In der Mathematik ist eine elliptische Kurve eine glatte, projektive algebraische Kurve der Klasse ein, auf dem es einen angegebenen Punkt O gibt. Eine elliptische Kurve ist tatsächlich eine abelian Vielfalt — d. h. sie ließ eine Multiplikation algebraisch definieren, in Bezug auf die es (notwendigerweise auswechselbar) Gruppe — und O-Aufschläge als das Identitätselement ist. Häufig wird die Kurve selbst, ohne angegebenen O, eine elliptische Kurve genannt.

Jede elliptische Kurve kann als ein Flugzeug algebraische durch eine Gleichung der Form definierte Kurve geschrieben werden:

:

der nichtsingulär ist; d. h. sein Graph hat keine Spitzen oder Selbstkreuzungen. (Wenn die Eigenschaft des mitwirkenden Feldes 2 oder 3 gleich ist, ist die obengenannte Gleichung nicht ziemlich allgemein genug, um alle nichtsingulären Kubikkurven zu umfassen; sieh unten für eine genauere Definition.) Der Punkt O ist wirklich der "Punkt an der Unendlichkeit" im projektiven Flugzeug.

Wenn y = P (x), wo P jedes Polynom des Grads drei in x ohne wiederholte Wurzeln ist, dann erhalten wir eine nichtsinguläre Flugzeug-Kurve der Klasse ein, der so auch eine elliptische Kurve ist. Wenn P Grad vier hat und squarefree ist, beschreibt diese Gleichung wieder eine Flugzeug-Kurve der Klasse ein; jedoch hat es keine natürliche Wahl des Identitätselements. Mehr allgemein wird jede algebraische Kurve der Klasse ein, zum Beispiel von der Kreuzung von zwei im dreidimensionalen projektiven Raum eingebetteten Quadric-Oberflächen, eine elliptische Kurve genannt, vorausgesetzt, dass es mindestens einen vernünftigen Punkt hat.

Mit der Theorie von elliptischen Funktionen kann es gezeigt werden, dass elliptische über die komplexen Zahlen definierte Kurven embeddings des Rings ins komplizierte projektive Flugzeug entsprechen. Der Ring ist auch eine abelian Gruppe, und tatsächlich ist diese Ähnlichkeit auch ein Gruppenisomorphismus.

Elliptische Kurven sind in der Zahlentheorie besonders wichtig, und setzen ein Hauptgebiet der aktuellen Forschung ein; zum Beispiel wurden sie im Beweis, von Andrew Wiles (geholfen von Richard Taylor) des Letzten Lehrsatzes von Fermat verwendet. Sie finden auch Anwendungen in der Geheimschrift (sieh den Artikel elliptische Kurve-Geheimschrift), und ganze Zahl factorization.

Eine elliptische Kurve ist nicht eine Ellipse: Sieh elliptisches Integral für den Ursprung des Begriffes. Topologisch ist eine elliptische Kurve ein Ring.

Elliptische Kurven über die reellen Zahlen

Obwohl die formelle Definition einer elliptischen Kurve ziemlich technisch ist und einen Hintergrund in der algebraischen Geometrie verlangt, ist es möglich, einige Eigenschaften von elliptischen Kurven über die reellen Zahlen mit nur die Algebra der Höheren Schule und Geometrie zu beschreiben.

In diesem Zusammenhang ist eine elliptische Kurve eine Flugzeug-Kurve, die durch eine Gleichung der Form definiert ist

:

wo a und b reelle Zahlen sind. Dieser Typ der Gleichung wird eine Gleichung von Weierstrass genannt.

Die Definition der elliptischen Kurve verlangt auch, dass die Kurve nichtsingulär ist. Geometrisch bedeutet das, dass der Graph keine Spitzen, Selbstkreuzungen oder isolierte Punkte hat. Algebraisch schließt das das Rechnen des discriminant ein

:

Die Kurve ist nichtsingulär, wenn, und nur wenn der discriminant der Null nicht gleich ist. (Obwohl der Faktor 16 irrelevant hier scheint, erweist es sich, in einer fortgeschritteneren Studie von elliptischen Kurven günstig zu sein.)

Der (echte) Graph einer nichtsingulären Kurve hat zwei Bestandteile, wenn sein discriminant, und ein Bestandteil positiv ist, wenn es negativ ist. Zum Beispiel, in den Graphen, die in der Zahl nach rechts gezeigt sind, ist der discriminant im ersten Fall 64, und im zweiten Fall ist 368.

