In der mathematischen Analyse wird eine metrische RaumM abgeschlossen genannt (oder Cauchy), wenn jede Cauchyfolge von Punkten in der M eine Grenze hat, die auch in der M oder wechselweise ist, wenn jede Cauchyfolge in der M in M. zusammenläuft

Intuitiv ist ein Raum abgeschlossen, wenn es keine "Punkte gibt, die" davon (innen oder an der Grenze) fehlen. Zum Beispiel ist der Satz von rationalen Zahlen nicht abgeschlossen, weil z.B davon "vermisst" wird, wenn auch man eine Cauchyfolge von rationalen Zahlen bauen kann, die dazu zusammenläuft. (Sieh die Beispiele unten.) Es ist immer möglich, alle Löcher "zu füllen", zur Vollziehung eines gegebenen Raums, wie erklärt, unten führend.

Beispiele

Der Raum Q rationaler Zahlen, mit dem Standard metrisch gegeben durch den absoluten Wert, ist nicht abgeschlossen. Betrachten Sie zum Beispiel die Folge als definiert durch und. Das ist eine Cauchyfolge von rationalen Zahlen, aber sie läuft zu keiner vernünftigen Grenze zusammen: Wenn die Folge wirklich eine Grenze x hatte, dann notwendigerweise x = 2 noch hat keine rationale Zahl dieses Eigentum. Jedoch, betrachtet als eine Folge von reellen Zahlen, läuft es wirklich zur irrationalen Zahl zusammen.

Der offene Zwischenraum (0, 1), wieder mit dem absoluten metrischen Wert, ist nicht vollenden auch. Die Folge, die durch x = definiert ist, ist Cauchy, aber hat keine Grenze im gegebenen Raum. Jedoch ist der geschlossene Zwischenraum [0, 1] abgeschlossen; die gegebene Folge hat wirklich eine Grenze in diesem Zwischenraum.

Der Raum R reeller Zahlen und des Raums C komplexer Zahlen (mit dem metrischen, das durch den absoluten Wert gegeben ist), ist abgeschlossen, und ist auch Euklidischer Raum R mit der üblichen metrischen Entfernung. Im Gegensatz können unendlich-dimensionale normed Vektorräume oder können nicht abgeschlossen sein; diejenigen, die abgeschlossen sind, sind Banachräume. Der Raum C [a, b] dauernder reellwertiger Funktionen auf einem geschlossenen und begrenzten Zwischenraum ist ein Banachraum, und so ein ganzer metrischer Raum in Bezug auf die Supremum-Norm. Jedoch gibt die Supremum-Norm keine Norm auf dem Raum C (a, b) dauernder Funktionen darauf (a, b), weil es unbegrenzte Funktionen enthalten kann. Statt dessen mit der Topologie der Kompaktkonvergenz, C (a, b) kann die Struktur eines Raums von Fréchet gegeben werden: Ein lokal konvexer topologischer Vektorraum, dessen Topologie durch eine ganze metrische Übersetzung-invariant veranlasst werden kann.

Der Raum Q p-adic Zahlen ist für jede Primzahl p abgeschlossen. Dieser Raum vollendet Q mit dem p-adic metrischen ebenso, dass R Q mit dem üblichen metrischen vollendet.

Wenn S ein willkürlicher Satz ist, dann wird der Satz S aller Folgen in S ein ganzer metrischer Raum, wenn wir die Entfernung zwischen den Folgen (x) und (dem y) definieren, um zu sein, wo N der kleinste Index ist, für den x von y, oder 0 verschieden ist, wenn es keinen solchen Index gibt. Dieser Raum ist homeomorphic zum Produkt einer zählbaren Zahl von Kopien des getrennten Raums S.

Einige Lehrsätze

Ein metrischer Raum X ist abgeschlossen, wenn, und nur wenn jede abnehmende Folge von nichtleeren geschlossenen Teilmengen X, mit Diametern, die zu 0 neigen, eine nichtleere Kreuzung hat: Wenn F geschlossen und, für jeden n und diam (F)  0 nichtleer wird, dann gibt es einen Punkt x  X üblich für alle Sätze F.

Jeder metrische Kompaktraum ist abgeschlossen, obwohl ganze Räume nicht kompakt zu sein brauchen. Tatsächlich ist ein metrischer Raum kompakt, wenn, und nur wenn es abgeschlossen und völlig begrenzt ist. Das ist eine Generalisation des Lehrsatzes von Heine-Borel, der feststellt, dass jeder geschlossene und begrenzte Subraum S R kompakt ist und vollenden Sie deshalb.

