In der Mathematik sind die Reihe von Fibonacci numbers oder Fibonacci oder Folge von Fibonacci die Zahlen in der folgenden Folge der ganzen Zahl:

:.

Definitionsgemäß sind die ersten zwei Zahlen in der Folge von Fibonacci 0 und 1, und jede nachfolgende Zahl ist die Summe der vorherigen zwei.

In mathematischen Begriffen wird die Folge F Fibonacci-Zahlen durch die Wiederauftreten-Beziehung definiert

:

mit dem Samen schätzt

:

Die Fibonacci Folge wird nach Leonardo von Pisa genannt, der als Fibonacci bekannt war. 1202-Buchliber Abaci von Fibonacci hat die Folge in die westeuropäische Mathematik eingeführt, obwohl die Folge früher in der Indianermathematik beschrieben worden war.

(Durch die moderne Tagung beginnt die Folge mit F = 0. Der Liber Abaci hat die Folge mit F = 1 begonnen, anfänglichen 0 weglassend, und die Folge wird noch dieser Weg von einigen geschrieben.)

Fibonacci-Zahlen sind nah mit Zahlen von Lucas darin verbunden sie sind ein Ergänzungspaar von Folgen von Lucas. Sie werden mit dem goldenen Verhältnis vertraut verbunden, zum Beispiel sind die nächsten vernünftigen Annäherungen an das Verhältnis 2/1, 3/2, 5/3, 8/5.... Anwendungen schließen Computeralgorithmen wie die Suchtechnik von Fibonacci und die Haufen-Datenstruktur von Fibonacci und Graphen genannt Würfel von Fibonacci ein, die verwendet sind, um parallele und verteilte Systeme miteinander zu verbinden. Sie erscheinen auch in biologischen Einstellungen, wie das Ausbreiten in Bäumen, Phyllotaxis (die Einordnung von Blättern auf einem Stamm), die Fruchttüllen einer Ananas, die Blüte der Artischocke, eines sich entkräuselnden Farns und der Einordnung eines Kiefernzapfens.

Ursprünge

Die Fibonacci Folge erscheint in der Indianermathematik im Zusammenhang mit der sanskritischen Prosodie. In der sanskritischen mündlichen Tradition gab es viel Betonung darauf, wie lange (die L) Silbe-Mischung mit dem kurzen (S) und das Zählen der verschiedenen Muster von L und S innerhalb einer gegebenen befestigten Länge auf die Fibonacci-Zahlen hinausläuft; die Zahl von Mustern, die M kurze Silben lange sind, ist die Fibonacci-Zahl F.

Susantha Goonatilake schreibt, dass die Entwicklung der Folge von Fibonacci "teilweise Pingala (200 v. Chr.) zugeschrieben wird, später mit Virahanka vereinigt (c. 700 n.Chr.), Gopāla (c. 1135), und Hemachandra (c. 1150)". Parmanand Singh zitiert die rätselhafte Formel von Pingala misrau cha ("die zwei werden" gemischt), und zitiert Gelehrte, die sie im Zusammenhang interpretieren, sagend dass die Fälle für die M schlagen (F) wird durch das Hinzufügen [S] zu F Fällen und [L] zu den F Fällen erhalten. Er datiert auf Pingala vor 450 BCE.

Jedoch entsteht die klarste Ausstellung der Reihe in der Arbeit von Virahanka (c. 700 n.Chr.), wessen eigene Arbeit verloren wird, aber in einem Kostenvoranschlag durch Gopala verfügbar ist (c. 1135):

: Schwankungen von zwei früheren Metern [sind die Schwankung]... Zum Beispiel, für [ein Meter der Länge] vier, geschehen Schwankungen von Metern zwei [und] drei, fünf gemischt werden. [arbeitet Beispiele 8, 13, 21] aus... Auf diese Weise sollte dem Prozess im ganzen mAtrA-vr.ttas (prosodische Kombinationen) gefolgt werden.

Die Reihe wird auch von Gopala (vor 1135 n.Chr.) und vom Gelehrten von Jain Hemachandra besprochen (c. 1150).

Im Westen erscheint die Folge von Fibonacci zuerst im Buch Liber Abaci (1202) durch Leonardo von Pisa, bekannt als Fibonacci. Fibonacci betrachtet das Wachstum eines idealisierten (biologisch als unrealistisch) als Kaninchen-Bevölkerung, dass annehmend: Ein kürzlich geborenes Paar von Kaninchen, ein Mann, eine Frau, wird in einem Feld gebracht; Kaninchen sind im Stande, sich im Alter von ein Monaten zu vermählen, so dass am Ende seines zweiten Monats eine Frau ein anderes Paar von Kaninchen erzeugen kann; Kaninchen sterben nie, und ein Paarungspaar erzeugt immer ein neues Paar (ein Mann, eine Frau) jeden Monat vom zweiten Monat darauf. Das Rätsel, das Fibonacci aufgestellt hat, war: Wie viel Paare dort in einem Jahr sein werden?

