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Factorial

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In der Mathematik, dem factorial einer natürlichen Zahl n, angezeigt durch n!, ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen weniger als oder gleich n. Zum Beispiel,

Der Wert von 0! ist 1 gemäß der Tagung für ein leeres Produkt.

Auf die factorial Operation wird in vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik, namentlich in combinatorics, Algebra und mathematischer Analyse gestoßen. Sein grundlegendstes Ereignis ist die Tatsache, dass es n gibt! Weisen, n verschiedene Gegenstände in eine Folge (d. h., Versetzungen des Satzes von Gegenständen) einzuordnen. Diese Tatsache war mindestens schon im 12. Jahrhundert Indianergelehrten bekannt.

Die Notation n wurde von Christian Kramp 1808 eingeführt.

Die Definition der Factorial-Funktion kann auch zu Argumenten der nichtganzen Zahl erweitert werden, während man seine wichtigsten Eigenschaften behält; das schließt fortgeschrittenere Mathematik, namentlich Techniken von der mathematischen Analyse ein.

Definition

Die Factorial-Funktion wird durch formell definiert

oder rekursiv definiert durch

1 & \text {wenn} n = 0, \\

(n-1)! \times n & \text {wenn} n> 0.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Beide der obengenannten Definitionen vereinigen das Beispiel

im ersten Fall durch die Tagung, dass das Produkt keiner Zahlen überhaupt 1 ist. Das ist weil günstig:

Es gibt genau eine Versetzung von Nullgegenständen (mit nichts, um zu permutieren, "alles" wird im Platz verlassen).
Die Wiederauftreten-Beziehung, die für n> 0 gültig ist, streckt sich bis zu n = 0 aus.
Es berücksichtigt den Ausdruck von vielen Formeln wie die Exponentialfunktion als eine Macht-Reihe:

Es macht viele Identität im für alle anwendbaren Größen gültigen combinatorics. Die Zahl von Weisen, 0 Elemente aus dem leeren Satz zu wählen, ist. Mehr allgemein ist die Zahl von Weisen (alle) n Elemente unter einer Reihe von n zu wählen.

Die Factorial-Funktion kann auch für Werte der nichtganzen Zahl mit der fortgeschritteneren Mathematik definiert werden, die in der Abteilung unten ausführlich berichtet ist. Diese mehr verallgemeinerte Definition wird durch fortgeschrittene Rechenmaschinen und mathematische Software wie Maple oder Mathematica verwendet.

Anwendungen

Obwohl die Factorial-Funktion seine Wurzeln in combinatorics hat, kommen Formeln, die factorials einschließen, in vielen Gebieten der Mathematik vor.

Es gibt n! verschiedene Weisen, n verschiedene Gegenstände in eine Folge, die Versetzungen jener Gegenstände einzuordnen.
Häufig scheinen factorials im Nenner einer Formel, für die Tatsache verantwortlich zu sein, dass Einrichtung ignoriert werden soll. Ein klassisches Beispiel zählt K-Kombinationen (Teilmengen von k Elementen) von einem Satz mit n Elementen auf. Man kann solch eine Kombination erhalten, indem man eine K-Versetzung wählt: nacheinander auswählend und das Entfernen eines Elements des Satzes, k Zeiten, für insgesamt

:possibilities. Das erzeugt jedoch die K-Kombinationen in einer besonderen Ordnung, die man ignorieren möchte; da jede K-Kombination in k erhalten wird! auf verschiedene Weisen ist die richtige Zahl von K-Kombinationen

:This-Zahl ist als der binomische Koeffizient bekannt, weil es auch der Koeffizient X darin ist.

Factorials kommen in der Algebra aus verschiedenen Gründen, solcher als über die bereits erwähnten Koeffizienten der binomischen Formel, oder durch die Mittelwertbildung über Versetzungen für symmetrization von bestimmten Operationen vor.
Factorials tauchen auch in der Rechnung auf; zum Beispiel kommen sie in den Nennern der Begriffe der Formel von Taylor vor, um grundsätzlich die Tatsache zu ersetzen, dass die n-te Ableitung von x n ist.
Factorials werden auch umfassend in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.
Factorials kann nützlich sein, um Ausdruck-Manipulation zu erleichtern. Zum Beispiel kann die Zahl von K-Versetzungen von n als geschrieben werden

:while das ist als ein Mittel ineffizient, diese Zahl zu schätzen, kann es dienen, um ein Symmetrie-Eigentum von binomischen Koeffizienten zu beweisen:

Zahlentheorie

Factorials haben viele Anwendungen in der Zahlentheorie. Insbesondere n ist durch alle Primzahlen bis zu und einschließlich n notwendigerweise teilbar. Demzufolge, n> 5 ist eine zerlegbare Zahl wenn und nur wenn

Ein stärkeres Ergebnis ist der Lehrsatz von Wilson, der das festsetzt

wenn, und nur wenn p erst ist.

