In der abstrakten Algebra ist ein Isomorphismus ein bijektiver Homomorphismus. Wie man sagt, sind zwei mathematische Strukturen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

In der Kategorie-Theorie ist ein Isomorphismus ein morphism in einer Kategorie, für die dort ein "Gegenteil" mit dem Eigentum das beide und besteht

Zweck

Isomorphismus wird in der Mathematik studiert, um Einblicke von einem Phänomen bis andere zu erweitern: Wenn zwei Gegenstände isomorph sind, dann jedes Eigentum, das durch einen Isomorphismus bewahrt wird, und das trifft auf einen der Gegenstände zu, ist auch vom anderen wahr. Wenn ein Isomorphismus von einem relativ unbekannten Teil der Mathematik in eine gut studierte Abteilung der Mathematik gefunden werden kann, wo viele Lehrsätze bereits bewiesen werden, und viele Methoden bereits verfügbar sind, um Antworten zu finden, dann kann die Funktion verwendet werden, um ganze Probleme aus dem fremden Territorium zum "festen Boden" kartografisch darzustellen, wo das Problem leichter ist, zu verstehen und damit zu arbeiten.

Praktische Beispiele

Der folgende ist Beispiele des Isomorphismus von der gewöhnlichen Algebra.

Denken Sie die Logarithmus-Funktion: Für jede feste Basis b stellt der Logarithmus-Funktionsklotz von den positiven reellen Zahlen R auf die reellen Zahlen R kartografisch dar; formell:

:

Das kartografisch darzustellen, ist isomorph und auf, d. h. ist es eine Bijektion vom Gebiet bis den codomain der Logarithmus-Funktion.

Zusätzlich dazu, ein Isomorphismus von Sätzen zu sein, bewahrt die Logarithmus-Funktion auch bestimmte Operationen. Denken Sie spezifisch die Gruppe (R) positiver reeller Zahlen unter der gewöhnlichen Multiplikation. Die Logarithmus-Funktion folgt der folgenden Identität:

:

Aber die reellen Zahlen unter der Hinzufügung bilden auch eine Gruppe. So ist die Logarithmus-Funktion tatsächlich ein Gruppenisomorphismus von der Gruppe (R), zur Gruppe (R).

Logarithmen können deshalb verwendet werden, um Multiplikation von reellen Zahlen zu vereinfachen. Durch das Arbeiten mit Logarithmen wird die Multiplikation von positiven reellen Zahlen durch die Hinzufügung des Klotzes ersetzt. Auf diese Weise ist es möglich, reelle Zahlen mit einem Lineal und einem Tisch von Logarithmen, oder mit einem Rechenschieber mit einer logarithmischen Skala zu multiplizieren.

</li>

Diese Strukturen sind unter der Hinzufügung isomorph, wenn Sie sie identifizieren, das folgende Schema verwendend:

: (0,0)  0

: (1,1)  1

: (0,2)  2

: (1,0)  3

: (0,1)  4

: (1,2)  5

oder im Allgemeinen (a, b)  (3a + 4b) mod 6.

Bemerken Sie zum Beispiel, dass (1,1) + (1,0) = (0,1), der im anderen System als 1 + 3 = 4 übersetzt.

Wenn auch diese zwei Gruppen verschieden darin "aussehen", enthalten die Sätze verschiedene Elemente, sie sind tatsächlich isomorph: Ihre Strukturen sind genau dasselbe. Mehr allgemein ist das direkte Produkt von zwei zyklischen Gruppen Z und Z zu Z isomorph, wenn, und nur wenn M und n coprime sind.

</li>

</ul>

Abstrakte Beispiele

Ein Beziehung bewahrender Isomorphismus

Wenn ein Gegenstand aus einem Satz X mit einer binären Beziehung R besteht und der andere Gegenstand aus einem Satz Y mit einer binären Beziehung S dann besteht, ist ein Isomorphismus von X bis Y eine bijektive solche Funktion dass:

:

S, ist irreflexive reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch, asymmetrisch, transitiv, trichotomous, eine teilweise Ordnung, Gesamtbezug, strenge schwache Ordnung, Gesamtvorordnung (schwache Ordnung), eine Gleichwertigkeitsbeziehung oder eine Beziehung mit irgendwelchen anderen speziellen Eigenschaften ganz, wenn, und nur wenn R ist.

Zum Beispiel ist R eine Einrichtung  und S eine Einrichtung, dann ist ein Isomorphismus von X bis Y eine bijektive solche Funktion dass

:

Solch ein Isomorphismus wird einen Ordnungsisomorphismus oder (weniger allgemein) einen isotone Isomorphismus genannt.

