Dezimalzahl

:This-Artikel hat zum Ziel, eine zugängliche Einführung zu sein. Für die mathematische Definition, sieh Dezimaldarstellung.

Das dezimale Ziffer-System (auch genannt Basis zehn oder gelegentlich denary) hat zehn als seine Basis. Es ist die numerische durch moderne Zivilisationen am weitesten verwendete Basis.

Dezimale Notation verweist häufig auf eine Basis 10 Stellungsnotation wie das System der Hinduistischen Arabischen Ziffer; jedoch kann es auch mehr allgemein verwendet werden, um sich auf Nichtstellungssysteme wie römische oder chinesische Ziffern zu beziehen, die auch auf Mächten zehn basieren.

Dezimalzahlen beziehen sich auch auf Dezimalbrüche entweder getrennt oder im Gegensatz zu vulgären Bruchteilen. In diesem Zusammenhang ist eine Dezimalzahl ein zehnter Teil, und Dezimalzahlen werden eine Reihe des verschachtelten Zehntels. Es gab eine Notation im Gebrauch wie 'zehnter Meter', die zehnte Dezimalzahl des Meters, zurzeit ein Angström bedeutend. Die Unähnlichkeit hier ist zwischen Dezimalzahlen und vulgären Bruchteilen, und dezimalen Abteilungen und anderen Abteilungen von Maßnahmen wie der Zoll. Es ist möglich, einer dezimalen Vergrößerung mit einem vulgären Bruchteil zu folgen; das wird mit den neuen Abteilungen der Troygewicht-Unze getan, die drei Plätze von Dezimalzahlen hat, die von einem Trinary-Platz gefolgt sind.

Dezimale Notation

Dezimale Notation ist das Schreiben von Zahlen in einer Basis 10 Ziffer-System. Beispiele sind Römische Ziffern, Ziffern von Brahmi, und chinesische Ziffern, sowie die von Sprechern von vielen europäischen Sprachen verwendeten Hinduistischen Arabischen Ziffern. Römische Ziffern haben Symbole für die dezimalen Mächte (1, 10, 100, 1000) und sekundäre Symbole für die Hälfte dieser Werte (5, 50, 500). Ziffern von Brahmi haben Symbole für die neun Nummern 1-9, die neun Jahrzehnte 10-90, plus ein Symbol für 100 und ein anderer für 1000. Chinesische Ziffern haben Symbole für 1-9 und zusätzliche Symbole für Mächte 10, die im modernen Gebrauch 10 reichen.

Jedoch, wenn Leute, die Hinduistische Arabische Ziffern verwenden, von der dezimalen Notation sprechen, haben sie häufig nicht nur dezimales Zählen, als oben, sondern auch Dezimalbrüche, alle befördert als ein Teil eines Stellungssystems vor. Dezimale Stellungssysteme schließen eine Null ein und verwenden Symbole (genannt Ziffern) für die zehn Werte (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, und 9), um jede Zahl, egal wie groß oder wie klein zu vertreten. Diese Ziffern werden häufig mit einer Trennung von Dezimalstellen verwendet, die den Anfang eines Bruchteils, und mit einem Symbol wie das Pluszeichen + (für den positiven) oder minus das Zeichen  (für die Verneinung) neben der Ziffer anzeigt, um anzuzeigen, ob es größer ist oder weniger als Null beziehungsweise.

Stellungsnotation verwendet Positionen für jede Macht zehn: Einheiten, Zehnen, Hunderte, Tausende, usw. Die Position jeder Ziffer innerhalb einer Zahl zeigt den Vermehrer (Macht zehn) multipliziert mit dieser Ziffer an — jede Position hat einen Wert zehnmal mehr als das der Position an seiner rechten Seite. Es gab mindestens zwei vermutlich unabhängige Quellen von dezimalen Stellungssystemen in der alten Zivilisation: Das chinesische zählende Stange-System und das System der Hinduistischen Arabischen Ziffer (sind die Letzteren von Ziffern von Brahmi hinuntergestiegen).

Zehn ist die Zahl, die die Zählung von Fingern und Daumen auf beiden Händen (oder Zehen auf den Füßen) ist. Die englische Wortziffer sowie seine Übersetzung auf vielen Sprachen ist auch der anatomische Begriff für Finger und Zehen. In Englisch, Dezimalzahl (decimus

:1/2 = 0.5

:1/20 = 0.05

:1/5 = 0.2

:1/50 = 0.02

:1/4 = 0.25

:1/40 = 0.025

:1/25 = 0.04

:1/8 = 0.125

:1/125 = 0.008

:1/10 = 0.1

Wenn der Nenner der rationalen Zahl irgendwelche Hauptfaktoren außer 2 oder 5 hat, kann er nicht als ein begrenzter Dezimalbruch ausgedrückt werden, und hat eine einzigartige schließlich periodische unendliche dezimale Vergrößerung.

