Geometrie (Griechisch ; geo = Erde, metria = Maß) ist als das Feld von Kenntnissen entstanden, die sich mit Raumbeziehungen befassen. Geometrie war eines der zwei Felder der vormodernen Mathematik, der andere, die Studie von Zahlen (Arithmetik) seiend.

Klassische Geometrie wurde im Kompass und den Haarlineal-Aufbauten eingestellt. Geometrie wurde von Euklid revolutioniert, der mathematische Strenge und die axiomatische Methode noch im Gebrauch heute eingeführt hat. Sein Buch, Die Elemente werden als das einflussreichste Lehrbuch aller Zeiten weit betrachtet, und waren allen gebildeten Leuten im Westen bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts bekannt.

In modernen Zeiten sind geometrische Konzepte zu einem hohen Niveau der Abstraktion und Kompliziertheit verallgemeinert worden, und sind den Methoden der Rechnung und abstrakten Algebra unterworfen worden, so dass viele moderne Zweige des Feldes als die Nachkommen der frühen Geometrie kaum erkennbar sind. (Sieh Gebiete der Mathematik und algebraischen Geometrie.)

Frühe Geometrie

Die frühsten registrierten Anfänge der Geometrie können zu frühen Völkern verfolgt werden, die stumpfe Dreiecke im alten Indus Tal entdeckt haben (sieh Harappan Mathematik), und alter Babylonia (sieh babylonische Mathematik) von ungefähr 3000 v. Chr. Frühe Geometrie war eine Sammlung empirisch entdeckter Grundsätze bezüglich Längen, Winkel, Gebiete und Volumina, die entwickelt wurden, um ein praktisches Bedürfnis im Vermessen, dem Aufbau, der Astronomie und den verschiedenen Handwerken zu entsprechen. Unter diesen waren einige überraschend hoch entwickelte Grundsätze, und ein moderner Mathematiker könnte hart gebracht werden, um einige von ihnen ohne den Gebrauch der Rechnung abzuleiten. Zum Beispiel waren sowohl die Ägypter als auch die Babylonier von Versionen des Pythagoreischen Lehrsatzes ungefähr 1500 Jahre vor Pythagoras bewusst; die Ägypter hatten eine richtige Formel für das Volumen eines frustum einer Quadratpyramide; die Babylonier hatten einen Trigonometrie-Tisch.

Ägyptische Geometrie

Die alten Ägypter haben gewusst, dass sie dem Gebiet eines Kreises wie folgt näher kommen konnten:

:::: Gebiet des Kreises  [(Diameter) x 8/9].

Problem 50 des Papyrus von Ahmes verwenden diese Methoden, das Gebiet eines Kreises gemäß einer Regel zu berechnen, dass das Gebiet dem Quadrat von 8/9 des Diameters des Kreises gleich ist. Das nimmt an, dass π 4&times ist; (8/9) ² (oder 3.160493...), mit einem Fehler von ein bisschen mehr als 0.63 Prozent. Dieser Wert war ein bisschen weniger genau als die Berechnungen der Babylonier (25/8 = 3.125, innerhalb von 0.53 Prozent), aber wurde bis zur Annäherung von Archimedes von 211875/67441 = 3.14163 nicht sonst übertroffen, der einen Fehler von gerade mehr als 1 in 10,000 hatte.

Interessanterweise hat Ahmes vom modernen 22/7 als eine Annäherung für das Pi gewusst, und hat es verwendet, um einen hekat, hekat x 22/x x 7/22 = hekat zu spalten; jedoch hat Ahmes fortgesetzt, den traditionellen 256/81-Wert für das Pi zu verwenden, um sein hekat in einem Zylinder gefundenes Volumen zu schätzen.

Problem 48 hat das Verwenden eines Quadrats mit der Seite 9 Einheiten eingeschlossen. Dieses Quadrat wurde in 3x3 Bratrost geschnitten. Die Diagonale der Eckquadrate wurde verwendet, um ein unregelmäßiges Achteck mit einem Gebiet von 63 Einheiten zu machen. Das hat einen zweiten Wert für π 3.111 gegeben...

Die zwei Probleme zeigen zusammen einen Wertbereich für Pi zwischen 3.11 und 3.16 an.

Problem 14 in Moskau Mathematischer Papyrus führt das einzige alte Beispiel an, das das Volumen eines frustum einer Pyramide findet, die richtige Formel beschreibend:

Babylonische Geometrie

Die Babylonier können die allgemeinen Regeln gewusst haben, um Gebiete und Volumina zu messen. Sie haben den Kreisumfang eines Kreises als dreimal das Diameter und das Gebiet als ein zwölfter das Quadrat des Kreisumfangs gemessen, der richtig sein würde, wenn π als 3 geschätzt wird. Das Volumen eines Zylinders wurde als das Produkt der Basis und der Höhe jedoch genommen, das Volumen des frustum eines Kegels oder einer Quadratpyramide wurde als das Produkt der Höhe und Hälfte der Summe der Basen falsch genommen. Der Pythagoreische Lehrsatz war auch den Babyloniern bekannt. Außerdem gab es eine neue Entdeckung, in der ein Block π als 3 und 1/8 verwendet hat. Die Babylonier sind auch für die babylonische Meile bekannt, die ein Maß der Entfernung war, die ungefähr sieben Meilen heute gleich ist. Dieses Maß für Entfernungen wurde schließlich zu einem Zeitmeilen-umgewandelt, der verwendet ist, für das Reisen der Sonne zu messen, deshalb Zeit vertretend.

