In der Mathematik und den Künsten sind zwei Mengen im goldenen Verhältnis, wenn das Verhältnis der Summe der Mengen zur größeren Menge dem Verhältnis der größeren Menge zur kleineren gleich ist. Die Zahl illustriert rechts die geometrische Beziehung. Ausgedrückt algebraisch:

:

wo der griechische Brief phi das goldene Verhältnis vertritt. Sein Wert ist:

:.

Mindestens seit dem 20. Jahrhundert haben viele Künstler und Architekten ihre Arbeiten angepasst, um dem goldenen Verhältnis — besonders in der Form des goldenen Rechtecks näher zu kommen, in dem das Verhältnis der längeren Seite dazu kürzer das goldene Verhältnis ist — dieses Verhältnis glaubend, ästhetisch angenehm zu sein (sieh Anwendungen und Beobachtungen unten). Ein goldenes Rechteck kann in ein Quadrat und ein kleineres Rechteck mit demselben Aspekt-Verhältnis geschnitten werden. Mathematiker seit Euklid haben das goldene Verhältnis wegen seiner einzigartigen und interessanten Eigenschaften studiert. Das goldene Verhältnis wird auch in der Analyse von Finanzmärkten in Strategien wie Fibonacci retracement verwendet.

Das goldene Verhältnis wird häufig die goldene Abteilung genannt (Latein: sectio aurea) oder goldene Mitte. Andere Namen schließen äußerstes und bösartiges Verhältnis, mittlere Abteilung ein, prophezeien Verhältnis, prophezeien Abteilung (Latein: sectio divina), goldenes Verhältnis, goldene Kürzung, goldene Zahl, und bösartig von Phidias.

Berechnung

Wie man

sagt, sind zwei Mengen a und b im goldenen Verhältnis φ wenn:

:.

Eine Methode, für den Wert von φ zu finden, soll mit dem linken Bruchteil anfangen. Durch die Vereinfachung des Bruchteils und das Ersetzen in b/a = 1/φ,

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ihm wird das, gezeigt

:

Das Multiplizieren mit φ gibt

:

der zu umgeordnet werden kann

:.

Das Verwenden der quadratischen Formel gibt die einzige positive Lösung als,

:.

Geschichte

Das goldene Verhältnis hat Westintellektuelle von verschiedenen Interessen seit mindestens 2,400 Jahren fasziniert. Gemäß Mario Livio:

Alte griechische Mathematiker haben zuerst studiert, was wir jetzt das goldene Verhältnis wegen seines häufigen Äußeren in der Geometrie nennen. Die Abteilung einer Linie ins "äußerste und bösartige Verhältnis" (die goldene Abteilung) ist in der Geometrie von regelmäßigen Pentagrammen und Pentagon wichtig. Die Griechen haben gewöhnlich Entdeckung dieses Konzepts zu Pythagoras oder seinen Anhängern zugeschrieben. Das regelmäßige Pentagramm, das ein regelmäßiges Pentagon innerhalb seiner einschreiben ließ, war das Symbol des Pythagoreers.

Die Elemente von Euklid (Griechisch:) stellt die erste bekannte schriftliche Definition dessen zur Verfügung, was jetzt das goldene Verhältnis genannt wird: "Wie man sagt, ist eine Gerade im äußersten und bösartigen Verhältnis geschnitten worden, wenn, wie die ganze Linie zum größeren Segment auch ist, das größere zu weniger ist." Euklid erklärt einen Aufbau, um (sectioning) eine Linie "im äußersten und bösartigen Verhältnis", d. h. dem goldenen Verhältnis zu schneiden. Überall in den Elementen verwenden mehrere Vorschläge (Lehrsätze in der modernen Fachsprache) und ihre Beweise das goldene Verhältnis. Einige dieser Vorschläge zeigen, dass das goldene Verhältnis eine irrationale Zahl ist.

Der Name "äußerstes und bösartiges Verhältnis" war der Hauptbegriff, der aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. bis ungefähr das 18. Jahrhundert gebraucht ist.

