Elementare Algebra ist eine grundsätzliche und relativ grundlegende Form der Algebra. Es wird Studenten unterrichtet, die, wie man wagt, wenig oder keine formellen Kenntnisse der Mathematik außer der Arithmetik haben. Es wird normalerweise in der Höheren Schule unter dem Begriff Algebra unterrichtet. Der Hauptunterschied zwischen Algebra und Arithmetik ist die Einschließung von Variablen. Während in der Arithmetik nur Zahlen und ihre arithmetischen Operationen (solcher als +, , ×, ÷) in der Algebra vorkommen, verwendet man auch Variablen wie x und y, oder a und b, um Zahlen zu ersetzen.

Eigenschaften der Algebra

Variablen

Eine Variable ist ein Brief oder in der Algebra verwendetes Symbol, um Zahlen zu vertreten. Der Zweck, Variablen zu verwenden, ist, das Bilden von Generalisationen in der Mathematik zu erlauben. Das ist weil nützlich:

• Es erlaubt arithmetischen Gleichungen (und Ungleichheit), als Gesetze (solcher als + b = b + für den ganzen a und b) festgesetzt zu werden, und ist so der erste Schritt zur systematischen Studie der Eigenschaften des Systems der reellen Zahl.
• Es erlaubt Verweisung auf Zahlen, die nicht bekannt sind. Im Zusammenhang eines Problems kann eine Variable einen bestimmten Wert vertreten, der noch nicht bekannt ist, aber der durch die Formulierung und Manipulation von Gleichungen gefunden werden kann.
• Es erlaubt die Erforschung von mathematischen Beziehungen zwischen Mengen (solcher als, "wenn Sie x Karten verkaufen, dann wird Ihr Gewinn 3x &minus sein; 10 Dollar").

Ausdrücke

In der elementaren Algebra kann ein Ausdruck Zahlen, Variablen und arithmetische Operationen enthalten. Diese werden mit Begriffen 'der höheren Macht' links herkömmlich geschrieben (sieh Polynom); einige Beispiele sind:

:::

In der fortgeschritteneren Algebra kann ein Ausdruck auch Elementarfunktionen einschließen.

Operationen

Eigenschaften von Operationen

• Die Operation der Hinzufügung...
• Mittel haben Hinzufügung von wiederholt: + n = + 1 + 1 +... + 1 (n Zahl von Zeiten);
• hat einen inversen Betrieb genannt Subtraktion: (+ b) − b = a, der dasselbe als das Hinzufügen einer negativen Zahl, &minus ist; b = + (−b);
• Die Operation der Multiplikation...
• Mittel haben Hinzufügung wiederholt: × n = + +... + (n Zahl von Zeiten);
• hat einen inversen Betrieb genannt Abteilung, die für Nichtnullzahlen definiert wird: (Ab)/b = a, der dasselbe als das Multiplizieren mit einem Gegenstück, a/b = (1/b) ist;
• verteilt über die Hinzufügung: (+ b) c = ac + bc;
• wird durch die Nebeneinanderstellung abgekürzt: × b  ab;
• Die Operation von exponentiation...
• Mittel haben Multiplikation wiederholt: = × ×...× (n Zahl von Zeiten);
• hat einen inversen Betrieb, genannt den Logarithmus: = b = loga;
• verteilt über die Multiplikation: (ab) = ab;
• kann in Bezug auf die n-ten Wurzeln geschrieben werden: Ein  () und so sogar Wurzeln von negativen Zahlen besteht im System der reellen Zahl nicht. (Sieh: System der komplexen Zahl)
• hat das Eigentum: aa = a;
• hat das Eigentum: (a) = a.
• im Allgemeinen ein  b und (a)  a;

Ordnung von Operationen

In der Mathematik ist es wichtig, dass der Wert eines Ausdrucks immer derselbe Weg geschätzt wird. Deshalb ist es notwendig, die Teile eines Ausdrucks in einer besonderen Ordnung zu schätzen, die als die Ordnung von Operationen bekannt ist. Die Standardordnung von Operationen wird in der folgenden Karte ausgedrückt.