Griechische Geometrie

Klassische griechische Geometrie

Für die alten griechischen Mathematiker war Geometrie das Kronjuwel ihrer Wissenschaften, eine Vollständigkeit und Vollkommenheit der Methodik erreichend, die kein anderer Zweig ihrer Kenntnisse erreicht hatte. Sie haben die Reihe der Geometrie zu vielen neuen Arten von Zahlen, Kurven, Oberflächen und Festkörpern ausgebreitet; sie haben seine Methodik vom empirischen bis logischen Abzug geändert; sie haben anerkannt, dass Geometrie "ewige Formen" oder Abstraktionen studiert, von denen physische Gegenstände nur Annäherungen sind; und sie haben die Idee von der "axiomatischen Methode" noch im Gebrauch heute entwickelt.

Thales und Pythagoras

Thales (635-543 v. Chr.) Miletus (jetzt in der südwestlichen Türkei), war erst, wem der Abzug in der Mathematik zugeschrieben wird. Es gibt fünf geometrische Vorschläge, für die er deduktive Beweise geschrieben hat, obwohl seine Beweise nicht überlebt haben. Pythagoras (582-496 v. Chr.) Ionia, und später, Italien, das dann von Griechen kolonisiert ist, kann ein Student von Thales gewesen sein, und nach Babylon und Ägypten gereist sein. Der Lehrsatz, der seinen Namen trägt, kann nicht seine Entdeckung gewesen sein, aber er war wahrscheinlich einer der ersten, um einen deduktiven Beweis davon zu geben. Er hat eine Gruppe von Studenten um ihn gesammelt, um Mathematik, Musik und Philosophie zu studieren, und zusammen haben sie den grössten Teil davon entdeckt, wem Studenten der Höheren Schule heute in ihren Geometrie-Kursen erfahren. Außerdem haben sie die tiefe Entdeckung von nicht vergleichbaren Längen und irrationalen Zahlen gemacht.

Plato

Plato (427-347 v. Chr.), der durch die Griechen am meisten geschätzte Philosoph, hatte über dem Eingang zu seiner berühmten Schule eingeschrieben, "Lassen Sie keines Unwissendes von der Geometrie hier hereingehen." Obwohl er nicht ein Mathematiker selbst war, hatten seine Ansichten auf der Mathematik großen Einfluss. Mathematiker haben so seinen Glauben akzeptiert, dass Geometrie keine Werkzeuge, aber Kompass und Haarlineal - nie Messgeräte wie ein gekennzeichnetes Lineal oder ein Gradbogen verwenden sollte, weil das Werkzeuge eines Arbeiters waren, die eines Gelehrten nicht würdig sind. Dieser Machtspruch hat zu einer tiefen Studie des möglichen Kompasses und Haarlineal-Aufbauten und drei klassischen Bauproblemen geführt: Wie man diese Werkzeuge verwendet, um einen Winkel dreimal zu teilen, einen Würfel zweimal das Volumen eines gegebenen Würfels zu bauen, und ein Quadrat zu bauen, das im Gebiet zu einem gegebenen Kreis gleich ist. Die Beweise der Unmöglichkeit dieser Aufbauten, schließlich erreicht im 19. Jahrhundert, haben zu wichtigen Grundsätzen bezüglich der Tiefenstruktur des Systems der reellen Zahl geführt. Aristoteles (384-322 v. Chr.), der größte Schüler von Plato, hat eine Abhandlung über Methoden geschrieben, verwendet in deduktiven Beweisen vernünftig zu urteilen (sieh Logik), der bis zum 19. Jahrhundert nicht wesentlich übertroffen wurde.

Hellenistische Geometrie

Euklid

Euklid (c. 325-265 v. Chr.), Alexandrias, wahrscheinlich ein Student von einem der Studenten von Plato, hat eine Abhandlung in 13 Büchern (Kapitel) geschrieben, hat Die Elemente der Geometrie betitelt, in der er Geometrie in einer idealen axiomatischen Form präsentiert hat, die gekommen ist, um als Euklidische Geometrie bekannt zu sein. Die Abhandlung ist nicht ein Kompendium von allem, was die hellenistischen Mathematiker zurzeit über die Geometrie gewusst haben; Euklid selbst hat acht fortgeschrittenere Bücher auf der Geometrie geschrieben. Wir wissen von anderen Verweisungen, dass Euklid nicht das erste elementare Geometrie-Lehrbuch war, aber es war so viel Vorgesetzter, dass andere in den Nichtgebrauch gefallen sind und verloren wurden. Er wurde zur Universität an Alexandria von Ptolemy I, König Ägyptens gebracht.

Die Elemente haben mit Definitionen von Begriffen, grundsätzliche geometrische Grundsätze begonnen (genannt Axiome, oder Postulate), und allgemeine quantitative Grundsätze (hat allgemeine Begriffe genannt), aus dem der ganze Rest der Geometrie logisch abgeleitet werden konnte. Folgender ist seine fünf Axiome, etwas paraphrasiert, um die Engländer leichter zu machen, zu lesen.

1. Irgendwelche zwei Punkte können durch eine Gerade angeschlossen werden.
2. Jede begrenzte Gerade kann in einer Gerade erweitert werden.
3. Ein Kreis kann mit jedem Zentrum und jedem Radius gezogen werden.
4. Ganz richtig sind Winkel einander gleich.
5. Wenn zwei Geraden in einem Flugzeug durch eine andere Gerade durchquert werden (hat den transversal genannt), und die Innenwinkel zwischen den zwei Linien und dem transversal, der auf einer Seite des transversal liegt, belaufen sich auf weniger als zwei richtige Winkel, dann auf dieser Seite des transversal werden sich die zwei erweiterten Linien schneiden (auch hat das parallele Postulat genannt).

