Im mathematischen Feld der Topologie, eines homeomorphism oder des topologischen Isomorphismus oder der Bicontinuous-Funktion ist eine dauernde Funktion zwischen topologischen Räumen, die eine dauernde umgekehrte Funktion hat. Homeomorphisms sind der Isomorphismus in der Kategorie von topologischen Räumen - d. h. sie sind die mappings, die alle topologischen Eigenschaften eines gegebenen Raums bewahren. Zwei Räume mit einem homeomorphism zwischen ihnen werden homeomorphic genannt, und aus einem topologischen Gesichtspunkt sind sie dasselbe.

Grob sprechend, ist ein topologischer Raum ein geometrischer Gegenstand, und der homeomorphism ist ein dauerndes Ausdehnen und das Verbiegen des Gegenstands in eine neue Gestalt. So sind ein Quadrat und ein Kreis homeomorphic zu einander, aber ein Bereich und ein Berliner sind nicht. Ein häufig wiederholter mathematischer Witz ist, dass topologists ihre Kaffeetasse von ihrem Berliner nicht erzählen kann, seitdem ein genug biegsamer Berliner zur Form einer Kaffeetasse durch das Schaffen eines Grübchens und progressiv die Vergrößerung davon neu geformt werden konnte, während man das Loch in einen Griff zusammenschrumpfen gelassen hat.

Topologie ist die Studie jener Eigenschaften von Gegenständen, die sich nicht ändern, wenn homeomorphisms angewandt werden. Wie Henri Poincaré berühmt gesagt hat, ist Mathematik nicht die Studie von Gegenständen, aber statt dessen die Beziehungen (Isomorphismus zum Beispiel) zwischen ihnen.

Definition

Eine Funktion f: X  Y zwischen zwei topologischen Räumen (X, T) und (Y, T) werden einen homeomorphism genannt, wenn er die folgenden Eigenschaften hat:

• f ist eine Bijektion (isomorph und auf),
• f, ist dauernd
• die umgekehrte Funktion f ist dauernd (f ist offen kartografisch darzustellen).

Eine Funktion mit diesen drei Eigenschaften wird manchmal bicontinuous genannt. Wenn solch eine Funktion besteht, sagen wir X, und Y sind homeomorphic. Ein self-homeomorphism ist ein homeomorphism eines topologischen Raums und seiner. Die homeomorphisms bilden eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf der Klasse aller topologischen Räume. Die resultierenden Gleichwertigkeitsklassen werden homeomorphism Klassen genannt.

Beispiele

• Die Einheit 2-Scheiben-D und das Einheitsquadrat in R ist homeomorphic.
• Der offene Zwischenraum (a, b) ist homeomorphic zu den reellen Zahlen R für irgendwelchen a]] × S und der zweidimensionale Ring sind homeomorphic.
• Jeder gleichförmige Isomorphismus und isometrischer Isomorphismus sind ein homeomorphism.
• Der 2-Bereiche-mit einem einzelnen entfernten Punkt ist homeomorphic zum Satz aller Punkte in R (ein 2-dimensionales Flugzeug).
• Lassen Sie A ein Ersatzring mit der Einheit sein und S eine multiplicative Teilmenge von A sein zu lassen. Dann ist Spekulation (A) homeomorphic zu
• R und R sind nicht homeomorphic für
• Die Euklidische echte Linie ist nicht homeomorphic zum Einheitskreis als ein Subraum von R, weil der Einheitskreis als ein Subraum von Euklidischem R kompakt ist, aber die echte Linie ist nicht kompakt.

Referenzen

Die dritte Voraussetzung, dass f, dauernd sein, ist notwendig. Denken Sie zum Beispiel die Funktion f:  S definiert durch f (φ) = (weil (φ), Sünde (φ)). Diese Funktion ist bijektiv und dauernd, aber nicht ein homeomorphism (S ist kompakt, aber ist nicht).

