Gruppendarstellung

Im mathematischen Feld der Darstellungstheorie beschreiben Gruppendarstellungen abstrakte Gruppen in Bezug auf geradlinige Transformationen von Vektorräumen; insbesondere sie können verwendet werden, um Gruppenelemente als matrices zu vertreten, so dass die Gruppenoperation durch die Matrixmultiplikation vertreten werden kann. Darstellungen von Gruppen sind wichtig, weil sie vielen gruppentheoretischen Problemen erlauben, auf Probleme in der geradlinigen Algebra reduziert zu werden, die gut verstanden wird. Sie sind auch in der Physik wichtig, weil, zum Beispiel, sie beschreiben, wie die Symmetrie-Gruppe eines physischen Systems die Lösungen von Gleichungen betrifft, die dieses System beschreiben.

Der Begriff Darstellung einer Gruppe wird auch in einem allgemeineren Sinn gebraucht, jede "Beschreibung" einer Gruppe als eine Gruppe von Transformationen von einem mathematischen Gegenstand zu bedeuten. Mehr formell bedeutet eine "Darstellung" einen Homomorphismus von der Gruppe zur automorphism Gruppe eines Gegenstands. Wenn der Gegenstand ein Vektorraum ist, haben wir eine geradlinige Darstellung. Einige Menschen verwenden Verwirklichung für den allgemeinen Begriff und bestellen den Begriff Darstellung für den speziellen Fall von geradlinigen Darstellungen vor. Der Hauptteil dieses Artikels beschreibt geradlinige Darstellungstheorie; sieh die letzte Abteilung für Generalisationen.

Zweige der Gruppendarstellungstheorie

Die Darstellungstheorie von Gruppen teilt sich in Subtheorien abhängig von der Art der Gruppe, die wird vertritt. Die verschiedenen Theorien sind im Detail ziemlich verschieden, obwohl einige grundlegende Definitionen und Konzepte ähnlich sind. Die wichtigsten Abteilungen sind:

  • Begrenzte Gruppen - Gruppendarstellungen sind ein sehr wichtiges Werkzeug in der Studie von begrenzten Gruppen. Sie entstehen auch in den Anwendungen der begrenzten Gruppentheorie zur Kristallographie und zur Geometrie. Wenn das Feld von Skalaren des Vektorraums Eigenschaft p hat, und wenn p die Ordnung der Gruppe teilt, dann wird das Moduldarstellungstheorie genannt; dieser spezielle Fall hat sehr verschiedene Eigenschaften. Sieh Darstellungstheorie von begrenzten Gruppen.
  • Kompaktgruppen oder lokal kompakte Gruppen - Viele der Ergebnisse der begrenzten Gruppendarstellungstheorie werden bewiesen, indem sie über die Gruppe aufzählen. Diese Beweise können zu unendlichen Gruppen durch den Ersatz des Durchschnitts mit einem Integral vorgetragen werden, vorausgesetzt, dass ein annehmbarer Begriff des Integrals definiert werden kann. Das kann für lokal kompakte Gruppen mit dem Maß von Haar getan werden. Die resultierende Theorie ist ein Hauptteil der harmonischen Analyse. Die Pontryagin Dualität beschreibt die Theorie für Ersatzgruppen, weil sich ein verallgemeinerter Fourier verwandelt. Siehe auch: Lehrsatz von Peter-Weyl.
  • Lügen Sie Gruppen - Viele wichtige Lüge-Gruppen sind kompakt, so gelten die Ergebnisse der Kompaktdarstellungstheorie für sie. Andere Techniken, die spezifisch sind, um Gruppen Zu liegen, werden ebenso verwendet. Die meisten Gruppen, die in der Physik und Chemie wichtig sind, sind Lüge-Gruppen, und ihre Darstellungstheorie ist für die Anwendung der Gruppentheorie in jenen Feldern entscheidend. Sieh Darstellungen von Lüge-Gruppen und Darstellungen von Lüge-Algebra.
  • Geradlinige algebraische Gruppen (oder mehr allgemein affine Gruppenschemas) - Das sind die Entsprechungen von Lüge-Gruppen, aber über allgemeinere Felder als gerade R oder C. Obwohl geradlinige algebraische Gruppen eine Klassifikation haben, die dieser von Lüge-Gruppen sehr ähnlich ist, und verursachen Sie dieselben Familien von Lüge-Algebra, sind ihre Darstellungen (und viel weniger gut verstanden) ziemlich verschieden. Die analytischen für das Studieren verwendeten Techniken Liegen Gruppen müssen durch Techniken von der algebraischen Geometrie ersetzt werden, wo die relativ schwache Topologie von Zariski viele technische Komplikationen verursacht.
  • Topologische Nichtkompaktgruppen - Die Klasse von Nichtkompaktgruppen ist zu breit, um jede allgemeine Darstellungstheorie zu bauen, aber spezifische spezielle Fälle sind manchmal mit Ad-Hoc-Techniken studiert worden. Die halbeinfachen Lüge-Gruppen haben eine tiefe Theorie, auf den Kompaktfall bauend. Die lösbaren Ergänzungslüge-Gruppen können nicht ebenso klassifiziert werden. Die allgemeine Theorie für Lüge-Gruppen befasst sich mit halbdirekten Produkten der zwei Typen mittels allgemeiner Ergebnisse genannt die Theorie von Mackey, die eine Generalisation der Klassifikationsmethoden von Wigner ist.