Archimedes

häufig betrachtet, ist Archimedes (287-212 v. Chr.), Syracuse, Sizilien, als es ein griechischer Stadtstaat war, unter den griechischen Mathematikern am größten, und gelegentlich sogar als einer der drei am größten aller Zeiten (zusammen mit Isaac Newton und Carl Friedrich Gauss) genannt. Er war kein Mathematiker gewesen, er würde noch als ein großer Physiker, Ingenieur und Erfinder nicht vergessen. In seiner Mathematik hat er Methoden entwickelt, die den Koordinatensystemen der analytischen Geometrie und dem Begrenzungsprozess der Integralrechnung sehr ähnlich sind. Das einzige Element, das an der Entwicklung dieser Felder fehlt, war ein effizientes algebraisches System, in dem man seine Konzepte ausdrückt.

Nach Archimedes

Nach Archimedes hat hellenistische Mathematik begonnen sich zu neigen. Es gab einige geringe Sterne noch, um zu kommen, aber das Goldene Zeitalter der Geometrie war zu Ende. Proclus (410-485), Autor des Kommentars zum Ersten Buch von Euklid, war einer der letzten wichtigen Spieler in der hellenistischen Geometrie. Er war ein fähiger geometer, aber wichtiger war er ein herrlicher Kommentator auf den Arbeiten, die ihm vorangegangen sind. Viel von dieser Arbeit hat zu modernen Zeiten nicht überlebt, und ist uns nur durch seinen Kommentar bekannt. Die römische Republik und das Reich, das nachgefolgt hat und die griechischen Stadtstaaten absorbiert hat, haben ausgezeichnete Ingenieure, aber keine Mathematiker des Zeichens erzeugt.

Die große Bibliothek Alexandrias wurde später verbrannt. Es gibt eine wachsende Einigkeit unter Historikern, die die Bibliothek Alexandrias wahrscheinlich unter mehreren zerstörenden Ereignissen ertragen hat, aber dass die Zerstörung von Alexandrias heidnischen Tempeln gegen Ende des 4. Jahrhunderts wahrscheinlich die strengste und endgültige war. Die Beweise für diese Zerstörung sind am endgültigsten und sicher. Die Invasion von Caesar kann zum Verlust von ungefähr 40.000-70.000 Schriftrollen in einem Lager neben dem Hafen gut geführt haben (wie Luciano Canfora behauptet, waren sie wahrscheinliche Kopien, die von der Bibliothek erzeugt sind, die für den Export beabsichtigt ist), aber es wird kaum die Bibliothek oder das Museum betroffen haben, vorausgesetzt, dass es große Beweise gibt, dass beide später bestanden haben.

Bürgerkriege, Investitionen in der Wartung und dem Erwerb von neuen Schriftrollen vermindernd und allgemein Interesse an nichtreligiösen Verfolgungen neigend, haben wahrscheinlich zur Verminderung des Körpers des Materials beigetragen, das in der Bibliothek besonders im vierten Jahrhundert verfügbar ist. Der Serapeum wurde sicher von Theophilus in 391 zerstört, und das Museum und die Bibliothek können Opfer zu derselben Kampagne gefallen sein.

Indianergeometrie

Periode von Vedic

Der Satapatha Brahmana (das 9. Jahrhundert BCE) enthält Regeln für geometrische Ritualaufbauten, die Sulba Sutras ähnlich sind.

Der Śulba Sūtras (wörtlich, "Sprichwörter der Akkorde" in Vedic Sanskrit) (c. 700-400 BCE) verzeichnen Regeln für den Aufbau von Opferfeueraltären. Die meisten mathematischen Probleme haben im Śulba Sūtras Frühling von "einer einzelnen theologischen Voraussetzung betrachtet," zündet dieses des Konstruierens Altäre an, die verschiedene Gestalten haben, aber den gemeinsamen Bereich besetzen. Die Altäre waren erforderlich, fünf Schichten des verbrannten Ziegels mit der weiteren Bedingung gebaut zu werden, dass jede Schicht aus 200 Ziegeln besteht, und dass keine zwei angrenzenden Schichten kongruente Maßnahmen von Ziegeln haben.

Gemäß enthalten die Śulba Sūtras "den frühsten noch vorhandenen wörtlichen Ausdruck des Pythagoreischen Lehrsatzes in der Welt, obwohl es bereits den Alten Babyloniern bekannt gewesen war."

Sie enthalten Listen des Pythagoreers verdreifacht sich, die besondere Fälle von Gleichungen von Diophantine sind.

Sie enthalten auch Behauptungen (dass im Nachhinein wir wissen, um ungefähr zu sein), über das Quadrieren der Kreis und "das Einkreisen des Quadrats."

Baudhayana (c. BCE des 8. Jahrhunderts) hat Baudhayana Sulba Sutra zusammengesetzt, am besten bekannter Sulba Sutra, der Beispiele des einfachen Pythagoreers enthält, verdreifacht sich wie:

(7, 24, 25) </Mathematik>, und sowie eine Behauptung des Pythagoreischen Lehrsatzes für die Seiten eines Quadrats: "Das Tau, das über die Diagonale eines Quadrats gestreckt wird, erzeugt ein Gebiet doppelt die Größe des ursprünglichen Quadrats." Es enthält auch die allgemeine Behauptung des Pythagoreischen Lehrsatzes (für die Seiten eines Rechtecks): "Das entlang der Diagonale eines Rechtecks gestreckte Tau macht ein Gebiet, das die vertikalen und horizontalen Seiten zusammen machen."

