In der Mathematik ist ein diffeomorphism ein Isomorphismus in der Kategorie von glatten Sammelleitungen. Es ist eine Invertible-Funktion, die eine Differentiable-Sammelleitung zu einem anderen, solch kartografisch darstellt, dass sowohl die Funktion als auch sein Gegenteil glatt sind.

Definition

In Anbetracht zwei Sammelleitungen M und N wird eine bijektive Karte f von der M bis N einen diffeomorphism wenn beide genannt

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und sein Gegenteil

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sind differentiable (wenn diese Funktionen r Zeiten unaufhörlich differentiable sind, wird f einen-diffeomorphism genannt).

Zwei SammelleitungsM und N sind diffeomorphic (Symbol, das gewöhnlich ist), wenn es eine glatte bijektive Karte f von der M bis N mit einem glatten Gegenteil gibt. Sie sind diffeomorphic, wenn es r Zeiten unaufhörlich differentiable bijektive Karte zwischen ihnen gibt, deren Gegenteil auch r Zeiten unaufhörlich differentiable ist.

Diffeomorphisms von Teilmengen von Sammelleitungen

In Anbetracht einer Teilmenge X einer mannigfaltigen M und einer Teilmenge Y einer Sammelleitung N, eine Funktion f: Wie man sagt, sind X  Y wenn für den ganzen p in X glatt es gibt eine Nachbarschaft von p und einer glatten Funktion g: U  N solch, dass die Beschränkungen zustimmen (bemerken, dass g eine Erweiterung von f ist). Wir sagen, dass f ein diffeomorphism ist, wenn es bijektiv, glatt ist, und wenn sein Gegenteil glatt ist.

Lokale Beschreibung

Musterbeispiel: Wenn U und V zwei verbundene offene Teilmengen von solchem R sind, dass V einfach, eine differentiable Karte f verbunden wird: U  V ist ein diffeomorphism, wenn es richtig ist und wenn

• unterschiedlicher Df: R  ist R an jedem Punkt x in U bijektiv.

Bemerkungen:

• Es ist für U notwendig, einfach für die Funktion f verbunden zu werden, um allgemein invertible zu sein (unter der alleinigen Bedingung, dass seine Ableitung eine bijektive Karte an jedem Punkt ist).
• Denken Sie zum Beispiel die Karte (der der "realification" der komplizierten Quadratfunktion ist), wo U = V = R \{(0,0)}. Dann ist die Karte f surjective, und sein befriedigt (so Df ist an jedem Punkt bijektiv) noch f ist nicht invertible, weil es scheitert, injective, z.B, f (1,0) = (1,0) = f (-1,0) zu sein.
• Da das Differenzial an einem Punkt (für eine Differentiable-Funktion) eine geradlinige Karte ist, hat es ein gut definiertes Gegenteil, wenn, und nur wenn Df eine Bijektion ist. Die Matrixdarstellung von Df ist der n × n Matrix der ersten partiellen Ordnungsableitungen, deren Zugang in der i-th Reihe und j-th colomn ist. Wir verwenden häufig diese so genannte Matrix von Jacobian für die ausführliche Berechnung.
• Diffeomorphisms sind notwendigerweise zwischen Sammelleitungen derselben Dimension. Stellen Sie sich vor, dass f von der Dimension n zur Dimension k gingen. Wenn n surjective nie sein konnte, und wenn n> k dann Df injective nie sein konnte. So in beiden Fällen scheitert Df, eine Bijektion zu sein.
• Wenn Df eine Bijektion an x dann ist, sagen wir, dass f ein lokaler diffeomorphism ist (da durch die Kontinuität Df auch für den ganzen y genug in der Nähe von x bijektiv sein wird). Wenn Df eine Bijektion für den ganzen x dann ist, sagen wir, dass f ein (globaler) diffeomorphism ist.
• In Anbetracht einer glatten Karte von der Dimension n zur Dimension k, wenn Df (resp. Df) ist surjective dann wir sagen, dass f ein Untertauchen (resp. lokales Untertauchen), und wenn Df ist (resp. Df) ist injective wir sagen, dass f eine Immersion (resp. lokale Immersion) ist.
• Eine differentiable Bijektion ist nicht notwendigerweise ein diffeomorphism, z.B f (x) = x ist nicht ein diffeomorphism von R bis sich, weil seine Ableitung an 0 verschwindet (und folglich sein Gegenteil nicht differentiable an 0 ist). Das ist ein Beispiel eines homeomorphism, der nicht ein diffeomorphism ist.
• f ein diffeomorphism zu sein, ist eine stärkere Bedingung als f ein homeomorphism zu sein (wenn f eine Karte zwischen Differentiable-Sammelleitungen ist). Für einen diffeomorphism brauchen wir f und sein Gegenteil, um differentiable zu sein. Für einen homeomorphism verlangen wir nur, dass f und sein Gegenteil dauernd sind. So ist jeder diffeomorphism ein homeomorphism, aber das gegenteilige ist falsch: Nicht jeder homeomorphism ist ein diffeomorphism.

