In combinatorics ist ein Expander-Graph ein spärlicher Graph, der starke Konnektivitätseigenschaften, gemessenen Verwenden-Scheitelpunkt, Rand oder geisterhafte Vergrößerung, wie beschrieben, unten hat. Expander-Aufbauten haben Forschung in der reinen und angewandten Mathematik, mit mehreren Anwendungen auf die Kompliziertheitstheorie, das Design von robusten Computernetzen und die Theorie von Fehlerkorrekturcodes erzeugt.

Definitionen

Intuitiv ist ein Expander ein begrenzter, ungeleiteter Mehrgraph in der jede Teilmenge der Scheitelpunkte "ist die nicht zu groß" hat eine "große" Grenze. Verschiedene Formalisierungen dieser Begriffe verursachen verschiedene Begriffe von Expandern: Rand-Expander, Scheitelpunkt-Expander und geisterhafte Expander, wie definiert, unten.

Ein getrennter Graph ist nicht ein Expander, da die Grenze eines verbundenen Bestandteils leer ist. Jeder verbundene Graph ist ein Expander; jedoch haben verschiedene verbundene Graphen verschiedene Vergrößerungsrahmen. Der ganze Graph hat das beste Vergrößerungseigentum, aber es hat größtmöglichen Grad. Informell ist ein Graph ein guter Expander, wenn er niedrigen Grad und hohe Vergrößerungsrahmen hat.

Rand-Vergrößerung

Die Rand-Vergrößerung (auch isoperimetric Zahl oder Cheeger unveränderlich) eines Graphen wird als definiert

wo das Minimum über alle nichtleeren Sätze an den meisten Scheitelpunkten ist und die Rand-Grenze, d. h., der Satz von Rändern mit genau einem Endpunkt darin ist.

Scheitelpunkt-Vergrößerung

Der Scheitelpunkt isoperimetric Zahl (auch Scheitelpunkt-Vergrößerung oder Vergrößerung) eines Graphen wird als definiert

wo die Außengrenze, d. h., der Satz von Scheitelpunkten in mit mindestens einem Nachbar darin ist.

In einer Variante dieser Definition (hat einzigartige Nachbarvergrößerung genannt), wird durch den Satz von Scheitelpunkten in mit genau einem Nachbar darin ersetzt.

Der Scheitelpunkt isoperimetric Zahl eines Graphen wird als definiert

wo die innere Grenze, d. h., der Satz von Scheitelpunkten in mit mindestens einem Nachbar darin ist.

Geisterhafte Vergrößerung

Wenn regelmäßig ist, ist eine geradlinige algebraische Definition der Vergrößerung gestützt auf dem eigenvalues der Angrenzen-Matrix dessen möglich, wo die Zahl von Rändern zwischen Scheitelpunkten ist und.

Weil symmetrisch ist, deutet der geisterhafte Lehrsatz an, dass das reellwertigen eigenvalues hat.

Es ist bekannt, dass alle diese eigenvalues darin sind.

Weil regelmäßig ist, ist die Rechteckverteilung mit für alle der stationäre Vertrieb dessen.

D. h. wir haben, und ist ein Eigenvektor mit eigenvalue, wo der Grad der Scheitelpunkte dessen ist.

Die geisterhafte Lücke dessen wird definiert, um zu sein, und sie misst die geisterhafte Vergrößerung des Graphen.

Es ist das bekannt, wenn, und nur wenn zweiteilig ist.

In vielen Zusammenhang, zum Beispiel im Expander-Mischen-Lemma, ist es für den bestimmten von unten nicht nur die Lücke zwischen und, sondern auch die Lücke zwischen und der notwendig

der zweitgrößte eigenvalue im absoluten Wert:

Expander-Spaziergang-Stichprobenerhebung

Der Chernoff hat Staaten gebunden, dass, wenn er viele unabhängige Proben von zufällige Variablen in der Reihe mit der hohen Wahrscheinlichkeit probiert, der Durchschnitt unserer Proben der Erwartung der zufälligen Variable nah ist. Das Expander-Spaziergang-Stichprobenerhebungslemma, wegen und, stellt fest, dass das auch für wahr hält, wenn es von einem Spaziergang auf einem Expander-Graphen ausfällt. Das ist in der Theorie von derandomization, seit der Stichprobenerhebung gemäß einem Expander-Spaziergang-Gebrauch viele weniger zufällige Bit besonders nützlich als Stichprobenerhebung unabhängig.

Siehe auch

• Algebraische Konnektivität
• Zickzackförmiges Produkt

Referenzen

Lehrbücher und Überblicke

Forschungsartikel

• }.

Außenverbindungen

• Kurze Einführung in Benachrichtigungen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft
• Einleitender Vortrag von Michael Nielsen
• Vortrag bemerkt von einem Kurs über Expander (durch Nati Linial und Avi Wigderson)
• Vortrag bemerkt von einem Kurs über Expander (durch Prahladh Harsha)
• Definition und Anwendung der geisterhaften Lücke