Adrien-Marie Legendre hat gefunden, dass die Vielfältigkeit des ersten p, der im ersten factorization von n vorkommt, genau als ausgedrückt werden kann

Diese Tatsache basiert auf dem Zählen der Zahl von Faktoren p von den ganzen Zahlen von 1 bis n. Durch die Zahl von Vielfachen von p in den Zahlen 1 zu n wird gegeben; jedoch zählt diese Formel jene Zahlen mit zwei Faktoren von p nur einmal auf. Folglich muss ein anderer Faktoren von p auch aufgezählt werden. Ähnlich für drei, vier, fünf Faktoren, zur Unendlichkeit. Die Summe ist begrenzt, da p nur weniger sein kann als oder gleich n für begrenzt viele Werte von mir, und die Fußboden-Funktion 0, wenn beworben, p> n hinausläuft.

Der einzige factorial, der auch eine Primzahl ist, ist 2, aber es gibt viele Blüte der Form n! ± 1, genannt factorial Blüte.

Alle factorials größer als 1! sind sogar, wie sie alle Vielfachen 2 sind. Außerdem der ganze factorials von 5! aufwärts sind Vielfachen 10 (und haben Sie folglich eine schleifende Null als ihre Endziffer), weil sie Vielfachen 5 und 2 sind.

Bemerken Sie auch, dass die Gegenstücke von factorials eine konvergente Reihe erzeugen: (Sieh e)

Rate des Wachstums und der Annäherungen für großen n

Als n wächst, nimmt der factorial n schneller zu als alle Polynome und Exponentialfunktionen (aber langsamer als doppelte Exponentialfunktionen) in n.

Die meisten Annäherungen für n! basieren auf dem Approximieren seinem natürlichen Logarithmus

Der Graph der Funktion f (n) = loggt n! wird in der Zahl rechts gezeigt. Es sieht ungefähr geradlinig für alle angemessenen Werte von n aus, aber diese Intuition ist falsch.

Wir bekommen eine der einfachsten Annäherungen für den Klotz n! durch das Springen der Summe mit einem Integral von oben und unten wie folgt:

der uns die Schätzung gibt

Folglich Klotz n! ist Θ (n loggen n). Dieses Ergebnis spielt eine Schlüsselrolle in der Analyse der rechenbetonten Kompliziertheit, Algorithmen zu sortieren (sieh Vergleich-Sorte).

Von den Grenzen auf dem Klotz n! abgeleitet oben bekommen wir das

Es ist manchmal praktisch, um schwächere, aber einfachere Schätzungen zu verwenden. Das Verwenden der obengenannten Formel es wird leicht gezeigt, dass für den ganzen n wir haben

Für großen n bekommen wir eine bessere Schätzung für die Nummer n mit der Annäherung von Stirling:

Tatsächlich kann es bewiesen werden, dass für den ganzen n wir haben

Eine viel bessere Annäherung dafür wurde von Srinivasa Ramanujan gegeben

Berechnung

Wenn Leistungsfähigkeit nicht ist, ist eine Sorge, factorials rechnend, aus einem algorithmischen Gesichtspunkt trivial: Nacheinander wird das Multiplizieren einer Variable, die zu 1 durch die ganzen Zahlen 2 bis zu n (wenn irgendwelcher) initialisiert ist, n schätzen, vorausgesetzt dass das Ergebnis die Variable einfügt. Auf funktionellen Sprachen wird die rekursive Definition häufig direkt durchgeführt, um rekursive Funktionen zu illustrieren.