Das Gruppengesetz

Durch das Hinzufügen eines "Punkts an der Unendlichkeit" erhalten wir die projektive Version dieser Kurve. Wenn P und Q zwei Punkte auf der Kurve sind, dann können wir einen dritten Punkt einzigartig beschreiben, der die Kreuzung der Kurve mit der Linie durch P und Q ist. Wenn die Linie Tangente zur Kurve an einem Punkt ist, dann wird dieser Punkt zweimal aufgezählt; und wenn die Linie zur Y-Achse parallel ist, definieren wir den dritten Punkt als der Punkt "an der Unendlichkeit". Genau hält eine dieser Bedingungen dann für jedes Paar von Punkten auf einer elliptischen Kurve.

Es ist dann möglich, eine Gruppenoperation, + auf der Kurve mit den folgenden Eigenschaften einzuführen: Wir denken, dass der Punkt an der Unendlichkeit 0, die Identität der Gruppe ist; und wenn eine Gerade die Kurve an den Punkten P, Q und R durchschneidet, dann verlangen wir dass P + Q + R = 0 in der Gruppe. Man kann überprüfen, dass das die Kurve in eine abelian Gruppe, und so in eine abelian Vielfalt verwandelt. Es kann gezeigt werden, dass der Satz von K-Rational-Punkten (einschließlich des Punkts an der Unendlichkeit) eine Untergruppe dieser Gruppe bildet. Wenn die Kurve durch E angezeigt wird, dann wird diese Untergruppe häufig als E (K) geschrieben.

Die obengenannte Gruppe kann algebraisch sowie geometrisch beschrieben werden. In Anbetracht der Kurve y = x  px  q über Feld K (dessen Eigenschaft wir annehmen, um weder 2 noch 3 zu sein), und spitzt P = (x, y) und Q = (x, y) auf der Kurve an, nehmen Sie zuerst das x  x an. Lassen Sie s der Hang der Linie sein, die P und Q enthält; d. h., s =. Da K ein Feld ist, ist s bestimmt. Dann können wir R = P + Q = (x, y) durch definieren

:

x_R &= s^2 - x_P - x_Q \\

y_R &= y_P + s (x_R - x_P).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Wenn x = x, dann gibt es zwei Optionen: Wenn y = y, einschließlich des Falls wo y = y = 0, dann wird die Summe als 0 definiert; so wird das Gegenteil jedes Punkts auf der Kurve durch das Reflektieren davon über die X-Achse gefunden. Wenn y = y  0, dann wird R = P + P = 2P = (x, y) durch gegeben

:

s &= \frac {3 {x_P} ^2 - p} {2y_P }\\\

x_R &= s^2 - 2x_P \\

y_R &= y_P + s (x_R - x_P).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Elliptische Kurven über die komplexen Zahlen

Die Formulierung von elliptischen Kurven als das Einbetten eines Rings im komplizierten projektiven Flugzeug folgt natürlich von einem neugierigen Eigentum der elliptischen Funktionen von Weierstrass. Diese Funktionen und ihre erste Ableitung sind durch die Formel verbunden

:

Hier sind g und g Konstanten; ist Weierstrass elliptische Funktion und seine Ableitung. Es sollte klar sein, dass diese Beziehung in der Form einer elliptischen Kurve (über die komplexen Zahlen) ist. Die Weierstrass-Funktionen sind doppelt periodisch; d. h. sie sind in Bezug auf ein Gitter Λ periodisch; hauptsächlich werden die Funktionen von Weierstrass auf einem Ring T = C/Λ natürlich definiert. Dieser Ring kann im komplizierten projektiven Flugzeug mittels der Karte eingebettet werden

:

Diese Karte ist ein Gruppenisomorphismus, die natürliche Gruppenstruktur des Rings ins projektive Flugzeug tragend. Es ist auch ein Isomorphismus von Oberflächen von Riemann, und so topologisch, eine gegebene elliptische Kurve sieht wie ein Ring aus. Wenn das Gitter Λ mit einem Gitter cΛ durch die Multiplikation durch eine komplexe Nichtnullzahl c verbunden ist, dann sind die entsprechenden Kurven isomorph. Isomorphismus-Klassen von elliptischen Kurven werden durch den j-invariant angegeben.