Jetzt, f: M  N wird einen diffeomorphism genannt, wenn in Koordinatenkarten sie die Definition oben befriedigt. Picken Sie genauer jeden Deckel der M durch vereinbare Koordinatenkarten auf, und machen Sie für N dasselbe. Lassen Sie φ und ψ Karten auf der M und N beziehungsweise mit U sein das Image von φ und V das Image von ψ zu sein. Dann sagen die Bedingungen dass die Karte ψ f φ: U  V ist ein diffeomorphism als in der Definition oben (wann auch immer sie Sinn hat). Man muss überprüfen, dass für jedes Paar Karten φ, ψ zwei gegebener Atlasse, aber einmal überprüft wird es für jede andere vereinbare Karte wahr sein. Wieder sehen wir, dass Dimensionen zustimmen müssen.

Beispiele

Da jede Sammelleitung lokal parametrisiert werden kann, können wir einige ausführliche Karten vom zwei-Räume-in den zwei-Räume-denken.

• Lassen. Wir können die Matrix von Jacobian berechnen:

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Die Jacobian Matrix hat Nulldeterminante wenn, und nur wenn xy = 0. Wir sehen, dass f ein diffeomorphism weg von der X-Achse und der Y-Achse ist.

• Lassen Sie, wo und willkürliche reelle Zahlen sind, und die weggelassenen Begriffe vom Grad mindestens zwei in x und y sind. Wir können die Matrix von Jacobian an 0 berechnen:

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Wir sehen, dass g ein lokaler diffeomorphism an 0 ist, wenn, und nur wenn, d. h. die geradlinigen Begriffe in den Bestandteilen von g als Polynome linear unabhängig sind.

• Lassen Sie jetzt. Wir können die Matrix von Jacobian berechnen:

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Die Jacobian Matrix hat Nulldeterminante überall! Tatsächlich sehen wir, dass das Image von h der Einheitskreis ist.

Gruppe von Diffeomorphism

Lassen Sie M eine Differentiable-Sammelleitung sein, die zweit-zählbar ist und Hausdorff. Die diffeomorphism Gruppe der M ist die Gruppe des ganzen C diffeomorphisms der M zu sich, und wird von Diff (M) oder Diff (M) angezeigt, wenn r verstanden wird. Das ist eine 'große' Gruppe im Sinn, dass es nicht lokal kompakt ist (vorausgesetzt dass M nicht nulldimensional ist).

Topologie

Die diffeomorphism Gruppe hat zwei natürliche Topologien, genannt die schwache und starke Topologie. Wenn die Sammelleitung kompakt ist, stimmen diese zwei Topologien zu. Die schwache Topologie ist immer metrizable. Wenn die Sammelleitung nicht kompakt ist, gewinnt die starke Topologie das Verhalten von Funktionen "an der Unendlichkeit", und ist nicht metrizable. Es, ist jedoch, noch Baire.

Auf der M metrischen Riemannian bestechend, ist die schwache Topologie die Topologie, die von der Familie der Metrik veranlasst ist

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weil sich K über Kompaktteilmengen der M ändert. Tatsächlich, da M σ-compact ist, gibt es eine Folge von Kompaktteilmengen K, dessen Vereinigung M ist. Dann definieren Sie

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Die diffeomorphism mit seiner schwachen Topologie ausgestattete Gruppe ist lokal homeomorphic zum Raum von C Vektorfeldern. Über eine Kompaktteilmenge der M folgt das durch das Befestigen von Riemannian, der auf der M und das Verwenden der Exponentialkarte dafür metrisch ist, metrisch. Wenn r begrenzt ist und die Sammelleitung kompakt ist, ist der Raum von Vektorfeldern ein Banachraum. Außerdem sind die Übergang-Karten aus einer Karte dieses Atlasses zu einem anderen glatt, die diffeomorphism Gruppe in eine Sammelleitung von Banach machend. Wenn r = , oder wenn die Sammelleitung σ-compact, der Raum von Vektorfeldern ist, ein Raum von Fréchet ist. Außerdem sind die Übergang-Karten glatt, die diffeomorphism Gruppe in eine Sammelleitung von Fréchet machend.