Die praktische Hauptschwierigkeit, factorials zu schätzen, ist die Größe des Ergebnisses. Zu versichern, dass das genaue Ergebnis für alle gesetzlichen Werte sogar des kleinsten allgemein verwendeten integrierten Typs passen wird (haben 8 Bit ganze Zahlen unterzeichnet), würde mehr als 700 Bit verlangen, so kann keine angemessene Spezifizierung einer Factorial-Funktion mit Typen der festen Größe Fragen der Überschwemmung vermeiden. Die Werte 12! und 20! sind der größte factorials, der in, beziehungsweise, die 32-bit- und ganzen in Personalcomputern allgemein verwendeten 64-Bit-Zahlen versorgt werden kann. Die Schwimmpunkt-Darstellung eines näher gekommenen Ergebnisses erlaubt, ein bisschen weiter zu gehen, aber das bleibt auch ganz beschränkt durch die mögliche Überschwemmung. Die meisten Rechenmaschinen verwenden wissenschaftliche Notation mit 2-stelligen dezimalen Hochzahlen, und der größte factorial, der passt, ist dann 69! weil 69! für Werte von n bis zu 249999 und bis zu 20,000,000! für die Ganzen Zahlen.

Wenn sehr große genaue factorials erforderlich sind, können sie mit bignum Arithmetik geschätzt werden. In solcher Berechnung kann Geschwindigkeit nicht folgend das Multiplizieren der Zahlen bis zu (oder unten von) n in einen einzelnen Akkumulator gewonnen werden, aber indem Sie die Folge verteilen, so dass die Produkte für jeden der zwei Teile ungefähr derselben Größe sind, schätzen Sie jene Produkte rekursiv und dann multiplizieren Sie.

Die asymptotisch beste Leistungsfähigkeit wird durch die Computerwissenschaft n von seinem ersten factorization erhalten. Wie dokumentiert, durch Peter Borwein erlaubt erster factorization n, rechtzeitig O geschätzt zu werden (n (loggen Sie N-Klotz-Klotz-n)), vorausgesetzt, dass ein schneller Multiplikationsalgorithmus (zum Beispiel, der Algorithmus von Schönhage-Strassen) verwendet wird. Peter Luschny präsentiert Quellcode und Abrisspunkte für mehrere effiziente factorial Algorithmen, mit oder ohne den Gebrauch eines Hauptsiebs.

Erweiterung von factorial zu Werten der nichtganzen Zahl des Arguments

Die Funktionen von Gamma und Pi

Außer natürlichen Zahlen kann die Factorial-Funktion auch für Werte der nichtganzen Zahl definiert werden, aber das verlangt fortgeschrittenere Werkzeuge von der mathematischen Analyse. Eine Funktion, die die Werte des factorial "ausfüllt" (aber mit einer Verschiebung 1 im Argument) wird die Gammafunktion genannt, hat Γ (z), definiert für alle komplexen Zahlen z außer den nichtpositiven ganzen Zahlen, und gegeben angezeigt, wenn der echte Teil von z durch positiv

ist:

Seine Beziehung zum factorials ist dass für jede natürliche Zahl n

Die ursprüngliche Formel von Euler für die Gammafunktion war

Es lohnt sich zu erwähnen, dass es eine alternative Notation gibt, die von Gauss ursprünglich eingeführt wurde, der manchmal verwendet wird. Die Pi-Funktion, angezeigter Π (z) für reelle Zahlen z nicht weniger als 0, wird durch definiert

In Bezug auf die Gammafunktion ist es

Es erweitert aufrichtig den factorial darin

Zusätzlich dazu befriedigt die Funktion von Pi dasselbe Wiederauftreten, wie factorials tun, aber an jedem komplizierten Wert z, wo es definiert wird

Tatsächlich ist das nicht mehr eine Wiederauftreten-Beziehung, aber eine funktionelle Gleichung.

Ausgedrückt in Bezug auf die Gammafunktion nimmt diese funktionelle Gleichung die Form an

Da der factorial durch die Funktion von Pi, für jeden komplizierten Wert z erweitert wird, wo es definiert wird, können wir schreiben:

Die Werte dieser Funktionen an Werten der halbganzen Zahl werden deshalb von einem einzelnen von ihnen bestimmt; man hat

von der hieraus folgt dass für n N,

Zum Beispiel,

Es folgt auch dem für n N,

:Zum Beispiel,:

Die Funktion von Pi ist sicher nicht die einzige Weise, factorials zu einer Funktion zu erweitern, die an fast allen komplizierten Werten, und nicht sogar dem einzigen definiert ist, der analytisch ist, wo auch immer es definiert wird. Dennoch wird es gewöhnlich als die natürlichste Weise betrachtet, die Werte des factorials zu einer komplizierten Funktion zu erweitern. Zum Beispiel stellt der Lehrsatz von Bohr-Mollerup fest, dass die Gammafunktion die einzige Funktion ist, die den Wert 1 an 1 nimmt, die funktionelle Gleichung Γ (n + 1) = nΓ (n) befriedigt, meromorphic auf den komplexen Zahlen ist, und auf der positiven echten Achse mit dem Klotz konvex ist. Eine ähnliche Behauptung hält für die Funktion von Pi ebenso, mit dem Π (n) = nΠ (n − 1) funktionelle Gleichung.

