Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (; - am 6. Januar 1918) war ein deutscher Mathematiker, am besten bekannt als der Erfinder der Mengenlehre, die eine grundsätzliche Theorie in der Mathematik geworden ist. Cantor hat die Wichtigkeit von der isomorphen Ähnlichkeit zwischen den Mitgliedern von zwei Sätzen eingesetzt, hat unendliche und gut bestellte Sätze definiert und hat bewiesen, dass die reellen Zahlen "zahlreicher" sind als die natürlichen Zahlen. Tatsächlich bezieht die Methode von Cantor des Beweises dieses Lehrsatzes die Existenz einer "Unendlichkeit der Unendlichkeit" ein. Er hat den Kardinal und die Ordinalzahlen und ihre Arithmetik definiert. Die Arbeit von Cantor ist von großem philosophischem Interesse, dessen Tatsache er sich wohlbewusst gewesen ist.

Die Theorie des Kantoren von transfiniten Zahlen wurde als so gegenintuitiv ursprünglich betrachtet — sogar erschütternd — dass sie auf Widerstand von mathematischen Zeitgenossen wie Leopold Kronecker und Henri Poincaré und später von Hermann Weyl und L. E. J. Brouwer gestoßen ist, während Ludwig Wittgenstein philosophische Einwände erhoben hat. Einige christliche Theologen (besonders Neo-Scholastiker) haben die Arbeit des Kantoren als eine Herausforderung an die Einzigartigkeit der absoluten Unendlichkeit in der Natur des Gottes - bei einer Gelegenheit gesehen, die die Theorie von transfiniten Zahlen mit dem Pantheismus - ein Vorschlag ausgleicht, den Kantor kräftig widerlegt hat. Die Einwände gegen seine Arbeit waren gelegentlich wild: Poincaré hat die Ideen des Kantoren als eine "ernste Krankheit" das Anstecken der Disziplin der Mathematik, und der öffentlichen Opposition von Kronecker und persönlichen eingeschlossenen Angriffe gekennzeichnet, Kantoren als ein "wissenschaftlicher Quacksalber", ein "Abtrünniger" und "mehr korrupt der Jugend beschreibend." Kronecker hat sogar gegen die Beweise des Kantoren protestiert, dass die algebraischen Zahlen zählbar sind, und dass die transzendenten Zahlen, in einen Standardmathematik-Lehrplan jetzt eingeschlossene Ergebnisse unzählbar sind. Wenige Jahrzehnte nach dem Tod des Kantoren schreibend, hat Wittgenstein gejammert diese Mathematik wird durch und durch mit den schädlichen Idiomen der Mengenlehre," "geritten, den er als "völliger Quatsch" abgewiesen hat, der "lachhaft" und "falsch" "ist". Die wiederkehrenden Anfälle des Kantoren von der Depression von 1884 bis zum Ende seines Lebens sind für die feindliche Einstellung von vielen seiner Zeitgenossen verantwortlich gemacht worden, obwohl einige diese Episoden als wahrscheinliche Manifestationen einer bipolar Unordnung erklärt haben.

Die harte Kritik ist durch spätere Ritterschläge verglichen worden. 1904 hat die Königliche Gesellschaft Kantoren sein Sylvester Medal, die höchste Ehre zuerkannt, die sie für die Arbeit in der Mathematik zuteilen kann. Es ist darauf hingewiesen worden, dass Kantor geglaubt hat, dass seine Theorie von transfiniten Zahlen ihm vom Gott mitgeteilt worden war.

David Hilbert hat es gegen seine Kritiker verteidigt, indem er berühmt erklärt hat: "Keiner soll uns vom Paradies vertreiben, das Kantor geschaffen hat."

Leben

Jugend und Studien

Kantor ist 1845 in der Westhandelskolonie in St. Petersburg, Russland geboren gewesen, und hat in der Stadt heraufgebracht, bis er elf Jahre alt war. Georg, das älteste von sechs Kindern, wurde als ein hervorragender Geiger betrachtet, die beträchtlichen musikalischen und künstlerischen Talente seiner Eltern geerbt. Sein Großvater Franz Böhm (1788-1846) (der Bruder des Geigers Joseph Böhm) war der wohl bekannte Musiker und der Solist im russischen Reich in einem Reichsorchester. Der Vater des Kantoren war ein Mitglied der Sankt-Petersburger Börse gewesen; als er krank, die Familie geworden ist, die nach Deutschland 1856 zuerst zu Wiesbaden dann nach Frankfurt bewegt ist, Winter suchend, die milder sind als diejenigen St. Petersburgs. 1860 hat Kantor mit der Unterscheidung von Realschule in Darmstadt graduiert; seine außergewöhnlichen Sachkenntnisse in der Mathematik, Trigonometrie insbesondere wurden bemerkt. 1862 ist Kantor ins Bundespolytechnikum in Zürich, heute das ETH Zürich eingegangen. Nach dem Empfang eines wesentlichen Erbes auf den Tod seines Vaters 1863 hat Kantor seine Studien zur Universität Berlins ausgewechselt, Vorträgen durch Leopold Kronecker, Karl Weierstrass und Ernst Kummer beiwohnend. Er hat den Sommer 1866 an der Universität von Göttingen, dann und später einem sehr wichtigen Zentrum für die mathematische Forschung ausgegeben. 1867 hat Berlin ihm den Dr. für eine These auf der Zahlentheorie, De aequationibus secundi gradus indeterminatis gewährt.

Lehrer und Forscher

1867 hat Kantor seine Doktorarbeit auf der Zahlentheorie an der Universität Berlins vollendet. Nach dem Unterrichten kurz in einer Berliner Mädchen-Schule hat Kantor eine Position an der Universität Halles aufgenommen, wo er seine komplette Karriere ausgegeben hat. Er wurde dem Erfordernis habilitation für seine These auch auf der Zahlentheorie zuerkannt, die er 1869 auf seine Ernennung an Halle präsentiert hat.

1874 hat Kantor Vally Guttmann geheiratet. Sie hatten sechs Kinder, das letzte 1886 geborener (Rudolph). Kantor ist im Stande gewesen, eine Familie trotz der bescheidenen akademischen Bezahlung dank seines Erbes von seinem Vater zu unterstützen. Während seiner Flitterwochen in den Bergen von Harz hat Kantor viel Zeit in mathematischen Diskussionen mit Richard Dedekind verbracht, den er zwei Jahre früher während im schweizerischen Urlaub getroffen hatte.