• Am Ende des ersten Monats vermählen sie sich, aber es gibt noch nur 1 Paar.
• Am Ende des zweiten Monats erzeugt die Frau ein neues Paar, so jetzt gibt es 2 Paare von Kaninchen im Feld.
• Am Ende des dritten Monats erzeugt die ursprüngliche Frau ein zweites Paar, 3 Paare insgesamt im Feld machend.
• Am Ende des vierten Monats hat die ursprüngliche Frau noch ein anderes neues Paar erzeugt, die Frau geboren erzeugt vor zwei Monaten ihr erstes Paar auch, 5 Paare machend.

Am Ende des n-ten Monats ist die Zahl von Paaren von Kaninchen der Zahl von neuen Paaren gleich (der die Zahl von Paaren im Monat n  2 ist) plus die Zahl von Paaren lebendig im letzten Monat (n − 1). Das ist die n-te Fibonacci-Zahl.

Der Name "Folge von Fibonacci" wurde zuerst vom Zahl-Theoretiker des 19. Jahrhunderts Édouard Lucas verwendet.

Liste von Fibonacci-Zahlen

Die ersten 21 Fibonacci-Zahlen F für n = 0, 1, 2..., 20 sind:

:

Die Folge kann auch zum negativen Index n mit der umgeordneten Wiederauftreten-Beziehung erweitert werden

:

der die Folge von "negafibonacci" Zahlen nachgibt, die befriedigen

:

So ist die bidirektionale Folge

:

Ereignisse in der Mathematik

Die Fibonacci-Zahlen kommen in den Summen von "seichten" Diagonalen im Dreieck des Pascal vor (sieh Binomischen Koeffizienten).

Die Fibonacci-Zahlen können unterschiedlich in der Folge von binären Schnuren gefunden werden.

• Die Zahl von binären Schnuren der Länge n ohne aufeinander folgenden 1s ist die Fibonacci-Zahl F. Zum Beispiel, aus den 16 binären Schnuren der Länge 4, gibt es F = 8 ohne aufeinander folgenden 1s - sie sind 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 und 1001. Durch die Symmetrie ist die Zahl von Schnuren der Länge n ohne Konsekutiv-0s auch F.
• Die Zahl von binären Schnuren der Länge n ohne eine ungerade Zahl von aufeinander folgenden 1s ist die Fibonacci-Zahl F. Zum Beispiel, aus den 16 binären Schnuren der Länge 4, gibt es F = 5 ohne eine ungerade Zahl von aufeinander folgenden 1s - sie sind 0000, 0011, 0110, 1100, 1111.
• Die Zahl von binären Schnuren der Länge n ohne eine gerade Zahl von Konsekutiv-0s oder 1s ist 2F. Zum Beispiel, aus den 16 binären Schnuren der Länge 4, gibt es 2F = 6 ohne eine gerade Zahl von Konsekutiv-0s oder 1s - sie sind 0001 Jahr alt, 1000, 1110, 0111, 0101, 1010.

Beziehung zum goldenen Verhältnis

Ausdruck der geschlossenen Form

Wie jede Folge, die durch ein geradliniges Wiederauftreten mit unveränderlichen Koeffizienten definiert ist, haben die Fibonacci-Zahlen eine Lösung der geschlossenen Form. Es ist bekannt als die Formel von Binet geworden, wenn auch es bereits von Abraham de Moivre bekannt war:

:wo:

ist das goldene Verhältnis und

der:

Um das zu sehen, bemerken Sie, dass φ und ψ beide Lösungen der Gleichungen sind

:

so befriedigen die Mächte von φ und ψ Fibonacci recursion. Mit anderen Worten

:und:

Hieraus folgt dass für irgendwelche Werte a und b die Folge durch definiert

:

befriedigt dasselbe Wiederauftreten

:

Wenn a und b gewählt werden, so dass U = 0 und U = 1 dann die resultierende Folge U die Folge von Fibonacci sein müssen. Das ist dasselbe als das Verlangen a, und b befriedigen das Gleichungssystem:

:

der Lösung hat

:

das Produzieren der erforderlichen Formel.

Berechnung durch das Runden

Seitdem

:

für den ganzen n  0 ist die Nummer F die nächste ganze Zahl zu

:

Deshalb kann es durch das Runden, oder in Bezug auf die Fußboden-Funktion gefunden werden:

:

Ähnlich, wenn wir bereits wissen, dass die Zahl F> 1 eine Fibonacci-Zahl ist, können wir seinen Index innerhalb der Folge durch bestimmen

:

Grenze von Konsekutivquotienten

Johannes Kepler hat bemerkt, dass das Verhältnis von Konsekutivfibonacci-Zahlen zusammenläuft. Er hat geschrieben, dass "als 5 zu 8 ist, auch ist 8 bis 13 praktisch, und weil 8 zu 13 ist, auch 13 bis 21 ist fast" und beschlossen hat, dass sich die Grenze dem goldenen Verhältnis nähert.