Wenn das eine Beziehungsbewahrung automorphism ist.

Ein Operation bewahrender Isomorphismus

Nehmen Sie an, dass auf diesen Sätzen X und Y es zwei binäre Operationen gibt, und die zufällig die Gruppen (X) und (den Y) einsetzen. Bemerken Sie, dass die Maschinenbediener auf Elementen vom Gebiet und der Reihe beziehungsweise des "isomorphen" und "auf" den Funktions-ƒ funktionieren. Es gibt einen Isomorphismus von X bis Y, wenn die bijektive Funktion zufällig Ergebnisse erzeugt, der eine Ähnlichkeit zwischen dem Maschinenbediener und dem Maschinenbediener aufstellt.

:

für den ganzen u, v in X.

Anwendungen

In der abstrakten Algebra wird zwei grundlegender Isomorphismus definiert:

• Gruppenisomorphismus, ein Isomorphismus zwischen Gruppen
• Ringisomorphismus, ein Isomorphismus zwischen Ringen. (Bemerken Sie, dass der Isomorphismus zwischen Feldern wirklich Ringisomorphismus ist)

Da die automorphisms einer algebraischen Struktur eine Gruppe bilden, bildet der Isomorphismus zwischen zwei Algebra, die eine allgemeine Struktur teilen, einen Haufen. Das Lassen eines besonderen Isomorphismus die zwei Strukturen identifizieren verwandelt diesen Haufen in eine Gruppe.

In der mathematischen Analyse verwandeln sich Laplace ist ein Isomorphismus, der harte Differenzialgleichungen in leichtere algebraische Gleichungen kartografisch darstellt.

In der Kategorie-Theorie Iet die Kategorie bestehen C aus zwei Klassen, einem von Gegenständen und den anderen von morphisms. Dann ist eine allgemeine Definition des Isomorphismus, der das vorherige und viele andere Fälle bedeckt: Ein Isomorphismus ist ein morphism, der ein Gegenteil hat, d. h. dort ein morphism mit besteht und. Zum Beispiel ist eine bijektive geradlinige Karte ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen, und eine bijektive dauernde Funktion, deren Gegenteil auch dauernd ist, ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen, genannt einen homeomorphism.

In der Graph-Theorie, einem Isomorphismus zwischen zwei Graphen G und H ist eine bijektive Karte f von den Scheitelpunkten von G zu den Scheitelpunkten von H, der die "Rand-Struktur" im Sinn bewahrt, dass es einen Rand vom Scheitelpunkt u zum Scheitelpunkt v in G wenn und nur gibt, wenn es einen Rand vom ƒ (u) zu (v) ƒ in H gibt. Sieh Graph-Isomorphismus.

In der mathematischen Analyse ist ein Isomorphismus zwischen zwei Räumen von Hilbert eine Bijektionsbewahrungshinzufügung, Skalarmultiplikation und Skalarprodukt.

In frühen Theorien des logischen Atomismus wurde die formelle Beziehung zwischen Tatsachen und wahren Vorschlägen von Bertrand Russell und Ludwig Wittgenstein theoretisiert, um isomorph zu sein. Ein Beispiel dieser Linie des Denkens kann in der Einführung von Russell in die Mathematische Philosophie gefunden werden.

In der Kybernetik, dem Guten Gangregler oder Conant-Ashby Lehrsatz wird "Jeder Gute Gangregler eines Systems festgesetzt muss ein Modell dieses Systems sein". Entweder geregelt oder selbstregulierend ist ein Isomorphismus zwischen dem Gangregler-Teil und dem in einer Prozession gehenden Teil des Systems erforderlich.

Beziehung mit der Gleichheit

In bestimmten Gebieten der Mathematik, namentlich Kategorie-Theorie, ist es wertvoll, zwischen Gleichheit einerseits und Isomorphismus auf dem anderen zu unterscheiden. Gleichheit besteht darin, wenn zwei Gegenstände genau dasselbe und alles sind, was es über einen Gegenstand wahr ist, ist über den anderen wahr, während ein Isomorphismus alles einbezieht, was es über die Struktur eines Gegenstands wahr ist, ist über das eines anderen wahr. Zum Beispiel, die Sätze

:

sind

gleich; sie sind bloß verschiedene Präsentationen — das erste ein intensional ein (in der Satz-Baumeister-Notation), und der zweite Verlängerungs-(durch die ausführliche Enumeration) — derselben Teilmenge der ganzen Zahlen. Im Vergleich sind die Sätze {A, B, C} und {1,2,3} nicht gleich - das erste hat Elemente, die Briefe sind, während das zweite Elemente hat, die Zahlen sind. Diese sind als Sätze isomorph, da begrenzte Sätze bis zum Isomorphismus durch ihren cardinality (Zahl der Elemente) bestimmt werden und diese beide drei Elemente haben, aber es gibt viele Wahlen des Isomorphismus - ist ein Isomorphismus