Kantor wurde dem Außergewöhnlichen Professor 1872 gefördert und der volle Professor 1879 gemacht. Die letzte Reihe zu erreichen, war im Alter von 34 Jahren eine bemerkenswerte Ausführung, aber Kantor hat einen Stuhl an einer renommierteren Universität, insbesondere an Berlin, damals die deutsche Hauptuniversität gewünscht. Jedoch ist seine Arbeit auf zu viel Opposition dafür gestoßen, um möglich zu sein. Kronecker, der Mathematik an Berlin bis zu seinem Tod 1891 angeführt hat, ist immer unbehaglicher mit der Aussicht geworden, Kantoren als ein Kollege zu haben, ihn als "mehr korrupt der Jugend" wahrnehmend, um seine Ideen zu einer jüngeren Generation von Mathematikern zu unterrichten. Schlechter noch hat Kronecker, eine feste Zahl innerhalb der mathematischen Gemeinschaft und der ehemalige Professor des Kantoren, im Wesentlichen mit dem Stoß der Arbeit des Kantoren nicht übereingestimmt. Kronecker, jetzt gesehen als einer der Gründer des konstruktiven Gesichtspunkts in der Mathematik, hat viel Mengenlehre des Kantoren nicht gemocht, weil es die Existenz von Sätzen behauptet hat, die bestimmte Eigenschaften befriedigen, ohne spezifische Beispiele von Sätzen anzuführen, deren Mitglieder wirklich tatsächlich jene Eigenschaften befriedigt haben. Kantor ist gekommen, um zu glauben, dass die Positur von Kronecker es unmöglich für den Kantoren jemals machen würde, Halle zu verlassen.

1881 ist der Kollege von Halle des Kantoren Eduard Heine gestorben, einen freien Stuhl schaffend. Halle hat den Vorschlag des Kantoren akzeptiert, dass es, Dedekind, Heinrich M. Weber und Franz Mertens in dieser Ordnung angeboten werden, aber jeder hat den Stuhl geneigt, es angeboten. Friedrich Wangerin wurde schließlich ernannt, aber er ist nie Kantoren nah gewesen.

1882 ist die mathematische Ähnlichkeit zwischen Cantor und Dedekind, anscheinend infolge des Neigens von Dedekind der Stuhl an Halle abgelaufen. Kantor hat auch eine andere wichtige Ähnlichkeit mit Gösta Mittag-Leffler in Schweden begonnen, und hat bald begonnen, in der Zeitschrift von Mittag-Leffler Acta Mathematica zu veröffentlichen. Aber 1885 ist Mittag-Leffler um die philosophische Natur besorgt gewesen, und die neue Fachsprache in einem Papierkantoren hatte Acta gehorcht. Er hat Kantoren gebeten, das Papier von Acta zurückzuziehen, während es im Beweis war, schreibend, dass es "... ungefähr hundert Jahre zu bald waren." Kantor hat sich angepasst, aber hat dann seine Beziehung und Ähnlichkeit mit Mittag-Leffler verkürzt, einem Dritten schreibend:

Kantor hat seinen ersten bekannten Anfall von der Depression 1884 ertragen. Die Kritik seiner Arbeit hat auf seiner Meinung gewogen: Jeder der zweiundfünfzig Briefe, die er Mittag-Leffler 1884 geschrieben hat, hat Kronecker erwähnt. Ein Durchgang aus einem dieser Briefe ist vom Schaden am Selbstbewusstsein des Kantoren enthüllend:

Diese Krise hat ihn dazu gebracht, sich für den Vortrag auf der Philosophie aber nicht Mathematik zu wenden. Er hat auch eine intensive Studie des elisabethanischen Literaturdenkens begonnen, dass es Beweise geben könnte, dass Francis Bacon die Shakespeare zugeschriebenen Spiele geschrieben hat (sieh Shakespearische Autorschaft-Frage); das ist schließlich auf zwei Druckschriften, veröffentlicht 1896 und 1897 hinausgelaufen.

Kantor ist bald danach gegenesen, und hat nachher weitere wichtige Beiträge, einschließlich seines berühmten diagonalen Arguments und Lehrsatzes geleistet. Jedoch hat er nie wieder das hohe Niveau seiner bemerkenswerten Papiere 1874-1884 erreicht. Er hat schließlich gesucht, und, hat eine Versöhnung mit Kronecker erreicht. Dennoch haben die philosophischen Unstimmigkeiten und Schwierigkeiten, die sie teilen, angedauert.

1890 war Kantor in der Gründung des Deutsche Mathematiker-Vereinigung instrumental und hat bei seiner ersten Sitzung in Halle 1891 den Vorsitz geführt, wo er zuerst sein diagonales Argument eingeführt hat; sein Ruf war trotz der Opposition von Kronecker gegen seine Arbeit stark genug, um sicherzustellen, dass er als der erste Präsident dieser Gesellschaft gewählt wurde. Die Feindseligkeit beiseite legend, die Kronecker zu ihm gezeigt hatte, hat Kantor ihn eingeladen, die Sitzung zu richten, aber Kronecker war unfähig, so zu tun, weil seine Frau von Verletzungen gestorben ist, die bei einem Skilaufen-Unfall zurzeit gestützt sind.