Die moderne Geschichte des goldenen Verhältnisses fängt mit De divina von Luca Pacioli proportione von 1509 an, der die Einbildungskraft von Künstlern, Architekten, Wissenschaftlern und Mystikern mit den Eigenschaften, mathematisch und sonst vom goldenen Verhältnis gewonnen hat.

Die erste bekannte Annäherung des (umgekehrten) goldenen Verhältnisses durch einen Dezimalbruch festgesetzt als "wurden ungefähr 0.6180340," 1597 von Michael Maestlin von der Universität von Tübingen in einem Brief an seinen ehemaligen Studenten Johannes Kepler geschrieben.

Seit dem zwanzigsten Jahrhundert ist das goldene Verhältnis durch den griechischen Brief Φ oder φ vertreten worden (phi, nach Phidias, einem Bildhauer, der, wie man sagt, es verwendet hat), oder weniger allgemein durch τ (tau, der erste Brief der alten griechischen Wurzel τομή — Bedeutung der Kürzung).

Zeitachse

Zeitachse gemäß Priya Hemenway.

• Phidias (490-430 v. Chr.) hat die Bildsäulen von Parthenon gemacht, die scheinen, das goldene Verhältnis aufzunehmen.
• Plato (427-347 v. Chr.), in seinem Timaeus, beschreibt fünf mögliche regelmäßige Festkörper (die Platonischen Festkörper: Das Tetraeder, der Würfel, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder), von denen einige mit dem goldenen Verhältnis verbunden sind.
• Euklid (c. 325-c. 265 v. Chr.), in seinen Elementen, hat die erste registrierte Definition des goldenen Verhältnisses gegeben, das er, wie übersetzt, ins Englisch, "äußerstes und bösartiges Verhältnis genannt hat" (Griechisch:  καὶ  ).
• Fibonacci (1170-1250) hat die numerische Reihe erwähnt, die jetzt nach ihm in seinem Liber Abaci genannt ist; das Verhältnis von folgenden Elementen der Folge von Fibonacci nähert sich dem goldenen Verhältnis asymptotisch.
• Luca Pacioli (1445-1517) definiert das goldene Verhältnis als das "Gottesverhältnis" in seinem Divina Proportione.
• Michael Maestlin (1550-1631) veröffentlicht die erste bekannte Annäherung des (umgekehrten) goldenen Verhältnisses als ein Dezimalbruch.
• Johannes Kepler (1571-1630) beweist, dass das goldene Verhältnis die Grenze des Verhältnisses von Konsekutivfibonacci-Zahlen ist, und das goldene Verhältnis als ein "wertvolles Juwel" beschreibt: "Geometrie hat zwei große Schätze: Man ist der Satz des Pythagoras und der andere die Abteilung einer Linie ins äußerste und bösartige Verhältnis; das erste, das wir mit einem Maß von Gold, das zweite vergleichen können, das wir ein wertvolles Juwel nennen können." Diese zwei Schätze werden im Dreieck von Kepler verbunden.
• Charles Bonnet (1720-1793) weist darauf hin, dass in der Spirale phyllotaxis Werke, die im Uhrzeigersinn gehen, und gegen den Uhrzeigersinn oft zwei aufeinander folgende Reihen von Fibonacci waren.

Wie man

• glaubt, ist Martin Ohm (1792-1872) erst, um den Begriff goldener Schnitt (goldene Abteilung) zu gebrauchen, um dieses Verhältnis 1835 zu beschreiben.
• Édouard Lucas (1842-1891) gibt die numerische Folge, die jetzt als die Folge von Fibonacci sein gegenwärtiger Name bekannt ist.
• Mark Barr (das 20. Jahrhundert) schlägt den griechischen Brief phi (φ), den anfänglichen Brief des Namens des griechischen Bildhauers Phidias als ein Symbol für das goldene Verhältnis vor.
• Roger Penrose (b.1931) hat ein symmetrisches Muster entdeckt, das das goldene Verhältnis im Feld von aperiodischem tilings verwendet, der zu neuen Entdeckungen über Quasikristalle geführt hat.