Darstellungstheorie hängt auch schwer vom Typ des Vektorraums ab, auf dem die Gruppe handelt. Man unterscheidet zwischen endlich-dimensionalen Darstellungen und unendlich-dimensionalen. Im unendlich-dimensionalen Fall sind zusätzliche Strukturen wichtig (z.B, ob der Raum ein Raum von Hilbert, Banachraum, usw. ist).

Man muss auch den Typ des Feldes denken, über das der Vektorraum definiert wird. Der wichtigste Fall ist das Feld von komplexen Zahlen. Die anderen wichtigen Fälle sind das Feld von reellen Zahlen, die begrenzten Felder und die Felder von p-adic Zahlen. Im Allgemeinen sind algebraisch geschlossene Felder leichter zu behandeln als nichtalgebraisch geschlossene. Die Eigenschaft des Feldes ist auch bedeutend; viele Lehrsätze für begrenzte Gruppen hängen von der Eigenschaft des Feldes das nicht Teilen der Ordnung der Gruppe ab.

Definitionen

Eine Darstellung einer Gruppe G auf einem Vektorraum V über Feld K ist ein Gruppenhomomorphismus von G bis GL (V), die allgemeine geradlinige Gruppe auf V. D. h. eine Darstellung ist eine Karte

:

solch dass

:

Hier V wird den Darstellungsraum genannt, und die Dimension V wird die Dimension der Darstellung genannt. Es ist übliche Praxis, um sich auf V selbst als die Darstellung zu beziehen, wenn der Homomorphismus vom Zusammenhang klar ist.

Im Fall, wo V von der begrenzten Dimension n es ist, ist üblich, eine Basis für V zu wählen und GL (V) mit GL (n, K) die Gruppe von n-by-n invertible matrices auf Feld K zu identifizieren.

Wenn G eine topologische Gruppe ist und V ein topologischer Vektorraum ist, ist eine dauernde Darstellung von G auf V eine Darstellung ρ solch, dass die Anwendung, die dadurch definiert ist, dauernd ist.

Der Kern einer Darstellung ρ einer Gruppe G wird als die normale Untergruppe von G definiert, dessen Image unter ρ die Identitätstransformation ist:

:

Eine treue Darstellung ist diejenige, in der der Homomorphismus G  GL (V) injective ist; mit anderen Worten, derjenige, dessen Kern die triviale Untergruppe {e} ist, aus gerade dem Identitätselement der Gruppe bestehend.

In Anbetracht zwei K Vektorräume V und W, zwei Darstellungen

:

und

:

werden gesagt, gleichwertig oder isomorph zu sein, wenn dort ein Vektorraum-Isomorphismus besteht

:

so dass für den ganzen g in G

:

Beispiele

Denken Sie die komplexe Zahl u = e, der das Eigentum u = 1 hat. Die zyklische Gruppe C = {1, u, u} hat eine Darstellung ρ auf C, der gegeben ist durch:

:

\rho \left (1 \right) =

\begin {bmatrix }\

1 & 0 \\

0 & 1 \\

\end {bmatrix }\

\qquad

\rho \left (u \right) =

\begin {bmatrix }\1 & 0 \\

0 & u \\

\end {bmatrix }\\qquad

\rho \left (U^2 \right) =

\begin {bmatrix }\1 & 0 \\

0 & u^2 \\

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Diese Darstellung ist treu, weil ρ eine isomorphe Karte ist.

Eine isomorphe Darstellung für C ist

:\rho \left (1 \right) =\begin {bmatrix }\1 & 0 \\0 & 1 \\\end {bmatrix }\\qquad\rho \left (u \right) =\begin {bmatrix }\

u & 0 \\

0 & 1 \\\end {bmatrix }\\qquad\rho \left (U^2 \right) =\begin {bmatrix }\

u^2 & 0 \\

0 & 1 \\\end {bmatrix}.</Mathematik>

Die Gruppe C kann auch auf R durch treu vertreten werden

:\rho \left (1 \right) =\begin {bmatrix }\1 & 0 \\0 & 1 \\\end {bmatrix }\\qquad\rho \left (u \right) =\begin {bmatrix }\

a &-b \\

b & \\

\end {bmatrix }\\qquad\rho \left (U^2 \right) =\begin {bmatrix }\

a & b \\

- b & \\

\end {bmatrix }\</Mathematik>

wo und.