::: Parenthese und andere sich gruppierende Symbole einschließlich Klammern, absolute Wertsymbole und die Bruchteil-Bar

:::

::: Hochzahlen und Wurzeln

:::

::: Multiplikation und Abteilung

:::

::: Hinzufügung und Subtraktion

Ein allgemeines mnemonisches Gerät, um sich an diese Ordnung zu erinnern, ist PEMDAS. Allgemein in der Elementaren Algebra wird der Gebrauch von Klammern (häufig genannt Parenthesen) und ihre einfachen Anwendungen in den meisten Schulen in der Welt unterrichtet.

Gleichungen

Eine Gleichung ist der Anspruch, dass zwei Ausdrücke denselben Wert haben und gleich sind. Einige Gleichungen sind für alle Werte der beteiligten Variablen (solcher als + b = b + a) wahr; solche Gleichungen werden Identität genannt. Bedingte Gleichungen sind für nur einige Werte der beteiligten Variablen wahr: x − 1 = 4. Die Werte der Variablen, die die Gleichung wahr machen, sind die Lösungen der Gleichung und können durch das Gleichungslösen gefunden werden.

Eigenschaften der Gleichheit

• Die Beziehung der Gleichheit (=) ist...
• reflexiv: b = b;
• symmetrisch: wenn = b dann b = a;
• transitiv: wenn = b und b = c dann = c.
• Die Beziehung der Gleichheit (=) hat das Eigentum...
• das wenn = b und c = d dann + c = b + d und ac = bd;
• das wenn = b dann + c = b + c;
• das, wenn zwei Symbole gleich sind, dann kann einer für den anderen eingesetzt werden.

Eigenschaften der Ungleichheit

• Die Beziehung der Ungleichheit (&lt) hat das Eigentum...
• transivity: wenn < b und b < c dann < c;
• das wenn < b und c < d dann + c < b + d;
• das wenn < b und c > 0 dann ac < bc;
• das wenn < b und c < 0 dann bc < ac.

Algebraische Beispiele

Die folgenden Abteilungen legen Beispiele von einigen der Typen von alegbraic Gleichungen an, auf die Sie stoßen könnten.

Geradlinige Gleichungen in einer Variable

Die einfachsten Gleichungen, um zu lösen, sind geradlinige Gleichungen, die nur eine Variable haben. Sie enthalten nur unveränderliche Zahlen und eine einzelne Variable ohne eine Hochzahl. Zum Beispiel:

:

Die Haupttechnik ist fügen hinzu, ziehen ab, multiplizieren, oder teilen beide Seiten der Gleichung durch dieselbe Zahl, um die Variable auf einer Seite der Gleichung zu isolieren. Sobald die Variable isoliert wird, ist die andere Seite der Gleichung der Wert der Variable. Zum Beispiel, indem es 4 von beiden Seiten in der Gleichung oben Abstriche gemacht wird:

:

kann vereinfachen zu:

:

Das Teilen beider Seiten durch 2:

:

vereinfacht zur Lösung:

:

Der allgemeine Fall,

:

folgt demselben Verfahren, um die Lösung zu erhalten:

:

Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen können in der Form-Axt + bx + c = 0 ausgedrückt werden, wo nicht Null zu sein (wenn es Null dann war, würde die Gleichung nicht quadratisch, aber geradlinig sein). Wegen dessen muss eine quadratische Gleichung den Begriff Axt enthalten, die als der quadratische Begriff bekannt ist. Folglich ein  0, und so können wir uns durch a teilen und die Gleichung in die Standardform umordnen

:

wo p = b/a und q = c/a. Das Lösen davon, durch einen als Vollendung des Quadrats bekannten Prozess, führt zur quadratischen Formel.

Quadratische Gleichungen können auch mit factorization gelöst werden (dessen Rückprozess Vergrößerung, aber für zwei geradlinige Begriffe ist, wird manchmal angezeigt vereitelnd). Als ein Beispiel des Factorings:

:

Der dasselbe Ding wie ist

:

Es folgt aus dem Nullprodukt-Eigentum, dass entweder x = 2 oder x = 5 die Lösungen sind, da genau einer der Faktoren der Null gleich sein muss. Alle quadratischen Gleichungen werden zwei Lösungen im System der komplexen Zahl haben, aber brauchen keinen im System der reellen Zahl zu haben. Zum Beispiel,

:

hat keine Lösung der reellen Zahl, da keine quadratisch gemachte reelle Zahl 1 gleich ist.

