Analyse von Fourier

In der Mathematik ist Analyse von Fourier ein Sachgebiet, das von der Studie der Reihe von Fourier gewachsen ist. Das Thema hat mit der Studie der Weise begonnen, wie allgemeine Funktionen durch Summen von einfacheren trigonometrischen Funktionen vertreten werden können. Analyse von Fourier wird nach Joseph Fourier genannt, der gezeigt hat, dass das Darstellen einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe außerordentlich die Studie der Hitzefortpflanzung vereinfacht.

Heute umfasst das Thema der Analyse von Fourier ein riesengroßes Spektrum der Mathematik. In den Wissenschaften und der Technik wird der Prozess, eine Funktion in einfachere Stücke zu zersetzen, häufig Analyse von Fourier genannt, während die Operation, die Funktion von diesen Stücken wieder aufzubauen, als Synthese von Fourier bekannt ist. In der Mathematik der Begriff bezieht sich Analyse von Fourier häufig auf die Studie von beiden Operationen.

Der Zergliederungsprozess selbst wird genannt ein Fourier verwandeln sich. Das Umgestalten wird häufig ein mehr besonderer Name gegeben, der vom Gebiet und den anderen Eigenschaften der Funktion abhängt, die wird umgestaltet. Außerdem ist das ursprüngliche Konzept der Analyse von Fourier mit der Zeit erweitert worden, um für immer abstraktere und allgemeine Situationen zu gelten, und das allgemeine Feld ist häufig als harmonische Analyse bekannt. Jeder verwandelt sich verwendet für die Analyse (sieh, dass sich die Liste von Fourier-zusammenhängenden verwandelt), hat ein entsprechendes Gegenteil verwandeln sich, der für die Synthese verwendet werden kann.

Anwendungen

Analyse von Fourier hat viele wissenschaftliche Anwendungen - in Physik, teilweisen Differenzialgleichungen, Zahlentheorie, combinatorics, Signalverarbeitung, Bildaufbereitung, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Auswahl-Preiskalkulation, Geheimschrift, numerischer Analyse, Akustik, Meereskunde, Echolot, Optik, Beugung, Geometrie, Protein-Struktur-Analyse und anderen Gebieten.

Diese breite Anwendbarkeit stammt von vielen nützlichen Eigenschaften des Umgestaltens:

  • Das Umgestalten ist geradlinige Maschinenbediener und mit der richtigen Normalisierung, ist ebenso (ein Eigentum einheitlich, das als der Lehrsatz von Parseval oder, mehr allgemein, als der Lehrsatz von Plancherel, und am meisten allgemein über die Dualität von Pontryagin bekannt ist).
  • Das Umgestalten ist gewöhnlich invertible.
  • Die Exponentialfunktionen sind eigenfunctions der Unterscheidung, was bedeutet, dass diese Darstellung lineare Differenzialgleichungen mit unveränderlichen Koeffizienten in gewöhnliche algebraische umgestaltet. Deshalb kann das Verhalten eines geradlinigen Zeit-Invariant Systems an jeder Frequenz unabhängig analysiert werden.
  • Durch den Gehirnwindungslehrsatz verwandelt sich Fourier verwandeln die komplizierte Gehirnwindungsoperation in die einfache Multiplikation, was bedeutet, dass sie eine effiziente Weise zur Verfügung stellen, Gehirnwindungsbasierte Operationen wie polynomische Multiplikation zu schätzen und große Anzahl multiplizierend.
  • Die getrennte Version des Fouriers verwandelt sich (sieh unten) kann schnell auf Computern mit Algorithmen des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT) bewertet werden.