Die Isomorphismus-Klassen können auf eine einfachere Weise ebenso verstanden werden. Die Konstanten g und g, genannt den modularen invariants, werden durch das Gitter, d. h. durch die Struktur des Rings einzigartig bestimmt. Jedoch bilden die komplexen Zahlen das zerreißende Feld für Polynome mit echten Koeffizienten, und so kann die elliptische Kurve als geschrieben werden

:

Man findet das

:und:

so dass der modulare discriminant ist

:

Hier wird λ manchmal die Modullambda-Funktion genannt.

Bemerken Sie, dass der uniformization Lehrsatz andeutet, dass jede Kompaktoberfläche von Riemann der Klasse eine als ein Ring vertreten werden kann.

Über die komplexen Zahlen hat jede elliptische Kurve neun Beugungspunkte. Jede Linie durch zwei dieser Punkte führt auch einen dritten Beugungspunkt durch; die neun Punkte und 12 Linien haben sich geformt auf diese Weise bilden eine Verwirklichung der Konfiguration von Hesse.

Elliptische Kurven über die rationalen Zahlen

Eine Kurve E definiert über das Feld von reellen Zahlen wird auch über das Feld von rationalen Zahlen definiert, deshalb kann das Gesetz der Hinzufügung (Punkte mit echten Koordinaten) durch die Tangente und das Sekantenverfahren auf E angewandt werden. Die ausführlichen Formeln zeigen, dass die Summe von zwei Punkten P und Q mit vernünftigen Koordinaten wieder vernünftige Koordinaten hat, da die Linie, die sich P anschließt, und Q vernünftige Koeffizienten haben. Auf diese Weise zeigt man, dass der Satz von vernünftigen Punkten von E eine Untergruppe der Gruppe von echten Punkten von E bildet. Als diese Gruppe ist es eine abelian Gruppe, d. h. P + Q = Q + P.

Die Struktur von vernünftigen Punkten

Das wichtigste Ergebnis besteht darin, dass alle Punkte durch die Methode von Tangenten und Sekanten gebaut werden können, die mit einer begrenzten Zahl von Punkten anfangen. Genauer stellt der Mordell-Weil Lehrsatz fest, dass die Gruppe E (Q) eine begrenzt erzeugte (abelian) Gruppe ist. Durch den Hauptsatz begrenzt erzeugter abelian Gruppen ist es deshalb eine begrenzte direkte Summe von Kopien von Z und begrenzten zyklischen Gruppen.

Der Beweis dieses Lehrsatzes ruht auf zwei Zutaten: Erstens zeigt man, dass für jede ganze Zahl m> 1 die Quotient-Gruppe E (Q) / ich (Q) (schwacher Mordell-Weil Lehrsatz) begrenzt ist. Zweitens eine Höhe-Funktion einführend, loggen h auf den vernünftigen Punkten E (Q) definiert durch h (P) = 0 und h (P) = max (|p, |q), wenn P (ungleich dem Punkt an der Unendlichkeit P) als Abszisse die rationale Zahl x = (mit coprime p und q) hat. Diese Höhe-Funktion h hat das Eigentum, das h (Mitglied des Parlaments) grob wie das Quadrat der M anbaut. Außerdem nur begrenzt bestehen viele vernünftige Punkte mit der Höhe, die kleiner ist als jede Konstante, auf E.

Der Beweis des Lehrsatzes ist so eine Variante der Methode des unendlichen Abstiegs und verlässt sich auf die wiederholte Anwendung Euklidischer Abteilungen auf E: Lassen Sie P  E (Q) ein vernünftiger Punkt auf der Kurve sein, P als die Summe 2P + Q schreibend, wo Q ein fester representant von P in E (Q)/2e (Q) ist, ist die Höhe von P über desjenigen von P (mehr allgemein, 2 durch jeden m> 1, und durch ersetzend). Wenn er dasselbe mit P, das heißt P = 2P + nochmals tut, drückt Q, dann P = 2P + Q, usw. schließlich P als eine integrierte geradlinige Kombination von Punkten Q und Punkte aus, deren Höhe durch eine feste Konstante gewählt im Voraus begrenzt wird: Durch den schwachen Mordell-Weil Lehrsatz und das zweite Eigentum der Höhe-Funktion wird P so als eine integrierte geradlinige Kombination einer begrenzten Zahl von festen Punkten ausgedrückt.