Manchmal hat eine quadratische Gleichung eine Wurzel der Vielfältigkeit 2, wie:

:

Für diese Gleichung, 1 ist eine Wurzel der Vielfältigkeit 2. Das bedeutet-1 erscheint zweimal.

Logarithmische und Exponentialgleichungen

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung der Form = b für > 0, der Lösung hat

:

wenn b > 0. Elementare algebraische Techniken werden verwendet, um eine eingereichte Gleichung der obengenannte Weg vor dem Erreichen der Lösung umzuschreiben. Zum Beispiel, wenn

:

dann, indem wir 1 von beiden Seiten der Gleichung Abstriche machen, und dann beide Seiten durch 3 teilen, erhalten wir

:

woher

:

oder

:

Eine logarithmische Gleichung ist eine Gleichung der Form logX = b für > 0, der Lösung hat

:

Zum Beispiel, wenn

:

dann, indem wir 2 zu beiden Seiten der Gleichung beitragen, die gefolgt ist, indem sie beide Seiten durch 4, teilt, wir bekommen

:woher:

von dem wir erhalten

:

Radikale Gleichungen

Eine radikale Gleichung ist eine Gleichung der Form X = a, für die M, n ganze Zahlen, der Lösung hat

:

wenn M, und Lösung und seltsam

ist:

wenn M sogar und ein  0 ist.

Zum Beispiel, wenn--------------------

:

dann

::oder

:.

System von geradlinigen Gleichungen

Im Fall von einem System von geradlinigen Gleichungen, wie, zum Beispiel, zwei Gleichungen in zwei Variablen, ist es häufig möglich, die Lösungen beider Variablen zu finden, die beide Gleichungen befriedigen.

Beseitigungsmethode

Ein Beispiel, ein System von geradlinigen Gleichungen zu lösen, ist durch das Verwenden der Beseitigungsmethode:

:

Das Multiplizieren der Begriffe in der zweiten Gleichung durch 2:

::

Das Hinzufügen der zwei Gleichungen zusammen, um zu kommen:

:

der zu vereinfacht

:

Seit der Tatsache, dass x = 2 bekannt ist, ist es dann möglich abzuleiten, dass y = 3 durch jede der ursprünglichen zwei Gleichungen (durch das Verwenden 2 statt x) Die volle Lösung dieses Problems dann ist

:

Bemerken Sie, dass das nicht die einzige Weise ist, dieses spezifische System zu lösen; y könnte vorher x gelöst worden sein.

Die zweite Methode, eine Lösung zu finden

Eine andere Weise, dasselbe System von geradlinigen Gleichungen zu lösen, ist durch den Ersatz.

:

Eine Entsprechung für y kann durch das Verwenden von einer der zwei Gleichungen abgeleitet werden. Das Verwenden der zweiten Gleichung:

:

2x von jeder Seite der Gleichung Abstriche machend:

::

und das Multiplizieren mit-1:

:

Das Verwenden dieses y schätzt in der ersten Gleichung im ursprünglichen System:

:::

Das Hinzufügen 2 auf jeder Seite der Gleichung:

::der zu vereinfacht:

Mit diesem Wert in einer der Gleichungen wird dieselbe Lösung wie in der vorherigen Methode erhalten.

:

Bemerken Sie, dass das nicht die einzige Weise ist, dieses spezifische System zu lösen; in diesem Fall ebenso könnte y vorher x gelöst worden sein.

Andere Typen von Systemen von geradlinigen Gleichungen

Unlösbare Systeme

Im obengenannten Beispiel ist es möglich, eine Lösung zu finden. Jedoch gibt es auch Gleichungssysteme, die keine Lösung haben. Ein offensichtliches Beispiel würde sein:

:

Die zweite Gleichung im System hat keine mögliche Lösung. Deshalb kann dieses System nicht gelöst werden.

Jedoch werden nicht alle unvereinbaren Systeme auf den ersten Blick anerkannt. Als ein Beispiel wird das folgende System studiert:

:Wenn

sie versucht, das (zum Beispiel, durch das Verwenden der Methode des Ersatzes oben) zu lösen, läuft die zweite Gleichung, nach dem Hinzufügen 2x an beiden Seiten und das Multiplizieren mit 1, hinaus:

:

Und das Verwenden dieses Werts für y in der ersten Gleichung:

:::

Keine Variablen werden verlassen, und die Gleichheit ist nicht wahr. Das bedeutet, dass die erste Gleichung keine Lösung für den Wert für in der zweiten Gleichung erhaltenen y zur Verfügung stellen kann.