:

Diese Konvergenz hängt von den gewählten Startwerten nicht ab, 0, 0 ausschließend. Zum Beispiel erzeugen die Anfangswerte 19 und 31 die Folge 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555... usw. Das Verhältnis von Konsekutivbegriffen in dieser Folge zeigt dieselbe Konvergenz dem goldenen Verhältnis.

Tatsächlich hält das für jede Folge, die das Wiederauftreten von Fibonacci außer einer Folge von 0's befriedigt. Das kann aus der Formel von Binet abgeleitet werden.

Zergliederung von Mächten des goldenen Verhältnisses

Da das goldene Verhältnis die Gleichung befriedigt

:

dieser Ausdruck kann verwendet werden, um höhere Mächte als eine geradlinige Funktion von niedrigeren Mächten zu zersetzen, die der Reihe nach den ganzen Weg unten zu einer geradlinigen Kombination und 1 zersetzt werden können. Die resultierenden Wiederauftreten-Beziehungen geben Fibonacci-Zahlen als die geradlinigen Koeffizienten nach:

:

Diese Gleichung kann durch die Induktion darauf bewiesen werden.

Dieser Ausdruck ist auch dafür wahr

Matrixform

Ein 2-dimensionales System von geradlinigen Unterschied-Gleichungen, das die Folge von Fibonacci beschreibt, ist

:

{F_ {k+2} \choose F_ {k+1}} &= \begin {pmatrix} 1 & 1 \\1 & 0 \end {pmatrix} {F_ {k+1} \choose F_ {k}} \\

\vec F_ {k+1} &= ein \vec F_ {k }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Die eigenvalues der Matrix A sind und, und die Elemente der Eigenvektoren von A, und, sind in den Verhältnissen und diese Tatsachen und die Eigenschaften von eigenvalues Verwendend, wir können eine direkte Formel für das n-te Element in der Reihe von Fibonacci ableiten:

:

Die Matrix hat eine Determinante 1, und so ist es 2×2 unimodular Matrix. Dieses Eigentum kann in Bezug auf die fortlaufende Bruchteil-Darstellung für das goldene Verhältnis verstanden werden:

:

Die Fibonacci-Zahlen kommen als das Verhältnis von aufeinander folgendem convergents des fortlaufenden Bruchteils für vor, und die von aufeinander folgendem convergents jedes fortlaufenden Bruchteils gebildete Matrix hat eine Determinante +1 oder 1.

Die Matrixdarstellung gibt den folgenden geschlossenen Ausdruck für die Fibonacci-Zahlen:

:

\begin {pmatrix} F_ {n+1} & F_n \\

F_n & F_ {n-1} \end {pmatrix}.

</Mathematik>

Die Einnahme der Determinante von beiden Seiten dieser Gleichung gibt die Identität von Cassini nach

:

Zusätzlich, seitdem für jede Quadratmatrix A, kann die folgende Identität abgeleitet werden:

:

{F_m} {F_n} + {F_ {m-1}} {F_ {n-1}} &= F_ {m+n-1 }\\\

F_ {n+1} F_ {M} + F_n F_ {m-1} &= F_ {m+n }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Insbesondere mit,

:

F_ {2n-1} &= F_n^2 + F_ {n-1} ^2 \\

F_ {2n} &= (F_ {n-1} +F_ {n+1}) F_n \\

&= (2F_ {n-1} +F_n) F_n

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Erkennen von Fibonacci-Zahlen

Die Frage kann entstehen, ob eine positive ganze Zahl z eine Fibonacci-Zahl ist. Seitdem ist die nächste ganze Zahl dazu, der aufrichtigste, Test der rohen Gewalt ist die Identität

:

der wahr ist, wenn, und nur wenn z eine Fibonacci-Zahl ist. In dieser Formel, kann schnell mit einigen der vorher besprochenen Ausdrücke der geschlossenen Form geschätzt werden.

Eine Implikation des obengenannten Ausdrucks ist das: Wenn es bekannt ist, dass eine Nummer z eine Fibonacci-Zahl ist, können wir einen solchen n dass F (n) = z durch den folgenden bestimmen:

:

Wechselweise ist eine positive ganze Zahl z eine Fibonacci-Zahl, wenn, und nur wenn einer dessen oder ein vollkommenes Quadrat ist.