Lügen Sie Algebra

Insbesondere die Lüge-Algebra der diffeomorphism Gruppe der M besteht aus allen Vektorfeldern auf der M, ausgestattet mit der Lüge-Klammer von Vektorfeldern. Etwas formell wird das durch das Bilden eines Kleingeldes zur Koordinate x an jedem Punkt im Raum gesehen:

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so sind die unendlich kleinen Generatoren die Vektorfelder

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Beispiele

• Wenn M = G eine Lüge-Gruppe ist, gibt es eine natürliche Einschließung von G in seiner eigenen diffeomorphism Gruppe über die nach links Übersetzung. Lassen Sie Diff (G) zeigen die diffeomorphism Gruppe von G an, dann gibt es ein Aufspalten, wo Diff (G, e) die Untergruppe von Diff (G) ist, der das Identitätselement der Gruppe befestigt.
• Die diffeomorphism Gruppe des Euklidischen Raums R besteht aus zwei Bestandteilen, aus der Orientierungsbewahrung und Orientierung bestehend, die diffeomorphisms umkehrt. Tatsächlich ist die allgemeine geradlinige Gruppe eine Deformierung nehmen der Untergruppe Diff (R, 0) diffeomorphisms Befestigen des Ursprungs laut der Karte, t  zurück (0,1]. Folglich, insbesondere ist die allgemeine geradlinige Gruppe auch eine Deformierung treten der vollen diffeomorphism Gruppe ebenso zurück.
• Für einen begrenzten Satz von Punkten ist die diffeomorphism Gruppe einfach die symmetrische Gruppe. Ähnlich, wenn M eine Sammelleitung ist, gibt es eine Gruppenerweiterung. Hier ist Diff (M) die Untergruppe von Diff (M), der alle Bestandteile der M bewahrt, und Σ (πM) die Versetzungsgruppe des Satzes πM (die Bestandteile von M) ist. Außerdem ist das Image der Karte die Bijektionen von πM diese Konserve diffeomorphism Klassen.

Transitivity

Für eine verbundene mannigfaltige M die diffeomorphism Gruppe handelt transitiv auf der M. Mehr allgemein handelt die diffeomorphism Gruppe transitiv auf dem Konfigurationsraum-CM. Wenn die Dimension der M mindestens zwei ist, handelt die diffeomorphism Gruppe transitiv auf Konfigurationsraum-FM: Die Handlung auf der M ist multiplizieren transitiv.

Erweiterungen von diffeomorphisms

1926 hat Tibor Radó gefragt, ob die harmonische Erweiterung eines homeomorphism (oder diffeomorphism) des Einheitskreises zur Einheitsscheibe einen diffeomorphism auf der offenen Scheibe nachgibt. Ein eleganter Beweis wurde kurz später von Hellmuth Kneser zur Verfügung gestellt, und ein völlig verschiedener Beweis wurde 1945 von Gustave Choquet entdeckt, anscheinend unbewusst, dass der Lehrsatz bereits bekannt war.

Die (Orientierungsbewahrung) diffeomorphism Gruppe des Kreises ist verbundener pathwise. Das kann durch die Anmerkung gesehen werden, dass jeder solcher diffeomorphism zu einem diffeomorphism f der Reals-Zufriedenheit gehoben werden kann; dieser Raum ist konvex und folglich verbundener Pfad. Ein glatter schließlich unveränderlicher Pfad zur Identität gibt eine zweite elementarere Weise, einen diffeomorphism vom Kreis bis die offene Einheitsscheibe zu erweitern (das ist ein spezieller Fall des Tricks von Alexander). Außerdem hat die diffeomorphism Gruppe des Kreises den Homotopy-Typ der orthogonalen Gruppe O (2).

Das entsprechende Erweiterungsproblem für diffeomorphisms von höheren dimensionalen Bereichen S wurde sehr in den 1950er Jahren und 1960er Jahren, mit bemerkenswerten Beiträgen von René Thom, John Milnor und Stephen Smale studiert. Ein Hindernis für solche Erweiterungen wird von der begrenzten Gruppe von Abelian Γ, der "Gruppe von gedrehten Bereichen gegeben" hat als der Quotient der Teilgruppe von Abelian der diffeomorphism Gruppe durch die Untergruppe von Klassen definiert, die sich bis zu diffeomorphisms des Balls B ausstrecken.

Zusammenhang

Für Sammelleitungen wird die diffeomorphism Gruppe gewöhnlich nicht verbunden. Seine Teilgruppe wird die kartografisch darstellende Klassengruppe genannt. In der Dimension 2, d. h. für Oberflächen ist die kartografisch darstellende Klassengruppe eine begrenzt präsentierte Gruppe, die durch Drehungen von Dehn (Dehn, Lickorish, Hatcher) erzeugt ist. Max Dehn und Jakob Nielsen haben gezeigt, dass es mit der automorphism Außengruppe der grundsätzlichen Gruppe der Oberfläche identifiziert werden kann.