Unentschiedene Systeme

Es gibt auch Systeme, die vielfache oder unendliche Lösungen, entgegen einem System mit einer einzigartigen Lösung (Bedeutung, zwei einzigartige Werte für x und y) Zum Beispiel haben:

:

Das Isolieren y in der zweiten Gleichung:

:

Und das Verwenden dieses Werts in der ersten Gleichung im System:

:::

Die Gleichheit ist wahr, aber sie stellt keinen Wert für x zur Verfügung. Tatsächlich kann man leicht nachprüfen (indem man gerade einige Werte von x ausfüllt) dass für jeden x, es gibt eine Lösung nicht weniger als y = 2x + 6. Es gibt unendliche Lösungen für dieses System.

Über - und underdetermined Systeme

Systeme mit mehr Variablen als die Zahl von geradlinigen Gleichungen haben keine einzigartige Lösung. Ein Beispiel solch eines Systems ist

:

Solch ein System wird underdetermined genannt; wenn man versucht, eine Lösung zu finden, können eine oder mehr Variablen nur in Bezug auf die anderen Variablen ausgedrückt werden, aber können numerisch nicht bestimmt werden.

Beiläufig wird ein System mit einer größeren Zahl von Gleichungen als Variablen, in denen notwendigerweise einige Gleichungen Summen oder Vielfachen von anderen sind, überentschlossen genannt.

Beziehung zwischen Lösbarkeit und Vielfältigkeit

In Anbetracht jedes Systems von geradlinigen Gleichungen gibt es eine Beziehung zwischen Vielfältigkeit und Lösbarkeit.

Wenn eine Gleichung ein Vielfache vom anderen ist (oder, mehr allgemein, eine Summe von Vielfachen der anderen Gleichungen), dann ist das System von geradlinigen Gleichungen unentschieden, bedeutend, dass das System ungeheuer viele Lösungen hat. Beispiel:

:

hat Lösungen (x, y) solcher als (1,1), (0,2), (1.8.0.2), (4,−2), (−3000.75,3002.75) und so weiter.

Wenn die Vielfältigkeit nur teilweise ist (das Meinen, dass zum Beispiel nur die Seiten der linken Hand der Gleichungen Vielfachen sind, während die rechten Seiten nicht oder nicht durch dieselbe Zahl sind) dann, ist das System unlösbar. Zum Beispiel, in

:

die zweiten Gleichungserträge dass x + y = 1/4, der im Widerspruch mit der ersten Gleichung ist. Solch ein System wird auch inkonsequent auf der Sprache der geradlinigen Algebra genannt.

Wenn

es versucht, ein System von geradlinigen Gleichungen zu lösen, ist es allgemein eine gute Idee zu überprüfen, ob eine Gleichung ein Vielfache vom anderen ist. Wenn das genau so ist, kann die Lösung nicht einzigartig bestimmt werden. Wenn das nur teilweise so ist, besteht die Lösung nicht.

Das bedeutet jedoch nicht, dass die Gleichungen Vielfachen von einander sein müssen, um eine Lösung, wie gezeigt, in den Abteilungen oben zu haben; mit anderen Worten: Die Vielfältigkeit in einem System von geradlinigen Gleichungen ist nicht eine notwendige Bedingung für die Lösbarkeit.

Siehe auch

• Binäre Operation
• Beseitigung von Gaussian
• Mathematik-Ausbildung
• Zahlenstrahl
• Polynom
• Leonhard Euler, Elemente der Algebra, 1770. Englische Übersetzung Tarquin Presse, 2007, internationale Standardbuchnummer 978-1-899618-79-8, hat auch online Ausgaben 2006, 1822 digitalisiert.
• Charles Smith, eine Abhandlung auf der Algebra, in der Universitätsbibliothek von Cornell historische Mathemonografien.
• Werden Sie John rot. Elementare Algebra. Flache Weltkenntnisse, 2011

Außenverbindungen

• Elementare Algebra Ein offenes Lehrbuch durch Flache Weltkenntnisse veröffentlicht.