:1/3 = 0.333333 … (mit dem 3 Wiederholen)

:1/9 = 0.111111 … (mit dem 1 Wiederholen)

100-1=99=9×11

:1/11 = 0.090909 … (mit dem 09 Wiederholen)

1000-1=9×111=27×37

:1/27 = 0.037037037 …

:1/37 = 0.027027027 …

:1/111 =0. 009009009 …

auch:

:1/81 = 0.012345679012 … (mit dem 012345679 Wiederholen)

Wie man

sehen kann, dass eine rationale Zahl eine begrenzte oder wiederkehrende dezimale Vergrößerung haben muss, ist eine Folge des langen Abteilungsalgorithmus, darin gibt es nur q-1 mögliche Nichtnullreste auf der Abteilung durch q, so dass das wiederkehrende Muster eine Periode weniger haben wird als q. Zum Beispiel, um 3/7 durch die lange Abteilung zu finden:

.

7) 3.0 0 0 0 0 0 0 0

30/7 = 4 r 2

2 0

20/7 = 2 r 6

6 0

60/7 = 8 r 4

4 0

40/7 = 5 r 5

5 0

50/7 = 7 r 1

1 0

10/7 = 1 r 3

3 0

30/7 = 4 r 2

2 0

usw.

Das gegenteilige zu dieser Beobachtung ist, dass jede wiederkehrende Dezimalzahl eine rationale Zahl p/q vertritt. Das ist eine Folge der Tatsache, dass der wiederkehrende Teil einer Dezimaldarstellung, tatsächlich, eine unendliche geometrische Reihe ist, die zu einer rationalen Zahl resümieren wird. Zum Beispiel,

:

Reelle Zahlen

Jede reelle Zahl hat (vielleicht unendlich) Dezimaldarstellung; d. h. es kann als geschrieben werden

:

wo

  • Zeichen ist die Zeichen-Funktion und
der
  • ein  {0,1, …, 9} für alles ich  Z ist seine dezimalen Ziffern, die der Null für alles ich gleich sind, größer als eine Zahl (dass Zahl, die der allgemeine Logarithmus von x ist).

Solch eine Summe läuft zusammen, als ich zunehme, selbst wenn es ungeheuer viele Nichtnull a gibt.

Rationale Zahlen (z.B, p/q) mit Hauptfaktoren im Nenner außer 2 und 5 (wenn reduziert, auf einfachste Begriffe) haben eine einzigartige wiederkehrende Dezimaldarstellung.

Nichteinzigartigkeit der Dezimaldarstellung

Denken Sie jene rationalen Zahlen, die nur die Faktoren 2 und 5 im Nenner haben, d. h., der als p / (25) geschrieben werden kann. In diesem Fall gibt es eine endende Dezimaldarstellung. Zum Beispiel, 1/1 = 1, 1/2 = 0.5, 3/5 = 0.6, 3/25 = 0.12 und 1306/1250 = 1.0448. Solche Zahlen sind die einzigen reellen Zahlen, die keine einzigartige Dezimaldarstellung haben, weil sie auch als eine Darstellung geschrieben werden können, die ein Wiederkehren 9, zum Beispiel 1 = 0.99999 …, 1/2 = 0.499999 … usw. hat. Die Nummer 0 = 0/1 ist darin speziell sie hat keine Darstellung mit dem Wiederkehren 9.

Das verlässt die irrationalen Zahlen. Sie haben auch einzigartige unendliche Dezimaldarstellungen, und können als die Zahlen charakterisiert werden, deren Dezimaldarstellungen weder enden noch wiederkehren.

So im Allgemeinen ist die Dezimaldarstellung einzigartig, wenn man Darstellungen ausschließt, die in einem Wiederkehren 9 enden.

Derselbe trichotomy hält für anderes Grund-N Stellungsziffer-Systeme:

  • Das Begrenzen der Darstellung: Vernünftig, wo der Nenner einen n teilt
  • Wiederkehrende Darstellung: anderer vernünftiger
  • Das Nichtenden, einmalige Darstellung: vernunftwidriger

Eine Version davon hält sogar für Vernunftwidrig-Grundzählen-Systeme wie Grunddarstellung der goldenen Mitte.