Bis jetzt ist der Lehrsatz nicht wirksam, da es kein bekanntes allgemeines Verfahren gibt, für den representants von E (Q) / ich (Q) zu bestimmen.

Die Reihe von E (Q), der die Zahl von Kopien von Z in E (Q) oder, gleichwertig, die Zahl von unabhängigen Punkten der unendlichen Ordnung ist, wird die Reihe von E genannt. Die Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung ist mit Bestimmung der Reihe beschäftigt. Man vermutet, dass es willkürlich groß sein kann, selbst wenn nur Beispiele mit der relativ kleinen Reihe bekannt sind. Die elliptische Kurve mit der größten genau bekannten Reihe ist

:y + xy = x  x +.

Es hat Reihe 18, gefunden von Noam Elkies 2006. Kurven der Reihe mindestens 28 sind bekannt, aber ihre Reihe ist nicht genau bekannt.

Bezüglich der Gruppen, die die Verdrehungsuntergruppe von E (Q) einsetzen, ist der folgende bekannt die Verdrehungsuntergruppe von E (Q) ist einer der 15 im Anschluss an Gruppen (ein Lehrsatz wegen Barry Mazurs): Z/NZ für N = 1, 2, …, 10, oder 12, oder Z/2Z × Z/2NZ mit N = 1, 2, 3, 4. Beispiele für jeden Fall sind bekannt. Außerdem gehören elliptische Kurven, deren Mordell-Weil Gruppen über Q dieselben Verdrehungsgruppen haben, einer parametrisierten Familie.

Die Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung

Die Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung (BSD) ist eines der Millennium-Probleme des Tonmathematik-Instituts. Die Vermutung verlässt sich auf analytische und arithmetische durch die elliptische fragliche Kurve definierte Gegenstände.

An der analytischen Seite ist eine wichtige Zutat eine Funktion einer komplizierten Variable, L, der Hasse-Weil zeta Funktion von E über Q. Diese Funktion ist eine Variante des Riemanns zeta Funktion und Dirichlet L-Funktionen. Es wird als ein Produkt von Euler, mit einem Faktor für jede Primzahl p definiert.

Für eine Kurve E über Q, der durch eine minimale Gleichung gegeben ist

:

mit integrierten Koeffizienten a, die Koeffizienten modulo reduzierend, definiert p eine elliptische Kurve über das begrenzte Feld F (abgesehen von einer begrenzten Zahl der Blüte p, wo die reduzierte Kurve eine Eigenartigkeit hat und so scheitert, elliptisch zu sein, in welchem Fall, wie man sagt, E von der schlechten Verminderung an p ist).

Die zeta Funktion einer elliptischen Kurve über ein begrenztes Feld F, ist in einem Sinn, eine Erzeugen-Funktion, die die Information der Zahl von Punkten von E mit Werten in den begrenzten Felderweiterungen von F, F sammelt. Es, wird gegeben

:

Die Innensumme des Exponential-ähnelt der Entwicklung des Logarithmus und, tatsächlich, so - hat Zeta-Funktion definiert, ist eine vernünftige Funktion:

:

Der Hasse-Weil zeta Funktion von E über Q wird dann definiert, indem er diese Information zusammen, für die ganze Blüte p sammelt. Es wird durch definiert

:

wo ε (p) = 1, wenn E die gute Verminderung an p und 0 sonst (in welchem Fall hat definiert verschieden zu sein, als obengenannt).

Dieses Produkt läuft für nur zusammen. Die Vermutung von Hasse versichert, dass die L-Funktion eine analytische Verlängerung zum ganzen komplizierten Flugzeug zulässt und eine funktionelle Gleichungsverbindung, für jeden s, L (E, s) zu L (E, 2&minus;s) befriedigt. 1999, wie man zeigte, war das eine Folge des Beweises der Shimura-Taniyama-Weil-Vermutung, die behauptet, dass jede elliptische Kurve über E eine Modulkurve ist, die andeutet, dass seine L-Funktion die L-Funktion einer Modulform ist, deren analytische Verlängerung bekannt ist.