Späte Jahre

Nach dem 1884-Krankenhausaufenthalt des Kantoren gibt es keine Aufzeichnung, dass er in jedem Sanatorium wieder bis 1899 war. Bald nach diesem zweiten Krankenhausaufenthalt ist der jüngste Sohn des Kantoren Rudolph plötzlich gestorben (während Kantor einen Vortrag auf seinen Ansichten auf der Bacontheorie und William Shakespeare lieferte), und diese Tragödie Kantoren von viel von seiner Leidenschaft für die Mathematik dräniert hat. Kantor wurde wieder 1903 hospitalisiert. Ein Jahr später wurde er empört und von einem Vortrag begeistert, der von Julius König auf dem Dritten Internationalen Kongress von Mathematikern gehalten ist. Das Papier hat versucht zu beweisen, dass die grundlegenden Doktrinen der transfiniten Mengenlehre falsch waren. (Konig wird jetzt als nur darauf hingewiesen nicht vergessen, dass einige Sätze in der Unstimmigkeit mit dem Kantoren nicht gut bestellt werden können.) Seitdem das Papier vor seinen Töchtern und Kollegen gelesen worden war, hat Kantor sich wahrgenommen als öffentlich erniedrigt worden sein. Obwohl Ernst Zermelo weniger als einen Tag später demonstriert hat, dass der Beweis von König gescheitert hatte, ist Kantor geschüttelt geblieben, sogar einen Augenblick lang Gott befragend. Kantor hat unter chronischer Depression für den Rest seines Lebens gelitten, für das er davon entschuldigt, mehrfach zu unterrichten, und wiederholt in verschiedenen Sanatorien beschränkt wurde. Die Ereignisse von 1904 sind einer Reihe von Krankenhausaufenthalten an Zwischenräumen von zwei oder drei Jahren vorangegangen. Er hat Mathematik nicht aufgegeben, völlig jedoch über die Paradoxe der Mengenlehre (Burali-Forti Paradox, das Paradox des Kantoren und das Paradox von Russell) zu einer Sitzung des Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1903 und dem Beachten dem Internationalen Kongress von Mathematikern an Heidelberg 1904 lesend.

1911 war Kantor einer der ausgezeichneten ausländischen Gelehrten, die eingeladen sind, dem 500. Jahrestag der Gründung der Universität St. Andrews in Schottland beizuwohnen. Kantor hat sich gekümmert, hoffend, Bertrand Russell zu treffen, dessen kürzlich veröffentlichter Principia Mathematica wiederholt die Arbeit des Kantoren zitiert hat, aber das ist nicht geschehen. Im nächsten Jahr hat St. Andrews Kantoren ein Ehrendoktorat zuerkannt, aber Krankheit hat seinen Empfang des Grads persönlich ausgeschlossen.

Kantor hat sich 1913 zurückgezogen, in Armut lebend und unter malnourishment während des Ersten Weltkriegs leidend. Das öffentliche Feiern seines 70. Geburtstages wurde wegen des Krieges annulliert. Er ist am 6. Januar 1918 im Sanatorium gestorben, wo er das letzte Jahr seines Lebens ausgegeben hatte.

Mathematische Arbeit

Die Arbeit des Kantoren zwischen 1874 und 1884 ist der Ursprung der Mengenlehre. Vor dieser Arbeit war das Konzept eines Satzes ein ziemlich elementares, das implizit seit den Anfängen der Mathematik verwendet worden war, auf die Ideen von Aristoteles zurückgehend. Keiner hatte begriffen, dass Mengenlehre jeden nichttrivialen Inhalt hatte. Vor dem Kantoren gab es nur begrenzte Sätze (die leicht sind zu verstehen) und "das Unendliche" (der als ein Thema für die philosophische aber nicht mathematische, Diskussion betrachtet wurde). Indem er bewiesen hat, dass es (ungeheuer) viele mögliche Größen für unendliche Sätze gibt, hat Kantor diese Mengenlehre eingesetzt war nicht trivial, und sie musste studiert werden. Mengenlehre ist gekommen, um die Rolle einer foundational Theorie in der modernen Mathematik im Sinn zu spielen, dass es Vorschläge über mathematische Gegenstände (zum Beispiel, Zahlen und Funktionen) von allen traditionellen Gebieten der Mathematik (wie Algebra, Analyse und Topologie) in einer einzelnen Theorie interpretiert, und einen Standardsatz von Axiomen zur Verfügung stellt, um sie zu beweisen oder zu widerlegen. Die grundlegenden Konzepte der Mengenlehre werden jetzt überall in der Mathematik verwendet.

In einer seiner frühsten Zeitungen hat Kantor bewiesen, dass der Satz von reellen Zahlen "zahlreicher" ist als der Satz von natürlichen Zahlen; das hat zum ersten Mal gezeigt, dass dort unendliche Sätze von verschiedenen Größen bestehen. Er war auch erst, um die Wichtigkeit von isomorphen Ähnlichkeiten (im folgenden angezeigt "1 zu 1 Ähnlichkeit") in der Mengenlehre zu schätzen. Er hat dieses Konzept verwendet, um begrenzte und unendliche Sätze zu definieren, die Letzteren in denumerable (oder zählbar unendlich) Sätze und unzählbare Sätze (nondenumerable unendliche Sätze) unterteilend.

Kantor hat wichtige Konzepte in der Topologie und ihrer Beziehung zu cardinality entwickelt. Zum Beispiel hat er gezeigt, dass der Kantor-Satz nirgends dicht ist, aber denselben cardinality wie der Satz aller reellen Zahlen hat, wohingegen die rationals überall dicht, aber zählbar sind.

Kantor hat grundsätzliche Aufbauten in der Mengenlehre, wie der Macht-Satz eines Satzes A eingeführt, der der Satz aller möglichen Teilmengen von A ist. Er hat später bewiesen, dass die Größe des Macht-Satzes von A ausschließlich größer ist als die Größe von A, selbst wenn A ein unendlicher Satz ist; dieses Ergebnis ist bald bekannt als der Lehrsatz des Kantoren geworden. Kantor hat eine komplette Theorie und Arithmetik von unendlichen Sätzen, genannt Kardinäle und Ordnungszahlen entwickelt, die die Arithmetik der natürlichen Zahlen erweitert haben. Seine Notation für die Grundzahlen war der hebräische Brief (aleph) mit einer Subschrift der natürlichen Zahl; für die Ordnungszahlen hat er den griechischen Brief ω (Omega) verwendet. Diese Notation ist noch im Gebrauch heute.

