In der Mathematik, holomorphic Funktionen sind die Hauptgegenstände der Studie in der komplizierten Analyse. Eine Holomorphic-Funktion ist eine Komplex-geschätzte Funktion von einer oder komplizierteren Variablen, der komplizierter differentiable in einer Nachbarschaft jedes Punkts in seinem Gebiet ist. Die Existenz einer komplizierten Ableitung ist eine sehr starke Bedingung, weil sie andeutet, dass jede Holomorphic-Funktion wirklich ungeheuer differentiable und gleich seiner eigenen Reihe von Taylor ist.

Analytische Funktion des Begriffes wird häufig austauschbar mit "holomorphic Funktion" verwendet, obwohl das "analytische" Wort auch in einem breiteren Sinn verwendet wird, jede Funktion zu beschreiben (echt, kompliziert, oder des allgemeineren Typs), der seiner Reihe von Taylor in einer Nachbarschaft jedes Punkts in seinem Gebiet gleich ist. Die Tatsache, dass die Klasse von komplizierten analytischen Funktionen mit der Klasse von Holomorphic-Funktionen zusammenfällt, ist ein Hauptlehrsatz in der komplizierten Analyse.

Funktionen von Holomorphic werden auch manchmal regelmäßige Funktionen oder als conformal Karten genannt. Ein holomorphic fungiert, wessen Gebiet das ganze komplizierte Flugzeug ist, wird eine komplette Funktion genannt. Der Ausdruck "holomorphic an einem Punkt z" bedeutet nicht nur differentiable an z, aber differentiable überall innerhalb von einer Nachbarschaft von z im komplizierten Flugzeug.

Definition

In Anbetracht eines Komplex-geschätzten Funktions-ƒ einer einzelnen komplizierten Variable wird die Ableitung von ƒ an einem Punkt z in seinem Gebiet durch die Grenze definiert

:

Das ist dasselbe als die Definition der Ableitung für echte Funktionen, außer dass alle Mengen kompliziert sind. Insbesondere die Grenze wird als die komplexe Zahl z genommen nähert sich z, und muss denselben Wert für jede Folge von komplizierten Werten für z haben, die sich z auf dem komplizierten Flugzeug nähern. Wenn die Grenze besteht, sagen wir, dass ƒ am Punkt z kompliziert-differentiable ist. Dieses Konzept des Komplexes differentiability teilt mehrere Eigenschaften mit echtem differentiability: Es ist geradlinig und folgt der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel.

Wenn ƒ komplizierter differentiable an jedem Punkt z in U ist, sagen wir, dass ƒ holomorphic auf U ist. Wir sagen, dass ƒ holomorphic am Punkt z ist, wenn es holomorphic auf einer Nachbarschaft von z ist. Wir sagen, dass ƒ holomorphic auf einem nichtoffenen Satz ist, wenn es holomorphic in einem offenen Satz ist, der A enthält.

Die Beziehung zwischen echtem differentiability und Komplex differentiability ist das folgende. Wenn eine komplizierte Funktion = holomorphic ist, dann haben u und v die ersten partiellen Ableitungen in Bezug auf x und y, und befriedigen die Gleichungen von Cauchy-Riemann:

:

Wenn Kontinuität nicht ein gegebener ist, ist das gegenteilige nicht notwendigerweise wahr. Ein einfacher gegenteiliger ist dass, wenn u und v die dauernden ersten partiellen Ableitungen haben und die Gleichungen von Cauchy-Riemann befriedigen, dann ist ƒ holomorphic. Mehr befriedigend gegenteilig, der viel härter ist sich zu erweisen, sind der Lehrsatz von Looman-Menchoff: Wenn ƒ, u dauernd ist und v die ersten partiellen Ableitungen (aber nicht notwendigerweise dauernd) haben, und sie die Gleichungen von Cauchy-Riemann befriedigen, dann ist ƒ holomorphic.

Fachsprache

Das Wort "holomorphic" wurde von zwei der Studenten von Cauchy, Briots (1817-1882) und Bouquets (1819-1895) eingeführt, und ist auf den Griechen (holos) Bedeutung "komplett", und (morphē) Bedeutung "Form" oder "Äußeres" zurückzuführen.

Heute wird der Begriff "holomorphic Funktion" manchmal der "analytischen Funktion" bevorzugt, weil der Letztere ein mehr Gesamtkonzept ist. Das ist auch, weil ein wichtiges Ergebnis in der komplizierten Analyse darin besteht, dass jede Holomorphic-Funktion analytisch, eine Tatsache kompliziert ist, die direkt aus den Definitionen nicht folgt. Der Begriff "analytischer" ist jedoch auch im breiten Gebrauch.

Eigenschaften

Weil komplizierte Unterscheidung geradlinig ist und dem Produkt, Quotienten folgt, und Kettenregeln, die Summen, Produkte und Zusammensetzungen von Holomorphic-Funktionen holomorphic sind, und der Quotient von zwei Holomorphic-Funktionen holomorphic ist, wo auch immer der Nenner nicht Null ist.

Die Ableitung kann als eine Kontur integrierte Verwenden-Unterscheidungsformel von Cauchy geschrieben werden:

:

für jede einfache Schleife, die sich positiv einmal ringsherum, und windet

:

für unendlich kleine positive Schleifen ringsherum.