Man kann deshalb über die Werte von L (E, s) an jeder komplexen Zahl s sprechen. Die Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung verbindet die Arithmetik der Kurve zum Verhalten seiner L-Funktion an s = 1. Genauer versichert es, dass die Ordnung der L-Funktion an s = 1 der Reihe von E gleichkommt und den Hauptbegriff der Reihe von Laurent von L (E, s) an diesem Punkt in Bezug auf mehrere der elliptischen Kurve beigefügte Mengen voraussagt.

Viel wie die Hypothese von Riemann hat diese Vermutung vielfache Folgen einschließlich der folgenden zwei:

• Lassen Sie n eine sonderbare quadratfreie ganze Zahl sein. Die Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung annehmend, ist n die Oberfläche eines rechteckigen Dreiecks, wenn, und nur wenn die Zahl von Drillingen von ganzen Zahlen (x, y, z) Zufriedenheit zweimal die Zahl dessen ist, Zufriedenheit verdreifacht. Diese Behauptung, wegen Tunnell, ist mit der Tatsache verbunden, dass n die Fläche eines rechtwinkligen Dreieckes mit vernünftigen Seiten ist, wenn, und nur wenn die elliptische Kurve einen vernünftigen Punkt der unendlichen Ordnung hat (so, unter der Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung, hat seine L-Funktion eine Null an 1). Das Interesse an dieser Behauptung besteht darin, dass die Bedingung leicht nachgeprüft wird.
• In einer verschiedenen Richtung berücksichtigen bestimmte analytische Methoden eine Bewertung der Ordnung der Null im Zentrum des kritischen Streifens von Familien von L-Funktionen. Die BSD-Vermutung zulassend, entsprechen diese Bewertungen Information über die Reihe von Familien von elliptischen fraglichen Kurven. Zum Beispiel: Nehmen Sie die verallgemeinerte Hypothese von Riemann und die BSD-Vermutung an, die durchschnittliche Reihe von Kurven, die dadurch gegeben sind, ist kleiner als 2.

Der Modularitätslehrsatz und seine Anwendung auf den Letzten Lehrsatz von Fermat

Der Modularitätslehrsatz, der einmal als die Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung bekannt ist, stellt fest, dass jede elliptische Kurve E über Q eine Modulkurve ist, das heißt, ist sein Hasse-Weil zeta Funktion die L-Funktion einer Modulform des Gewichts 2 und Niveau N, wo N der Leiter von E ist (eine ganze Zahl, die durch dieselben Primzahlen wie der discriminant von E, Δ (E) teilbar ist.) Mit anderen Worten, wenn, weil man die L-Funktion in der Form schreibt

:

der Ausdruck, wo q = exp (2πiz) einen parabolischen modularen newform des Gewichts 2 und Niveau N definiert. Für Primzahlen , sich N nicht teilend, kommt der Koeffizient der Form  - die Zahl von Lösungen der minimalen Gleichung der Kurve modulo  gleich.

Zum Beispiel, zur elliptischen Kurve mit discriminant (und Leiter) 37, wird die Form, wo vereinigt. Für Primzahlen  verschieden 37 kann man das Eigentum über die Koeffizienten nachprüfen. So, für  = 3, sind die Lösungen der Gleichung modulo 3 (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), als und.

Die Vermutung, zu den fünfziger Jahren zurückgehend, ist 1999 mit Ideen von Andrew Wiles völlig gezeigt worden, der es bereits 1994 für eine große Familie von elliptischen Kurven bewiesen hat.

Es gibt mehrere Formulierungen der Vermutung. Vertretung, dass sie gleichwertig sind, ist schwierig und war ein Hauptthema der Zahlentheorie in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Die Modularität einer elliptischen Kurve E des Leiters N kann auch durch den Ausspruch ausgedrückt werden, dass es eine nichtunveränderliche vernünftige Karte gibt, die über Q von der Modulkurve bis E definiert ist. Insbesondere die Punkte von E können durch Modulfunktionen parametrisiert werden.

Zum Beispiel wird ein modularer parametrization der Kurve durch gegeben

:

x (z) &= q^ {-2} + 2q^ {-1} + 5 + 9q + 18q^2 + 29q^3 +... \\

y (z) &= q^ {-3} + 3q^ {-2} + 9q^ {-1} + 21 + 46q + 92q^2 +...