Dezimale Berechnung

Dezimale Berechnung wurde in alten Zeiten auf viele Weisen normalerweise auf Sand-Tischen oder mit einer Vielfalt von abaci ausgeführt.

Moderne Computerhardware und Softwaresysteme verwenden allgemein eine binäre Darstellung innerlich (obwohl viele frühe Computer, wie der ENIAC oder IBM 650, verwendete Dezimaldarstellung innerlich).

Für den Außengebrauch durch Computerfachmänner wird diese binäre Darstellung manchmal in den zusammenhängenden hexadecimal oder Oktalsystemen präsentiert.

Zu den meisten Zwecken, jedoch, werden binäre Werte zu oder von den gleichwertigen dezimalen Werten für die Präsentation dazu umgewandelt oder von Menschen eingegeben; Computerprogramme drücken Druckfehler in der Dezimalzahl standardmäßig aus. (123.1 wird zum Beispiel als solcher in einem Computerprogramm geschrieben, wenn auch viele Computersprachen unfähig sind, diese Zahl genau zu verschlüsseln.)

Sowohl Computerhardware als auch Software verwenden auch innere Darstellungen, die effektiv dezimal sind, um dezimale Werte zu versorgen und Arithmetik zu tun. Häufig wird diese Arithmetik auf Daten getan, die mit einer Variante der binär codierten Dezimalzahl, verschlüsselt werden

besonders in Datenbankdurchführungen, aber gibt es andere Dezimaldarstellungen im Gebrauch (solcher als im neuen IEEE 754 Standard für die Fließkommaarithmetik).

Dezimale Arithmetik wird in Computern verwendet, so dass dezimale Bruchergebnisse genau geschätzt werden können, der nicht das mögliche Verwenden einer binären Bruchdarstellung ist.

Das ist häufig für finanzielle und andere Berechnungen wichtig.

Geschichte

Viele alte Kulturen haben von bald mit Ziffern gerechnet, die auf zehn gestützt sind: Ägyptische Hieroglyphen, in Beweisen seit ungefähr 3000 v. Chr., haben ein rein dezimales System ebenso die Hieroglyphen von Cretan verwendet (ca. 16251500 v. Chr.) Minoans, dessen Ziffern nah auf dem ägyptischen Modell basieren. Das dezimale System wurde an die Konsekutivbronzezeit-Kulturen Griechenlands, einschließlich des Geradlinigen weitergegeben (ca. Das 18. Jahrhundert BC1450 v. Chr.) und Geradliniger B (ca. 13751200 v. Chr.) — hat das Zahl-System des klassischen Griechenlands auch Mächte zehn, einschließlich verwendet, wie die Römischen Ziffern, hat eine Zwischenbasis 5 getan. Namentlich, der Polymathearchimedes (c. 287-212 v. Chr.) hat ein dezimales Stellungssystem in seinem Sand-Rechner erfunden, der auf 10 basiert hat und später den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauss dazu gebracht hat zu bejammern, was Höhe-Wissenschaft bereits in seinen Tagen erreicht hätte, wenn Archimedes das Potenzial seiner genialen Entdeckung völlig begriffen hätte. Die hethitischen Hieroglyphen (seit dem 15. Jahrhundert v. Chr.), gerade wie die ägyptischen und frühen Ziffern in Griechenland, waren ausschließlich dezimal.

Die ägyptischen hieratic Ziffern, die griechischen Alphabet-Ziffern, die Römischen Ziffern, die chinesischen Ziffern und frühen Brahmi Indianerziffern sind alle dezimalen Nichtstellungssysteme und erforderliche große Anzahl von Symbolen. Zum Beispiel haben ägyptische Ziffern verschiedene Symbole für 10, 20, bis 90, 100, 200, bis 900, 1000, 2000, 3000, 4000, zu 10,000 verwendet.

Geschichte von Dezimalbrüchen

Gemäß Joseph Needham wurden Dezimalbrüche zuerst entwickelt und von den Chinesen im 1. Jahrhundert v. Chr. verwendet, und haben sich dann in den Nahen Osten und von dort nach Europa ausgebreitet. Die schriftlichen chinesischen Dezimalbrüche waren Nichtstellungs-. Jedoch waren Zählen-Stange-Bruchteile Stellungs-.