Ein geschlossener Subraum eines ganzen Raums ist abgeschlossen. Umgekehrt wird eine ganze Teilmenge eines metrischen Raums geschlossen.

Wenn X ein Satz ist und M ein ganzer metrischer Raum ist, dann ist der Satz B (X, M) des ganzen begrenzten Funktions-ƒ von X bis M ein ganzer metrischer Raum. Hier definieren wir die Entfernung in B (X, M) in Bezug auf die Entfernung in der M als

Wenn X ein topologischer Raum ist und M ein ganzer metrischer Raum ist, dann ist der Satz C (X, M), aus dem ganzen dauernden begrenzten Funktions-ƒ von X bis M bestehend, ein geschlossener Subraum von B (X, M), und vollenden Sie folglich auch.

Der Baire Kategorie-Lehrsatz sagt, dass jeder ganze metrische Raum ein Raum von Baire ist. D. h. die Vereinigung von zählbar vielen nirgends dichte Teilmengen des Raums hat leeres Interieur.

Fester Punkt-Lehrsatz des Banach stellt fest, dass eine auf einem ganzen metrischen Raum kartografisch darstellende Zusammenziehung einen festen Punkt zulässt. Der feste Punkt-Lehrsatz wird häufig verwendet, um den umgekehrten Funktionslehrsatz auf ganzen metrischen Räumen wie Banachräume zu beweisen.

Die eines metrischen Raums unveränderliche Vergrößerung ist der infimum aller Konstanten solch das, wann auch immer die Familie pairwise, die Kreuzung durchschneidet

nichtleer. Ein metrischer Raum ist abgeschlossen, wenn, und nur wenn seine unveränderliche Vergrößerung  2 ist.

Vollziehung

Für jede metrische RaumM kann man eine ganze metrische RaumM' bauen (der auch als angezeigt wird), der M als ein dichter Subraum enthält. Es hat das folgende universale Eigentum: Wenn N ein ganzer metrischer Raum ist und f jede gleichförmig dauernde Funktion von der M bis N ist, dann dort besteht eine einzigartige gleichförmig dauernde Funktion f' von der M' zu N, der f erweitert. Die RaumM' wird bis zur Isometrie durch dieses Eigentum bestimmt, und wird die Vollziehung der M genannt.

Die Vollziehung der M kann als eine Reihe von Gleichwertigkeitsklassen von Cauchyfolgen in der M gebaut werden. Für irgendwelche zwei Cauchyfolgen (x) und (y) in der M können wir ihre Entfernung als definieren

(Diese Grenze besteht, weil die reellen Zahlen abgeschlossen sind.) Ist das nur ein pseudometrischer, noch nicht ein metrischer, da zwei verschiedene Cauchyfolgen die Entfernung 0 haben können. Aber "Entfernung 0 zu haben", ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem Satz aller Cauchyfolgen, und der Satz von Gleichwertigkeitsklassen ist ein metrischer Raum, die Vollziehung der M. Der ursprüngliche Raum wird in diesem Raum über die Identifizierung eines Elements x der M mit der Gleichwertigkeitsklasse von Folgen eingebettet, die zu x (d. h., die Gleichwertigkeitsklasse zusammenlaufen, die die Folge mit dem unveränderlichen Wert x enthält). Das definiert eine Isometrie auf einen dichten Subraum, wie erforderlich. Bemerken Sie jedoch, dass dieser Aufbau ausführlichen Gebrauch der Vollständigkeit der reellen Zahlen macht, so braucht die Vollziehung der rationalen Zahlen eine ein bisschen verschiedene Behandlung.

Der Aufbau des Kantoren der reellen Zahlen ist dem obengenannten Aufbau ähnlich; die reellen Zahlen sind die Vollziehung der rationalen Zahlen mit dem gewöhnlichen absoluten Wert, um Entfernungen zu messen. Die zusätzliche Subtilität, um damit zu kämpfen, ist, dass es nicht logisch erlaubt ist, die Vollständigkeit der reellen Zahlen in ihrem eigenen Aufbau zu verwenden. Dennoch werden Gleichwertigkeitsklassen von Cauchyfolgen als oben definiert, und, wie man leicht zeigt, ist der Satz von Gleichwertigkeitsklassen ein Feld, das die rationalen Zahlen als ein Teilfeld hat. Dieses Feld ist abgeschlossen, lässt eine natürliche Gesamteinrichtung zu, und ist das einzigartige völlig bestellte ganze Feld (bis zum Isomorphismus). Es wird als das Feld von reellen Zahlen definiert (sieh auch Aufbau der reellen Zahlen für mehr Details). Eine Weise, sich diese Identifizierung mit den reellen Zahlen, wie gewöhnlich angesehen, zu vergegenwärtigen, besteht darin, dass die Gleichwertigkeitsklasse, die aus jenen Cauchyfolgen von rationalen Zahlen besteht, die eine vorgeschriebene echte Grenze haben sollten, mit dieser reellen Zahl identifiziert wird. Die Stutzungen der dezimalen Vergrößerung geben gerade eine Wahl der Cauchyfolge in der relevanten Gleichwertigkeitsklasse.