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo, als oben, q = exp (2πiz). Die Funktionen x (z) und y (z) sind vom Gewicht 0 und Niveau 37 modular; mit anderen Worten sind sie meromorphic, der auf dem oberen Halbflugzeug definiert ist, und befriedigen und ebenfalls für y (z) für alle ganzen Zahlen a, b, c, d mit der Anzeige - bc = 1 und 37|c.

Eine andere Formulierung hängt vom Vergleich von Darstellungen von Galois beigefügt einerseits elliptischen Kurven, und andererseits Modulformen ab. Die letzte Formulierung ist im Beweis die Vermutung verwendet worden. Das Befassen mit dem Niveau der Formen (und die Verbindung zum Leiter der Kurve) ist besonders fein.

Die sensationellste Anwendung der Vermutung ist der Beweis von Fermat's Last Theorem (FLT). Nehmen Sie das für einen Hauptp> 5, die Gleichung von Fermat an

:

hat eine Lösung mit ganzen Nichtnullzahlen, folglich ein Gegenbeispiel zu FLT. Dann die elliptische Kurve

:

discriminant kann nicht modular sein. So bezieht der Beweis der Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung für diese Familie von elliptischen Kurven (hat Kurven von Hellegouarch-Frey genannt), den FLT ein. Der Beweis der Verbindung zwischen diesen zwei Behauptungen, die auf einer Idee von Gerhard Frey (1985) gestützt sind, ist schwierig und technisch. Es wurde von Kenneth Ribet 1987 gegründet.

Integrierte Punkte

Diese Abteilung ist mit Punkten P = (x, y) von solchem E beschäftigt, dass x eine ganze Zahl ist. Der folgende Lehrsatz ist wegen C. L. Siegels: Der Satz von Punkten P = (x, y) E (Q) solch, dass x integriert ist, ist begrenzt. Dieser Lehrsatz kann zu Punkten verallgemeinert werden, deren X-Koordinate einen Nenner teilbar nur durch einen festen begrenzten Satz von Primzahlen hat.

Der Lehrsatz kann effektiv formuliert werden. Zum Beispiel, wenn die Gleichung von Weierstrass von E Koeffizienten der ganzen Zahl durch einen unveränderlichen H begrenzen ließ, befriedigen die Koordinaten (x, y) eines Punkts von E sowohl mit x als auch mit y ganzer Zahl:

:

Zum Beispiel hat die Gleichung acht integrierte Lösungen mit y> 0:

: (x, y) = (1,4), (2,3), (2,5), (4,9), (8,23), (43,282), (52,375), .

Als ein anderes Beispiel, die Gleichung von Ljunggren, eine Kurve, deren Form von Weierstrass y = x &minus ist; 2x,

hat nur vier Lösungen mit y  0:

: (x, y) = (0,0), (&minus;1,1), (2, 2), (338,6214).

Generalisation zu numerischen Feldern

Viele der vorhergehenden Ergebnisse bleiben gültig, wenn das Feld der Definition von E ein numerisches Feld, das heißt, eine begrenzte Felderweiterung von Q ist. Insbesondere die Gruppe E (K) K-rational Punkte einer elliptischen Kurve E definiert über K wird begrenzt erzeugt, der den Mordell-Weil Lehrsatz oben verallgemeinert. Ein Lehrsatz wegen Loïc Merels zeigt, dass für eine gegebene ganze Zahl d es (bis zum Isomorphismus) nur begrenzt viele Gruppen gibt, die als die Verdrehungsgruppen von E (K) für eine elliptische Kurve vorkommen können, die über ein numerisches Feld K des Grads d definiert ist. Genauer gibt es eine solche Nummer B (d), dass für jede elliptische Kurve E definiert über ein numerisches Feld K des Grads d jeder Verdrehungspunkt von E (K) der Ordnung weniger ist als B (d). Der Lehrsatz ist wirksam: Für d> 1, wenn ein Verdrehungspunkt des Auftrags p, mit der p Blüte, dann ist

Bezüglich der integrierten Punkte verallgemeinert der Lehrsatz von Siegel zum folgenden: Lassen Sie E eine elliptische Kurve sein, die über ein numerisches Feld K, x und y die Koordinaten von Weierstrass definiert ist. Dann sind die Punkte von E (K), dessen X-Koordinate im Ring von ganzen Zahlen O ist, begrenzt.

Die Eigenschaften des Hasse-Weil zeta Funktion und die Birke- und Swinnerton-Färber-Vermutung können auch zu dieser allgemeineren Situation erweitert werden.

