh Modularithmetik).

Nehmen Sie an, dass n, n, …, n positive ganze Zahlen sind, die pairwise coprime sind. Dann, für jede gegebene Folge von ganzen Zahlen a, a, besteht …, a, dort eine ganze Zahl x das Lösen des folgenden Systems von gleichzeitigen Kongruenzen.

:

x&\\equiv a_1 \pmod {n_1} \\

x&\\equiv a_2 \pmod {n_2} \\

& {}\\\\vdots \\

x&\\equiv a_k \pmod {n_k }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Außerdem sind alle Lösungen x dieses Systems kongruenter modulo das Produkt, N = nn … n.

Folglich für alle, wenn und nur wenn.

Manchmal können die gleichzeitigen Kongruenzen gelöst werden, selbst wenn der n's nicht pairwise coprime ist. Eine Lösung x besteht wenn und nur wenn:

:

Alle Lösungen x sind dann kongruenter modulo kleinstes Gemeinsames Vielfaches des n.

Sonne-Arbeit von Zi enthält weder einen Beweis noch einen vollen Algorithmus. Welche Beträge zu einem Algorithmus, um dieses Problem zu beheben, von Aryabhata beschrieben wurde (das 6. Jahrhundert; sieh). Spezielle Fälle des chinesischen Rest-Lehrsatzes waren auch Brahmagupta (das 7. Jahrhundert) bekannt, und erscheinen im Liber Abaci von Fibonacci (1202).

Eine moderne Neuformulierung des Lehrsatzes auf der algebraischen Sprache ist, dass für eine positive ganze Zahl mit erstem factorization wir den Isomorphismus zwischen einem Ring und dem direkten Produkt seiner Hauptmacht-Teile haben:

:

Existenz

Existenz kann durch einen ausführlichen Aufbau dessen gesehen werden. Wir werden die Notation verwenden, um das multiplicative Gegenteil dessen anzuzeigen, es wird genau definiert, wenn und coprime sind; der folgende Aufbau erklärt, warum die coprimality Bedingung erforderlich ist.

Fall von zwei Gleichungen

In Anbetracht des Systems (entsprechend)

: x&\\equiv a_1 \pmod {n_1} \\

x&\\equiv a_2 \pmod {n_2 }\

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Seitdem haben wir von der Identität von Bézout

:

Beide Seiten mit multiplizierend, bekommen wir

:

Wenn wir die Kongruenz modulo für den Ausdruck der rechten Seite nehmen, wird sie das sogleich gesehen

:

Aber wir wissen das

so weist das darauf hin, dass der Koeffizient des ersten Begriffes auf der rechten Seite Ausdruck sein sollte. Ähnlich können wir zeigen, dass der Koeffizient des zweiten Begriffes sein sollte.

Wir können jetzt den Wert definieren

:

und, wie man sieht, befriedigt es beide Kongruenzen durch das Reduzieren. Zum Beispiel

:

Allgemeiner Fall

Derselbe Typ von Bauarbeiten im allgemeinen Fall von Kongruenz-Gleichungen. Lassen Sie, das Produkt jedes Moduls zu sein, dann definieren

:

und, wie man sieht, befriedigt das das System von Kongruenzen durch eine ähnliche Berechnung wie zuvor.

Die Entdeckung der Lösung mit der grundlegenden Algebra und Modularithmetik

Denken Sie zum Beispiel das Problem, eine ganze Zahl x solch dass zu finden

:

x&\\equiv 2 \pmod {3 }\\\

x&\\equiv 3 \pmod {4 }\\\

x&\\equiv 1 \pmod {5 }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Eine Annäherung der rohen Gewalt wandelt diese Kongruenzen in Sätze um und schreibt die Elemente zum Produkt (die Lösungen modulo 60 für jede Kongruenz) aus:

:x  {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59, … }\

:x  {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, … }\

:x  {1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, … }\

Um einen x zu finden, der alle drei Kongruenzen befriedigt, schneiden Sie die drei Sätze durch, um zu kommen:

:x  {11, … }\

Der als ausgedrückt werden kann

:

Eine andere Weise, eine Lösung zu finden, ist mit der grundlegenden Algebra, der Modularithmetik und dem schrittweisen Ersatz.

Wir fangen an, indem wir diese Gleichwertigkeiten in Gleichungen für einen t, s, und u übersetzen:

• Gleichung 1:
• Gleichung 2:
• Gleichung 3:

Anfang durch das Ersetzen des x von der Gleichung 1 in die Gleichwertigkeit 2: 2 + 3 × t = 3 (mod 4), folglich 3 × t = 1 (mod 4) oder t = (1/3) (mod 4) = 3 (mod 4), dass t = 3 + 4 × s für die ganze Zahl s bedeutend.