Jedoch dort bestehen Sie komplizierte Funktionen, die wahrscheinlich im Sinne der analytischen Funktionstheorie einfacher sind, und die die Factorial-Werte interpolieren. Zum Beispiel, die 'Gamma'-Funktion von Hadamard, die, verschieden von der Gammafunktion, eine komplette Funktion ist.

Euler hat auch eine konvergente Produktannäherung für die nichtganze Zahl factorials entwickelt, der, wie man sehen kann, zur Formel für die Gammafunktion oben gleichwertig ist:

Jedoch stellt diese Formel kein praktisches Mittel zur Verfügung, die Pi- oder Gammafunktion zu schätzen, weil seine Rate der Konvergenz langsam ist.

Anwendungen der Gammafunktion

Das Volumen eines n-dimensional Hyperbereichs des Radius R ist

Factorial am komplizierten Flugzeug

Die Darstellung durch die Gammafunktion erlaubt Einschätzung von factorial des komplizierten Arguments. Equilines des Umfangs und Phase von factorial werden in der Zahl gezeigt. Lassen. Mehrere Niveaus des unveränderlichen Moduls (Umfang) und der unveränderlichen Phase werden gezeigt. Die Bratrost-Deckel ordnen an

mit dem Einheitsschritt. Die gekratzte Linie zeigt das Niveau.

Dünne Linien zeigen Zwischenniveaus des unveränderlichen Moduls und der unveränderlichen Phase. An Polen werden Phase und Umfang nicht definiert. Equilines sind in der Umgebung von Eigenartigkeiten entlang negativen Werten der ganzen Zahl des Arguments dicht.

Dafür

Die ersten Koeffizienten dieser Vergrößerung sind

</tr>

</tr></tr></tr></tr></Tisch>

wo Euler unveränderlich ist und der Riemann zeta Funktion ist. Computeralgebra-Systeme wie Sage (Mathematik-Software) können viele Begriffe dieser Vergrößerung erzeugen.

Annäherungen von factorial

Für die großen Werte des Arguments,

factorial kann durch das Integral des näher gekommen werden

Digamma-Funktion, mit der fortlaufenden Bruchteil-Darstellung.

Diese Annäherung ist wegen T. J. Stieltjes (1894). Das Schreiben z! = exp (P (z)), wo P (z) ist

Stieltjes hat einen fortlaufenden Bruchteil für p (z) gegeben

p (z) = \cfrac {a_0} {z+

\cfrac {a_1} {z+

\cfrac {a_2} {z+

\cfrac {a_3} {z +\ddots}}} }\

</Mathematik>

Die ersten paar Koeffizienten zu sein

</Tisch>

Es gibt häufigen Irrtum, das oder

für jeden Komplex z 0. Tatsächlich ist die Beziehung durch den Logarithmus nur für den spezifischen Wertbereich von z in der Umgebung der echten Achse, während gültig

Non-extendability zu negativen ganzen Zahlen

Die Beziehung n! = (n − 1)! × n erlaubt, den factorial für eine ganze Zahl gegeben der factorial für eine kleinere ganze Zahl zu schätzen. Die Beziehung kann umgekehrt werden, so dass man den factorial für eine ganze Zahl gegeben der factorial für eine größere ganze Zahl schätzen kann:

Bemerken Sie jedoch, dass dieser recursion uns nicht erlaubt, den factorial einer negativen ganzen Zahl zu schätzen; der Gebrauch der Formel (um −1) zu rechnen, würde eine Abteilung durch die Null verlangen, und blockiert uns so davon, einen Factorial-Wert für jede negative ganze Zahl zu schätzen. (Ähnlich wird die Gammafunktion für nichtpositive ganze Zahlen nicht definiert, obwohl sie für alle anderen komplexen Zahlen definiert wird.)

Factorial ähnliche Produkte und Funktionen

Es gibt mehrere andere Folgen der ganzen Zahl, die den factorial ähnlich sind, die in der Mathematik verwendet werden:

Primorial

Der primorial ist dem factorial, aber mit dem Produkt übernommen nur die Primzahlen ähnlich.