Anwendungen und Beobachtungen

Ästhetik

De Divina Proportione, eine dreibändige Arbeit von Luca Pacioli, wurde 1509 veröffentlicht. Pacioli, ein Mönch von Franciscan, war größtenteils als ein Mathematiker bekannt, aber er wurde auch erzogen und scharf für die Kunst interessiert. De Divina Proportione hat die Mathematik des goldenen Verhältnisses erforscht. Obwohl es häufig gesagt wird, dass Pacioli die Anwendung des goldenen Verhältnisses verteidigt hat, um angenehme, harmonische Verhältnisse nachzugeben, weist Livio darauf hin, dass die Interpretation zu einem Fehler 1799 verfolgt worden ist, und dass Pacioli wirklich das System von Vitruvian von vernünftigen Verhältnissen verteidigt hat. Pacioli hat auch katholische religiöse Bedeutung im Verhältnis gesehen, das zum Titel seiner Arbeit geführt hat. Illustrationen von regelmäßigen Festkörpern durch Leonardo Da Vinci, den langfristigen Freund von Pacioli und Mitarbeiter enthaltend, war De Divina Proportione ein Haupteinfluss auf Generationen von Künstlern und Architekten gleich.

Architektur

Wie man

sagt, wird die Fassade von Parthenon sowie Elemente seiner Fassade und anderswohin von einigen durch goldene Rechtecke umschrieben. Andere Gelehrte bestreiten, dass die Griechen jede ästhetische Vereinigung mit dem goldenen Verhältnis hatten. Zum Beispiel sagt Midhat J. Gazalé, "Erst als Euklid, jedoch, dass die mathematischen Eigenschaften des goldenen Verhältnisses studiert wurden. In den Elementen (308 v. Chr.) hat der griechische Mathematiker bloß diese Zahl als eine interessante irrationale Zahl im Zusammenhang mit den mittleren und äußersten Verhältnissen betrachtet. Sein Ereignis im regelmäßigen Pentagon und den Zehnecken, wurde sowie im Dodekaeder ordnungsgemäß beobachtet (ein regelmäßiges Polyeder, dessen zwölf Gesichter regelmäßiges Pentagon sind). Es ist tatsächlich vorbildlich, dass der große Euklid, gegen Generationen von Mystikern, die gefolgt sind, diese Zahl dafür nüchtern behandeln würde, wie es ist, ohne ihm anders anzuhaften, als seine sachlichen Eigenschaften." Und Keith Devlin sagt, "Sicher wird die oft wiederholte Behauptung, dass Parthenon in Athen auf dem goldenen Verhältnis basiert, durch wirkliche Maße nicht unterstützt. Tatsächlich scheint die komplette Geschichte über die Griechen und das goldene Verhältnis, ohne Fundament zu sein. Ein Ding, das wir sicher wissen, besteht darin, dass Euklid, in seinem berühmten Lehrbuch Elemente, schriftlich ungefähr 300 v. Chr., gezeigt hat, wie man seinen Wert berechnet." Nah-zeitgenössische Quellen wie Vitruvius besprechen exklusiv Verhältnisse, die in ganzen Zahlen ausgedrückt, d. h. im Vergleich mit vernunftwidrigen Verhältnissen entsprechend werden können.

Eine geometrische Analyse der Großen Moschee von Kairouan offenbart eine konsequente Anwendung des goldenen Verhältnisses überall im Design, gemäß Boussora und Mazouz. Sie haben Verhältnisse in der Nähe vom goldenen Verhältnis im gesamten Verhältnis des Plans und im Dimensionieren des Gebet-Raums, des Gerichtes und des Minaretts gefunden.