William Thurston hat diese Analyse raffiniert, indem er Elemente der kartografisch darstellenden Klassengruppe in drei Typen eingeteilt hat: Diejenigen, die zu einem periodischen diffeomorphism gleichwertig sind; diejenigen, die zu einem diffeomorphism das Verlassen einer einfachen geschlossenen Kurve invariant gleichwertig sind; und diejenigen, die zu pseudo-Anosov diffeomorphisms gleichwertig sind. Im Fall vom Ring S x S = R/Z ist die kartografisch darstellende Klassengruppe gerade die Modulgruppe, die SL (2, Z) und die Klassifikation auf die klassische in Bezug auf elliptischen, parabolischen und hyperbolischen matrices reduziert. Thurston hat seine Klassifikation vollbracht, indem er bemerkt hat, dass die kartografisch darstellende Klassengruppe natürlich auf einem compactification des Raums von Teichmüller gehandelt hat; seitdem dieser vergrößerte Raum homeomorphic zu einem geschlossenen Ball war, ist der Fixpunktsatz von Brouwer anwendbar geworden.

Wenn M eine orientierte glatte geschlossene Sammelleitung ist, wurde sie von Smale vermutet, dass der Identitätsbestandteil der Gruppe der Orientierungsbewahrung diffeomorphisms einfach ist. Das war zuerst für ein Produkt von Kreisen von Michel Herman bewiesen worden; es wurde in der vollen Allgemeinheit von Thurston bewiesen.

Typen von Homotopy

• Die diffeomorphism Gruppe von S hat den Homotopy-Typ der Untergruppe O (3). Das wurde von Steve Smale bewiesen.
• Die diffeomorphism Gruppe des Rings hat den Homotopy-Typ seines geradlinigen automorphisms: (S) × GL (2, Z).
• Die diffeomorphism Gruppen von orientable Oberflächen der Klasse g> 1 haben den Homotopy-Typ ihrer kartografisch darstellenden Klassengruppen — d. h.: Die Bestandteile sind contractible.
• Der Homotopy-Typ der diffeomorphism Gruppen von 3 Sammelleitungen wird über die Arbeit von Ivanov, Hatcher, Gabai und Rubinstein ziemlich gut verstanden, obwohl es einige hervorragende offene Fälle, in erster Linie 3 Sammelleitungen mit begrenzten grundsätzlichen Gruppen gibt.
• Der Homotopy-Typ von diffeomorphism Gruppen von N-Sammelleitungen für n> 3 ist schlecht undersood. Zum Beispiel ist es ein offenes Problem, ob Diff (S) mehr als zwei Bestandteile hat. Aber über die Arbeit von Milnor, Kahn und Antonelli ist es bekannt, dass Diff (S) den Homotopy-Typ zur Verfügung gestellten n> eines begrenzten CW-Komplexes 6 nicht hat.

Homeomorphism und diffeomorphism

Es ist leicht, einen homeomorphism zu finden, der nicht ein diffeomorphism ist, aber es ist schwieriger, ein Paar von Homeomorphic-Sammelleitungen zu finden, die nicht diffeomorphic sind. In Dimensionen 1, 2, 3, jedes Paar von homeomorphic sind glatte Sammelleitungen diffeomorphic. In der Dimension 4 oder größer sind Beispiele von homeomorphic, aber nicht diffeomorphic Paare gefunden worden. Das erste derartige Beispiel wurde von John Milnor in der Dimension 7 gebaut. Er hat eine glatte 7-dimensionale Sammelleitung gebaut (genannt jetzt der Bereich von Milnor), der homeomorphic zum Standard 7-Bereiche-, aber nicht diffeomorphic dazu ist. Es gibt tatsächlich 28 hat diffeomorphism Klassen von Sammelleitungen homeomorphic zum 7-Bereiche-orientiert (jeder von ihnen ist ein Gesamtraum des Faser-Bündels über den 4-Bereiche-mit dem 3-Bereiche-als die Faser).

Viel mehr äußerste Phänomene kommen für 4 Sammelleitungen vor: Am Anfang der 1980er Jahre hat eine Kombination von Ergebnissen wegen Simon Donaldsons und Michael Freedmans zur Entdeckung von exotischem R4s geführt: Es gibt unzählbar viele pairwise non-diffeomorphic offene Teilmengen von R, von denen jeder homeomorphic zu R, und auch ist, es gibt unzählbar viele pairwise non-diffeomorphic differentiable vervielfältigt homeomorphic zu R, die glatt in R nicht einbetten.

Siehe auch

• Lokaler diffeomorphism
• Étale morphism
• Superdiffeomorphism

Zeichen

Chaudhuri, Shyamoli, Hakuru Kawai und S.-H Henry Tye. "Mit dem Pfad integrierte Formulierung von geschlossenen Schnuren," Phys. Hochwürdiger. D, 36: 1148, 1987.