Die Kontinuum-Hypothese, die vom Kantoren eingeführt ist, wurde von David Hilbert als das erste von seinen dreiundzwanzig offenen Problemen in seiner berühmten Adresse in 1900 Internationaler Kongress von Mathematikern in Paris präsentiert. Die Arbeit des Kantoren hat auch günstige Benachrichtigung außer der berühmten Lobrede von Hilbert angezogen. Der amerikanische Philosoph Charles Sanders Peirce hat die Mengenlehre des Kantoren, und im Anschluss an öffentliche Vorträge gelobt, die vom Kantoren auf dem ersten Internationalen Kongress von Mathematikern geliefert sind, die in Zürich 1897, Hurwitz und Hadamard gehalten sind, auch beide haben ihre Bewunderung ausgedrückt. Auf diesem Kongress hat Kantor seine Freundschaft und Ähnlichkeit mit Dedekind erneuert. Von 1905 hat Kantor seinem britischen Bewunderer und Übersetzer Philip Jourdain auf der Geschichte der Mengenlehre und auf den religiösen Ideen des Kantoren entsprochen. Das wurde später veröffentlicht, wie mehrere seiner erklärenden Arbeiten waren.

Zahlentheorie und Funktionstheorie

Die ersten zehn Papiere des Kantoren waren auf der Zahlentheorie, seinem Thesenthema. Am Vorschlag von Eduard Heine, dem Professor an Halle, hat sich Kantor Analyse zugewandt. Heine hat vorgeschlagen, dass Kantor ein offenes Problem behebt, das sich Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann und Heine selbst entzogen hatte: die Einzigartigkeit der Darstellung einer Funktion durch die trigonometrische Reihe. Kantor hat dieses schwierige Problem 1869 behoben. Es war, während es an diesem Problem gearbeitet hat, dass er transfinite Ordnungszahlen entdeckt hat, die als Indizes n im n-ten abgeleiteten Satz p (n) eines Satzes S Nullen einer trigonometrischen Reihe vorgekommen sind. In Anbetracht einer trigonometrischen Reihe f (x) mit S als sein Satz von Nullen hatte Kantor ein Verfahren entdeckt, das eine andere trigonometrische Reihe erzeugt hat, die S als sein Satz von Nullen hatte, wo S der Satz von Grenze-Punkten von S ist. Wenn p (1) der Satz von Grenze-Punkten von S ist, dann konnte er eine trigonometrische Reihe bauen, deren Nullen p (1) sind. Ähnlich für p (2), der Satz von Grenze-Punkten von p (1), und so weiter. Indem er die Kreuzung von p (1), p (2), p (3) genommen hat... hat er p (ω) gebildet, und dann hat er bemerkt, dass p (ω) eine Reihe von Grenze-Punkten p (ω + 1) und so weiter hatte. Zwischen 1870 und 1872 hat Kantor mehr Papiere auf der trigonometrischen Reihe und auch eine Zeitung veröffentlicht, die irrationale Zahlen als konvergente Folgen von rationalen Zahlen definiert. Dedekind, dem Kantor 1872 behilflich gewesen ist, hat dieses Papier später in diesem Jahr in der Zeitung zitiert, wo er zuerst seine berühmte Definition von reellen Zahlen durch Kürzungen von Dedekind dargelegt hat. Während er den Begriff der Zahl mittels seines revolutionären Konzepts unendlichen cardinality erweitert hat, war Kantor Theorien von infinitesimals seiner Zeitgenossen Otto Stolz und Paul du Bois-Reymonds paradoxerweise entgegengesetzt, sie sowohl als "ein Abscheu" als auch als "ein Cholera-Bazillus der Mathematik" beschreibend. Kantor hat auch einen falschen "Beweis" der Widersprüchlichkeit von infinitesimals veröffentlicht

Mengenlehre

Der Anfang der Mengenlehre als ein Zweig der Mathematik wird häufig durch die Veröffentlichung des 1874-Artikels des Kantoren, "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Auf einem Eigentum der Sammlung Aller Echten Algebraischen Zahlen") gekennzeichnet. Dieser Artikel war erst, um einen strengen Beweis zur Verfügung zu stellen, dass es mehr als eine Art der Unendlichkeit gab. Vorher, wie man implizit angenommen hatte, waren alle unendlichen Sammlungen equinumerous (d. h. "derselben Größe" gewesen oder dieselbe Zahl der Elemente zu haben). Kantor hat bewiesen, dass die Sammlung von reellen Zahlen und die Sammlung von positiven ganzen Zahlen nicht equinumerous sind. Mit anderen Worten sind die reellen Zahlen nicht zählbar. Sein Beweis ist komplizierter als das elegantere diagonale Argument, dass er 1891 gegeben hat. Der Artikel des Kantoren enthält auch eine neue Methode, transzendente Zahlen zu bauen. Transzendente Zahlen wurden zuerst von Joseph Liouville 1844 gebaut.

Kantor hat diese Ergebnisse mit zwei Aufbauten eingesetzt. Sein erster Aufbau zeigt, wie man die echten algebraischen Zahlen als eine Folge a, a, a, … schreibt. Mit anderen Worten sind die echten algebraischen Zahlen zählbar. Kantor fängt seinen zweiten Aufbau mit jeder Folge von reellen Zahlen an. Mit dieser Folge baut er verschachtelte Zwischenräume, deren Kreuzung eine reelle Zahl nicht in der Folge enthält. Da jede Folge von reellen Zahlen verwendet werden kann, um einen echten nicht in der Folge zu bauen, können die reellen Zahlen nicht als eine Folge geschrieben werden — d. h. die reellen Zahlen sind nicht zählbar. Indem er seinen Aufbau auf die Folge von echten algebraischen Zahlen anwendet, erzeugt Kantor eine transzendente Zahl. Kantor weist darauf hin, dass sich seine Aufbauten mehr — nämlich erweisen, stellen sie einen neuen Beweis des Lehrsatzes von Liouville zur Verfügung: Jeder Zwischenraum enthält ungeheuer viele transzendente Zahlen. Der folgende Artikel des Kantoren enthält einen Aufbau, der beweist, dass der Satz von transzendenten Zahlen dieselbe "Macht" (sieh unten) wie der Satz von reellen Zahlen hat.