Transformation von Fourier ist auch als eine Kompaktdarstellung eines Signals nützlich. Zum Beispiel verwendet JPEG Kompression eine Variante der Transformation von Fourier (getrennter Kosinus verwandeln sich) kleiner Quadratstücke eines Digitalimages. Die Bestandteile von Fourier jedes Quadrats werden rund gemacht, um arithmetische Präzision zu senken, und schwache Bestandteile werden völlig beseitigt, so dass die restlichen Bestandteile sehr kompakt versorgt werden können. In der Bildrekonstruktion wird jedes Bildquadrat von den bewahrten ungefähren Fourier-umgestalteten Bestandteilen wieder versammelt, die dann Gegenteil-umgestaltet werden, um eine Annäherung des ursprünglichen Images zu erzeugen.

Anwendungen in der Signalverarbeitung

Wenn

sie Signale, solcher als Audio-, Funkwellen, leichte Wellen, seismische Wellen und sogar Images bearbeitet, kann Analyse von Fourier individuelle Bestandteile einer zusammengesetzten Wellenform isolieren, sie für die leichtere Entdeckung und/oder Eliminierung konzentrierend. Eine große Familie von Signalverarbeitungstechniken besteht daraus, ein Signal Fourier-umzugestalten, die Fourier-umgestalteten Daten auf eine einfache Weise manipulierend, und die Transformation umkehrend.

Einige Beispiele schließen ein:

  • Gleichung von Audioaufnahmen mit einer Reihe von Bandfiltern;
  • Digitalradioempfang ohne superheterodyne Stromkreis, als in einem modernen Mobiltelefon oder Radioscanner;
  • Image, das in einer Prozession geht, um periodische oder anisotropic Kunsterzeugnisse wie jaggies vom verflochtenen Video, Kunsterzeugnisse des Streifens von der Streifen-Luftfotografie oder Welle-Muster von der Radiofrequenzeinmischung in eine Digitalkamera zu entfernen;
  • Böse Korrelation von ähnlichen Images für die Co-Anordnung;
  • Röntgenstrahl-Kristallographie, um eine Kristallstruktur von seinem Beugungsmuster wieder aufzubauen;
  • Fourier gestaltet Ion-Zyklotron-Klangfülle-Massenspektrometrie um, um die Masse von Ionen von der Frequenz der Zyklotron-Bewegung in einem magnetischen Feld zu bestimmen.
  • Viele andere Formen der Spektroskopie verlassen sich auch auf Fourier verwandelt Sich, um die dreidimensionale Struktur und/oder Identität der Probe zu bestimmen, die einschließlich Infrarot- und Kernkernspinresonanz-Spektroskopien wird analysiert.
  • Die Generation des Tons spectrograms hat gepflegt, Töne zu analysieren.
  • Passives Echolot hat gepflegt, auf dem Maschinerie-Geräusch gestützte Ziele zu klassifizieren.

Varianten der Analyse von Fourier

(Dauernder) Fourier verwandelt sich

Meistenteils bezieht sich der unqualifizierte Begriff, den Fourier umgestaltet, auf das Umgestalten von Funktionen eines dauernden echten Arguments, und es erzeugt eine dauernde Funktion der Frequenz, die als ein Frequenzvertrieb bekannt ist. Eine Funktion wird in einen anderen umgestaltet, und die Operation ist umkehrbar. Wenn das Gebiet der Eingangsfunktion Zeit (t) ist, und das Gebiet der Produktionsfunktion gewöhnliche Frequenz ist, wird das Umgestalten der Funktion s (t) am Frequenz-ƒ durch die komplexe Zahl gegeben:

:

Das Auswerten dieser Menge für alle Werte von ƒ erzeugt die Frequenzgebiet-Funktion. Dann s kann (t) als eine Wiederkombination des Komplexes exponentials aller möglichen Frequenzen vertreten werden:

:

der das Gegenteil ist, gestalten Formel um. Die komplexe Zahl, S (ƒ), befördert sowohl Umfang als auch Phase von Frequenz-ƒ.

Sieh Fourier sich für viel mehr Information verwandeln, einschließlich:

  • Vereinbarung für das Umfang-Normalisierungs- und Frequenzschuppen/Einheiten
  • gestalten Sie Eigenschaften um
  • tabellarisiert verwandelt sich von Sonderaufgaben
  • eine Erweiterung/Generalisation für Funktionen von vielfachen Dimensionen, wie Images.

