In der Mathematik, mehr spezifisch im Gebiet der modernen als Theorie von Galois bekannten Algebra, ist die Gruppe von Galois eines bestimmten Typs der Felderweiterung eine spezifische mit der Felderweiterung vereinigte Gruppe. Die Studie von Felderweiterungen (und Polynome, die sie verursachen) über Gruppen von Galois wird Theorie von Galois genannt, die so zu Ehren von Évariste Galois genannt ist, der sie zuerst entdeckt hat.

Für eine elementarere Diskussion von Gruppen von Galois in Bezug auf Versetzungsgruppen, sieh den Artikel über die Theorie von Galois.

Definition

Nehmen Sie an, dass E eine Erweiterung Feldes F ist (schriftlich als E/F und lesen Sie E über F). Ein automorphism von E/F wird definiert, um ein automorphism von E zu sein, der F pointwise befestigt. Mit anderen Worten ist ein automorphism von E/F ein Isomorphismus α von E bis solchen E dass α (x) = x für jeden x in F. Der Satz des ganzen automorphisms von E/F bildet eine Gruppe mit der Operation der Funktionszusammensetzung. Diese Gruppe wird manchmal von Aut (E/F) angezeigt.

Wenn E/F eine Erweiterung von Galois ist, dann wird Aut (E/F) die Gruppe von Galois (die Erweiterung) E über F genannt, und wird gewöhnlich vom Mädchen (E/F) angezeigt.

Beispiele

In den folgenden Beispielen ist F ein Feld, und C, R, Q sind die Felder von komplizierten, echten und rationalen Zahlen beziehungsweise. Die Notation F (a) zeigt die erhaltene Felderweiterung durch das Angrenzen an ein Element nach Feld F an.

• Mädchen (F/F) ist die triviale Gruppe, die ein einzelnes Element, nämlich die Identität automorphism hat.
• Mädchen (C/R) hat zwei Elemente, die Identität automorphism und die komplizierte Konjugation automorphism.
• Aut (R/Q) ist trivial. Tatsächlich kann es gezeigt werden, dass jeder Q-automorphism die Einrichtung der reellen Zahlen bewahren muss und folglich die Identität sein muss.
• Aut (C/Q) ist eine unendliche Gruppe.
• Mädchen (Q (2)/Q) hat zwei Elemente, die Identität automorphism und der automorphism, der 2 und −2. wert ist
• Denken Sie Feld K = Q (³ 2). Die Gruppe Aut (K/Q) enthält nur die Identität automorphism. Das ist, weil K nicht eine normale Erweiterung ist, da die anderen zwei Würfel-Wurzeln 2 (beider Komplex) von der Erweiterung - mit anderen Worten K vermisst werden, ist nicht ein zerreißendes Feld.
• Ziehen Sie jetzt L = Q in Betracht (³ 2, ω), wo ω eine primitive dritte Wurzel der Einheit ist. Das Gruppenmädchen (L/Q) ist zu S, der zweiflächigen Gruppe des Auftrags 6 isomorph, und L ist tatsächlich das zerreißende Feld von x − 2 über Q.
• Wenn q eine Hauptmacht ist, und wenn F = GF (q) und E = GF (q) die Felder von Galois des Auftrags q und q beziehungsweise anzeigen, dann ist Mädchen (E/F) vom Auftrag n zyklisch.
• Wenn f ein nicht zu vereinfachendes Polynom des Hauptgrads p mit vernünftigen Koeffizienten und genau zwei nichtechten Wurzeln ist, dann ist die Gruppe von Galois von f die volle symmetrische Gruppe S.

Eigenschaften

Die Bedeutung einer Erweiterung, die Galois zu sein, ist, dass es dem Hauptsatz der Theorie von Galois folgt: Die geschlossenen (in Bezug auf die Topologie von Krull unten) Untergruppen der Gruppe von Galois entsprechen den Zwischenfeldern der Felderweiterung.

Wenn E/F eine Erweiterung von Galois ist, dann kann Mädchen (E/F) eine Topologie, genannt die Topologie von Krull gegeben werden, die es in eine pro-begrenzte Gruppe macht.

Siehe auch

• Absolute Galois Gruppe

Referenzen

Links