Der schweizerische Architekt Le Corbusier, der wegen seiner Beiträge zum modernen internationalen Stil berühmt ist, hat seine Designphilosophie auf Systeme der Harmonie und des Verhältnisses in den Mittelpunkt gestellt. Der Glaube von Le Corbusier an die mathematische Ordnung des Weltalls wurde zum goldenen Verhältnis und der Reihe von Fibonacci nah gebunden, die er als "Rhythmen beschrieben hat, die für das Auge offenbar sind und in ihren Beziehungen miteinander klar sind. Und diese Rhythmen sind an der wirklichen Wurzel von menschlichen Tätigkeiten. Sie erschallen im Mann durch eine organische Unvermeidlichkeit, dieselbe feine Unvermeidlichkeit, die die Nachforschung aus der Goldenen Abteilung durch Kinder, alte Männer, Wilde und das gelehrte verursacht."

Le Corbusier hat ausführlich das goldene Verhältnis in seinem System von Modulor für die Skala des architektonischen Verhältnisses verwendet. Er hat dieses System als eine Verlängerung der langen Tradition von Vitruvius, der Vitruvian "Mann von Leonardo da Vinci", die Arbeit von Leon Battista Alberti und anderen gesehen, wer die Verhältnisse des menschlichen Körpers verwendet hat, um das Äußere und die Funktion der Architektur zu verbessern. Zusätzlich zum goldenen Verhältnis hat Le Corbusier das System auf menschlichen Maßen, Fibonacci-Zahlen und der doppelten Einheit gestützt. Er hat Vorschlag des goldenen Verhältnisses in menschlichen Verhältnissen zu einem Extrem genommen: Er sectioned die Höhe seines menschlichen Musterkörpers am Bauchnabel mit den zwei Abteilungen im goldenen Verhältnis, hat dann jene Abteilungen im goldenen Verhältnis an den Knien und dem Hals unterteilt; er hat diese goldenen Verhältnis-Verhältnisse im System von Modulor verwendet. Die 1927-Villa Stein von Le Corbusier in Garches hat die Systemanwendung von Modulor veranschaulicht. Der rechteckige Grundriss der Villa, Erhebung und innere Struktur kommen nah goldenen Rechtecken näher.

Ein anderer schweizerischer Architekt, Mario Botta, stützt viele seiner Designs auf geometrischen Zahlen. Mehrere private Häuser, die er in der Schweiz entworfen hat, werden aus Quadraten und Kreisen, Würfeln und Zylindern zusammengesetzt. In einem Haus hat er in Origlio entwickelt, das goldene Verhältnis ist das Verhältnis zwischen der Hauptabteilung und den Seitenabteilungen des Hauses.

In einem neuen Buch hat Autor Jason Elliot nachgesonnen, dass das goldene Verhältnis von den Entwerfern des Naqsh-e Jahan Square und der angrenzenden Moschee von Lotfollah verwendet wurde.

Malerei

Der Philosoph des 16. Jahrhunderts Heinrich Agrippa hat einen Mann über ein Pentagramm innerhalb eines Kreises angezogen, eine Beziehung zum goldenen Verhältnis einbeziehend.

Die Illustrationen von Leonardo da Vinci von Polyedern in De divina proportione (Auf dem Gottesverhältnis) und seine Ansichten, dass einige körperliche Verhältnisse das goldene Verhältnis ausstellen, haben einige Gelehrte dazu gebracht nachzusinnen, dass er das goldene Verhältnis in seinen Bildern vereinigt hat. Aber der Vorschlag, dass seine Mona Lisa zum Beispiel goldene Verhältnis-Verhältnisse verwendet, wird durch nichts in den eigenen Schriften von Leonardo unterstützt.

Salvador Dalí, unter Einfluss der Arbeiten von Matila Ghyka, hat ausführlich das goldene Verhältnis in seinem Meisterwerk, Dem Sakrament des Letzten Abendessens verwendet. Die Dimensionen der Leinwand sind ein goldenes Rechteck. Ein riesiges Dodekaeder, in der Perspektive, so dass Ränder im goldenen Verhältnis einander erscheinen, wird oben und hinter Jesus aufgehoben und beherrscht die Zusammensetzung.

Wie man

gesagt hat, hat Mondrian die goldene Abteilung umfassend in seinen geometrischen Bildern verwendet, obwohl andere Experten (einschließlich des Kritikers Yve-Alain Bois) diesen Anspruch diskutiert haben.