Zwischen 1879 und 1884 hat Kantor eine Reihe von sechs Artikeln in Mathematische Annalen veröffentlicht, der zusammen eine Einführung in seine Mengenlehre gebildet hat. Zur gleichen Zeit, dort wuchs Opposition gegen die Ideen des Kantoren, die von Kronecker geführt sind, der mathematische Konzepte nur zugelassen hat, wenn sie in einer begrenzten Zahl von Schritten von den natürlichen Zahlen gebaut werden konnten, die er, wie intuitiv gegeben, genommen hat. Für Kronecker war die Hierarchie des Kantoren der Unendlichkeit seit dem Annehmen unzulässig, dass das Konzept der wirklichen Unendlichkeit die Tür zu Paradoxen öffnen würde, die die Gültigkeit der Mathematik als Ganzes herausfordern würden. Kantor hat auch den Kantor-Satz während dieser Periode eingeführt.

Das fünfte Papier in dieser Reihe, "war Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" ("Fundamente einer Allgemeinen Theorie von Anhäufungen"), veröffentlicht 1883, von den sechs am wichtigsten und wurde auch als eine getrennte Monografie veröffentlicht. Es hat die Antwort des Kantoren seinen Kritikern enthalten und hat gezeigt, wie die transfiniten Zahlen eine systematische Erweiterung der natürlichen Zahlen waren. Es beginnt durch das Definieren von gut bestellten Sätzen. Ordinalzahlen werden dann als die Ordnungstypen von gut bestellten Sätzen eingeführt. Kantor definiert dann die Hinzufügung und Multiplikation des Kardinals und der Ordinalzahlen. 1885 hat Kantor seine Theorie von Ordnungstypen erweitert, so dass die Ordinalzahlen einfach ein spezieller Fall von Ordnungstypen geworden sind.

1891 hat er eine Zeitung veröffentlicht, die sein elegantes "diagonales Argument" für die Existenz eines unzählbaren Satzes enthält. Er hat dieselbe Idee angewandt, den Lehrsatz des Kantoren zu beweisen: Der cardinality des Macht-Satzes eines Satzes A ist ausschließlich größer als der cardinality von A. Das hat den Reichtum der Hierarchie von unendlichen Sätzen, und der grundsätzlichen und Ordnungsarithmetik gegründet, die Kantor definiert hatte. Sein Argument ist in der Lösung des Stockenden Problems und dem Beweis des ersten Unvollständigkeitslehrsatzes von Gödel grundsätzlich. Kantor hat über die Vermutung von Goldbach 1894 geschrieben.

1895 und 1897 hat Kantor eine zweiteilige Zeitung in Mathematische Annalen unter der Chefredaktion von Felix Klein veröffentlicht; das waren seine letzten bedeutenden Papiere auf der Mengenlehre. Das erste Papier beginnt durch das Definieren des Satzes, der Teilmenge usw. auf Weisen, die jetzt größtenteils annehmbar sein würden. Die grundsätzliche und Ordnungsarithmetik wird nachgeprüft. Kantor hat gewollt, dass das zweite Papier einen Beweis der Kontinuum-Hypothese eingeschlossen hat, aber musste sich mit dem Ex-Postulieren seiner Theorie von gut bestellten Sätzen und Ordinalzahlen abfinden. Kantor versucht, dass zu beweisen, wenn A und B Sätze mit Einer Entsprechung zu einer Teilmenge von B und B Entsprechung zu einer Teilmenge von A sind, dann sind A und B gleichwertig. Ernst Schröder hatte diesen Lehrsatz ein bisschen früher festgesetzt, aber sein Beweis, sowie Kantor, wurde rissig gemacht. Felix Bernstein hat einen richtigen Beweis in seiner 1898-Doktorarbeit geliefert; folglich der Name Cantor-Bernstein-Schroeder Lehrsatz.

Isomorphe Ähnlichkeit

Das 1874-Papier von Crelle des Kantoren war erst, um den Begriff 1 zu 1 Ähnlichkeit anzurufen, obwohl er diesen Ausdruck nicht verwendet hat. Er hat dann begonnen, 1 zu 1 Ähnlichkeit zwischen den Punkten des Einheitsquadrats und den Punkten eines Einheitsliniensegmentes zu suchen. In einem 1877-Brief an Dedekind hat Kantor ein viel stärkeres Ergebnis bewiesen: Für jede positive ganze Zahl n, dort besteht 1 zu 1 Ähnlichkeit zwischen den Punkten auf dem Einheitsliniensegment und allen Punkten in einem n-dimensional Raum. Über diesen Entdeckungskantoren hat berühmt Dedekind geschrieben: "Je le vois, mais je ne le crois pas!" ("Sehe ich es, aber ich glaube es nicht!") hat Das Ergebnis, dass er so erstaunlich gefunden hat, Implikationen für die Geometrie und den Begriff der Dimension.

1878 hat Kantor ein anderes Papier der Zeitschrift von Crelle vorgelegt, in der er genau das Konzept 1 zu 1 Ähnlichkeit definiert hat, und den Begriff "der Macht" eingeführt hat (ein Begriff, den er von Jakob Steiner genommen hat), oder "die Gleichwertigkeit" von Sätzen: Zwei Sätze sind gleichwertig (haben Sie dieselbe Macht), wenn dort 1 zu 1 Ähnlichkeit zwischen ihnen besteht. Kantor hat zählbare Sätze (oder Denumerable-Sätze) als Sätze definiert, die in 1 zu 1 Ähnlichkeit mit den natürlichen Zahlen gestellt werden können und bewiesen haben, dass die rationalen Zahlen denumerable sind. Er hat auch bewiesen, dass n-dimensional Euklidischer Raum R dieselbe Macht als die reellen Zahlen R hat, wie ein zählbar unendliches Produkt von Kopien von R tut. Während er freien Gebrauch von countability als ein Konzept gemacht hat, hat er das bis 1883 "zählbare" Wort nicht geschrieben. Kantor hat auch sein Denken an Dimension besprochen, betonend, dass, dass er zwischen dem Einheitszwischenraum und dem Einheitsquadrat kartografisch darstellt, nicht ein dauernder war.

Dieses Papier hat Kronecker missfallen, und Kantor hat es zurückziehen wollen; jedoch hat Dedekind ihn überzeugt, so nicht zu tun, und Weierstrass hat seine Veröffentlichung unterstützt. Dennoch hat Kantor nie wieder irgendetwas Crelle vorgelegt.