Gemäß dem Mathematiker S. G. Dani, der babylonische keilförmige Block Plimpton 322 schriftliche ca. 1850 BCE "enthalten fünfzehn Pythagoreer verdreifacht sich mit ziemlich großen Einträgen, einschließlich (13500, 12709, 18541), der ein Primitiver dreifach, anzeigend ist, insbesondere dass es das hoch entwickelte Verstehen auf dem Thema" in Mesopotamia 1850 BCE gab. "Da diese Blöcke die Periode von Sulbasutras um mehrere Jahrhunderte zurückdatieren, das Kontextäußere von etwas vom Verdreifachen in Betracht ziehend, ist es angemessen zu erwarten, dass das ähnliche Verstehen dort in Indien gewesen wäre." Dani setzt fort zu sagen:

würde direkt zu den gesamten Kenntnissen auf dem Thema damals nicht entsprechen. Seitdem, leider, sind keine anderen gleichzeitigen Quellen gefunden worden, dass es nie möglich sein kann, dieses Problem hinreichend zu setzen. "

Insgesamt wurden drei Sulba Sutras zusammengesetzt. Die restlichen zwei, Manava Sulba Sutra, der von Manava (fl zusammengesetzt ist. 750-650 BCE) und Apastamba Sulba Sutra, der von Apastamba (c zusammengesetzt ist. 600 BCE), hat Baudhayana Sulba Sutra ähnliche Ergebnisse enthalten.

Klassische Periode

Im Manuskript von Bakhshali gibt es eine Hand voll geometrische Probleme (einschließlich Probleme über Volumina von unregelmäßigen Festkörpern). Das Bakhshali Manuskript auch "verwendet ein dezimales Platz-Wertsystem mit einem Punkt für die Null." Der Aryabhatiya von Aryabhata (499 CE) schließt die Berechnung von Gebieten und Volumina ein.

Brahmagupta hat seine astronomische Arbeit in 628 CE geschrieben. Kapitel 12, 66 sanskritische Verse enthaltend, wurde in zwei Abteilungen geteilt: "Grundlegende Operationen" (einschließlich Würfel-Wurzeln, Bruchteile, Verhältnisses und Verhältnisses und Tausches) und "praktische Mathematik" (einschließlich Mischung, mathematischer Reihe, Flugzeug-Zahlen, Ziegel aufschobernd, von Bauholz sägend, und sich vom Korn anhäufend). In der letzten Abteilung hat er seinen berühmten Lehrsatz auf den Diagonalen eines zyklischen Vierseits festgesetzt:

Der Lehrsatz von Brahmagupta: Wenn ein zyklisches Vierseit Diagonalen hat, die auf einander rechtwinklig sind, dann halbiert die Lotlinie, die vom Punkt der Kreuzung der Diagonalen zu jeder Seite des Vierseits immer gezogen ist, die Gegenseite.

Kapitel 12 hat auch eine Formel für das Gebiet eines zyklischen Vierseits (eine Generalisation der Formel des Reihers), sowie eine ganze Beschreibung von vernünftigen Dreiecken (d. h. Dreiecken mit vernünftigen Seiten und vernünftigen Gebieten) eingeschlossen.

Die Formel von Brahmagupta: Das Gebiet, A, eines zyklischen Vierseits mit Seiten von Längen a, b, c, d wird beziehungsweise durch gegeben

wo s, der Halbumfang, der gegeben ist durch:

Der Lehrsatz von Brahmagupta auf vernünftigen Dreiecken: Ein Dreieck mit vernünftigen Seiten und vernünftigem Gebiet ist der Form:

für einige rationale Zahlen und.

Chinesische Geometrie

Die erste endgültige Arbeit (oder mindestens am ältesten gegenwärtig) auf der Geometrie in China war der Mo Jing, der Kanon von Mohist des frühen utilitaristischen Philosophen Mozi (470 v. Chr. 390 v. Chr.). Es waren kompilierte Jahre nach seinem Tod durch seine späteren Anhänger um das Jahr 330 v. Chr. Obwohl der Mo Jing das älteste gegenwärtige Buch auf der Geometrie in China ist, gibt es die Möglichkeit, dass noch älteres schriftliches Material besteht. Jedoch, wegen des berüchtigten Brennens der Bücher im politischen maneauver durch den Dynastie-Herrscher von Qin Qin Shihuang (r. 221 v. Chr. 210 v. Chr.), Mengen der schriftlichen Literatur haben geschaffen, bevor seine Zeit gereinigt wurde. Außerdem präsentiert der Mo Jing geometrische Konzepte in der Mathematik, die vielleicht zu vorgebracht werden, um eine vorherige geometrische Basis oder mathematic Hintergrund nicht gehabt zu haben, um darauf zu arbeiten.