Eine statistische Studie auf 565 Kunstwerken von verschiedenen großen Malern, durchgeführt 1999, hat gefunden, dass diese Künstler das goldene Verhältnis in der Größe ihrer Leinwände nicht verwendet hatten. Die Studie hat beschlossen, dass das durchschnittliche Verhältnis der zwei Seiten der studierten Bilder 1.34, mit Durchschnitten für individuelle Künstler im Intervall von 1.04 (Goya) zu 1.46 (Bellini) ist. Andererseits hat Pablo Tosto mehr als 350 Arbeiten von wohl bekannten Künstlern, einschließlich mehr als 100 verzeichnet, die Meinungsumfragen mit dem goldenen Rechteck haben und 5 Verhältnisse einwurzeln lassen, und andere mit Verhältnissen Wurzel 2, 3, 4, und 6 mögen.

Buchdesign

Gemäß Jan Tschichold,

Studien von Perceptual

Studien durch Psychologen, mit Fechner anfangend, sind ausgedacht worden, um die Idee zu prüfen, dass das goldene Verhältnis eine Rolle in der menschlichen Wahrnehmung der Schönheit spielt. Während Fechner eine Vorliebe für auf das goldene Verhältnis in den Mittelpunkt gestellte Rechteck-Verhältnisse gefunden hat, sind spätere Versuche, solch eine Hypothese sorgfältig zu prüfen, bestenfalls, nicht überzeugend gewesen.

Musik

Ernő Lendvaï analysiert die Arbeiten von Béla Bartók als basierend auf zwei gegenüberliegenden Systemen, diesem des goldenen Verhältnisses und der akustischen Skala, obwohl andere Musik-Gelehrte diese Analyse zurückweisen. In der Musik von Bartok für Schnuren, Schlagzeug und Celesta kommt der Xylophon-Fortschritt an den Zwischenräumen 1:2:3:5:8:5:3:2:1 vor. Französischer Komponist Erik Satie hat das goldene Verhältnis in mehreren seiner Stücke einschließlich Sonneries de la Rose+Croix verwendet.

Das goldene Verhältnis ist auch in der Organisation der Abteilungen in der Musik von Reflets dans von Debussy l'eau (Nachdenken in Wasser) von Images offenbar (1. Reihe, 1905), in dem "die Folge von Schlüsseln durch die Zwischenräume 34, 21, 13 und 8 bestimmt wird, und der Haupthöhepunkt an der phi Position sitzt."

Der Musikwissenschaftler Roy Howat hat bemerkt, dass die formellen Grenzen von La Mer genau zur goldenen Abteilung entsprechen. Trezise findet die inneren Beweise "bemerkenswert", aber warnt, dass kein schriftliches oder berichtet hat, dass Beweise darauf hinweisen, dass Debussy bewusst solche Verhältnisse gesucht hat.

Außerdem basieren viele Arbeiten von Chopin, hauptsächlich Etüden (Studien) und Notturnos, formell auf dem goldenen Verhältnis. Das läuft auf den größten Höhepunkt sowohl des Musikausdrucks als auch der technischen Schwierigkeit danach ungefähr 2/3 des Stückes hinaus.

Perle-Trommeln stellen die Luftöffnungen auf seinen auf dem goldenen Verhältnis gestützten Master-Prämie-Modellen ein. Die Gesellschaft behauptet, dass diese Einordnung Bassantwort verbessert und sich um ein Patent auf dieser Neuerung beworben hat.

Nach der Meinung vom Autor Leon Harkleroad, "Sind einige der unangebrachtesten Versuche, Musik und Mathematik zu verbinden, mit Fibonacci-Zahlen und dem zusammenhängenden goldenen Verhältnis verbunden gewesen."

Industriedesign

Einige Quellen behaupten, dass das goldene Verhältnis im täglichen Design, zum Beispiel in den Gestalten von Postkarten, Spielkarten, Postern, Breitwandfernsehen, Fotographien und leichten Schalter-Tellern allgemein verwendet wird.

