In der Mathematik ist eine Gleichung von Diophantine eine unbestimmte polynomische Gleichung, die den Variablen erlaubt, ganze Zahlen nur zu sein. Probleme von Diophantine haben weniger Gleichungen als unbekannte Variablen und schließen Entdeckung von ganzen Zahlen ein, die richtig für alle Gleichungen arbeiten. Auf mehr Fachsprache definieren sie eine algebraische Kurve, algebraische Oberfläche oder allgemeineren Gegenstand, und fragen nach den Gitter-Punkten darauf.

Wortdiophantine bezieht sich auf den hellenistischen Mathematiker des 3. Jahrhunderts, Diophantus Alexandrias, der eine Studie solcher Gleichungen gemacht hat und einer der ersten Mathematiker war, um Symbolik in die Algebra einzuführen. Die mathematische Studie von Problemen von Diophantine, die Diophantus begonnen hat, wird jetzt "Analyse von Diophantine" genannt. Eine geradlinige Gleichung von Diophantine ist eine Gleichung zwischen zwei Summen von Monomen der Grad-Null oder ein.

Während individuelle Gleichungen eine Art Rätsel präsentieren und überall in der Geschichte betrachtet worden sind, war die Formulierung von allgemeinen Theorien von Gleichungen von Diophantine (außer der Theorie von quadratischen Formen) ein Zu-Stande-Bringen des zwanzigsten Jahrhunderts.

Beispiele von Gleichungen von Diophantine

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Analyse von Diophantine

Typische Fragen

Die Fragen haben in der Analyse von Diophantine gebeten einzuschließen:

1. Gibt es irgendwelche Lösungen?
2. Gibt es irgendwelche Lösungen außer einigen die werden durch die Inspektion leicht gefunden?
3. Geben es begrenzt oder ungeheuer viele Lösungen?
4. Können alle Lösungen in der Theorie gefunden werden?
5. Kann man in der Praxis eine volle Liste von Lösungen schätzen?

Diese traditionellen Probleme liegen häufig ungelöst seit Jahrhunderten, und Mathematiker sind allmählich gekommen, um ihre Tiefe (in einigen Fällen) zu verstehen, anstatt sie als Rätsel zu behandeln.

Typisches Problem

Vorausgesetzt, dass ein Alter eines Vaters 1 weniger als zweimal mehr als das seines Sohnes ist, und dass die Ziffern AB Zusammenstellung des Alters des Vaters im Alter des Sohnes umgekehrt werden (d. h. BA), führt zur Gleichung 19B - 8A = 1. Inspektion gibt dem Ergebnis 73 und 37 Jahre.

17. und 18. Jahrhunderte

1637 hat Pierre de Fermat auf dem Rand seiner Kopie von Arithmetica gekritzelt: "Es ist unmöglich, einen Würfel in zwei Würfel oder eine vierte Macht in die zwei vierten Mächte, oder im Allgemeinen, jede Macht höher zu trennen, als das zweite in zwei wie Mächte." Festgesetzt auf der moderneren Sprache, "Hat die Gleichung + b = c keine Lösungen für jeden n höher als zwei." Und dann hat er faszinierend geschrieben: "Ich habe einen aufrichtig erstaunlichen Beweis davon entdeckt, das, jedoch, der Rand nicht groß genug ist, um zu enthalten." Solch ein Beweis hat sich Mathematikern seit Jahrhunderten jedoch entzogen. Weil eine unbewiesene Vermutung, die sich den Versuchen der hervorragenden Mathematiker entzogen hat, es entweder zu beweisen oder es für Generationen, seine Behauptung zu widerlegen, berühmt als der Letzte Lehrsatz von Fermat geworden ist. Erst als 1994, dass es vom britischen Mathematiker Andrew Wiles bewiesen wurde.

1657 hat Fermat die Gleichung von Diophantine 61x + 1 = y (gelöst von Brahmagupta mehr als 1000 Jahre früher) versucht. Die Gleichung wurde schließlich von Euler am Anfang des 18. Jahrhunderts gelöst, wer auch mehrere andere Gleichungen von Diophantine gelöst hat.

Das zehnte Problem von Hilbert

1900, als Anerkennung für ihre Tiefe, hat David Hilbert die Lösbarkeit aller Probleme von Diophantine als das zehnte von seinen berühmten Problemen vorgeschlagen. 1970, ein Roman laufen auf mathematische bekannte Logik hinaus, weil der Lehrsatz von Matiyasevich das Problem negativ gesetzt hat: In General Diophantine sind Probleme unlösbar.