Kontinuum-Hypothese

Kantor war erst, um zu formulieren, was später gekommen ist, um als die Kontinuum-Hypothese oder CH bekannt zu sein: Dort besteht kein Satz, dessen Macht größer ist als dieser der naturals und weniger als dieser der reals (oder gleichwertig ist der cardinality des reals genau aleph ein, aber nicht gerade mindestens aleph ein). Kantor hat geglaubt, dass die Kontinuum-Hypothese wahr und viele Jahre lang versucht war, um es vergebens zu beweisen. Seine Unfähigkeit, die Kontinuum-Hypothese zu beweisen, hat ihn beträchtliche Angst verursacht.

Der Schwierigkeitskantor hatte im Beweis, dass die Kontinuum-Hypothese durch spätere Entwicklungen im Feld der Mathematik unterstrichen worden ist: Ein 1940-Ergebnis durch Gödel und 1963 ein durch Paul Cohen deutet zusammen an, dass die Kontinuum-Hypothese weder bewiesen werden kann noch Verwenden-Standard Zermelo-Fraenkel Mengenlehre plus das Axiom der Wahl (die Kombination widerlegt hat, die auf als "ZFC" verwiesen ist).

Paradoxe der Mengenlehre

Diskussionen von mit dem Satz theoretischen Paradoxen haben begonnen, um das Ende des neunzehnten Jahrhunderts zu erscheinen. Einige dieser implizierten grundsätzlichen Probleme mit dem Mengenlehre-Programm des Kantoren. In einer 1897-Zeitung auf einem Thema ohne Beziehung hat Cesare Burali-Forti das erste derartige Paradox, das Paradox von Burali-Forti dargelegt: Die Ordinalzahl des Satzes aller Ordnungszahlen muss eine Ordnungszahl sein, und das führt zu einem Widerspruch. Kantor hat dieses Paradox 1895 entdeckt, und hat es in einem 1896-Brief an Hilbert beschrieben. Kritik ist zum Punkt gestiegen, wo Kantor Gegenargumente 1903, beabsichtigt gestartet hat, um die grundlegenden Doktrinen seiner Mengenlehre zu verteidigen.

1899 hat Kantor sein namensgebendes Paradox entdeckt: Wie ist die Grundzahl des Satzes aller Sätze? Klar muss es der größtmögliche Kardinal sein. Und doch für jeden Satz A ist die Grundzahl des Macht-Satzes von A ausschließlich größer als die Grundzahl (diese Tatsache ist jetzt als der Lehrsatz des Kantoren bekannt). Dieses Paradox, zusammen mit Burali-Forti, hat Kantoren dazu gebracht, ein Konzept genannt Beschränkung der Größe zu formulieren, gemäß der die Sammlung aller Ordnungszahlen, oder aller Sätze, eine "inkonsequente Vielfältigkeit" war, die "zu groß" war, um ein Satz zu sein. Solche Sammlungen sind später bekannt als richtige Klassen geworden.

Eine allgemeine Ansicht unter Mathematikern besteht darin, dass diese Paradoxe, zusammen mit dem Paradox von Russell, demonstrieren, dass es nicht möglich ist, einen "naiven", oder nichtaxiomatisch zu nehmen, nähern Sie sich der Mengenlehre, ohne Widerspruch zu riskieren, und es ist sicher, dass sie unter den Motivationen für Zermelo und andere waren, um axiomatizations der Mengenlehre zu erzeugen. Andere bemerken jedoch, dass die Paradoxe in einer informellen Ansicht nicht vorherrschen, die durch die wiederholende Hierarchie motiviert ist, die als das Erklären der Idee von der Beschränkung der Größe gesehen werden kann. Einige stellen auch infrage, ob die Formulierung von Fregean der naiven Mengenlehre (der das durch das Paradox von Russell direkt widerlegte System war) wirklich eine treue Interpretation der Vorstellung von Cantorian ist.

Philosophie, Religion und die Mathematik des Kantoren

Das Konzept der Existenz einer wirklichen Unendlichkeit war eine wichtige geteilte Sorge innerhalb der Bereiche der Mathematik, Philosophie und Religion. Die Bewahrung der Orthodoxie der Beziehung zwischen Gott und Mathematik, obwohl nicht in derselben Form, wie gehalten, durch seine Kritiker, war eine Sorge des Kantoren lang. Er hat direkt diese Kreuzung zwischen diesen Disziplinen in der Einführung in seinen Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre gerichtet, wo er die Verbindung zwischen seiner Ansicht vom Unendliche und der philosophischen betont hat. Dem Kantoren wurden seine mathematischen Ansichten mit ihren philosophischen und theologischen Implikationen wirklich verbunden — er hat das Absolute Unendliche mit dem Gott identifiziert, und er hat gedacht, dass seine Arbeit an transfiniten Zahlen ihm direkt mitgeteilt worden war, bei Gott, der Kantoren gewählt hatte, um sie der Welt zu offenbaren.

Die Debatte unter Mathematikern ist aus dem Entgegensetzen Ansichten in der Philosophie der Mathematik bezüglich der Natur der wirklichen Unendlichkeit gewachsen. Einige haben an der Ansicht gehalten, dass Unendlichkeit eine Abstraktion war, die nicht mathematisch legitim war, und seine Existenz bestritten hat. Mathematiker von drei Hauptschulen des Gedankens (constructivism und seine zwei Sprösse, intuitionism und finitism) haben den Theorien des Kantoren in dieser Sache entgegengesetzt. Für constructivists wie Kronecker stammt diese Verwerfung der wirklichen Unendlichkeit von der grundsätzlichen Unstimmigkeit mit der Idee, dass nichtkonstruktive Beweise wie das diagonale Argument des Kantoren genügend Beweis sind, dass etwas besteht, stattdessen meinend, dass konstruktive Beweise erforderlich sind. Intuitionism weist auch die Idee zurück, dass wirkliche Unendlichkeit ein Ausdruck jeder Sorte der Wirklichkeit ist, aber erreichen Sie die Entscheidung über einen verschiedenen Weg als constructivism. Erstens ruht das Argument des Kantoren auf Logik, um die Existenz von transfiniten Zahlen als eine wirkliche mathematische Entität zu beweisen, wohingegen intuitionists meinen, dass mathematische Entitäten auf logische Vorschläge nicht reduziert werden können, stattdessen in den Intuitionen der Meinung entstehend. Zweitens wird der Begriff der Unendlichkeit als ein Ausdruck der Wirklichkeit selbst in intuitionism zurückgewiesen, da der Menschenverstand keinen unendlichen Satz intuitiv bauen kann. Mathematiker wie Brouwer und besonders Poincaré haben eine intuitionist Positur gegen die Arbeit des Kantoren angenommen. Die Paradoxe der Mengenlehre als ein Beispiel seiner im Wesentlichen fehlerhaften Natur zitierend, hat Poincaré gemeint, dass "die meisten Ideen von der Mengenlehre von Cantorian aus der Mathematik ein für allemal verbannt werden sollten." Schließlich waren die Angriffe von Wittgenstein finitist: Er hat geglaubt, dass das diagonale Argument des Kantoren die Verstärkung von einer Reihe von Grundzahlen oder reellen Zahlen mit seiner Erweiterung verschmelzt hat, so das Konzept von Regeln verschmelzend, für einen Satz mit einem wirklichen Satz zu erzeugen.