Für einen ersten p entstehen die p-adic Zahlen durch die Vollendung der rationalen Zahlen in Bezug auf einen verschiedenen metrischen.

Wenn das frühere Vollziehungsverfahren auf einen normed Vektorraum angewandt wird, ist das Ergebnis ein Banachraum, der den ursprünglichen Raum als ein dichter Subraum enthält, und wenn es auf einen Skalarprodukt-Raum angewandt wird, ist das Ergebnis ein Raum von Hilbert, der den ursprünglichen Raum als ein dichter Subraum enthält.

Topologisch ganze Räume

Bemerken Sie, dass Vollständigkeit ein Eigentum des metrischen und nicht von der Topologie ist, bedeutend, dass ein ganzer metrischer Raum homeomorphic zu einem nichtganzen sein kann. Ein Beispiel wird durch die reellen Zahlen angeführt, die abgeschlossen sind, aber homeomorphic zum offenen Zwischenraum (0, 1), der nicht abgeschlossen ist. Ein anderes Beispiel wird durch die irrationalen Zahlen angeführt, die als ein Subraum der reellen Zahlen nicht abgeschlossen sind, aber homeomorphic zu N sind (sieh das Folge-Beispiel in Beispielen oben).

In der Topologie betrachtet man topologisch als abgeschlossen (oder völlig metrizable) Räume, Räume, für die dort besteht, mindestens ein vollenden das metrische Verursachen der gegebenen Topologie. Völlig können Metrizable-Räume als jene Räume charakterisiert werden, die als eine Kreuzung von zählbar vielen offenen Teilmengen von einem ganzen metrischen Raum geschrieben werden können. Da der Beschluss des Kategorie-Lehrsatzes von Baire rein topologisch ist, gilt es für diese Räume ebenso.

Ein topologischer Raum homeomorphic zu einem trennbaren ganzen metrischen Raum wird einen polnischen Raum genannt.

Alternativen und Generalisationen

Da Cauchyfolgen auch in allgemeinen topologischen Gruppen definiert werden können, soll eine Alternative zum Verlassen auf eine metrische Struktur, um Vollständigkeit zu definieren und die Vollziehung eines Raums zu bauen, eine Gruppenstruktur verwenden. Das wird meistenteils im Zusammenhang von topologischen Vektorräumen gesehen, aber verlangt nur die Existenz einer dauernden "Subtraktions"-Operation. In dieser Einstellung, der Entfernung zwischen zwei Punkten und wird nicht durch eine reelle Zahl über das metrische im Vergleich gemessen

Eine allgemeine Verallgemeinerung dieser Definitionen kann im Zusammenhang eines gleichförmigen Raums gefunden werden, wo eine Umgebung die eine Reihe aller Paare von Punkten ist, die in nicht mehr als einer besonderen "Entfernung" von einander sind.

Es ist auch möglich, Cauchyfolgen in der Definition der Vollständigkeit durch Netze von Cauchy oder Filter von Cauchy zu ersetzen. Wenn jedes Netz von Cauchy (oder gleichwertig jeder Filter von Cauchy) eine Grenze in X haben, dann X wird abgeschlossen genannt. Man kann außerdem eine Vollziehung für einen willkürlichen gleichförmigen der Vollziehung von metrischen Räumen ähnlichen Raum bauen. Die allgemeinste Situation, in der Netze von Cauchy gelten, ist Räume von Cauchy; diese haben auch einen Begriff der Vollständigkeit und Vollziehung gerade wie gleichförmige Räume.

Ein topologischer Raum kann völlig uniformisable sein, ohne völlig metrisable zu sein; es ist dann noch immer nicht topologisch vollenden.

Siehe auch

• Lehrsatz von Knaster-Tarski
• Vollziehung (rufen Theorie an)
• Kreyszig, Erwin, Einleitende Funktionsanalyse mit Anwendungen (Wiley, New York, 1978). Internationale Standardbuchnummer 0 471 03729 X
• Lang, Serge, "Echte und Funktionsanalyse" internationale Standardbuchnummer 0-387-94001-4