Ein ein bisschen hoch entwickelterer Test verwendet die Tatsache, dass die convergents der fortlaufenden Bruchteil-Darstellung dessen Verhältnisse von aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen sind. D. h. die Ungleichheit

:

(mit coprime positiven ganzen Zahlen p, q) ist wahr, wenn, und nur wenn p und q aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen sind. Von diesem leitet das Kriterium ab, dass z eine Fibonacci-Zahl wenn und nur wenn der geschlossene Zwischenraum ist

:

enthält eine positive ganze Zahl. Da es leicht ist zu zeigen, dass dieser Zwischenraum höchstens eine ganze Zahl enthält, und falls z eine Fibonacci-Zahl ist, ist die enthaltene ganze Zahl der folgenden aufeinander folgenden Fibonacci-Zahl danach z gleich. Etwas bemerkenswert hält dieses Ergebnis noch für den Fall, aber es muss sorgfältig festgesetzt werden seitdem erscheint zweimal in der Folge von Fibonacci, und hat so zwei verschiedene Nachfolger.

Kombinatorische Identität

Der grösste Teil der Identität, die Fibonacci-Zahlen einschließt, kann mit kombinatorischen Argumenten mit der Tatsache bewiesen werden, dass F als die Zahl von Folgen 1s und 2s dass Summe zu n  1 interpretiert werden kann. Das kann als die Definition von F mit der Tagung genommen werden, auf die sich F = 0, keine Summe bedeutend, 1 belaufen wird, und dass F = 1, die leere Summe bedeutend, zu 0 "stimmen" wird.

Hier die Ordnung der summand Sachen. Zum Beispiel, 1 + 2 und 2 + 1 werden als zwei verschiedene Summen betrachtet.

Zum Beispiel, die Wiederauftreten-Beziehung

:

oder in Wörtern ist die n-te Fibonacci-Zahl die Summe der vorherigen zwei Fibonacci-Zahlen, kann durch das Teilen des F (n) Summen 1s und 2s gezeigt werden, die zu n1 in zwei nichtüberlappende Gruppen beitragen. Eine Gruppe enthält jene Summen, deren erster Begriff 1 und andere jene Summen ist, deren erster Begriff 2 ist. In der ersten Gruppe tragen die restlichen Begriffe zu n2 bei, so hat es F (n1) Summen, und in der zweiten Gruppe die restlichen Begriffe zu n3 beitragen, also gibt es F (n2) Summen. Also gibt es insgesamt F (n1) +F (n2) Summen zusammen, zeigend, dass das F (n) gleich ist.

Ähnlich kann es gezeigt werden, dass die Summe der ersten Fibonacci-Zahlen bis zum n-ten der n+2nd Fibonacci-Zahl minus 1 gleich ist. In Symbolen:

:

Das wird durch das Teilen der Summen getan, die zu n+1 auf eine verschiedene Weise dieses Mal durch die Position der ersten 2 beitragen. Spezifisch besteht die erste Gruppe aus jenen Summen, die mit 2, die zweite Gruppe diejenigen anfangen, die 1+2, die dritten 1+1+2 und so weiter bis zur letzten Gruppe anfangen, die aus der einzelnen Summe besteht, wo nur 1's verwendet werden. Die Zahl von Summen in der ersten Gruppe ist F (n), F (n-1) in der zweiten Gruppe und so weiter mit 1 Summe in der letzten Gruppe. So ist die Gesamtzahl von Summen F (n) + F (n  1) +... + F (1) +1 und deshalb diese Menge F (n + 2) gleich

ist

Ein ähnliches Argument, die Summen durch die Position des ersten 1 aber nicht der ersten 2 gruppierend, gibt noch zwei Identität:

:und:

In Wörtern ist die Summe der ersten Fibonacci-Zahlen mit dem sonderbaren Index bis zu F (2n) th Fibonacci-Zahl, und die Summe der ersten Fibonacci-Zahlen mit sogar dem Index bis zu F ist (2n+1) th Fibonacci-Zahl minus 1.

Ein verschiedener Trick kann verwendet werden, um zu beweisen

:

oder in Wörtern ist die Summe der Quadrate der ersten Fibonacci-Zahlen bis zu F das Produkt des n-ten und (n + 1) th Fibonacci-Zahlen. Bemerken Sie in diesem Fall, dass das Rechteck von Fibonacci der Größe F durch F (n + 1) in Quadrate von sizea F, F und so weiter zu F=1 zersetzt werden kann, von dem die Identität durch das Vergleichen von Gebieten folgt.

Andere Identität

Es gibt viele andere Identität, die mit verschiedenen Methoden abgeleitet werden kann. Einige der beachtenswertesten sind:

: (Die Identität des Katalanen)

: (Die Identität von Cassini)

: (die Identität von d'Ocagne)

:

wo L die n'th Zahl von Lucas ist.

Das letzte ist eine Identität, um n zu verdoppeln; andere Identität dieses Typs ist

: durch die Identität von Cassini.

:::

Diese können experimentell mit der Gitter-Verminderung gefunden werden, und sind in der Aufstellung des speziellen Siebs des numerischen Feldes nützlich, um eine Fibonacci-Zahl zu faktorisieren.