Einige christliche Theologen haben die Arbeit des Kantoren als eine Herausforderung an die Einzigartigkeit der absoluten Unendlichkeit in der Natur des Gottes gesehen. Insbesondere Neo-Thomist haben Denker die Existenz einer wirklichen Unendlichkeit gesehen, die aus etwas anderem bestanden hat als Gott als das Gefährden "Des exklusiven Anspruchs des Gottes auf die höchste Unendlichkeit". Kantor hat stark geglaubt, dass diese Ansicht eine Missdeutung der Unendlichkeit war und überzeugt war, dass Mengenlehre helfen konnte, diesen Fehler zu korrigieren:

Kantor hat auch geglaubt, dass seine Theorie von transfiniten Zahlen sowohl dem Materialismus als auch Determinismus zuwidergelaufen ist — und erschüttert wurde, als er begriffen hat, dass er das einzige Fakultätsmitglied an Halle war, das am deterministischen philosophischen Glauben nicht gehalten hat.

1888 hat Kantor seine Ähnlichkeit mit mehreren Philosophen auf den philosophischen Implikationen seiner Mengenlehre veröffentlicht. In einem umfassenden Versuch, andere christliche Denker und Behörden zu überzeugen, seine Ansichten anzunehmen, hatte Kantor christlichen Philosophen wie Tilman Pesch und Joseph Hontheim, sowie Theologen wie Kardinal Johannes Franzelin entsprochen, der einmal geantwortet hat, indem er die Theorie von transfiniten Zahlen mit dem Pantheismus ausgeglichen hat. Kantor hat sogar einen Brief direkt an Papst Leo XIII selbst gesandt, und hat mehrere Druckschriften an ihn gerichtet.

Die Philosophie des Kantoren auf der Natur von Zahlen hat ihn dazu gebracht, einen Glauben an die Freiheit der Mathematik zu versichern, Konzepte abgesondert vom Bereich von physischen Phänomenen als Ausdrücke innerhalb einer inneren Wirklichkeit zu postulieren und zu beweisen. Die einzigen Beschränkungen dieses metaphysischen Systems bestehen darin, dass alle mathematischen Konzepte am inneren Widerspruch leer sein müssen, und dass sie aus vorhandenen Definitionen, Axiomen und Lehrsätzen folgen. Dieser Glaube wird in seiner berühmten Behauptung zusammengefasst, dass "die Essenz der Mathematik seine Freiheit ist." Diese Ideen passen denjenigen von Edmund Husserl an.

Inzwischen war Kantor selbst infinitesimals wild entgegengesetzt, sie sowohl als ein "Abscheu" als auch als "der Cholera-Bazillus der Mathematik" beschreibend.

Das 1883-Papier des Kantoren offenbart, dass er sich von der Opposition wohlbewusst gewesen ist, auf die seine Ideen stießen:

Folglich widmet er viel Raum der Rechtfertigung seiner früheren Arbeit, behauptend, dass mathematische Konzepte frei eingeführt werden können, so lange sie frei vom Widerspruch und definiert in Bezug auf vorher akzeptierte Konzepte sind. Er zitiert auch Aristoteles, Descartes, Berkeley, Leibniz und Bolzano auf der Unendlichkeit.

Die Herkunft des Kantoren

"Sehr wenig ist sicher über den Ursprung und die Ausbildung von George Woldemar Cantor bekannt." Die Großeltern väterlicherseits von Cantor waren von Kopenhagen, und sind nach Russland vor der Störung der Napoleonischen Kriege geflohen. Es gibt sehr wenig direkte Information über seine Großeltern.

Kantor wurde manchmal jüdisch in seiner Lebenszeit genannt, aber ist auch russisch, deutsch, und dänisch ebenso verschiedenartig genannt worden.

Jakob Cantor, der Großvater von Cantor, hat seine Heilignamen der Kinder Christian gegeben. Weiter hatten mehrere der Verwandten seiner Großmutter Verteilung, die Blasse von der Ansiedlung zu verlassen, und waren im Zaristischen öffentlichen Dienst, der Juden nicht begrüßen würde, wenn sie sich zum Christentum nicht umgewandelt haben. Der Vater von Cantor, Georg Waldemar Cantor, wurde in der lutherischen Mission in St. Petersburg erzogen, und seine Ähnlichkeit mit seinem Sohn zeigt ihnen beiden als frommer Lutherans. Seine Mutter, Maria Anna Böhm, war ein Österreich-Ungarischer, der in St. Petersburg geboren ist, und hat Römisch-katholisch getauft; sie hat sich zum Protestantismus auf die Ehe umgewandelt. Jedoch gibt es einen Brief vom Bruder von Cantor Louis ihrer Mutter, festsetzend:

("Selbst wenn wir von Juden zehnmal hinuntergestiegen wurden, und wenn auch ich im Prinzip völlig zu Gunsten von der Gleichberechtigung für Hebräer im sozialen Leben sein kann, bevorzuge ich Christen..."), der gelesen werden konnte, um anzudeuten, dass sie von der jüdischen Herkunft war.