Reihe von Fourier

Der Fourier verwandelt sich von einer periodischen Funktion, s (t), mit der Periode P, wird eine Kamm-Funktion von Dirac, die durch eine Folge von komplizierten Koeffizienten abgestimmt ist:

: für alle Werte der ganzen Zahl von k,

und wo das Integral über jeden Zwischenraum der Länge P ist.

Das Gegenteil verwandelt sich, bekannt als Reihe von Fourier, ist eine Darstellung von s (t) in Bezug auf eine Summierung potenziell unendliche Zahl harmonisch zusammenhängenden sinusoids oder komplizierter Exponentialfunktionen, jedes mit einem Umfang und durch einen der Koeffizienten angegebener Phase:

:

Wenn s (t), als eine periodische Summierung einer anderen Funktion, s (t) ausgedrückt wird:

die Koeffizienten sind zu Proben von S (ƒ) an getrennten Zwischenräumen von 1/P proportional:

Eine genügend Bedingung, um s (t) (und deshalb S (ƒ)) von gerade diesen Proben wieder zu erlangen, besteht darin, dass der Nichtnullteil von s (t), auf einen bekannten Zwischenraum der Dauer P beschränkt werden, der das des Abtasttheorems von Nyquist-Shannon Doppel-Frequenzgebiet ist.

Sieh Reihe von Fourier für mehr Information einschließlich der historischen Entwicklung.

Diskrete Zeit Fourier verwandelt sich (DTFT)

Der DTFT ist der mathematische Doppel-vom Zeitabschnitt Reihe von Fourier. So kann jede periodische Summierung im Frequenzgebiet durch eine Reihe von Fourier vertreten werden, deren Koeffizienten Proben einer zusammenhängenden dauernden Zeitfunktion sind:

:

der als der DTFT bekannt ist. So ist der DTFT des s [n] Folge auch der Fourier verwandeln sich der abgestimmten Kamm-Funktion von Dirac.

Die Reihe-Koeffizienten von Fourier, die definiert sind durch:

:

ist das Gegenteil verwandeln sich. Mit s [n] = T · s (nT) kann diese Reihe von Fourier jetzt als eine Form der Summierungsformel von Poisson anerkannt werden. So haben wir das wichtige Ergebnis, dass, wenn eine getrennte Datenfolge, s [n], zu Proben einer zu Grunde liegenden dauernden Funktion, s (t) proportional ist, man ableiten kann, verwandelt sich etwas über den dauernden Fourier, S (ƒ). Das ist ein Eckstein im Fundament der Digitalsignalverarbeitung. Außerdem unter bestimmten idealisierten Bedingungen kann man S (ƒ) und s (t) genau theoretisch wieder erlangen. Eine genügend Bedingung für die vollkommene Wiederherstellung besteht dass der Nichtnullteil von S (ƒ) darin, auf einen bekannten Frequenzzwischenraum der Breite 1/T beschränkt werden. Wenn dieser Zwischenraum [-0.5/T, 0.5/T] ist, ist die anwendbare Rekonstruktionsformel die Interpolationsformel von Whittaker-Shannon.

Ein anderer Grund, sich für S (ƒ) zu interessieren, besteht darin, dass es häufig Einblick in den Betrag von durch den ausfallenden Prozess verursachtem aliasing gewährt.

Anwendungen des DTFT werden auf probierte Funktionen nicht beschränkt. Sieh Discrete-Time Fourier sich für weitere Informationen darüber und andere Themen verwandeln, einschließlich:

  • normalisierte Frequenzeinheiten
  • Fenstertechnik (Folgen der begrenzten Länge)
gestalten Sie Eigenschaften um tabellarisiert verwandelt sich von Sonderaufgaben

Getrennter Fourier verwandelt sich (DFT)

Der DTFT einer periodischen Folge, s [n], mit der Periode N, wird eine andere Kamm-Funktion von Dirac, die durch die Koeffizienten einer Reihe von Fourier abgestimmt ist. Und die integrierte Formel für die Koeffizienten vereinfacht zu einer Summierung (sieh DTFT/Periodic Daten):

:, wo die Summe über jede N-Folge der Länge N ist.