Stecken Sie t in die Gleichung 1 ein: x = 2 + 3 × t (mod 3) = 2 + 3 × (3 + 4 × s) (mod 3) = 11 + 12 × s (mod 3).

Stecken Sie diesen x in die Gleichwertigkeit 3 ein: 11 + 12 × s = 1 (mod 5). 5s vertreibend, kommen wir 1 + 2 × s = 1 (mod 5) oder 2 × s = 0 (mod 5), dass s = 0 + 5 × u für die ganze Zahl u meinend.

Schließlich, x = 11 + 12 × s = 11 + 12 × (5 × u) = 11 + (60 × u). Seitdem 60 = lcm (3, 4, 5), haben wir Lösungen 11, 71, 131, 191, …

Ein konstruktiver Algorithmus, um die Lösung zu finden

Der folgende Algorithmus gilt nur, wenn 's pairwise coprime sind. (Für gleichzeitige Kongruenzen, wenn die Module nicht pairwise coprime sind, kann die Methode des aufeinander folgenden Ersatzes häufig Lösungen nachgeben.)

Denken Sie als oben, dass eine Lösung für das System von Kongruenzen erforderlich ist:

:

Wieder, um zu beginnen, wird das Produkt definiert. Dann kann eine Lösung x wie folgt gefunden werden.

Für jeden ich die ganzen Zahlen und sind coprime. Mit dem verlängerten Euklidischen Algorithmus können wir ganze Zahlen und solch dass finden. Dann, das Etikett wählend, wird der obengenannte Ausdruck:

:

In Betracht ziehen. Die obengenannte Gleichung versichert, dass sein Rest, wenn geteilt, dadurch, 1 sein muss. Andererseits, da es als gebildet wird, versichert die Anwesenheit von N, dass es durch irgendwelchen so lange gleichmäßig teilbar ist.

:

Wegen dessen, das mit den in Kongruenzen erlaubten Multiplikationsregeln verbunden ist, ist eine Lösung des Systems von gleichzeitigen Kongruenzen:

:Denken Sie zum Beispiel das Problem, eine ganze Zahl x solch dass zu finden: x&\\equiv 2 \pmod {3 }\\\ x&\\equiv 3 \pmod {4 }\\\ x&\\equiv 1 \pmod {5 }\\end {richten} </Mathematik> {aus}

Mit dem verlängerten Euklidischen Algorithmus, für x modulo 3 und 20 [4×5], finden wir (13) × 3 + 2 × 20 = 1, d. h. e = 40. Für x modulo 4 und 15 [3×5] kommen wir (11) &times; 4 + 3 × 15 = 1, d. h. e = 45. Schließlich, für x modulo 5 und 12 [3×4], bekommen wir 5 × 5 + (2) × 12 = 1, d. h. e = 24. Eine Lösung x ist deshalb 2 × 40 + 3 × 45 + 1 × (24) = 191. Alle anderen Lösungen sind zu 191 modulo 60, [3 × 4 × 5 = 60] kongruent, was bedeutet, dass sie alle zu 11 modulo 60 kongruent sind.

Zeichen: Es gibt vielfache Durchführungen des verlängerten Euklidischen Algorithmus, der verschiedene Sätze nachgeben wird, und. Diese Sätze werden jedoch dieselbe Lösung erzeugen; d. h., (20) 2 + (15) 3 + (24) 1 = 109 = 11 modulo 60.

Behauptung für ideale Hauptgebiete

Für ein ideales Hauptgebiet R der chinesische Rest-Lehrsatz nimmt die folgende Form an: Wenn u, …, u Elemente von R sind, die pairwise coprime sind, und u das Produkt u … u anzeigt, dann ist der Quotient-Ring R/uR und das Produkt rufen R/uR× … ×R/uR an, über den Isomorphismus isomorph

:

solch dass

:

Diese Karte ist bestimmt und ein Isomorphismus von Ringen; der umgekehrte Isomorphismus kann wie folgt gebaut werden. Für jeden bin ich, die Elemente u und u/u coprime, und deshalb dort bestehen Sie Elemente r und s in R mit

:

Satz e = s u/u. Dann ist das Gegenteil von f die Karte

:solch dass:

g (a_1 + u_1R, \ldots, a_k + u_kR) =

\left (\sum_ {i=1} ^k a_i \frac {u} {u_i} \left [\left (\frac {u} {u_i }\\Recht) ^ {-1 }\\Recht] _ {u_i} \right) + uR \quad\mbox {für alle} a_1, \ldots, a_k \in R

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass diese Behauptung eine aufrichtige Generalisation des obengenannten Lehrsatzes über Kongruenzen der ganzen Zahl ist: Der Ring Z ganzer Zahlen ist ein ideales Hauptgebiet, der surjectivity der Karte f zeigt dass jedes System von Kongruenzen der Form

:

kann für x gelöst werden, und der injectivity der Karte f zeigt, dass alle Lösungen x kongruenter modulo u sind.