Es gab dokumentierte Behauptungen während der 1930er Jahre, die diese jüdische Herkunft in Zweifel gezogen haben:

Es wird auch später in demselben Dokument gesagt:

(der Rest des Zitats wird durch das allererste Zitat oben beendet). In Männern der Mathematik hat Eric Temple Bell Cantor beschrieben als, "des reinen jüdischen Abstiegs an beiden Seiten zu sein," obwohl beide Eltern getauft wurden. In einem 1971-Artikel betitelt "Zu einer Lebensbeschreibung von Georg Cantor," der britische Historiker der Mathematik Erwähnungen von Ivor Grattan-Guinness (Annalen der Wissenschaft 27, Seiten 345-391, 1971), dass er unfähig war, Beweise der jüdischen Herkunft zu finden. (Er stellt auch fest, dass die Frau von Cantor, Vally Guttmann, jüdisch war).

Ein Brief, der von Georg Cantor der Lohgerberei von Paul 1896 (Lohgerberei von Paul, Memoires Scientifique 13 Ähnlichkeit, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p geschrieben ist. 306) erwähnt den Glauben von Cantor, dass seine Großeltern väterlicherseits Mitglieder der Sephardic jüdischen Gemeinschaft Kopenhagens waren. Spezifisch setzt Cantor im Beschreiben seines Vaters fest: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, sterben der dortigen portugisischen Judengemeinde..." ("Ist er in Kopenhagen von jüdischen geboren gewesen (angezündet: "Israelit") Eltern von der lokalen portugiesisch-jüdischen Gemeinschaft.") Außerdem, der große Onkel mütterlicherseits von Cantor, ein ungarischer Geiger Josef Böhm,

ist als jüdisch beschrieben worden, der andeuten würde, dass die Mutter des Kantoren mindestens von der ungarischen jüdischen Gemeinschaft teilweise hinuntergestiegen wurde.

In einem Brief an Bertrand Russell hat Kantor seine Herkunft und Selbstwahrnehmung wie folgt beschrieben:

Historiographie

Bis zu den 1970er Jahren waren die akademischen Hauptveröffentlichungen auf dem Kantoren zwei kurze Monografien durch Schönflies (1927) — größtenteils die Ähnlichkeit mit Mittag-Leffler — und Fraenkel (1930). Beide waren an der zweiten und dritten Hand; keiner hatte viel auf seinem persönlichen Leben. Die Lücke wurde von den Männern von Eric Temple Bell der Mathematik (1937) größtenteils geschlossen, den der modernen Biografen des Kantoren als "vielleicht das am weitesten gelesene moderne Buch auf der Geschichte der Mathematik" beschreibt; und als "einer der schlechtesten". Bell bietet der Beziehung des Kantoren seinen Vater als Oedipal, die Unterschiede des Kantoren mit Kronecker als ein Streit zwischen zwei Juden und der Wahnsinn des Kantoren als Romantische Verzweiflung über seinen Misserfolg, Annahme für seine Mathematik zu gewinnen, und füllt das Bild mit Stereotypien. Grattan-Guinness (1971) hat gefunden, dass keiner dieser Ansprüche wahr war, aber sie können in vielen Büchern der vorläufigen Periode infolge der Abwesenheit jedes anderen Berichts gefunden werden. Es gibt andere Legenden, die von Bell — einschließlich desjenigen unabhängig sind, der den Vater des Kantoren ein Findelkind etikettiert, das nach St. Petersburg durch unbekannte Eltern verladen ist. Eine Kritik des Buches von Bell wird in der Lebensbeschreibung von Joseph Dauben enthalten.

Siehe auch

• Kantor-Würfel
• Kantor-Funktion
• Medaille von Cantor — erkennt durch den Deutsche Mathematiker-Vereinigung zu Ehren von Georg Cantor zu.
• Kantor hat gesetzt
• Kantor-Raum
• Kantor hin und her Methode
• Meinungsverschiedenheit über die Theorie des Kantoren
• Heine-Kantor-Lehrsatz
• Paarung der Funktion
• Deutsche Erfinder und Entdecker

Referenzen

:Older-Quellen auf dem Leben des Kantoren sollten mit der Verwarnung behandelt werden. Sieh Historiographie-Abteilung oben.

Primäre Literatur in Englisch:

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Primäre Literatur in Deutsch:

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• . Fast alles, was Kantor geschrieben hat.

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Sekundäre Literatur:

• . Internationale Standardbuchnummer 0-7607-7778-0. Eine populäre Behandlung der Unendlichkeit, in der Kantor oft erwähnt wird.

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• . Die endgültige Lebensbeschreibung bis heute. Internationale Standardbuchnummer 978-0-691-02447-9
• . Internetversion in der Zeitschrift von ACMS 2004 veröffentlicht.

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• . Internationale Standardbuchnummer 3-7643-8349-6 Enthält eine ausführliche Behandlung sowohl der Beiträge des Kantoren als auch Dedekinds zur Mengenlehre.

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• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 978-0-691-05858-0

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• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 0-19-853283-0
• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 3-540-90092-6
• . Internationale Standardbuchnummer 0-8126-9538-0 Drei Kapitel und 18 Index-Einträge auf dem Kantoren.

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• . Internationale Standardbuchnummer, die 0-679-77631-1 Kapitel 16 illustriert, wie Cantorian denkend einen theoretischen zeitgenössischen Hauptphysiker fesselt.
• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 0-8176-1770-1
• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 0-387-04999-1
• . Internationale Standardbuchnummer 0-553-25531-2 Geschäfte mit ähnlichen Themen zu Aczel, aber in mehr Tiefe.

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• . Internationale Standardbuchnummer 0-486-61630-4, Obwohl die Präsentation axiomatisch aber nicht, Suppes naiv ist, beweist und bespricht viele Ergebnisse des Kantoren, der die fortlaufende Wichtigkeit des Kantoren für das eindrucksvolle Gebäude der foundational Mathematik demonstriert.
• . INTERNATIONALE STANDARDBUCHNUMMER 0-393-00338-8

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Links

• Hauptsächlich gewidmet der Ausführung des Kantoren.
• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie: Mengenlehre durch Thomas Jech.
• Grundschule-Georg-Kantor Halle (Saale): Georg-Cantor-Gynmasium Halle