Mehr allgemein,

:

von denen ein spezieller Fall ist

:

Die Verdoppelung der Identität dieses Typs kann verwendet werden, um zu rechnen, F, der O verwendet (loggen Sie n) lange Multiplikationsoperationen der Größe n Bit. Die Zahl von Bit der Präzision musste leisten jede Multiplikation verdoppelt sich an jedem Schritt, so wird die Leistung durch die Endmultiplikation beschränkt; wenn der schnelle Multiplikationsalgorithmus von Schönhage-Strassen verwendet wird, ist das O (n loggen N-Klotz-Klotz-n) Bit-Operationen.

Macht-Reihe

Die Erzeugen-Funktion der Folge von Fibonacci ist die Macht-Reihe

:

Diese Reihe hat eine einfache und interessante Lösung der geschlossenen Form dafür

:

Diese Lösung kann durch das Verwenden des Wiederauftretens von Fibonacci bewiesen werden, um jeden Koeffizienten im unendlichen Summe-Definieren auszubreiten:

:

s (x) &= \sum_ {k=0} ^ {\\infty} F_k x^k \\

&= F_0 + F_1x + \sum_ {k=2} ^ {\\infty} \left (F_ {k-1} + F_ {k-2} \right) x^k \\

&= x + \sum_ {k=2} ^ {\\infty} F_ {k-1} x^k + \sum_ {k=2} ^ {\\infty} F_ {k-2} x^k \\

&= x + x\sum_ {k=0} ^ {\\infty} F_k x^k + X^2\sum_ {k=0} ^ {\\infty} F_k x^k \\

&= x + x s (x) + x^2 s (x).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das Lösen der Gleichung dafür läuft auf die geschlossene Form-Lösung hinaus.

Insbesondere Matherätsel-Bücher bemerken den neugierigen Wert, oder mehr allgemein

:

für alle ganzen Zahlen.

Mehr allgemein,:

Gegenseitige Summen

Unendliche Summen über gegenseitige Fibonacci-Zahlen können manchmal in Bezug auf Theta-Funktionen bewertet werden. Zum Beispiel können wir die Summe jeder sonderbar mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen gegenseitigen Fibonacci-Zahl als schreiben

:

und die Summe von karierten gegenseitigen Fibonacci-Zahlen als

:

Wenn wir 1 zu jeder Fibonacci-Zahl in der ersten Summe beitragen, gibt es auch die geschlossene Form

:

und es gibt eine nette verschachtelte Summe von karierten Fibonacci-Zahlen, die das Gegenstück des goldenen Verhältnisses, geben

:

Ergebnisse wie diese machen es plausibel, dass eine geschlossene Formel für die einfache Summe von gegenseitigen Fibonacci-Zahlen gefunden werden konnte, aber niemand ist noch bekannt. Trotz dessen, gegenseitiger Fibonacci unveränderlicher

:

ist vernunftwidrig von Richard André-Jeannin bewiesen worden.

Reihe von Millin gibt eine bemerkenswerte Identität:

:

der aus der geschlossenen Form für seine teilweisen Summen folgt, weil N zur Unendlichkeit neigt:

:

Blüte und Teilbarkeit

Teilbarkeitseigenschaften

Jede 3. Zahl der Folge ist sogar und mehr allgemein, jede kth Zahl der Folge ist ein Vielfache von F. So ist die Folge von Fibonacci ein Beispiel einer Teilbarkeitsfolge. Tatsächlich befriedigt die Folge von Fibonacci das stärkere Teilbarkeitseigentum

:

Blüte von Fibonacci

Eine Fibonacci Blüte ist eine Fibonacci-Zahl, die erst ist. Die ersten sind:

: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ….

Die Blüte von Fibonacci mit Tausenden von Ziffern ist gefunden worden, aber es ist nicht bekannt, ob es ungeheuer viele gibt.

F ist durch F teilbar, so, abgesondert von F = 3, muss jeder erste Fibonacci einen Hauptindex haben. Da es willkürlich lange Läufe von zerlegbaren Zahlen gibt, gibt es deshalb auch willkürlich lange Läufe von zerlegbaren Fibonacci-Zahlen.

Mit den Ausnahmen 1, 8 und 144 (F = F, F und F) hat jede Fibonacci-Zahl einen Hauptfaktor, der nicht ein Faktor jeder kleineren Fibonacci-Zahl (der Lehrsatz von Carmichael) ist.

144 ist der einzige nichttriviale

Quadratfibonacci-Zahl. Attila Pethő hat 2001 bewiesen, dass es nur begrenzt viele vollkommene Macht-Fibonacci-Zahlen gibt. 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte und S. Siksek haben bewiesen, dass nur 8 und 144 nichttriviale vollkommene Mächte sind.