Natur

Adolf Zeising, dessen Hauptinteressen Mathematik und Philosophie waren, hat das goldene Verhältnis ausgedrückt in der Einordnung von Zweigen entlang den Stämmen von Werken und von Adern in Blättern gefunden. Er hat seine Forschung zu den Skeletten von Tieren und das Ausbreiten ihrer Adern und Nerven, zu den Verhältnissen von chemischen Zusammensetzungen und der Geometrie von Kristallen sogar zum Gebrauch des Verhältnisses in künstlerischen Versuchen erweitert. In diesen Phänomenen hat er das goldene Verhältnis gesehen als ein universales Gesetz funktionieren. Im Zusammenhang mit seinem Schema für gestützte menschliche Körperverhältnisse des goldenen Verhältnisses hat Zeising 1854 über ein universales Gesetz geschrieben, "in dem der Boden-Grundsatz der ganzen formenden Bemühung für die Schönheit und Vollständigkeit in den Bereichen sowohl der Natur als auch Kunst enthalten wird, und der, als ein oberstes geistiges Ideal, alle Strukturen, Formen und Verhältnisse, entweder kosmisch oder individuell, organisch oder anorganisch, akustisch oder optisch durchdringt; der seine vollste Verwirklichung jedoch in der menschlichen Form findet."

2003 haben Volkmar Weiss und Harald Weiss psychometrische Daten und theoretische Rücksichten analysiert und haben beschlossen, dass das goldene Verhältnis dem Uhr-Zyklus von Geistesblitzen unterliegt. 2008 wurde das von einer Gruppe von neurobiologists empirisch bestätigt.

2010 hat die Zeitschrift Wissenschaft berichtet, dass das goldene Verhältnis an der Atomskala in der Kernspinresonanz von Drehungen in Kobalt niobate Kristalle da ist.

Mehrere Forscher haben Verbindungen zwischen dem goldenen Verhältnis und der DNA des menschlichen Erbgutes vorgeschlagen.

Jedoch haben einige behauptet, dass viele der offenbaren Manifestationen der goldenen Mitte in der Natur, besonders hinsichtlich Tierdimensionen, tatsächlich frei erfunden sind.

Optimierung

Das goldene Verhältnis ist Schlüssel zur goldenen Abteilungssuche.

Finanz

Das goldene Verhältnis und die verwandten Zahlen werden auf den Finanzmärkten verwendet. Es wird in Handelsalgorithmen, Anwendungen und Strategien verwendet. Einige typische Formen schließen ein: der Anhänger von Fibonacci, der Kreisbogen von Fibonacci, Fibonacci retracement und die Zeiterweiterung von Fibonacci.

Mathematik

Goldenes verbundenes Verhältnis

Die negative Wurzel der quadratischen Gleichung für φ (die "verbundene Wurzel") ist

:.

Der absolute Wert dieser Menge ( 0.618) entspricht dem Länge-Verhältnis genommen in umgekehrter Reihenfolge (kürzere Segment-Länge über die längere Segment-Länge, b/a), und wird manchmal das goldene verbundene Verhältnis genannt. Es wird hier durch das Kapital Phi (Φ) angezeigt:

:.

Wechselweise kann Φ als ausgedrückt werden

:.

Das illustriert das einzigartige Eigentum des goldenen Verhältnisses unter positiven Zahlen, das

:.

oder sein Gegenteil:

:.

Das bedeutet 0.61803...:1 = 1:1.61803....

Kurze Beweise der Unvernunft

Widerspruch von einem Ausdruck in niedrigsten Begriffen

Rufen Sie dass zurück:

: der Ganze ist der längere Teil plus der kürzere Teil;

: der Ganze ist zum längeren Teil, wie der längere Teil zum kürzeren Teil ist.