Der Mo Jing hat verschiedene Aspekte von vielen Feldern beschrieben, die mit der physischen Wissenschaft vereinigt sind, und hat einen kleinen Reichtum der Information über die Mathematik ebenso zur Verfügung gestellt. Es hat eine 'Atom'-Definition des geometrischen Punkts zur Verfügung gestellt, feststellend, dass eine Linie in Teile getrennt wird, und sich der Teil, der keine restlichen Teile hat (d. h. kann in kleinere Teile nicht geteilt werden), und so formt, ist das äußerste Ende einer Linie ein Punkt. Viel wie die ersten und dritten Definitionen von Euklid und der 'Anfang von Plato einer Linie' hat der Mo Jing festgestellt, dass "ein Punkt am Ende (einer Linie) oder an seinem Anfang wie eine Hauptpräsentation in der Geburt stehen kann. (Betreffs seiner Unsichtbarkeit) gibt es nichts Ähnliches ihm." Ähnlich dem atomists von Democritus hat der Mo Jing festgestellt, dass ein Punkt die kleinste Einheit ist, und entzwei nicht geschnitten werden kann, da 'nichts' nicht halbiert werden kann. Es hat festgestellt, dass zwei Linien der gleichen Länge immer an demselben Platz fertig sein werden, während sie Definitionen für den Vergleich von Längen und für Parallelen, zusammen mit Grundsätzen des Raums und begrenzten Raums zur Verfügung stellen werden. Es hat auch die Tatsache beschrieben, dass Flugzeuge ohne die Qualität der Dicke nicht angehäuft werden können, da sie sich nicht gegenseitig berühren können. Das Buch hat Definitionen für den Kreisumfang, das Diameter und den Radius zusammen mit der Definition des Volumens zur Verfügung gestellt.

Die Han-Dynastie (202 v. Chr. 220 n.Chr.) Periode Chinas hat ein neues Blühen der Mathematik bezeugt. Einer der ältesten chinesischen mathematischen Texte, um geometrische Fortschritte zu präsentieren, war Suàn shù shū 186 v. Chr. während des Westzeitalters von Han. Der Mathematiker, Erfinder und Astronom Zhang Heng (78-139 n.Chr.) haben geometrische Formeln verwendet, um mathematische Probleme zu beheben. Obwohl Überschlagsrechnungen für das Pi (π) im Zhou Li gegeben wurden (kompiliert im 2. Jahrhundert v. Chr.), war es Zhang Heng, der erst war, um eine gemeinsame Anstrengung beim Schaffen einer genaueren Formel für das Pi zu machen. Das würde der Reihe nach genauer von späteren Chinesen wie Zu Chongzhi (429-500 n.Chr.) gemacht. Zhang Heng ist Pi als 730/232 näher gekommen (oder etwa 3.1466), obwohl er eine andere Formel des Pis in der Entdeckung eines kugelförmigen Volumens, mit der Quadratwurzel 10 (oder etwa 3.162) stattdessen verwendet hat. Die beste Annäherung von Zu Chongzhi war zwischen 3.1415926 und 3.1415927, mit  (, Milü, ausführlich berichtete Annäherung) und  (, Yuelü, raue Annäherung) die andere bemerkenswerte Annäherung zu sein. Im Vergleich mit späteren Arbeiten ist die Formel für das Pi, das vom französischen Mathematiker Franciscus Vieta (1540-1603) gegeben ist, halbwegs zwischen den Annäherungen von Zu gefallen.

Die neun Kapitel über die mathematische Kunst

Die Neun Kapitel über die Mathematische Kunst, deren Titel zuerst durch 179 n.Chr. auf einer Bronzeinschrift erschienen ist, wurden editiert und vom Mathematiker des 3. Jahrhunderts Liu Hui vom Königreich von Cao Wei geäußert. Dieses Buch hat viele Probleme eingeschlossen, wo Geometrie, wie Entdeckung von Flächen für Quadrate und Kreise, die Volumina von Festkörpern in verschiedenen dreidimensionalen Gestalten angewandt wurde, und den Gebrauch des Pythagoreischen Lehrsatzes eingeschlossen hat. Das Buch hat illustrierten Beweis für den Pythagoreischen Lehrsatz zur Verfügung gestellt, hat einen schriftlichen Dialog zwischen des früheren Herzogs von Zhou und Shang Gaos auf den Eigenschaften des richtigen Winkeldreiecks und des Pythagoreischen Lehrsatzes enthalten, während man sich auch auf den astronomischen gnomon, den Kreis und das Quadrat, sowie die Maße von Höhen und Entfernungen bezogen hat. Der Redakteur Liu Hui hat Pi verzeichnet, weil 3.141014 durch das Verwenden 192 Vieleck Partei ergriffen hat, und dann Pi berechnet hat, wie das 3.14159 Verwenden 3072 Vieleck Partei ergriffen hat. Das war genauer, als zeitgenössischer Wang Fan von Liu Hui, ein Mathematiker und Astronom von Östlichem Wu, Pi als 3.1555 machen würde, indem er  verwendet. Liu Hui hat auch über das mathematische Vermessen geschrieben, um Entfernungsmaße von Tiefe, Höhe, Breite und Fläche zu berechnen. In Bezug auf die Raumgeometrie der Körper hat er das ausgerechnet ein Keil mit der rechteckigen Basis und den beiden schrägen Seiten konnte unten in eine Pyramide und einen vierflächigen Keil zerbrochen werden. Er hat auch das ausgerechnet ein Keil mit der Trapezoid-Basis und den beiden schrägen Seiten konnte gemacht werden, zwei vierflächige durch eine Pyramide getrennte Keile zu geben. Außerdem hat Liu Hui den Grundsatz von Cavalieri auf dem Volumen, sowie Beseitigung von Gaussian beschrieben. Aus den Neun Kapiteln hat es die folgenden geometrischen Formeln verzeichnet, die zurzeit der ehemaligen Han-Dynastie (202 BCE-9 CE) bekannt waren.