Doppelter factorial

Das Produkt aller sonderbaren ganzen Zahlen bis zu eine sonderbare positive ganze Zahl n wird häufig den doppelten factorial von n genannt (wenn auch es nur ungefähr Hälfte der Faktoren des gewöhnlichen factorial einschließt, und ist sein Wert deshalb an der Quadratwurzel des factorial näher). Es wird durch angezeigt

Für eine sonderbare positive ganze Zahl n = 2k - 1, k 1, ist es

Zum Beispiel, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945. Diese Notation schafft eine notational Zweideutigkeit mit der Zusammensetzung der Factorial-Funktion mit sich (den für n> 2 viel größeren Zahlen gibt als der doppelte factorial); das kann durch die Tatsache gerechtfertigt werden, dass Zusammensetzung sehr selten in der Praxis entsteht, und dadurch angezeigt werden konnte (n, um die Zweideutigkeit zu überlisten. Die doppelte factorial Notation ist nicht notwendig; es kann in Bezug auf den gewöhnlichen factorial durch ausgedrückt werden

da der Nenner gleichkommt und die unerwünschten gleichen Faktoren vom Zähler annulliert. Die Einführung des doppelten factorial wird durch die Tatsache motiviert, dass es eher oft in kombinatorischen und anderen Einstellungen, zum Beispiel vorkommt

(2n − 1) ist die Zahl von Versetzungen 2n, wessen Zyklus-Typ aus n Teilen besteht, die 2 gleich sind; das sind die Involutionen ohne feste Punkte.
(2n − 1) ist die Zahl von vollkommenem matchings in einem ganzen Graphen K (2n).
(2n − 5) ist die Zahl uneingewurzelter binärer Bäume mit etikettierten Blättern von n.
Der Wert ist dem gleich (sieh oben)

Manchmal wird n für nichtnegative gerade Zahlen ebenso definiert. Eine Wahl ist eine Definition, die derjenigen für sonderbare Werte ähnlich

ist:

Zum Beispiel, mit dieser Definition, 8 = 2 × 4 × 6 × 8 = 384.

Bemerken Sie jedoch, dass diese Definition den Ausdruck oben vom doppelten factorial in Bezug auf den gewöhnlichen factorial nicht vergleicht, und auch mit der Erweiterung der Definition zu komplexen Zahlen inkonsequent ist, der über die Gammafunktion, wie angezeigt, unten erreicht wird. Außerdem für gerade Zahlen ist die doppelte factorial Notation kaum kürzer als das Ausdrücken desselben Werts mit gewöhnlichem factorials. Für kombinatorische Interpretationen (gibt der Wert, zum Beispiel, die Größe der hyperoctahedral Gruppe), kann der letzte Ausdruck informativer sein (weil der Faktor 2 die Ordnung des Kerns eines Vorsprungs zur symmetrischen Gruppe ist). Wenn auch die Formeln für den geraden und ungeraden doppelten factorials in leicht verbunden werden können

die einzige bekannte Interpretation für die Folge aller dieser Zahlen ist etwas künstlich: Die Zahl von unten Versetzungen von einer Reihe von Elementen, für die die Einträge in den gleichen Positionen zunehmen.

Die Folge von doppeltem factorials für n = 1, 3, 5, 7, fängt... als an

: 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135....

Etwas Identität, die doppelten factorials einschließt, ist:

Alternative Erweiterung des doppelten factorial

Die obengenannte Definition von n für sogar Werte von n ignorierend, kann der doppelte factorial für sonderbare ganze Zahlen zu am meisten reellen Zahlen und komplexen Zahlen z durch die Anmerkung davon erweitert werden, wenn z eine positive sonderbare ganze Zahl dann ist

2^ {(z-1)/2 }\\verlassen (\frac {z} {2 }\\Recht) \left (\frac {z-2} {2 }\\Recht) \cdots \left (\frac {3} {2 }\\Recht)

2^ {(z-1)/2} \frac {\\Gamma\left (\frac {z} {2} +1\right)} {\\Gamma\left (\frac {1} {2} +1\right) }\

\sqrt {\\frac {2^ {z+1}} {\\Pi}} \Gamma\left (\frac {z} {2} +1\right) \. </Mathematik>

Wie man

beide sehen kann, sind die erhaltenen Ausdrücke durch die Einnahme von einer der obengenannten Formeln für und und das Ausdrücken des Auftretens factorials in Bezug auf die Gammafunktion (das Verwenden des Multiplikationslehrsatzes) zu ein gegebener hier gleichwertig.