Wenn wir den ganzen n und den längeren Teil M nennen, dann wird die zweite Behauptung oben

: n ist zur M, wie M zu n  M, ist

oder, algebraisch

:

Zu sagen, dass φ vernünftig ist, bedeutet, dass φ ein Bruchteil n/m ist, wo n und M ganze Zahlen sind. Wir können n/m nehmen, um in niedrigsten Begriffen und n und M zu sein, um positiv zu sein. Aber wenn n/m in niedrigsten Begriffen ist, dann sagt die Identität etikettiert (*) oben, dass M / (n  m) in noch niedrigeren Begriffen ist. Das ist ein Widerspruch, der aus der Annahme folgt, dass φ vernünftig ist.

Abstammung von der Unvernunft 5

Ein anderer kurzer Beweis — vielleicht allgemeiner bekannt — der Unvernunft des goldenen Verhältnisses macht vom Verschluss von rationalen Zahlen unter der Hinzufügung und Multiplikation Gebrauch. Wenn vernünftig ist, auch dann vernünftig ist, der ein Widerspruch ist, wenn es bereits bekannt ist, dass die Quadratwurzel einer nichtquadratischen natürlichen Zahl vernunftwidrig ist.

Abwechselnde Formen

Die Formel φ = 1 + 1/φ kann rekursiv ausgebreitet werden, um einen fortlaufenden Bruchteil für das goldene Verhältnis zu erhalten:

:

und sein Gegenstück:

:

Die convergents dieser fortlaufenden Bruchteile (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …, oder 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, …) sind Verhältnisse von aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen.

Die Gleichung φ = 1 + φ erzeugt ebenfalls die fortlaufende Quadratwurzel, oder unendlich irrational, Form:

:.

Eine unendliche Reihe kann abgeleitet werden, um phi auszudrücken:

:

Auch:

::::

Diese entsprechen der Tatsache, dass die Länge der Diagonale eines regelmäßigen Pentagons φ Zeiten die Länge seiner Seite und ähnlichen Beziehungen in einem Pentagramm ist.

Geometrie

Die Zahl φ taucht oft in der Geometrie besonders in Zahlen mit der fünfeckigen Symmetrie auf.

Die Länge einer Diagonale eines regelmäßigen Pentagons ist φ Zeiten seine Seite.

Die Scheitelpunkte eines regelmäßigen Ikosaeders sind diejenigen von drei gegenseitig orthogonalen goldenen Rechtecken.

Es gibt keinen bekannten allgemeinen Algorithmus, um eine gegebene Zahl von Knoten gleichmäßig auf einem Bereich für einige von mehreren Definitionen sogar des Vertriebs einzuordnen (sieh zum Beispiel, Problem von Thomson). Jedoch ergibt sich eine nützliche Annäherung aus dem Teilen des Bereichs in parallele Bänder des gleichen Gebiets und Stellens eines Knotens in jedem Band an Längen, die durch eine goldene Abteilung des Kreises, d. h. 360 °/φ 222.5 ° unter Drogeneinfluss sind. Diese Methode wurde verwendet, um die 1500-Spiegel des studententeilnehmenden Satellitenstarshine-3 einzuordnen.

Das Teilen eines Liniensegmentes

Ein Liniensegment kann gemäß dem goldenen Verhältnis mit dem folgenden geometrischen Aufbau geteilt werden:

• Bauen Sie erstens ein Liniensegment v. Chr., Senkrechte zum ursprünglichen Liniensegment AB, seinen Endpunkt B und Hälfte der Länge von AB durchführend. Ziehen Sie die Hypotenuse AC.
• Ziehen Sie einen Kreis mit dem Zentrum C und Radius B. Es schneidet die Hypotenuse AC am Punkt D durch.
• Ziehen Sie einen Kreis mit dem Zentrum A und Radius D. Es schneidet das ursprüngliche Liniensegment AB am Punkt S durch. Dieser Punkt teilt das ursprüngliche Segment AB im goldenen Verhältnis.

Goldenes Dreieck, Pentagon und Pentagramm

Goldenes Dreieck

Das goldene Dreieck kann als ein gleichschenkliges Dreieck-Abc mit dem Eigentum charakterisiert werden, dass, den Winkel halbierend, C ein neues Dreieck CXB erzeugt, der ein ähnliches Dreieck zum Original ist.