Behauptung für allgemeine Ringe

Die allgemeine Form des chinesischen Rest-Lehrsatzes, der alle Behauptungen einbezieht, die oben gegeben sind, kann für Ersatzringe und Ideale formuliert werden. Wenn R ein Ersatzring und ich, … ist, bin ich Ideale von R, die pairwise coprime sind (das Meinen dass für alle), dann klingelt das Produkt I dieser Ideale sind ihrer Kreuzung und dem Quotienten gleich R/I ist zum Produktring R/I × R/I × … × R/I über den Isomorphismus isomorph

:solch dass:

Hier ist eine Version des Lehrsatzes, wo R nicht erforderlich ist, auswechselbar zu sein:

Lassen Sie R jeder Ring mit 1 (nicht notwendigerweise auswechselbar) sein und pairwise coprime 2-seitige Ideale zu sein. Dann ist der kanonische R-Modul-Homomorphismus auf mit dem Kern. Folglich, (als R-Module).

Anwendungen

• Im RSA Algorithmus werden Berechnungen modulo n gemacht, wo n ein Produkt von zwei großen Primzahlen p und q ist. 1,024-2,048- oder ganze 4,096-Bit-Zahlen werden n allgemein verwendet, Berechnungen im sehr zeitraubenden machend. Durch den chinesischen Rest-Lehrsatz, jedoch, können diese Berechnungen im isomorphen Ring stattdessen getan werden. Da p und q normalerweise ungefähr derselben Größe sind, die darüber ist, sind Berechnungen in der letzten Darstellung viel schneller. Bemerken Sie, dass RSA Algorithmus-Durchführungen mit diesem Isomorphismus gegen Schuld-Spritzenangriffe empfindlicher sind.
• Der chinesische Rest-Lehrsatz kann auch verwendet werden, um eleganten für Folgen numerierenden Gödel zu bauen, der erforderlich ist, um die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel zu beweisen.
• Das folgende Beispiel zeigt eine Verbindung mit der klassischen polynomischen Interpolationstheorie. Lassen Sie r komplizierte Punkte ("Interpolationsknoten"), zusammen mit den komplizierten Daten, für alle gegeben werden und

::

:Introducing die Polynome

::

:the-Problem kann als ein System von gleichzeitigen Kongruenzen gleichwertig wiederformuliert werden:

::

:By der chinesische Rest-Lehrsatz im idealen Hauptgebiet, es gibt einen einzigartigen solches Polynom mit dem Grad

::

:so das. Dann wird eine Lösung des gleichzeitigen Kongruenz-Systems durch das Polynom gegeben

::

:and die minimale Grad-Lösung ist dieser, hat modulo reduziert, der das einzigartige mit dem Grad weniger ist als n.

• Der chinesische Rest-Lehrsatz kann auch im Geheimnis-Teilen verwendet werden, das daraus besteht, eine Reihe von Anteilen unter einer Gruppe von Leuten zu verteilen, die, alle zusammen (außer keinem allein), ein bestimmtes Geheimnis vom gegebenen Satz von Anteilen wieder erlangen können. Jeder der Anteile wird in einer Kongruenz vertreten, und die Lösung des Systems von Kongruenzen mit dem chinesischen Rest-Lehrsatz ist das Geheimnis, wieder erlangt zu werden. Das heimliche Teilen des Verwendens des chinesischen Rest-Lehrsatz-Gebrauches, zusammen mit dem chinesischen Rest-Lehrsatz, den speziellen Folgen von ganzen Zahlen, die die Unmöglichkeit versichern, das Geheimnis von einer Reihe von Anteilen mit weniger als einem bestimmten cardinality wieder zu erlangen.
• Der Gute-Thomas schnelle Fourier gestaltet Algorithmus-Großtaten ein Wiederindexieren der auf dem chinesischen Rest-Lehrsatz gestützten Daten um. Der Hauptfaktor FFT Algorithmus enthält eine Durchführung.
• Der Lehrsatz von Dedekind auf der geradlinigen Unabhängigkeit von Charakter-Staaten (in einer seiner allgemeinsten Formen), dass, wenn M ein monoid und k ist, ein integriertes Gebiet ist, dann ist jede begrenzte Familie des verschiedenen monoid Homomorphismus (wo die monoid Struktur auf k durch die Multiplikation gegeben wird) linear unabhängig; d. h. jede Familie der Element-Zufriedenheit muss der Familie gleich sein.