Elliptische Kurven über ein allgemeines Feld

Elliptische Kurven können über jedes Feld K definiert werden; die formelle Definition einer elliptischen Kurve ist eine nichtsinguläre projektive algebraische Kurve über K mit der Klasse 1 mit einem gegebenen über K definierten Punkt.

Wenn die Eigenschaft von K weder 2 noch 3 ist, dann kann jede elliptische Kurve über K in der Form geschrieben werden

:

wo p und q Elemente von solchem K sind, dass das Polynom der rechten Seite x  px  q keine doppelten Wurzeln hat. Wenn die Eigenschaft 2 oder 3 ist, dann müssen mehr Begriffe behalten werden: In der Eigenschaft 3 ist die allgemeinste Gleichung der Form

:

für willkürliche solche Konstanten, dass das Polynom auf der rechten Seite verschiedene Wurzeln hat (wird die Notation aus historischen Gründen gewählt). In der Eigenschaft 2 ist sogar vieles nicht möglich, und die allgemeinste Gleichung ist

:

vorausgesetzt, dass die Vielfalt, die es definiert, nichtsingulär ist. Wenn Eigenschaft nicht ein Hindernis wäre, würde jede Gleichung zu den vorherigen durch eine passende Änderung von Variablen abnehmen.

Man nimmt normalerweise die Kurve, um der Satz aller Punkte zu sein (x, y), die die obengenannte Gleichung und solch befriedigen, dass sowohl x als auch y Elemente des algebraischen Verschlusses von K sind. Punkte der Kurve, deren Koordinaten beide K gehören, werden K-rational Punkte genannt.

Isogeny

Lassen Sie E und D elliptische Kurven über ein Feld k sein. Ein isogeny zwischen E und D ist ein begrenzter morphism f: E  D Varianten, der basepoints bewahrt (mit anderen Worten, stellt den gegebenen Punkt auf E dazu auf D kartografisch dar).

Die zwei Kurven werden isogenous genannt, wenn es einen isogeny zwischen ihnen gibt. Das ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung, Symmetrie, die wegen der Existenz des Doppelisogeny ist. Jeder isogeny ist ein algebraischer Homomorphismus und veranlasst so Homomorphismus der Gruppen der elliptischen Kurven für K-Valued-Punkte.

Elliptische Kurven über begrenzte Felder

Lassen Sie K = F das begrenzte Feld mit q Elementen und E eine elliptische über K definierte Kurve sein. Während die genaue Zahl von vernünftigen Punkten einer elliptischen Kurve E über K im Allgemeinen ziemlich schwierig ist zu rechnen, gibt der Lehrsatz von Hasse auf elliptischen Kurven uns, einschließlich des Punkts an der Unendlichkeit, der folgenden Schätzung:

:

Mit anderen Worten wächst die Zahl von Punkten der Kurve grob als die Zahl der Elemente im Feld. Diese Tatsache kann verstanden und mit der Hilfe von einer allgemeinen Theorie bewiesen werden; sieh lokalen zeta, Étale cohomology fungieren.

Der Satz von Punkten E (F) ist eine begrenzte abelian Gruppe. Es ist immer zyklisch oder das Produkt von zwei zyklischen Gruppen. Zum Beispiel die Kurve durch definiert

:

über F hat 72 Punkte (71 Affine-Punkte einschließlich (0,0) und ein Punkt an der Unendlichkeit) über dieses Feld, dessen Gruppenstruktur durch Z/2Z × Z/36Z gegeben wird. Die Zahl von Punkten auf einer spezifischen Kurve kann mit dem Algorithmus von Schoof geschätzt werden.

Das Studieren der Kurve über die Felderweiterungen von F wird durch die Einführung der lokalen zeta Funktion von E über F erleichtert, definiert durch eine Erzeugen-Reihe (sieh auch oben)

:

wo Feld K die (einzigartige) Erweiterung von K = F vom Grad n ist (d. h.). Die Zeta-Funktion ist eine vernünftige Funktion in T. Es gibt eine ganze Zahl ein solcher dass

:

Außerdem,

:

Z \left (E/K, {T \over q} \right) &= Z (E/K, T) \\

\left (1 - an + qT^2 \right) &= (1 - \alpha T) (1 - \beta T)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

mit komplexen Zahlen α, β des absoluten Werts. Dieses Ergebnis ist ein spezieller Fall der Vermutungen von Weil. Zum Beispiel wird die zeta Funktion über Feld F dadurch gegeben, da die Kurve Punkte hat, wenn r (sogar, beziehungsweise) seltsam ist.