Keine Fibonacci-Zahl, die größer ist als F = 8, ist ein größerer oder ein weniger als eine Primzahl.

Irgendwelche drei Konsekutivfibonacci-Zahlen, genommen zwei auf einmal, sind relativ erst: Das, ist

:gcd (F, F) = gcd (F, F) = 1.

Mehr allgemein,

:gcd (F, F) = F

Hauptteiler von Fibonacci-Zahlen

Die Teilbarkeit von Fibonacci-Zahlen durch einen ersten p ist mit dem Symbol von Legendre verbunden, das wie folgt bewertet wird:

:

Wenn p eine Primzahl dann ist

F_p \equiv \left (\frac {p} {5 }\\Recht) \pmod p \; \; \text {und }\\; \; \;

F_ {p-\left (\frac {p} {5 }\\Recht)} \equiv 0 \pmod p.

</Mathematik>

Zum Beispiel,

:

(\tfrac {2} {5}) &=-1, & F_3 &= 2, &F_2&=1, \\

(\tfrac {3} {5}) &=-1, &F_4 &= 3,&F_3&=2, \\

(\tfrac {5} {5}) &= 0, &F_5 &= 5, \\

(\tfrac {7} {5}) &=-1, &F_8 &= 21,&F_7&=13, \\

(\tfrac {11} {5}) & = +1, & F_ {10} & = 55, &F_ {11}

&=89. \end {richten }\aus</Mathematik>

Es ist nicht bekannt, ob dort ein erster solcher p dass besteht. Solche Blüte (wenn es irgendwelchen gibt) würde Sonne-sonnedes Wand-Blüte genannt.

Außerdem, wenn p  5 eine sonderbare Primzahl dann ist:

:

\equiv

\begin {Fälle }\

\frac {5\left (\frac {p} {5 }\\Recht) \pm 5} {2} \pmod p & \textrm {wenn }\\; p \equiv 1 \pmod 4 \\

\\

\frac {5\left (\frac {p} {5 }\\Recht) \mp 3} {2} \pmod p & \textrm {wenn }\\; p \equiv 3 \pmod 4.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Beispiele aller Fälle:

::::::::::::::::::::

Für sonderbaren n sind alle sonderbaren Hauptteiler von F  1 (mod 4), andeutend, dass alle sonderbaren Teiler von F (als die Produkte von sonderbaren Hauptteilern)  1 (mod 4) sind.

F = 1, F = 2, F = 5, F = 13, F = 34 = 2×17, F = 89, F = 233, F = 610 = 2×5×61

Alle bekannten Faktoren von Fibonacci-Zahlen F (i) für alles ich

Periodizität modulo n

Es kann gesehen werden, dass, wenn die Mitglieder der Folge von Fibonacci mod n genommen werden, die resultierende Folge mit der Periode am grössten Teil von n-1 periodisch sein muss. Die Längen der Perioden für verschiedenen n bilden die so genannten Perioden von Pisano. Bestimmung der Perioden von Pisano ist im Allgemeinen ein offenes Problem, obwohl für jeden besonderen n sie als ein Beispiel der Zyklus-Entdeckung gelöst werden kann.

Rechtwinklige Dreiecke

Mit 5 anfangend, ist jede zweite Fibonacci-Zahl die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes mit Seiten der ganzen Zahl, oder mit anderen Worten, die größte Zahl in einem dreifachen Pythagoreer. Die Länge des längeren Beines dieses Dreiecks ist der Summe der drei Seiten des vorhergehenden Dreiecks in dieser Reihe von Dreiecken gleich, und das kürzere Bein ist dem Unterschied zwischen der umgangenen Fibonacci-Zahl des Vorangehens und dem kürzeren Bein des vorhergehenden Dreiecks gleich.

Das erste Dreieck in dieser Reihe hat Seiten der Länge 5, 4, und 3. 8 hüpfend, hat das folgende Dreieck Seiten der Länge 13, 12 (5 + 4 + 3), und 5 (8  3). 21 hüpfend, hat das folgende Dreieck Seiten der Länge 34, 30 (13 + 12 + 5), und 16 (21  5). Diese Reihe geht unbestimmt weiter. Die Dreieck-Seiten a, b, c können direkt berechnet werden:

:::

Diese Formeln befriedigen für den ganzen n, aber sie vertreten nur Dreieck-Seiten wenn n> 2.

Irgendwelche vier Konsekutivfibonacci-Zahlen F, F, F und F können auch verwendet werden, um einen auf eine verschiedene Weise dreifachen Pythagoreer zu erzeugen:

:

Beispiel 1: Lassen Sie die Fibonacci-Zahlen 1, 2, 3 und 5 sein. Dann:

::::

Umfang

Seitdem ist dazu asymptotisch, die Zahl von Ziffern darin ist dazu asymptotisch. Demzufolge für jede ganze Zahl gibt es entweder 4 oder 5 Fibonacci-Zahlen mit d dezimalen Ziffern.