Die S Folge ist, was gewöhnlich als der DFT von s bekannt ist. Es ist auch N-periodic, so ist es nie notwendig, mehr zu rechnen, als N Koeffizienten. In Bezug auf S verwandelt sich das Gegenteil wird durch gegeben:

: wo die Summe über jede K-Folge der Länge N ist.

Wenn s [n] als eine periodische Summierung einer anderen Funktion ausgedrückt wird: und

die Koeffizienten sind zu Proben von S (ƒ) an getrennten Zwischenräumen von 1/P = 1/NT gleichwertig: (Sieh DTFT/Sampling der DTFT)

Umgekehrt, wenn man eine beliebige Zahl (N) von getrennten Proben eines Zyklus eines dauernden DTFT schätzen will, kann er durch die Computerwissenschaft des relativ einfachen DFT von s [n], wie definiert, oben getan werden. In den meisten Fällen wird N gleich der Länge des Nichtnullteils von s [n] gewählt. Die Erhöhung N, bekannt als Nullpolstern oder Interpolation, läuft auf näher Proben unter Drogeneinfluss eines Zyklus von S (ƒ) hinaus. Das Verringern N, Ursache-Übergreifen, das im Zeitabschnitt (analog aliasing) (beiträgt), der Dezimierung im Frequenzgebiet entspricht. (sieh Stichprobenerhebung des DTFT) In den meisten Fällen vom praktischen Interesse vertritt der s [n] Folge eine längere Folge, die durch die Anwendung einer Fensterfunktion der begrenzten Länge oder TANNE-Filterreihe gestutzt war.

Der DFT kann mit einem Algorithmus des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT) geschätzt werden, der ihn eine praktische und wichtige Transformation auf Computern macht.

Sieh Getrennten Fourier sich für viel mehr Information verwandeln, einschließlich:

gestalten Sie Eigenschaften um
  • Anwendungen
tabellarisiert verwandelt sich von Sonderaufgaben

Zusammenfassung

Für periodische Funktionen, sowohl der Fourier verwandeln sich als auch der DTFT umfassen nur einen getrennten Satz von Frequenzbestandteilen (Reihe von Fourier), und das Umgestalten weicht an jenen Frequenzen ab. Eine übliche Praxis (nicht besprochen oben) soll diese Abschweifung über das Delta von Dirac und die Kamm-Funktionen von Dirac behandeln. Aber dieselbe geisterhafte Information kann von gerade einem Zyklus der periodischen Funktion wahrgenommen werden, da alle anderen Zyklen identisch sind. Ähnlich können Funktionen der begrenzten Dauer als eine Reihe von Fourier ohne wirklichen Verlust der Information vertreten werden, außer dass sich die Periodizität des Gegenteils verwandelt, ist ein bloßes Kunsterzeugnis. Wir bemerken auch, dass keine der Formeln hier die Dauer verlangt, auf die Periode, P oder N beschränkt zu werden. Aber das ist eine allgemeine Situation in der Praxis.

Fourier verwandelt sich auf willkürlichen lokal kompakten abelian topologischen Gruppen

Die Varianten von Fourier können auch Fourier verallgemeinert werden verwandelt sich auf willkürlichen lokal kompakten abelian topologischen Gruppen, die in der harmonischen Analyse studiert werden; dort verwandelt sich der Fourier nimmt Funktionen auf einer Gruppe zu Funktionen auf der Doppelgruppe. Diese Behandlung erlaubt auch eine allgemeine Formulierung des Gehirnwindungslehrsatzes, der sich bezieht, verwandelt sich Fourier und Gehirnwindungen. Siehe auch die Dualität von Pontryagin für die verallgemeinerten Untermauerungen des Fouriers um sich zu verwandeln.