Gebiete für den

• Quadrat
• Rechteck
• Kreis
• Gleichschenkliges Dreieck
• Rhomboid
• Trapezoid
• Doppeltes Trapez
• Segment eines Kreises
• Ringrohr ((klingeln) zwischen zwei konzentrischen Kreisen)

Volumina für den

• Parallelepiped mit zwei Quadrat erscheint
• Parallelepiped ohne Quadratoberflächen
• Pyramide
• Frustum der Pyramide mit der Quadratbasis
• Frustum der Pyramide mit der rechteckigen Basis von ungleichen Seiten
• Würfel
• Prisma
• Keil mit der rechteckigen Basis und den beiden Seiten, die sich neigen
• Keil mit der Trapezoid-Basis und den beiden Seiten, die sich neigen
• Vierflächiger Keil
• Frustum eines Keils des zweiten Typs (verwendet für Anwendungen in der Technik)
• Zylinder
• Kegel mit der kreisförmigen Basis
• Frustum eines Kegels
• Bereich

das geometrische Vermächtnis des alten Chinas fortgesetzt hat, gab es viele spätere Zahlen, um, einschließlich des berühmten Astronomen und Mathematikers Shen Kuo (1031-1095 n.Chr.), Yang Hui zu kommen (1238-1298 n.Chr.), wer das Dreieck des Pascal, Xu Guangqi (1562-1633 n.Chr.), und viele andere entdeckt hat.

Islamische Geometrie

Islamisches Kalifat, das über den Nahen Osten, das Nördliche Afrika, Spanien, Portugal, Persien und Teile Persiens gegründet ist, hat ungefähr 640 CE begonnen. Die islamische Mathematik während dieser Periode war in erster Linie algebraisch aber nicht geometrisch, obwohl es wichtige Arbeiten an der Geometrie gab. Die Gelehrsamkeit in Europa hat sich geneigt, und schließlich wurden die hellenistischen Arbeiten der Altertümlichkeit gegen sie verloren, und haben nur in den islamischen Zentren des Lernens überlebt.

Obwohl die Mathematiker Moslem wegen ihrer Arbeit an der Algebra, der Zahlentheorie und den Zahl-Systemen am berühmtesten sind, haben sie auch beträchtliche Beiträge zur Geometrie, Trigonometrie und mathematischen Astronomie geleistet, und waren für die Entwicklung der algebraischen Geometrie verantwortlich. Geometrische Umfänge wurden als "algebraische Gegenstände" von den meisten Mathematikern Moslem jedoch behandelt.

Die Nachfolger von Muammad ibn Mūsā al -  wārizmī, wer persischer Gelehrter, Mathematiker und Astronom war, der den Algorithmus in der Mathematik erfunden hat, die die Basis für die Informatik ist (geboren 780) haben eine systematische Anwendung der Arithmetik zu Algebra, Algebra zur Arithmetik, beiden zur Trigonometrie, Algebra zur Euklidischen Theorie von Zahlen, Algebra zur Geometrie und Geometrie zur Algebra übernommen. Das war, wie die Entwicklung der polynomischen Algebra, kombinatorische Analyse, numerische Analyse, die numerische Lösung von Gleichungen, die neue elementare Theorie von Zahlen und der geometrische Aufbau von Gleichungen entstanden sind.

Al-Mahani (geboren 820) hat sich die Idee vorgestellt, geometrische Probleme wie das Kopieren des Würfels zu Problemen in der Algebra zu reduzieren. Al-Karaji (geboren 953) völlig befreite Algebra von geometrischen Operationen und ersetzt sie durch den arithmetischen Typ von Operationen, die am Kern der Algebra heute sind.

Familie von Thabit und anderer früher geometers

Thabit ibn Qurra (bekannt als Thebit in Latein) (geboren 836) hat zu mehreren Gebieten in der Mathematik beigetragen, wo er eine wichtige Rolle in der Vorbereitung des Weges für solche wichtigen mathematischen Entdeckungen als die Erweiterung des Konzepts der Zahl zu (positiven) reellen Zahlen, Integralrechnung, Lehrsätzen in der kugelförmigen Trigonometrie, analytischen Geometrie und nicht-euklidischen Geometrie gespielt hat. In der Astronomie war Thabit einer der ersten Reformer des Ptolemäischen Systems, und in der Mechanik war er ein Gründer der Statik. Ein wichtiger geometrischer Aspekt der Arbeit von Thabit war sein Buch auf der Zusammensetzung von Verhältnissen. In diesem Buch befasst sich Thabit mit arithmetischen auf Verhältnisse von geometrischen Mengen angewandten Operationen. Die Griechen hatten sich mit geometrischen Mengen befasst, aber hatten an sie ebenso als Zahlen nicht gedacht, auf die die üblichen Regeln der Arithmetik angewandt werden konnten. Indem er arithmetische Operationen auf Mengen vorher betrachtet als geometrisch und nichtnumerisch eingeführt hat, hat Thabit eine Tendenz angefangen, die schließlich zur Verallgemeinerung des Zahl-Konzepts geführt hat.

In etwas Hinsicht ist Thabit gegenüber den Ideen von Plato und Aristoteles besonders bezüglich der Bewegung kritisch. Es würde scheinen, dass hier seine Ideen auf einer Annahme basieren, Argumente bezüglich der Bewegung in seinen geometrischen Argumenten zu verwenden. Ein anderer wichtiger Beitrag, den Thabit zur Geometrie geleistet hat, war seine Generalisation des Pythagoreischen Lehrsatzes, den er von speziellen rechtwinkligen Dreiecken bis alle Dreiecke im Allgemeinen zusammen mit einem allgemeinen Beweis erweitert hat.

