Unendlich kleine Rechnung ist der Teil der Mathematik, die mit der Entdeckung des Hangs von Kurven, Gebieten unter Kurven, Minima und Maxima und anderen geometrischen und analytischen Problemen betroffen ist.

Geschichte

Gründer

Es wurde von Gottfried Leibniz und Isaac Newton unabhängig entwickelt, der in den 1660er Jahren anfängt. John Wallis hat einen unendlich kleinen ausgenutzt, den er in Bereichsberechnungen angezeigt hat, den Boden für die Integralrechnung vorbereitend. Sie haben sich auf die Arbeit solcher Mathematiker wie Isaac Barrow und René Descartes gestützt. Unendlich kleine Rechnung besteht aus der Differenzialrechnung und Integralrechnung, die beziehungsweise für die Techniken der Unterscheidung und Integration verwendet ist.

Newton hat sich bemüht, den Gebrauch von infinitesimals von seiner fluxional Rechnung zu entfernen, dem Gespräch von Geschwindigkeiten bevorzugend, weil in "Für durch die äußerste Geschwindigkeit... das äußerste Verhältnis von flüchtigen Mengen gemeint wird". Leibniz hat das Konzept umarmt, völlig Differenziale "... eine flüchtige Menge nennend, die noch den Charakter davon behält, was verschwindet", und seine Notation für sie die aktuelle Symbolik in der Rechnung ist.

Weitere Entwicklung

In der frühen Rechnung war der Gebrauch von unendlich kleinen Mengen unstreng und wurde von mehreren Autoren, am meisten namentlich Michel Rolle und Bischof Berkeley wild kritisiert. Berkeley hat infinitesimals in seinem Buch Der Analytiker 1734 beschrieben.

Mehrere Mathematiker, einschließlich Maclaurins und D'Alemberts, versucht, um die Stichhaltigkeit zu beweisen, Grenzen zu verwenden, aber würde es 150 Jahre später, durch die Arbeit von Augustin Louis Cauchy und Karl Weierstrass sein, wo, wie man schließlich fand, ein Mittel bloße "Begriffe" von ungeheuer kleinen Mengen vermieden hat, dass die Fundamente der unterschiedlichen und Integralrechnung fest gemacht wurden. Cauchy hat ein vielseitiges Spektrum von Foundational-Annäherungen, einschließlich einer Definition der Kontinuität in Bezug auf infinitesimals und einen (etwas ungenauen) Prototyp entwickelt (ε, δ)-Definition der Grenze in der Definition der Unterscheidung. Weierstrass hat das Konzept der Grenze formalisiert und hat infinitesimals beseitigt. Im Anschluss an die Arbeit von Weierstrass ist es schließlich üblich geworden, um Rechnung auf Grenzen statt unendlich kleiner Mengen zu stützen.

Diese von Weierstrass formalisierte Annäherung ist gekommen, um als die Standardrechnung bekannt zu sein. Informell ist der Ausdruck "unendlich kleine Rechnung" allgemein verwendet geworden, um sich auf die Annäherung von Weierstrass zu beziehen, aber ist etwas einer toten Metapher geworden.

Moderner infinitesimals

Nach vielen Jahren der unendlich kleinen Annäherung an die Rechnung, die in den Nichtgebrauch außer als ein einleitendes pädagogisches Werkzeug gefallen ist, wurde der Gebrauch von unendlich kleinen Mengen schließlich ein strenges Fundament von Abraham Robinson in den 1960er Jahren gegeben. Die Annäherung von Robinson, genannt Sonderanalyse, verwendet technische Maschinerie von der mathematischen Logik, um eine Theorie von hyperreellen Zahlen zu schaffen, die infinitesimals gewissermaßen interpretieren, der eine Leibniz ähnliche Entwicklung der üblichen Regeln der Rechnung erlaubt.

Varianten

Unterschiedliche und Integralrechnung

Die ursprüngliche unendlich kleine Rechnung, die Newton und Leibniz zugeschrieben ist. Differenzialrechnung ist ein Teilfeld der Rechnung, die mit der Studie der Raten betroffen ist, an denen sich Mengen ändern, während Integralrechnung informell definiert wird, um das Gebiet des Gebiets im xy-plane zu sein, der durch den Graphen von f, der X-Achse und den vertikalen Linien begrenzt ist, und, solch, dass Gebiete über der Achse zur Summe beitragen, und das Gebiet unter der x Achse von der Summe Abstriche machen.

Standardrechnung

Es basiert auf der Annäherung, die Weierstrass genommen hat, infinitesimals durch Grenzen ersetzend. Grenzen beschreiben den Wert einer Funktion an einem bestimmten Eingang in Bezug auf seine Werte am nahe gelegenen Eingang. Sie gewinnen kleines Verhalten gerade wie infinitesimals, aber verwenden das gewöhnliche System der reellen Zahl. In dieser Behandlung ist Rechnung eine Sammlung von Techniken, um bestimmte Grenzen zu manipulieren. Infinitesimals wird durch sehr kleine Zahlen ersetzt, und das ungeheuer kleine Verhalten der Funktion wird durch die Einnahme des Begrenzungsverhaltens für kleinere und kleinere Zahlen gefunden. Grenzen sind die leichteste Weise, strenge Fundamente für die Rechnung zur Verfügung zu stellen, und aus diesem Grund sind sie die Standardannäherung.

Sonderrechnung

Gestützt auf der Annäherung von Robinson an infinitesimals. Berechnungen mit infinitesimals wurden durch weit ersetzt (ε, δ)-Definition der Grenze, die in den 1870er Jahren anfängt. Seit fast hundert Jahren danach haben Mathematiker wie Richard Courant infinitesimals angesehen als, naiv und vage oder sinnlos zu sein.

Gegen solche Ansichten hat Abraham Robinson 1960 gezeigt, dass infinitesimals genau, klar, und bedeutungsvoll sind, nach der Arbeit von Edwin Hewitt und Jerzy Łoś bauend. Gemäß Jerome Keisler, "hat Robinson ein dreihundertjähriges Problem behoben, indem er eine genaue Behandlung von infinitesimals gegeben hat. Das Zu-Stande-Bringen von Robinson wird sich wahrscheinlich als einer der mathematischen Hauptfortschritte des zwanzigsten Jahrhunderts aufreihen."

Glätten Sie unendlich kleine Analyse

Das ist eine mathematisch strenge neue Darlegung der Rechnung in Bezug auf infinitesimals. Gestützt auf den Ideen von F. W. Lawvere und Beschäftigung der Methoden der Kategorie-Theorie sieht es alle Funktionen an als, dauernd und unfähig zu sein, in Bezug auf getrennte Entitäten ausgedrückt zu werden. Als eine Theorie ist es eine Teilmenge der synthetischen Differenzialgeometrie.

Zeichen

Anderer

• Baron, Margaret E.: Die Ursprünge der unendlich kleinen Rechnung. Dover Publications, Inc., New York, 1987.
• Baron, Margaret E.: Die Ursprünge der unendlich kleinen Rechnung. Pergamon Presse, Oxford-Edinburgh-New York 1969. (Eine neue Ausgabe des Buches der Baron ist 2004 erschienen)
• Lavendhomme, R.: Grundlegende Konzepte von synthetischer Differenzialgeometrie, Kluwer, Dordrecht, 1996
• O'Connor, Michael: Eine Einführung, um unendlich kleine Analyse zu glätten