Zeitfrequenz verwandelt sich

In Signalverarbeitungsbegriffen ist eine Funktion (der Zeit) eine Darstellung eines Signals mit der vollkommenen Zeitentschlossenheit, aber keine Frequenzinformation, während sich der Fourier verwandeln, hat vollkommene Frequenzentschlossenheit, aber keine Zeitinformation.

Da sich Alternativen zum Fourier in der Zeitfrequenz-Analyse verwandeln, verwendet man Zeitfrequenz verwandelt sich, um Signale in einer Form zu vertreten, die Information einer Zeit und etwas Frequenzinformation - durch den Unklarheitsgrundsatz hat, gibt es einen Umtausch zwischen diesen. Diese können Generalisationen des Fouriers sein verwandeln sich wie die Kurzarbeit, die Fourier umgestaltet, verwandeln sich Gabor, oder unbedeutender Fourier verwandeln sich, oder kann verschiedene Funktionen verwenden, Signale zu vertreten, wie sich in der Elementarwelle verwandelt und sich chirplet verwandelt, mit dem Elementarwelle-Analogon des (dauernden) Fouriers verwandeln sich die dauernde Elementarwelle zu sein, verwandeln sich.

Geschichte

Eine primitive Form der harmonischen Reihe geht auf die alte babylonische Mathematik zurück, wo sie verwendet wurden, um ephemerides (Tische von astronomischen Positionen) zu schätzen.

In modernen Zeiten verwandeln sich Varianten des getrennten Fouriers wurden von Alexis Clairaut 1754 verwendet, um eine Bahn, zu schätzen

der als die erste Formel für den DFT, beschrieben worden ist

und 1759 durch Joseph Louis Lagrange, in der Computerwissenschaft der Koeffizienten einer trigonometrischen Reihe für eine vibrierende Schnur. Technisch war die Arbeit von Clairaut eine Kosinus-Only-Reihe (eine Form des getrennten Kosinus verwandeln sich), während die Arbeit von Lagrange eine Sinus-Only-Reihe war (eine Form des getrennten Sinus verwandeln sich); ein wahrer cosine+sine DFT wurde von Gauss 1805 für die trigonometrische Interpolation von Asteroid-Bahnen verwendet.

Euler und Lagrange beide discretized das vibrierende Schnur-Problem, damit, was heute Proben genannt würde.

Eine frühe moderne Entwicklung zur Analyse von Fourier war das 1770-Papier Réflexions sur la résolution algébrique des équations durch Lagrange, der in der Methode von Wiederlösungsmitteln von Lagrange einen Komplex Zergliederung von Fourier verwendet hat, um die Lösung eines kubischen zu studieren:

Lagrange hat die Wurzeln in die Wiederlösungsmittel umgestaltet:

:

r_1 &= x_1 + x_2 + x_3 \\

r_2 &= x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3 \\

r_3 &= x_1 + \zeta^2 x_2 + \zeta x_3

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo ζ eine Kubikwurzel der Einheit ist, die der DFT des Auftrags 3 ist.

Mehrere Autoren, namentlich Jean le Rond D'Alembert, und Carl Friedrich Gauss haben trigonometrische Reihe verwendet, um die Hitzegleichung zu studieren, aber die Durchbruch-Entwicklung war das 1807-Papier

Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides durch Joseph Fourier, dessen entscheidende Scharfsinnigkeit alle Funktionen durch die trigonometrische Reihe modellieren sollte, die Reihe von Fourier einführend.

Historiker werden betreffs geteilt, wie viel man Lagrange und anderen für die Entwicklung der Theorie von Fourier glaubt: Daniel Bernoulli und Leonhard Euler hatten trigonometrische Darstellungen von Funktionen eingeführt, und Lagrange hatte die Reihe-Lösung von Fourier der Wellengleichung gegeben, so war der Beitrag von Fourier hauptsächlich der kühne Anspruch, dass eine willkürliche Funktion durch eine Reihe von Fourier vertreten werden konnte.