Ibrahim ibn Sinan ibn Thabit (geboren 908), wer eine Methode der Integration eingeführt hat, die allgemeiner ist als dieser von Archimedes und al-Quhi (geboren 940) war Leitfiguren in einem Wiederaufleben und Verlängerung der griechischen höheren Geometrie in der islamischen Welt. Diese Mathematiker, und in besonderem Ibn al-Haytham, haben Optik und untersucht die optischen Eigenschaften von von konischen Abteilungen gemachten Spiegeln studiert.

Astronomie, Arbeitszeiterfassung und Erdkunde haben andere Motivationen für die geometrische und trigonometrische Forschung zur Verfügung gestellt. Zum Beispiel Ibrahim ibn Sinan und sein Großvater Thabit ibn Qurra beide studierten Kurven im Aufbau von Sonnenuhren erforderlich. Abu'l-Wafa und Abu Nasr Mansur beider haben sphärische Geometrie auf die Astronomie angewandt.

Geometrische Architektur

Neue Entdeckungen haben gezeigt, dass geometrische Quasikristallmuster zuerst in den girih Ziegeln verwendet wurden, die in der mittelalterlichen islamischen Architektur gefunden sind, die vor mehr als fünf Jahrhunderten zurückgeht. 2007 haben Professor Peter Lu von Universität von Harvard und Professor Paul Steinhardt von Universität von Princeton eine Zeitung in der Zeitschrift Wissenschaft veröffentlicht, die darauf hinweist, dass girih tilings Eigenschaften besessen hat, die mit selbstähnlichem fractal quasikristallenem tilings wie der Penrose tilings im Einklang stehend sind, sie um fünf Jahrhunderte zurückdatierend.

Moderne Geometrie

Das 17. Jahrhundert

Als Europa begonnen hat, von seinem Finsteren Mittelalter zu erscheinen, wurden die hellenistischen und islamischen Texte auf der in islamischen Bibliotheken gefundenen Geometrie aus dem Arabisch in Latein übersetzt. Die strengen deduktiven Methoden der in den Elementen von Euklid der Geometrie gefundenen Geometrie wurden wiedererfahren, und die weitere Entwicklung der Geometrie in den Stilen sowohl von Euklid (Euklidische Geometrie) als auch von Khayyam (algebraische Geometrie) hat weitergegangen, auf einen Überfluss an neuen Lehrsätzen und Konzepten, vielen von ihnen sehr tief und elegant hinauslaufend.

Am Anfang des 17. Jahrhunderts gab es zwei wichtige Entwicklungen in der Geometrie. Das erste und wichtigste waren die Entwicklung der analytischen Geometrie oder Geometrie mit Koordinaten und Gleichungen, durch René Descartes (1596-1650) und Pierre de Fermat (1601-1665). Das war ein notwendiger Vorgänger zur Entwicklung der Rechnung und einer genauen quantitativen Wissenschaft der Physik. Die zweite geometrische Entwicklung dieser Periode war die systematische Studie der projektiven Geometrie durch Girard Desargues (1591-1661). Projektive Geometrie ist die Studie der Geometrie ohne Maß, gerade die Studie dessen, wie sich Punkte auf einander ausrichten. Es hatte etwas frühe Arbeit in diesem Gebiet durch hellenistischen geometers, namentlich Pappus gegeben (c. 340). Die größte Blüte des Feldes ist mit Jean-Victor Poncelet (1788-1867) vorgekommen.

Gegen Ende des 17. Jahrhunderts wurde Rechnung unabhängig und fast gleichzeitig von Isaac Newton (1642-1727) und Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) entwickelt. Das war der Anfang eines neuen Feldes der Mathematik jetzt genannt Analyse. Obwohl nicht selbst ein Zweig der Geometrie, es auf die Geometrie anwendbar ist, und es zwei Familien von Problemen gelöst hat, die lange fast unnachgiebig gewesen waren: Entdeckung von Tangente-Linien zu sonderbaren Kurven und Entdeckung von Gebieten durch jene Kurven eingeschlossen. Die Methoden der Rechnung haben diese Probleme größtenteils auf aufrichtige Sachen der Berechnung reduziert.

Die 18. und 19. Jahrhunderte

Nicht-euklidische Geometrie

Das alte Problem, das Fünfte Postulat von Euklid, das "Parallele Postulat" aus seinen ersten vier Postulaten zu beweisen, war nie vergessen worden. Als man nicht lange nach Euklid begonnen hat, wurden viele versuchte Demonstrationen gegeben, aber, wie man später fand, waren alle, durch das Erlauben ins Denken eines Grundsatzes fehlerhaft, der selbst aus den ersten vier Postulaten nicht bewiesen worden war. Obwohl Omar Khayyám auch im Beweis des parallelen Postulates erfolglos war, haben seine Kritiken der Theorien von Euklid von Parallelen und seines Beweises von Eigenschaften von Zahlen in der nicht-euklidischen Geometrie zur schließlichen Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie beigetragen. Vor 1700 war sehr viel darüber entdeckt worden, was von den ersten vier bewiesen werden kann, und was die Fallen im Versuchen waren, das fünfte zu beweisen. Saccheri, Lambert und Legendre jeder hat ausgezeichnete Arbeit am Problem im 18. Jahrhundert getan, aber ist noch hinter dem Erfolg zurückgeblieben. Am Anfang des 19. Jahrhunderts hat Gauss, Johann Bolyai, und Lobatchewsky, jeder unabhängig, eine verschiedene Annäherung genommen. Beginnend zu vermuten, dass es unmöglich war, das Parallele Postulat zu beweisen, beginnen sie, eine konsequente Geometrie zu entwickeln, in der dieses Postulat falsch war. Darin waren sie erfolgreich, so die erste nicht-euklidische Geometrie schaffend. Vor 1854 hatte Bernhard Riemann, ein Student von Gauss, Methoden der Rechnung in einer bahnbrechenden Studie der inneren (geschlossenen) Geometrie aller glatten Oberflächen angewandt, und dadurch eine verschiedene nicht-euklidische Geometrie gefunden. Diese Arbeit von Riemann ist später grundsätzlich für die Relativitätstheorie von Einstein geworden.