Wenn Winkel BCX = α, dann XCA = α wegen der Halbierung und des TAXIS = α wegen der ähnlichen Dreiecke; Abc = 2α von der ursprünglichen gleichschenkligen Symmetrie und BXC = 2α durch die Ähnlichkeit. Die Winkel in einem Dreieck belaufen sich auf 180 °, so 5α = 180, α = 36 ° gebend. So sind die Winkel des goldenen Dreiecks so 36 °-72 °-72 °. Die Winkel des restlichen stumpfen gleichschenkligen Dreiecks AXC (hat manchmal den goldenen gnomon genannt), sind 36 °-36 °-108 °.

Nehmen Sie an, dass XB Länge 1 hat, und wir v. Chr. Länge φ nennen. Wegen der gleichschenkligen Dreiecke XC=XA und BC=XC, so ist das auch Länge φ. Länge AC = AB, kommt deshalb φ + 1 gleich. Aber Dreieck-Abc ist dem Dreieck CXB, so AC/BC = BC/BX ähnlich, und so kommt AC auch φ gleich. So φ = φ + 1, bestätigend, dass φ tatsächlich das goldene Verhältnis ist.

Ähnlich das Verhältnis des Gebiets des größeren Dreiecks AXC zum kleineren CXB ist φ gleich, während das umgekehrte Verhältnis φ - 1 ist.

Pentagon

In einem regelmäßigen Pentagon ist das Verhältnis zwischen einer Seite und einer Diagonale (d. h. 1/φ), während es Diagonale-Abteilung einander im goldenen Verhältnis durchschneidet.

Der Aufbau von Odom

George Odom hat einen bemerkenswert einfachen Aufbau für φ gegeben, der ein gleichseitiges Dreieck einschließt: Wenn ein gleichseitiges Dreieck in einem Kreis eingeschrieben wird und das Liniensegment, das sich den Mittelpunkten von zwei Seiten anschließt, erzeugt wird, um den Kreis in jedem von zwei Punkten durchzuschneiden, dann sind diese drei Punkte im goldenen Verhältnis. Dieses Ergebnis ist eine aufrichtige Folge des sich schneidenden Akkord-Lehrsatzes und kann verwendet werden, um ein regelmäßiges Pentagon, ein Aufbau zu bauen, der die Aufmerksamkeit des bekannten kanadischen geometer H. S. M. Coxeters angezogen hat, der es im Namen von Odom veröffentlicht hat, weil ein Diagramm im Amerikaner Mathematisch Monatlich begleitet durch das einzelne Wort "Anschauen!"

Pentagramm

Längen sind im goldenen Verhältnis zu einander.]]

Das goldene Verhältnis spielt eine wichtige Rolle in der Geometrie von Pentagrammen. Jede Kreuzung von Rand-Abteilungen andere Ränder im goldenen Verhältnis. Außerdem ist das Verhältnis der Länge des kürzeren Segmentes zum Segment, das durch die zwei sich schneidenden Ränder (eine Seite des Pentagons im Zentrum des Pentagramms) begrenzt ist, φ, weil sich die vierfarbige Illustration zeigt.

Das Pentagramm schließt zehn gleichschenklige Dreiecke ein: fünf akute und fünf stumpfe gleichschenklige Dreiecke. In ihnen allen ist das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren Seite φ. Die akuten Dreiecke sind goldene Dreiecke. Die stumpfen gleichschenkligen Dreiecke sind goldener gnomons.

Der Lehrsatz von Ptolemy

Die goldenen Verhältnis-Eigenschaften eines regelmäßigen Pentagons können durch die Verwendung des Lehrsatzes von Ptolemy auf das gebildete Vierseit durch das Entfernen von einem seiner Scheitelpunkte bestätigt werden. Wenn der lange Rand und Diagonalen des Vierseits b sind, und kurze Ränder a sind, dann gibt der Lehrsatz von Ptolemy b = + ab, der nachgibt

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