Reducibility

Ein Subraum W V, der invariant unter der Gruppenhandlung ist, wird eine Subdarstellung genannt. Wenn V genau zwei Subdarstellungen, nämlich der nulldimensionale Subraum und V selbst hat, dann, wie man sagt, ist die Darstellung nicht zu vereinfachend; wenn es eine richtige Subdarstellung der Nichtnulldimension hat, wie man sagt, ist die Darstellung reduzierbar. Wie man betrachtet, ist die Darstellung der Dimensionsnull weder reduzierbar noch nicht zu vereinfachend, gerade wie die Nummer 1 wird betrachtet, weder zerlegbar noch erst zu sein.

Unter der Annahme, dass die Eigenschaft Feldes K die Größe der Gruppe nicht teilt, können Darstellungen von begrenzten Gruppen in eine direkte Summe von nicht zu vereinfachenden Subdarstellungen zersetzt werden (sieh den Lehrsatz von Maschke). Das hält insbesondere für jede Darstellung einer begrenzten Gruppe über die komplexen Zahlen, da die Eigenschaft der komplexen Zahlen Null ist, die nie die Größe einer Gruppe teilt.

Im Beispiel oben sind die ersten zwei gegebenen Darstellungen in zwei 1-dimensionale Subdarstellungen sowohl zerlegbar (gegeben durch die Spanne {(1,0)}, als auch messen Sie {(0,1)} ab), während die dritte Darstellung nicht zu vereinfachend ist.

Generalisationen

Mit dem Satz theoretische Darstellungen

Eine mit dem Satz theoretische Darstellung (auch bekannt als eine Gruppenhandlung oder Versetzungsdarstellung) einer Gruppe G auf einem Satz X wird durch eine Funktion von G bis X, der Satz von Funktionen von X bis X, solch dass für den ganzen g, g in G und dem ganzen x in X gegeben:

::

Diese Bedingung und die Axiome für eine Gruppe deuten an, dass (g) eine Bijektion (oder Versetzung) für den ganzen g in G ist. So können wir eine Versetzungsdarstellung gleichwertig definieren, um ein Gruppenhomomorphismus von G bis die symmetrische Gruppe S X zu sein.

Für weitere Informationen über dieses Thema sieh den Artikel über die Gruppenhandlung.

Darstellungen in anderen Kategorien

Jede Gruppe G kann als eine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand angesehen werden; morphisms in dieser Kategorie sind gerade die Elemente von G. In Anbetracht einer willkürlichen Kategorie C ist eine Darstellung von G in C ein functor von G bis C. Solch ein functor wählt einen Gegenstand X in C und einem Gruppenhomomorphismus von G bis Aut (X), die automorphism Gruppe X aus.

Im Fall, wo C Vect, die Kategorie von Vektorräumen über Feld K ist, ist diese Definition zu einer geradlinigen Darstellung gleichwertig. Ebenfalls ist eine mit dem Satz theoretische Darstellung gerade eine Darstellung von G in der Kategorie von Sätzen.

Wenn C Ab, die Kategorie von abelian Gruppen ist, werden die erhaltenen Gegenstände G-Module genannt.

Weil ein anderes Beispiel die Kategorie von topologischen Räumen, Spitze denkt. Darstellungen in der Spitze sind Homomorphismus von G bis die homeomorphism Gruppe eines topologischen Raums X.

Zwei Typen von mit geradlinigen Darstellungen nah verbundenen Darstellungen sind:

  • projektive Darstellungen: in der Kategorie von projektiven Räumen. Diese können als "geradlinige Darstellungen bis zu Skalartransformationen" beschrieben werden.
  • Affine-Darstellungen: in der Kategorie von affine Räumen. Zum Beispiel handelt die Euklidische Gruppe affinely auf dem Euklidischen Raum.

Siehe auch

  • Charakter-Theorie
  • Liste von harmonischen Analyse-Themen
  • Liste von Darstellungstheorie-Themen
  • Darstellungstheorie von begrenzten Gruppen
  • . Einführung in die Darstellungstheorie mit der Betonung auf Lüge-Gruppen.
  • Yurii I. Lyubich. Einführung in die Theorie von Banach Darstellungen von Gruppen. Übersetzt von 1985 russischsprachige Ausgabe (Kharkov, die Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.

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