Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, deren Quadrat weniger ist als oder gleich der Null. Zum Beispiel, ist eine imaginäre Zahl, und sein Quadrat ist. Eine imaginäre Zahl kann als eine reelle Zahl geschrieben werden, die mit der imaginären Einheit multipliziert ist, die durch sein Eigentum definiert wird. Gemäß einigen Definitionen wird Null als eine imaginäre Zahl, aber als ein reiner echter nicht betrachtet.

Eine imaginäre Zahl kann zu einer reellen Zahl hinzugefügt werden, um eine komplexe Zahl der Form zu bilden, wo und, beziehungsweise, den echten Teil und den imaginären Teil der komplexen Zahl genannt werden. Von imaginären Zahlen kann deshalb als komplexe Zahlen gedacht werden, deren echter Teil Null ist. Der Name "imaginäre Zahl" wurde im 17. Jahrhundert als ein abschätziger Begriff ins Leben gerufen, weil solche Zahlen von einigen als frei erfunden oder nutzlos betrachtet wurden, aber heute haben sie eine Vielfalt von wesentlichen, konkreten Anwendungen in der Wissenschaft und Technik.

Geschichte

Obwohl der griechische Mathematiker- und Ingenieur-Reiher Alexandrias als das erste bemerkt wird, um sich diese Zahlen vorgestellt zu haben, hat Rafael Bombelli zuerst die Regeln für die Multiplikation von komplexen Zahlen 1572 abgesetzt. Das Konzept war im Druck früher zum Beispiel in der Arbeit von Gerolamo Cardano erschienen. Zurzeit wurden solche Zahlen schlecht verstanden und von einigen als frei erfunden oder nutzlos viel als Null betrachtet, und die negativen Zahlen waren einmal. Viele andere Mathematiker waren langsam, um den Gebrauch von imaginären Zahlen einschließlich René Descartes anzunehmen, der über sie in seinem La Géométrie geschrieben hat, wo der imaginäre Begriff gebraucht und beabsichtigt wurde, um abschätzig zu sein. Der Gebrauch von imaginären Zahlen wurde bis zur Arbeit von Leonhard Euler (1707-1783) und Carl Friedrich Gauss (1777-1855) nicht weit akzeptiert. Die geometrische Bedeutung von komplexen Zahlen als Punkte in einem Flugzeug wurde zuerst von Caspar Wessel (1745-1818) beschrieben.

1843 hat ein mathematischer Physiker, William Rowan Hamilton, die Idee von einer Achse von imaginären Zahlen im Flugzeug zu einem dreidimensionalen Raum von quaternion imaginaries erweitert.

Mit der Entwicklung von Quotient-Ringen von polynomischen Ringen ist das Konzept hinter einer imaginären Zahl wesentlicher geworden, aber dann findet man auch andere imaginäre Zahlen wie der j von tessarines, der ein Quadrat +1 hat. Diese Idee ist zuerst mit den Artikeln von James Cockle aufgetaucht, der 1848 beginnt.

Geometrische Interpretation

Geometrisch werden imaginäre Zahlen auf der vertikalen Achse des Flugzeugs der komplexen Zahl gefunden, ihnen erlaubend, Senkrechte der echten Achse präsentiert zu werden. Eine Weise, imaginäre Zahlen anzusehen, ist, einen Standardzahlenstrahl zu denken, positiv im Umfang nach rechts zunehmend, und negativ im Umfang nach links zunehmend. An 0 darauf - Achse - kann Achse mit "der positiven" Richtung gezogen werden, die steigt; "positive" imaginäre Zahlen nehmen dann im Umfang aufwärts und "der negativen" Zunahme der imaginären Zahlen im Umfang abwärts zu. Diese vertikale Achse wird häufig die "imaginäre Achse" genannt und wird angezeigt, oder einfach.

In dieser Darstellung entspricht Multiplikation durch-1 einer Folge von 180 Graden über den Ursprung. Multiplikation dadurch entspricht einer 90-Grade-Folge in der "positiven" Richtung (d. h., gegen den Uhrzeigersinn), und die Gleichung wird interpretiert, sagend dass, wenn wir zwei 90-Grade-Folgen über den Ursprung anwenden, das Nettoergebnis eine einzelne 180-Grade-Folge ist. Bemerken Sie, dass eine 90-Grade-Folge in der "negativen" Richtung (d. h. im Uhrzeigersinn) auch diese Interpretation befriedigt. Das widerspiegelt die Tatsache, die auch die Gleichung löst — sieh imaginäre Einheit. Im Allgemeinen ist das Multiplizieren mit einer komplexen Zahl dasselbe als rotierend um den Ursprung durch das Argument der komplexen Zahl, das von einem Schuppen durch seinen Umfang gefolgt ist.

Anwendungen von imaginären Zahlen

Imaginäre Zahlen sind nützlich, weil sie den Aufbau von nichtechten komplexen Zahlen erlauben, die wesentliche konkrete Anwendungen in einer Vielfalt von wissenschaftlichen und zusammenhängenden Gebieten wie Signalverarbeitung, Steuerungstheorie, Elektromagnetismus, flüssige Dynamik, Quant-Mechanik, Kartenzeichnen und Vibrieren-Analyse haben.

Multiplikation von Quadratwurzeln

Sorge muss im Multiplizieren von Quadratwurzeln von negativen Zahlen verwendet werden. Zum Beispiel ist das folgende Denken falsch:

Der Scheinbeweis ist, dass die Regel, wo der Hauptwert der Quadratwurzel in jedem Beispiel genommen wird, nur allgemein gültig ist, wenn mindestens eine der zwei Nummern x oder y positiv sind, der nicht der Fall hier ist.

Siehe auch

• Octonion
• Quaternion
• die Formel von de Moivre

Bibliografie

• erklären viele Anwendungen imaginärer Ausdrücke.

Links

• Wie kann man zeigen, dass imaginäre Zahlen wirklich bestehen? - ein Artikel, der die Existenz von imaginären Zahlen bespricht.
• In unserer Zeit: Diskussion der Imaginären Zahlen von imaginären Zahlen im BBC-Radio 4.
• 5Numbers BBC-Radio des Programms 4 4 Programm