Mehr allgemein, in der Basis b Darstellung, ist die Zahl von Ziffern darin dazu asymptotisch.

Anwendungen

Die Fibonacci-Zahlen sind in der rechenbetonten Laufzeitanalyse des Algorithmus von Euklid wichtig, um den größten allgemeinen Teiler von zwei ganzen Zahlen zu bestimmen: Der Grenzfall-Eingang für diesen Algorithmus ist ein Paar von Konsekutivfibonacci-Zahlen.

Yuri Matiyasevich ist im Stande gewesen zu zeigen, dass die Fibonacci-Zahlen durch eine Gleichung von Diophantine definiert werden können, die zu seiner ursprünglichen Lösung des zehnten Problems von Hilbert geführt hat.

Die Fibonacci-Zahlen sind auch ein Beispiel einer ganzen Folge. Das bedeutet, dass jede positive ganze Zahl als eine Summe von Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann, wo irgendwelche Zahl einmal höchstens verwendet wird. Spezifisch kann jede positive ganze Zahl auf eine einzigartige Weise als die Summe von einer oder verschiedeneren Fibonacci-Zahlen auf solche Art und Weise geschrieben werden, dass die Summe keine zwei Konsekutivfibonacci-Zahlen einschließt. Das ist als der Lehrsatz von Zeckendorf bekannt, und eine Summe von Fibonacci-Zahlen, die diese Bedingungen befriedigt, wird eine Darstellung von Zeckendorf genannt. Die Zeckendorf Darstellung einer Zahl kann verwendet werden, um sein Codieren von Fibonacci abzuleiten.

Fibonacci-Zahlen werden durch einige Pseudozufallszahlengeneratoren verwendet.

Fibonacci-Zahlen werden in einer Polyphase-Version des Verflechtungssorte-Algorithmus verwendet, in dem eine unsortierte Liste in zwei Listen geteilt wird, deren Längen folgenden Fibonacci-Zahlen - durch das Teilen der Liste entsprechen, so dass die zwei Teile Längen im ungefähren Verhältnis φ haben. Eine Durchführung des Band-Laufwerkes der Polyphase-Verflechtungssorte wurde in Der Kunst der Computerprogrammierung beschrieben.

Fibonacci-Zahlen entstehen in der Analyse der Haufen-Datenstruktur von Fibonacci.

Der Fibonacci Würfel ist ein ungeleiteter Graph mit einer Fibonacci-Zahl von Knoten, die als eine Netzwerkarchitektur für die parallele Computerwissenschaft vorgeschlagen worden ist.

Eine eindimensionale Optimierungsmethode, genannt die Suchtechnik von Fibonacci, verwendet Fibonacci-Zahlen.

Die Fibonacci-Zahl-Reihe wird für die fakultative lossy Kompression im IFF 8SVX auf Computern von Amiga verwendetes Audiodateiformat verwendet. Die Zahl-Reihe compands die ursprüngliche Audiowelle, die logarithmischen Methoden wie µ-law ähnlich ist.

In der Musik werden Fibonacci-Zahlen manchmal verwendet, um tunings, und, als in der Sehkunst zu bestimmen, die Länge oder Größe von zufriedenen oder formellen Elementen zu bestimmen. Es wird allgemein gedacht, dass die dritte Bewegung der Musik von Béla Bartók für Schnuren, Schlagzeug und Celesta mit Fibonacci-Zahlen strukturiert wurde.

Da der Umwandlungsfaktor 1.609344 für Meilen zu Kilometern dem goldenen Verhältnis nah ist (hat φ angezeigt), die Zergliederung der Entfernung in Meilen in eine Summe von Fibonacci-Zahlen wird fast die Kilometer-Summe, wenn die Fibonacci-Zahlen von ihren Nachfolgern ersetzt werden. Diese Methode beläuft sich auf eine Basis 2 Zahl-Register im goldenen Verhältnis stützt φ, der wird auswechselt. Um sich von Kilometern bis Meilen umzuwandeln, wechseln Sie das Register unten die Folge von Fibonacci stattdessen aus.

In der Natur

Folgen von Fibonacci erscheinen in biologischen Einstellungen, in zwei Konsekutivfibonacci-Zahlen, wie das Ausbreiten in Bäumen, Einordnung von Blättern auf einem Stamm, dem fruitlets einer Ananas, der Blüte der Artischocke, eines sich entkräuselnden Farns und der Einordnung eines Kiefernzapfens. Außerdem werden zahlreiche schlecht begründete Ansprüche von Fibonacci-Zahlen oder goldenen Abteilungen in der Natur in populären Quellen, z.B, in Zusammenhang mit der Fortpflanzung von Kaninchen, den Samen auf einer Sonnenblume, den Spiralen von Schalen und der Kurve von Wellen gefunden. Die Fibonacci-Zahlen werden auch im Stammbaum von Honigbienen gefunden.