Der für z gefundene Ausdruck wird für alle komplexen Zahlen außer den negativen geraden Zahlen definiert. Damit als die Definition kann das Volumen eines n-dimensional Hyperbereichs des Radius R als ausgedrückt werden

Multifactorials

Eine allgemeine zusammenhängende Notation soll vielfache Ausrufezeichen verwenden, um einen multifactorial, das Produkt von ganzen Zahlen in Schritten zwei , drei , oder mehr anzuzeigen. Der doppelte factorial ist die meistens verwendete Variante, aber man kann den dreifachen factorial und so weiter ähnlich definieren. Man kann den k-th factorial, angezeigt durch, rekursiv für natürliche Zahlen als definieren

n! ^ {(k)} =

\left\{\

\begin {Matrix-}\

1, \qquad\qquad\&& \mbox {wenn} 0\le n

obwohl die alternative Definition unten sieh.

Einige Mathematiker haben eine alternative Notation für den doppelten factorial und ähnlich für anderen multifactorials vorgeschlagen, aber das ist in allgemeinen Gebrauch nicht eingetreten.

Mit der obengenannten Definition,

Ebenso wird das für negative ganze Zahlen nicht definiert, und wird für negative gleiche ganze Zahlen nicht definiert, wird für negative ganze Zahlen nicht definiert, die gleichmäßig dadurch teilbar sind.

Alternative Erweiterung des multifactorial

Wechselweise, der multifactorial z! kann zu am meisten reellen Zahlen und komplexen Zahlen z durch die Anmerkung davon erweitert werden, wenn z ein mehr ist als ein positives Vielfache von k dann

k^ {(z-1)/k }\\ist (\frac {z} {k }\\Recht) \left (\frac {z-k} {k }\\Recht) \cdots \left (\frac {k+1} {k }\\Recht) abgereist

k^ {(z-1)/k} \frac {\\Gamma\left (\frac {z} {k} +1\right)} {\\Gamma\left (\frac {1} {k} +1\right) }\\. </Mathematik>

Dieser letzte Ausdruck wird viel weit gehender definiert als das Original; mit dieser Definition, z! wird für alle komplexen Zahlen außer den negativen durch k gleichmäßig teilbaren reellen Zahlen definiert. Diese Definition ist mit der früheren Definition nur für jene ganzen Zahlen z im Einklang stehend, z 1 mod k befriedigend.

Zusätzlich zum Verlängern z! zu am meisten komplexen Zahlen z hat diese Definition die Eigenschaft des Arbeitens für alle positiven echten Werte von k. Außerdem, wenn k = 1, diese Definition zum Π (z) Funktion mathematisch gleichwertig ist, die oben beschrieben ist. Außerdem, wenn k = 2, diese Definition zur alternativen Erweiterung des doppelten factorial mathematisch gleichwertig ist, der oben beschrieben ist.

Vierfacher factorial

Der so genannte vierfache factorial ist jedoch nicht der multifactorial n!; es ist eine viel größere Zahl, die durch (2n) gegeben ist!/n! das Starten als

:1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280....

Es ist auch gleich

\begin {richten }\aus

2^n\frac {(2n)!} {n! 2^n} & = 2^n \frac {(2\cdot 4\cdots 2n) (1\cdot 3\cdots (2n-1))} {2\cdot 4\cdots 2n} \\[8pt]

& = (1\cdot 2) \cdot (3 \cdot 2) \cdots ((2n-1) \cdot 2) = (4n-2)! ^ {(4)}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Superfactorial

Neil Sloane und Simon Plouffe haben einen superfactorial in Der Enzyklopädie von Folgen der Ganzen Zahl (Akademische Presse, 1995) definiert, um das Produkt des ersten factorials zu sein. So ist der superfactorial 4

In allgemeinem

\mathrm {sf} (n)

= \prod_ {k=1} ^n k! = \prod_ {k=1} ^n k^ {n-k+1 }\

=1^n\cdot2^ {n-1 }\\cdot3^ {n-2 }\\cdots (n-1) ^2\cdot n^1.

</Mathematik>

Gleichwertig wird der superfactorial durch die Formel gegeben

: \mathrm {sf} (n)

= \prod_ {0 \le i

der die Determinante einer Matrix von Vandermonde ist.

Die Folge von Superfactorials-Anfängen (von) als

:1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000...