Es hat gemusst, mathematisch bewiesen zu werden, dass die nicht-euklidische Geometrie genauso konsequent war wie Euklidische Geometrie, und das zuerst von Beltrami 1868 vollbracht wurde. Damit wurde nicht-euklidische Geometrie auf einem gleichen mathematischen Stand mit der Euklidischen Geometrie gegründet.

Während es jetzt bekannt war, dass verschiedene geometrische Theorien mathematisch möglich waren, blieb die Frage, "Welche dieser Theorien ist für unseren physischen Raum richtig?" Die mathematische Arbeit hat offenbart, dass auf diese Frage durch das physische Experimentieren, nicht mathematische Denken geantwortet werden muss, und den Grund aufgedeckt hat, warum das Experimentieren riesig (interstellar, nicht fantasielos) Entfernungen verbunden sein muss. Mit der Entwicklung der Relativitätstheorie in der Physik ist diese Frage gewaltig mehr kompliziert geworden.

Einführung der mathematischen Strenge

Die ganze mit dem Parallelen Postulat verbundene Arbeit hat offenbart, dass es für einen geometer ziemlich schwierig war, sein logisches Denken aus seinem intuitiven Verstehen des physischen Raums zu trennen, und außerdem die kritische Wichtigkeit vom Tun so offenbart hat. Sorgfältige Überprüfung hatte etwas logische Unangemessenheit im Denken von Euklid und einige unfestgesetzte geometrische Grundsätze aufgedeckt, an die Euklid manchmal appelliert hat. Diese Kritik hat der Krise angepasst, die in der Rechnung und Analyse bezüglich der Bedeutung von unendlichen Prozessen wie Konvergenz und Kontinuität vorkommt. In der Geometrie gab es ein klares Bedürfnis nach einem neuen Satz von Axiomen, die abgeschlossen sein würden, und die sich keineswegs auf Bilder verlassen haben, die wir ziehen oder auf unsere Intuition des Raums. Solche Axiome wurden von David Hilbert 1894 in seiner Doktorarbeit Grundlagen der Geometrie (Fundamente der Geometrie) gegeben. Einige andere ganze Sätze von Axiomen waren ein paar Jahre früher gegeben worden, aber haben Hilbert in der Wirtschaft, Anmut und Ähnlichkeit zu den Axiomen von Euklid nicht verglichen.

Analyse-Lage oder Topologie

Mitte des 18. Jahrhunderts ist es offenbar geworden, dass bestimmte Fortschritte des mathematischen Denkens wiedergekehrt sind, als ähnliche Ideen auf dem Zahlenstrahl, in zwei Dimensionen, und in drei Dimensionen studiert wurden. So wurde das Gesamtkonzept eines metrischen Raums geschaffen, so dass das Denken in mehr Allgemeinheit getan, und dann auf spezielle Fälle angewandt werden konnte. Diese Methode, Rechnung - und Analyse-zusammenhängende Konzepte zu studieren, ist gekommen, um als Analyse-Lage, und später als Topologie bekannt zu sein. Die wichtigen Themen in diesem Feld waren Eigenschaften von allgemeineren Zahlen, wie Zusammenhang und Grenzen, aber nicht Eigenschaften wie Geradheit und genaue Gleichheit der Länge und Winkelmaße, die der Fokus der Euklidischen und nicht-euklidischen Geometrie gewesen waren. Topologie ist bald ein getrenntes Feld der Hauptwichtigkeit, aber nicht ein Teilfeld der Geometrie oder Analyse geworden.

Das 20. Jahrhundert

Entwicklungen in der algebraischen Geometrie haben die Studie von Kurven und Oberflächen über begrenzte Felder, wie demonstriert, durch die Arbeiten unter anderen André Weil, Alexander Grothendieck und Jean-Pierre Serre sowie über die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen eingeschlossen. Begrenzte Geometrie selbst, die Studie von Räumen mit nur begrenzt vielen Punkten, hat Anwendungen im Codieren der Theorie und Geheimschrift gefunden. Mit dem Advent des Computers befassen sich neue Disziplinen wie rechenbetonte Geometrie oder Digitalgeometrie mit geometrischen Algorithmen, getrennten Darstellungen von geometrischen Daten und so weiter.

Zeitachse

Siehe auch

• Flatland, Buch, das durch "A" ungefähr zwei und dreidimensionaler Raum geschrieben ist, um das Konzept von vier Dimensionen zu verstehen
• Geschichte der Mathematik
• Wichtige Veröffentlichungen in der Geometrie.
• Interaktive Geometrie-Software
• Liste von Geometrie-Themen

Referenzen

• Needham, Joseph (1986), Wissenschaft und Zivilisation in China: Band 3, Mathematik und die Wissenschaften des Himmels und der Erde, Taipei: Caves Books Ltd

Links

• Islamische Geometrie
• Geometrie im 19. Jahrhundert an der Enzyklopädie von Stanford der Philosophie
• Arabische Mathematik: vergessene Helligkeit?