Przemysław Prusinkiewicz hat die Idee vorgebracht, dass echte Beispiele teilweise als der Ausdruck von bestimmten algebraischen Einschränkungen auf freie Gruppen spezifisch als bestimmte Grammatiken von Lindenmayer verstanden werden können.

Ein Modell für das Muster von Blümchen im Kopf einer Sonnenblume wurde von H. Vogel 1979 vorgeschlagen.

Das hat die Form

:

wo n die Postleitzahl des Blümchens ist und c ein unveränderlicher Skalenfaktor ist; die Blümchen liegen so auf der Spirale von Fermat. Der Abschweifungswinkel, etwa 137.51 °, ist der goldene Winkel, den Kreis im goldenen Verhältnis teilend. Weil dieses Verhältnis vernunftwidrig ist, hat kein Blümchen einen Nachbar in genau demselben Winkel vom Zentrum, so lassen sich die Blümchen effizient verpacken. Weil die vernünftigen Annäherungen an das goldene Verhältnis der Form F (j) sind: F (j + 1) sind die nächsten Nachbarn des Blümchens Nummer n diejenigen an n ± F (j) für einen Index j, der von r, der Entfernung vom Zentrum abhängt. Es wird häufig gesagt, dass Sonnenblumen und ähnliche Maßnahmen 55 Spiralen in einer Richtung und 89 im anderen haben (oder ein anderes Paar von angrenzenden Fibonacci-Zahlen), aber das ist nur einer Reihe von Radien wahr, normalerweise am äußersten und so am auffallendsten.

Der Biene-Herkunft-Code

Fibonacci-Zahlen erscheinen auch in der Beschreibung der Fortpflanzung einer Bevölkerung von idealisierten Honigbienen gemäß den folgenden Regeln:

• Wenn ein Ei von einer unverbundenen Frau gelegt wird, brütet es eine Mann- oder Drohne-Biene aus.
• Wenn, jedoch, ein Ei von einem Mann fruchtbar gemacht wurde, brütet es eine Frau aus.

So wird eine Biene männlichen Geschlechts immer einen Elternteil haben, und eine weibliche Biene wird zwei haben.

Wenn man die Herkunft einer Biene männlichen Geschlechts verfolgt (1 Biene), hat er 1 Elternteil (1 Biene), 2 Großeltern, 3 Urgroßeltern, 5 große große Großeltern und so weiter. Diese Folge von Zahlen von Eltern ist die Folge von Fibonacci. Die Zahl von Vorfahren an jedem Niveau, F, ist die Zahl von weiblichen Vorfahren, die F plus die Zahl von Vorfahren männlichen Geschlechts ist, die F. ist (Das ist unter der unrealistischen Annahme, dass die Vorfahren an jedem Niveau sonst ohne Beziehung sind.)

Populäre Kultur

Generalisationen

Die Fibonacci Folge ist auf viele Weisen verallgemeinert worden. Diese schließen ein:

• Die Generalisierung des Index zu negativen ganzen Zahlen, um die Zahlen von Negafibonacci zu erzeugen.
• Die Generalisierung des Index zu reellen Zahlen mit einer Modifizierung der Formel von Binet.
• Das Starten mit anderen ganzen Zahlen. Zahlen von Lucas haben L = 1, L = 3 und L = L + Folgen von L. Primefree verwenden Fibonacci recursion mit anderen Startpunkten, um Folgen zu erzeugen, in denen alle Zahlen zerlegbar sind.
• Das Lassen einer Zahl, eine geradlinige Funktion (anders sein, als die Summe) von den 2 vorhergehenden Zahlen. Die Pell Zahlen haben P = 2P + P.
• Nicht, die sofort vorhergehenden Zahlen hinzufügend. Die Padovan Folge und Zahlen von Perrin haben P (n) = P (n - 2) + P (n - 3).
• Das Erzeugen der folgenden Zahl durch das Hinzufügen von 3 Zahlen (tribonacci Zahlen), 4 Zahlen (tetranacci Zahlen), oder mehr. Die resultierenden Folgen sind als N-Schritt-Fibonacci-Zahlen bekannt.

Wenn es

• andere Gegenstände hinzufügt als ganze Zahlen, zum Beispiel Funktionen oder Schnuren — ist ein wesentliches Beispiel Polynome von Fibonacci.

Siehe auch

• Collatz vermuten
• Wort von Fibonacci
• Helicoid
• Zahlen von Lucas
• Die Fibonacci Vereinigung
• Recursion (Informatik)

#Fibonacci

Referenzen

Links

• Perioden von Fibonacci Folgen Mod M an MathPages
• Wissenschaftler finden Hinweise zur Bildung von Spiralen von Fibonacci in der Natur
• Durchführung, um Folge von Fibonacci im Lispeln zu berechnen