Geometrie von Diophantine, die die Anwendung von Techniken von der algebraischen Geometrie in diesem Feld ist, hat fortgesetzt, infolgedessen zu wachsen; seit dem Behandeln willkürlicher Gleichungen ist ein toter Punkt, Aufmerksamkeit wendet sich Gleichungen zu, die auch eine geometrische Bedeutung haben. Die Hauptidee von der Geometrie von Diophantine ist die eines vernünftigen Punkts, nämlich eine Lösung einer polynomischen Gleichung oder Systems von gleichzeitigen Gleichungen, das ein Vektor in einem vorgeschriebenen Feld K ist, wenn K nicht algebraisch geschlossen wird.

Moderne Forschung

Eine der wenigen allgemeinen Annäherungen ist durch den Grundsatz von Hasse. Unendlicher Abstieg ist die traditionelle Methode, und ist ein langer Weg gestoßen worden.

Die Tiefe der Studie von Gleichungen von General Diophantine wird durch die Charakterisierung von Sätzen von Diophantine so gleichwertig beschrieben gezeigt wie rekursiv enumerable. Mit anderen Worten wird das allgemeine Problem der Analyse von Diophantine gesegnet oder mit der Allgemeinheit verflucht, und ist jedenfalls nicht etwas, was außer durch das Wiederausdrücken davon in anderen Begriffen gelöst wird.

Das Feld der Annäherung von Diophantine befasst sich mit den Fällen der Ungleichheit von Diophantine. Hier sollen Variablen noch integriert sein, aber einige Koeffizienten können irrationale Zahlen sein, und das Gleichheitszeichen wird durch obere und niedrigere Grenzen ersetzt.

Die berühmteste einzelne Frage im Feld, die als der Letzte Lehrsatz von Fermat bekannte Vermutung, wurde von Andrew Wiles gelöst, aber Verwenden-Werkzeuge von der algebraischen Geometrie, die während des letzten Jahrhunderts aber nicht innerhalb der Zahlentheorie entwickelt ist, wo die Vermutung ursprünglich formuliert wurde. Andere Hauptergebnisse, wie der Lehrsatz von Faltings, haben über alte Vermutungen verfügt.

Unendliche Diophantine Gleichungen

Ein Beispiel einer unendlichen diophantine Gleichung ist:

:

N = A^2+2B^2+3C^2+4D^2+5E^2 +....

</Mathematik>

welcher kann als ausgedrückt werden, "Wie viele Wege eine gegebene ganze Zahl (N) können, als die Summe eines Quadrats plus zweimal ein Quadrat plus dreimal ein Quadrat und so weiter geschrieben werden?" Die Zahl von Weisen, wie das für jeden N getan werden kann, bildet eine Folge der ganzen Zahl. Unendliche Diophantine Gleichungen sind mit Theta-Funktionen und unendlichen dimensionalen Gittern verbunden. Diese Gleichung hat immer eine Lösung für jeden positiven N. Vergleichen Sie das mit:

:

N = A^2+4B^2+9C^2+16D^2+25E^2 +....

</Mathematik>

der keine Lösung für positiven N immer hat.

Geradlinige Diophantine Gleichungen

Geradlinige Diophantine Gleichungen nehmen die Form-Axt + durch = c. Wenn c der größte allgemeine Teiler von a und b dann ist, ist das die Identität von Bézout, und die Gleichung hat eine unendliche Zahl von Lösungen. Diese können durch die Verwendung des verlängerten Euklidischen Algorithmus gefunden werden. Hieraus folgt dass es auch ungeheuer viele Lösungen gibt, wenn c ein Vielfache des größten allgemeinen Teilers von a und b ist. Wenn c nicht ein Vielfache des größten allgemeinen Teilers von a und b ist, dann hat die Gleichungsaxt von Diophantine + durch = c keine Lösungen.

Diophantine Exponentialgleichungen

Wenn eine Gleichung von Diophantine als eine zusätzliche Variable oder Variablen hat, die als Hochzahlen vorkommen, ist es eine Exponentialgleichung von Diophantine. Ein Beispiel ist die Ramanujan-Nagell Gleichung, 2 &minus; 7 = x. Solche Gleichungen haben keine allgemeine Theorie; besondere Fälle wie die Vermutung des Katalanen sind jedoch angepackt worden die Mehrheit wird über Ad-Hoc-Methoden wie der Lehrsatz von Størmer oder sogar Probe und Fehler gelöst.

Referenzen

Links

• Diophantine Gleichung. Von MathWorld bei der Wolfram-Forschung.
• Diophantine Gleichung. Von PlanetMath.
• Die Online-Rechenmaschine von Dario Alpern. Wiederbekommen am 18. März 2009