Die nachfolgende Entwicklung des Feldes ist als harmonische Analyse bekannt, und ist auch ein frühes Beispiel der Darstellungstheorie.

Der erste Algorithmus des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT) für den DFT wurde 1805 von Carl Friedrich Gauss entdeckt, als man Maße der Bahn der Asteroiden Juno und Pallas interpoliert hat, obwohl dieser besondere FFT Algorithmus öfter seinen modernen Wiederentdeckern Cooley und Tukey zugeschrieben wird.

Interpretation in Bezug auf die Zeit und Frequenz

In der Signalverarbeitung verwandelt sich der Fourier häufig nimmt eine Zeitreihe oder eine Funktion der dauernden Zeit, und stellt es in ein Frequenzspektrum kartografisch dar. D. h. es nimmt eine Funktion vom Zeitabschnitt ins Frequenzgebiet; es ist eine Zergliederung einer Funktion in sinusoids von verschiedenen Frequenzen; im Fall von einer Reihe von Fourier oder getrenntem Fourier verwandeln sich, die sinusoids sind Obertöne der grundsätzlichen Frequenz der Funktion, die wird analysiert.

Wenn der Funktions-ƒ eine Funktion der Zeit ist und ein physisches Signal vertritt, hat das Umgestalten eine Standardinterpretation als das Frequenzspektrum des Signals. Der Umfang der resultierenden Komplex-geschätzten Funktion F an der Frequenz ω vertritt den Umfang eines Frequenzbestandteils, dessen anfängliche Phase durch die Phase von F gegeben wird.

Fourier verwandelt sich werden auf Funktionen der Zeit und zeitliche Frequenzen nicht beschränkt. Sie können ebenso angewandt werden, um Raumfrequenzen, und tatsächlich für fast jedes Funktionsgebiet zu analysieren. Das rechtfertigt ihren Gebrauch in Zweigen solches verschiedenes wie Bildverarbeitung, Hitzeleitung und automatische Kontrolle.

Referenzen

Siehe auch

  • Verallgemeinerte Reihe von Fourier
  • Reihe von Fourier-Bessel
  • Reihe von Fourier-Legendre
  • Fourier-zusammenhängend gestaltet um
  • Laplace verwandeln sich (LT)
  • Zweiseitige Laplace gestalten um
  • Mellin gestalten um
  • Schneller Fourier verwandelt sich (FFT)
  • Ungleichförmiger getrennter Fourier verwandelt sich (NDFT)
  • Unbedeutender Fourier verwandelt sich (FRFT)
  • Quant Fourier verwandelt sich (QFT)
  • Mit der Zahl theoretisch gestalten um
  • Am-Wenigsten-Quadrate geisterhafte Analyse
  • Basisvektoren
  • Bispectrum
  • Charakteristische Funktion (Wahrscheinlichkeitstheorie)
  • Orthogonale Funktionen
  • Dualität von Pontryagin
  • Raum von Schwartz
  • Geisterhafte Dichte
  • Geisterhafte Dichte-Bewertung
  • Elementarwelle

Zitate

  • Howell, Kenneth B. (2001). Grundsätze der Analyse von Fourier, CRC Presse. Internationale Standardbuchnummer 9780849382758
  • Kamen, E.W. und B.S. Heck. "Grundlagen von Signalen und Systemen mit Web und Matlab". Internationale Standardbuchnummer 0-13-017293-6
  • Polyanin, n. Chr., und A.V. Manzhirov (1998). Handbuch von Integralgleichungen, CRC Presse, Boca Raton. Internationale Standardbuchnummer 0-8493-2876-4
  • Bierkrug, E.M. und G. Weiss (1971). Einführung in die Analyse von Fourier auf Euklidische Räume. Universität von Princeton Presse. Internationale Standardbuchnummer 0 691 08078 X

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