Homeomorphisms sind der Isomorphismus in der Kategorie von topologischen Räumen. Als solcher ist die Zusammensetzung von zwei homeomorphisms wieder ein homeomorphism und der Satz des ganzen self-homeomorphisms X  X Formen eine Gruppe, genannt die homeomorphism Gruppe X, hat häufig Homeo (X) angezeigt; dieser Gruppe kann eine Topologie wie die kompaktoffene Topologie gegeben werden, es eine topologische Gruppe machend.

Zu einigen Zwecken ist die homeomorphism Gruppe zufällig, aber zu groß

mittels der isotopy Beziehung kann man diese Gruppe auf den reduzieren

Klassengruppe kartografisch darzustellen.

Ähnlich wie gewöhnlich in der Kategorie-Theorie, in Anbetracht zwei Räume, die homeomorphic, der Raum von homeomorphisms zwischen ihnen, Homeo (X, Y) sind, ist ein torsor für die homeomorphism Gruppen Homeo (X) und Homeo (Y), und gegeben ein spezifischer homeomorphism zwischen X und Y, alle drei Sätze werden identifiziert.

Eigenschaften

• Zwei homeomorphic Räume teilen dieselben topologischen Eigenschaften. Zum Beispiel, wenn einer von ihnen kompakt ist, dann der andere ist ebenso; wenn einer von ihnen verbunden wird, dann der andere ist ebenso; wenn einer von ihnen Hausdorff ist, dann der andere ist ebenso; ihr homotopy & Homologie-Gruppen werden zusammenfallen. Bemerken Sie jedoch, dass sich das bis zu über einen metrischen definierte Eigenschaften nicht ausstreckt; es gibt metrische Räume, die homeomorphic sind, wenn auch einer von ihnen abgeschlossen ist und der andere nicht ist.
• Ein homeomorphism ist gleichzeitig offen kartografisch darzustellen und geschlossen kartografisch darzustellen; d. h. es stellt offene Sätze kartografisch dar, um Sätze und geschlossene Sätze zu geschlossenen Sätzen zu öffnen.
• Jeder self-homeomorphism darin kann zu einem self-homeomorphism der ganzen Platte (der Trick von Alexander) erweitert werden.

Informelle Diskussion

Das intuitive Kriterium von Ausdehnen, Verbiegen, Ausschnitt und Kleben nimmt zurück zusammen einen bestimmten Betrag der Praxis, um richtig zu gelten - es kann aus der Beschreibung über diesem Verformen eines Liniensegmentes zu einem Punkt nicht offensichtlich sein ist zum Beispiel unzulässig. Es ist so wichtig zu begreifen, dass es die formelle Definition ist, die darüber Zählungen gegeben ist.

Diese Charakterisierung eines homeomorphism führt häufig zu Verwirrung mit dem Konzept von homotopy, der wirklich als eine dauernde Deformierung, aber von einer Funktion bis einen anderen, aber nicht einem Raum zu einem anderen definiert wird. Im Fall von einem homeomorphism, sich eine dauernde Deformierung vorstellend, ist ein geistiges Werkzeug, um nachzugehen, von denen auf dem Raum X hinweist, entsprechen, welche Punkte auf Y man ihnen gerade folgt, weil X deformiert. Im Fall von homotopy ist die dauernde Deformierung von einer Karte bis den anderen der Essenz, und es ist auch weniger einschränkend, da keine der beteiligten Karten isomorph sein muss oder darauf. Homotopy führt wirklich zu einer Beziehung auf Räumen: Homotopy-Gleichwertigkeit.

Es gibt einen Namen für die Art der am Vergegenwärtigen eines homeomorphism beteiligten Deformierung. Es ist (außer, wenn Ausschnitt und das Wiederkleben erforderlich sind) ein isotopy zwischen der Identitätskarte auf X und dem homeomorphism von X bis Y.

Siehe auch

• Lokaler homeomorphism
• Diffeomorphism
• Gleichförmiger Isomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen gleichförmigen Räumen
• Isometrischer Isomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen metrischen Räumen
• Dehn drehen
• Homeomorphism (Graph-Theorie) (nah verbunden mit der Graph-Unterteilung)
• Isotopy
• Klassengruppe kartografisch darstellend
• Poincaré vermuten

Links