Wenn man C mit R identifiziert, dann fallen die Holomorphic-Funktionen mit jenen Funktionen von zwei echten Variablen mit den dauernden ersten Ableitungen zusammen, die die Gleichungen von Cauchy-Riemann, eine Reihe zwei teilweise Differenzialgleichungen lösen.

Jede Holomorphic-Funktion kann in seine echten und imaginären Teile getrennt werden, und jeder von diesen ist eine Lösung der Gleichung von Laplace auf R. Mit anderen Worten, wenn wir eine Holomorphic-Funktion f (z) als u (x, y) + i v (x, y) ausdrücken, sowohl u als auch v sind harmonische Funktionen, wo v die Harmonische ist, die von u und umgekehrt verbunden ist.

In Gebieten, wo die erste Ableitung nicht ist, Null, holomorphic Funktionen sind conformal im Sinn, dass sie Winkel und die Gestalt (aber nicht Größe) von kleinen Zahlen bewahren.

Die integrierte Formel von Cauchy stellt fest, dass jede Funktion holomorphic innerhalb einer Platte durch seine Werte an der Grenze der Platte völlig bestimmt wird.

Jede Holomorphic-Funktion ist analytisch. D. h. eine Holomorphic-Funktion f hat Ableitungen jeder Ordnung an jedem Punkt in seinem Gebiet, und es fällt mit seiner eigenen Reihe von Taylor an in einer Nachbarschaft von a zusammen. Tatsächlich fällt f mit seiner Reihe von Taylor an in jeder Platte zusammen, die an diesem Punkt in den Mittelpunkt gestellt ist und innerhalb des Gebiets der Funktion liegend.

Aus einem algebraischen Gesichtspunkt ist der Satz von Holomorphic-Funktionen auf einem offenen Satz ein Ersatzring und ein komplizierter Vektorraum. Tatsächlich ist es ein lokal konvexer topologischer Vektorraum mit den Halbnormen, die der suprema auf Kompaktteilmengen sind.

Von einer geometrischen Perspektive ist eine Funktion f holomorphic an z, wenn, und nur wenn seine Außenableitung df in einer Nachbarschaft U z f&prime gleich ist; (z) dz für etwas dauernde Funktion f′. es folgt

aus:

das df′ ist auch zu dz proportional, dass die Ableitung f&prime andeutend; ist selbst holomorphic und so, dass f ungeheuer differentiable ist. Ähnlich die Tatsache dass d (f dz) = f′ dz  dz = 0 deutet an, dass jede Funktion f, der holomorphic auf dem einfach verbundenen Gebiet U ist, auch integrable auf U. ist (Für einen Pfad γ von z bis z, der völlig in U liegt, definieren Sie

:;

im Licht des Kurve-Lehrsatzes von Jordan und des Lehrsatzes von verallgemeinertem Stokes F ist (z) der besonderen Wahl des Pfads γ unabhängig, und so F ist (z) eine bestimmte Funktion auf U, der F (z) = F und dF = f dz hat.)

Beispiele

Alle polynomischen Funktionen in z mit komplizierten Koeffizienten sind holomorphic auf C,

und sind auch Sinus, Kosinus und die Exponentialfunktion.

(Die trigonometrischen Funktionen sind tatsächlich nah damit verbunden und können über die Exponentialfunktion mit der Formel von Euler definiert werden).

Der Hauptzweig der komplizierten Logarithmus-Funktion ist holomorphic auf dem Satz C \{z  R: z  0\.

Die Quadratwurzel-Funktion kann als definiert werden

:

und ist deshalb holomorphic, wo auch immer der Logarithmus-Klotz (z) ist. Die Funktion 1/z ist holomorphic auf {z: z  0\.

Demzufolge der Gleichungen von Cauchy-Riemann muss eine reellwertige Holomorphic-Funktion unveränderlich sein. Deshalb sind der absolute Wert von z, das Argument von z, der echte Teil von z und der imaginäre Teil von z nicht holomorphic. Ein anderes typisches Beispiel einer dauernden Funktion, die nicht holomorphic ist, ist komplizierte Konjugation.

Mehrere Variablen

Eine komplizierte analytische Funktion von mehreren komplizierten Variablen wird definiert, um analytisch zu sein, und holomorphic an einem Punkt, wenn es (innerhalb einer Polyplatte, eines Kartesianischen Produktes von Platten lokal erweiterbar ist, die an diesem Punkt in den Mittelpunkt gestellt sind) als eine konvergente Macht-Reihe in den Variablen. Diese Bedingung ist stärker als die Gleichungen von Cauchy-Riemann; tatsächlich kann es festgesetzt werden

wie folgt:

Eine Funktion von mehreren komplizierten Variablen ist holomorphic, wenn, und nur wenn es die Gleichungen von Cauchy-Riemann befriedigt und lokal Quadrat-Integrable ist.

Erweiterung auf die Funktionsanalyse

Das Konzept einer Holomorphic-Funktion kann zu den unendlich-dimensionalen Räumen der Funktionsanalyse erweitert werden. Zum Beispiel kann die Ableitung von Fréchet oder Gâteaux verwendet werden, um einen Begriff einer Holomorphic-Funktion auf einem Banachraum über das Feld von komplexen Zahlen zu definieren.

Siehe auch

• Antiableitung (komplizierte Analyse)
• Antiholomorphic fungieren
• Biholomorphy
• Meromorphic fungieren
• Quadratur-Gebiete