:Proof mit dem chinesischen Rest-Lehrsatz: Nehmen Sie erstens an, dass k ein Feld ist (sonst, ersetzen Sie das integrierte Gebiet k durch sein Quotient-Feld, und nichts wird sich ändern). Wir können den monoid Homomorphismus zum K-Algebra-Homomorphismus geradlinig erweitern, wo der monoid Ring der M über k ist. Dann trägt die Bedingung durch die Linearität. Jetzt bemerken wir, dass, wenn zwei Elemente des Index sind, I untergeht, dann stellen die zwei k-linear kartografisch dar und sind zu einander nicht proportional (weil, wenn sie dann waren und auch zu einander proportional, und so einander seitdem gleich sein würden (da und monoid Homomorphismus sind), der Annahme dass sie widersprechend, verschieden sein). Folglich sind ihre Kerne und verschieden. Jetzt, ist ein maximales Ideal für jeden (da ein Feld ist), und die Ideale und coprime sind, wann auch immer (da sie verschieden und maximal sind). Der chinesische Rest-Lehrsatz (für allgemeine Ringe) gibt so das die Karte nach

::

:given durch

:: für den ganzen

:is ein Isomorphismus, wo. Folglich, die Karte

:::given durch:: für den ganzen

:is surjective. Unter dem Isomorphismus entspricht diese Karte der Karte

:::given durch

:: für jeden

:Now, Erträge für jeden Vektoren im Image der Karte. Seitdem ist surjective, das bedeutet das für jeden Vektoren. Folglich, QED.

Nichtersatzfall: ein Gegenbeispiel

Der chinesische Rest-Lehrsatz hält im Nichtersatzfall nicht. Denken Sie den Ring R echter Nichtersatzpolynome in x und y. Lassen Sie mich das zweiseitige Hauptideal sein, das durch x und J das zweiseitige Hauptideal erzeugt ist, das dadurch erzeugt ist. Dann, aber.

Beweis

Bemerken Sie, dass ich durch alle Polynome mit einem x in jedem Begriff gebildet werde, und dass jedes Polynom in J unter dem Ersatz verschwindet. Denken Sie das Polynom. Klar. Definieren Sie einen Begriff in R als ein Element des multiplicative monoid R, der durch x und y erzeugt ist. Definieren Sie den Grad eines Begriffes als der übliche Grad des Begriffes nach dem Ersatz. Andererseits denken. Bemerken Sie, dass ein Begriff in q des maximalen Grads von y sonst q unter dem Ersatz abhängt, kann nicht verschwinden. Dasselbe geschieht dann für ein Element. Bemerken Sie, dass dem letzten y, vom linken bis Recht, in einem Begriff des maximalen Grads in einem Element dessen durch mehr als einen x. vorangegangen wird (Wir zählen hier das ganze Vorangehen xs auf. Z.B, im letzten y wird durch xs vorangegangen.) Beweist das, dass seit diesem letzten y in einem Begriff des maximalen Grads durch nur einen x vorangegangen wird. Folglich.

Andererseits ist es im Allgemeinen wahr, dass einbezieht. Um das zu sehen, bemerken Sie das, während die entgegengesetzte Einschließung offensichtlich ist. Außerdem haben wir im Allgemeinen, dass, zur Verfügung gestellt pairwise coprime zweiseitige Ideale in R, die natürliche Karte sind

:

ist ein Isomorphismus. Bemerken Sie, dass das durch eine Summe über die ganze Einrichtung ihres Produktes (oder gerade eine Summe über genug Einrichtung, mit induktiv das für coprime Ideale) ersetzt werden kann.

Siehe auch

• Bedeckung des Systems
• Grundsatz von Hasse
• Rückstand-Zahl-System
• Das heimliche Teilen mit dem chinesischen Rest-Lehrsatz
• Donald Knuth. Die Kunst der Computerprogrammierung, Bands 2: Halbnumerische Algorithmen, die Dritte Ausgabe. Addison-Wesley, 1997. Internationale Standardbuchnummer 0-201-89684-2. Abschnitt 4.3.2 (Seiten 286-291), trainieren Sie 4.6.2-3 (Seite 456).
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest und Clifford Stein. Einführung in Algorithmen, die Zweite Ausgabe. MIT Presse und McGraw-Hügel, 2001. Internationale Standardbuchnummer 0-262-03293-7. Abschnitt 31.5: Der chinesische Rest-Lehrsatz, Seiten 873-876.

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Links

• "Chinesischer Rest-Lehrsatz" durch Ed Pegg den Jüngeren. Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.
• C# Programm und Diskussion an codeproject
• Universität des Systems von Hawaiiinseln CRT durch die Lee-Dame
• Voller Text von Sunzi Suanjing (Chinesisch) - chinesisches Textprojekt