Die Sato-Tate-Vermutung ist eine Behauptung darüber, wie sich der Fehlerbegriff im Lehrsatz von Hasse mit der verschiedenen Blüte q ändert, wenn Sie eine elliptische Kurve E über Q nehmen und ihn modulo q reduzieren. Es wurde (für fast alle diese Kurven) 2006 wegen der Ergebnisse von Taylor, Harris und Hirten-Barron bewiesen und sagt, dass die Fehlerbegriffe equidistributed sind.

Elliptische Kurven über begrenzte Felder werden namentlich in der Geheimschrift und für den factorization von großen ganzen Zahlen angewandt. Diese Algorithmen machen häufig von der Gruppenstruktur auf den Punkten von E Gebrauch. Algorithmen, die auf allgemeine Gruppen, zum Beispiel die Gruppe von invertible Elementen in begrenzten Feldern anwendbar sind, können so auf die Gruppe von Punkten auf einer elliptischen Kurve angewandt werden. Zum Beispiel ist der getrennte Logarithmus solch ein Algorithmus. Das Interesse daran besteht darin, dass die Auswahl einer elliptischen Kurve mehr Flexibilität berücksichtigt als Auswahl q (und so die Gruppe von Einheiten in F). Außerdem ist die Gruppenstruktur von elliptischen Kurven allgemein mehr kompliziert.

Algorithmen, die elliptische Kurven verwenden

Elliptische Kurven über begrenzte Felder werden in einigen kryptografischen Anwendungen sowie für die ganze Zahl factorization verwendet. Gewöhnlich besteht die allgemeine Idee in diesen Anwendungen darin, dass ein bekannter Algorithmus, der von bestimmten begrenzten Gruppen Gebrauch macht, umgeschrieben wird, um die Gruppen von vernünftigen Punkten von elliptischen Kurven zu verwenden. Weil mehr auch sieht:

• Elliptische Kurve-Geheimschrift
• Elliptische Kurve DSA
• Lenstra elliptische Kurve factorization
• Elliptische Kurve primality Beweis

Alternative Darstellungen von elliptischen Kurven

• Jute-Kurve
• Kurve von Edwards
• Gedrehte Kurve
• Gedrehte Jute-Kurve
• Gedrehte Kurve von Edwards
• Verdoppelungsorientierte Doche-Icart-Kohel biegen
• Verdreifachungsorientierte Doche-Icart-Kohel biegen
• Jacobian biegen
• Kurve von Montgomery

Siehe auch

• Formel von Riemann-Hurwitz
• Lehrsatz von Nagell-Lutz
• Arithmetische Dynamik
• Elliptische Oberfläche
• Vergleich von Computeralgebra-Systemen
• J-Linie

Referenzen

Serge Lang, in der Einführung ins Buch, das unten zitiert ist, hat festgestellt, dass "Es möglich ist, endlos über elliptische Kurven zu schreiben. (Das ist nicht eine Drohung.)" Die folgende kurze Liste ist so an am besten einem Handbuch zur riesengroßen erklärenden auf den theoretischen, algorithmischen und kryptografischen Aspekten von elliptischen Kurven verfügbaren Literatur.

Links

• Der Mathematische Atlas: 14:52 Uhr Elliptische Kurven
• Die Arithmetik von elliptischen Kurven von PlanetMath
• Drei Fermat-Spuren zu Elliptischen Kurven, Ezra Brown, Der Universitätsmathematik-Zeitschrift, Vol. 31 (2000), Seiten 162-172, Sieger des MAA das Schreiben des Preises der Preis von George Pólya.
• Der Code von Matlab für das implizite Funktionsplotten - Kann verwendet werden, um elliptische Kurven zu planen.
• Interaktive Einführung in elliptische Kurven und elliptische Kurve-Geheimschrift mit dem WEISEN
• Geometrisches Elliptisches Kurve-Modell (Java-Applet, das Kurven zieht)
• Die interaktive elliptische Kurve über R und über Zp - Webanwendung, die HTML5 fähigen Browser verlangt.