Qin Jiushao in seinem Buch Mathematische Abhandlung in Neun Abteilungen (1247) hat 0.96644 durch angezeigt

::::: 

::::: Bedeutung

::::: 

::::: 096644

Immanuel Bonfils hat Dezimalbrüche 1350 erfunden, Simon Stevin voraussehend, aber hat keine Notation entwickelt, um sie zu vertreten.

Persischer Mathematiker-Jamshīd al-Kāshī hat behauptet, Dezimalbrüche selbst im 15. Jahrhundert entdeckt zu haben, obwohl J. Lennart Berggren bemerkt, dass Stellungsdezimalbrüche fünf Jahrhunderte vor ihm vom arabischen Mathematiker Abu'l-Hasan al-Uqlidisi schon im 10. Jahrhundert verwendet wurden.

Khwarizmi hat Bruchteile in islamische Länder am Anfang des 9. Jahrhunderts eingeführt. Seine Darstellung von Bruchteilen wurde von traditionellen chinesischen mathematischen Bruchteilen genommen. Diese Form des Bruchteils mit dem Zähler auf der Spitze und dem Nenner auf dem Boden, ohne eine horizontale Bar, wurde auch im 10. Jahrhundert von Abu'l-Hasan al-Uqlidisi und wieder in der Arbeit des 15. Jahrhunderts "Arithmetischer Schlüssel" durch Jamshīd al-Kāshī verwendet.

Ein Vorzeichen der modernen europäischen dezimalen Notation wurde von Simon Stevin im 16. Jahrhundert vorgestellt.

Natürliche Sprachen

Sprache von Telugu verwendet ein aufrichtiges dezimales System. Andere drawidische Sprachen wie Tamilisch und Malayalam haben die Nummer neun tondu durch 'onpattu' ("ein bis zehn") während des frühen mittleren Alters ersetzt, während Telugu die Nummer neun als tommidi bewahrt hat.

Ein aufrichtiges dezimales Reihe-System mit einem Wort für jeden Auftrag 10 , 100 , 1000 , werden 10000 , und in dem 11 als zehn ein und 23 als zwei zehn drei, und 89345 ausgedrückt wird, als 89345 ausgedrückt, wird auf chinesischen Sprachen, und in Vietnamesisch mit einigen Unregelmäßigkeiten gefunden. Japanisch, Koreanisch und Thai haben das chinesische dezimale System importiert. Viele andere Sprachen mit einem dezimalen System haben spezielle Wörter für die Zahlen zwischen 10 und 20, und Jahrzehnte. Zum Beispiel in englischen 11 ist "elf" nicht "zehn ein".

Sprachen von Incan wie Quechua und Aymara haben ein fast aufrichtiges dezimales System, in dem 11 als zehn mit ein und 23 als zwei zehn mit drei ausgedrückt wird.

Einige Psychologen schlagen vor, dass Unregelmäßigkeiten der englischen Namen von Ziffern die zählende Fähigkeit von Kindern hindern können.

Andere Basen

Einige Kulturen, oder hat getan, verwenden Sie wirklich andere Basen von Zahlen.

  • Vorkolumbianische Mesoamerican Kulturen wie der Maya haben eine Basis 20 System verwendet (alle zwanzig Finger und Zehen verwendend).
  • Die Babylonier haben eine Kombination der Dezimalzahl mit der Basis 60 verwendet.
  • Viele oder alle Sprachen von Chumashan haben ursprünglich eine Basis 4 Zählen-System verwendet, in dem die Namen für Zahlen gemäß Vielfachen 4 und 16 strukturiert wurden.
  • Viele Sprachen verwenden quinare Zahl-Systeme, einschließlich Gumatj, Nunggubuyu, Kuurn Kopan Noot und Saraveca. Dieser ist Gumatj die einzige wahre 5-25 bekannte Sprache, in dem 25 die höhere Gruppe 5 ist.
  • Einige Nigerianer verwenden Basis 12 Systeme
Wie man
  • berichtet, hat die Huli Sprache Papua-Neuguineas Basis 15 Zahlen. Ngui hat 15, ngui ki Mittel 15×2 = 30 und ngui ngui Mittel 15×15 = 225 vor.
Wie man
  • berichtet, hat Umbu-Ungu, auch bekannt als Kakoli, Basis 24 Zahlen. Tokapu hat 24, tokapu talu Mittel 24×2 = 48 und tokapu tokapu Mittel 24×24 = 576 vor.
Wie man
  • berichtet, hat Ngiti eine Basis 32 Zahl-System mit der Basis 4 Zyklen.

Siehe auch

Außenverbindungen


Scheibe-Golf / Dorians
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