: während ein anderer ist

und kein Isomorphismus ist wirklich besser als irgendwelcher anderer. Auf dieser Ansicht und in diesem Sinn sind diese zwei Sätze nicht gleich, weil man sie als identisch nicht betrachten kann: Man kann einen Isomorphismus zwischen ihnen wählen, aber das ist ein schwächerer Anspruch als Identität — und gültig nur im Zusammenhang des gewählten Isomorphismus.

Manchmal kann der Isomorphismus offensichtlich und das Zwingen scheinen, aber ist noch immer nicht Gleichheiten. Als ein einfaches Beispiel sind die genealogischen Beziehungen unter Joe, John und Bobby Kennedy, in einem echten Sinn, dasselbe als diejenigen unter den Angriffsdirigenten des American Footballs in der Familie von Manning: Archie, Peyton und Eli. Die Paarung des Vaters-Sohnes und der ältere Bruder jüngere Bruder-Paarung entsprechen vollkommen. Diese Ähnlichkeit zwischen den zwei Familienstrukturen illustriert den Ursprung des Wortisomorphismus (griechischer iso-, "dasselbe," und-morph, "Form" oder "Gestalt"). Aber weil Kennedys nicht dieselben Leute wie Mannings sind, sind die zwei genealogischen Strukturen bloß isomorph und nicht gleich.

Ein anderes Beispiel ist mehr formell und illustriert mehr direkt die Motivation, um Gleichheit vom Isomorphismus zu unterscheiden: die Unterscheidung zwischen einem endlich-dimensionalen Vektorraum V und seinem Doppelraum} geradliniger Karten von V bis sein Feld von Skalaren K.

Diese Räume haben dieselbe Dimension, und sind so als abstrakte Vektorräume isomorph (da algebraisch Vektorräume durch die Dimension klassifiziert werden, wie Sätze durch cardinality klassifiziert werden), aber es gibt keine "natürliche" Wahl des Isomorphismus.

Wenn man eine Basis für V wählt, dann gibt das einen Isomorphismus nach: Für alle,

:.

Das entspricht dem Umwandeln eines Spaltenvektors (Element V) zu einem Zeilenvektoren (Element V *) dadurch stellen um, aber eine verschiedene Wahl der Basis gibt einen verschiedenen Isomorphismus: Der Isomorphismus "hängt von der Wahl der Basis ab".

Subtiler gibt es eine Karte von einem Vektorraum V zu seinem doppelten Doppel-}, der von der Wahl der Basis nicht abhängt: Für den ganzen

:.

Das führt zu einem dritten Begriff, diesem eines natürlichen Isomorphismus: Während V und V ** verschiedene Sätze sind, gibt es eine "natürliche" Wahl des Isomorphismus zwischen ihnen.

Dieser intuitive Begriff "eines Isomorphismus, der von keiner willkürlichen Wahl abhängt", wird im Begriff einer natürlichen Transformation formalisiert; kurz kann sich dieser durchweg identifizieren, oder mehr allgemein von, ein Vektorraum zu seinem doppelten Doppel-für jeden Vektorraum auf eine konsequente Weise kartografisch darstellen.

Das Formalisieren dieser Intuition ist eine Motivation für die Entwicklung der Kategorie-Theorie.

Wenn man einen Unterschied zwischen einem willkürlichen Isomorphismus machen möchte (derjenige, der von einer Wahl abhängt) und ein natürlicher Isomorphismus (derjenige der durchweg getan werden kann), kann man für einen unnatürlichen Isomorphismus und  für einen natürlichen Isomorphismus, als in und schreiben

Dieser Tagung, wird und Autoren nicht allgemein gefolgt, die zwischen dem unnatürlichen Isomorphismus unterscheiden möchten, und natürlicher Isomorphismus wird allgemein die Unterscheidung ausführlich festsetzen.

Allgemein wird Ausspruch, dass zwei Gegenstände gleich sind, vorbestellt, für wenn es einen Begriff eines größeren (umgebenden) Raums gibt, dass diese Gegenstände darin leben. Meistenteils spricht man von der Gleichheit von zwei Teilmengen eines gegebenen Satzes (weil in der ganzen Zahl Beispiel oben anführt), aber nicht zwei abstrakt präsentierter Gegenstände. Zum Beispiel, der 2-dimensionale Einheitsbereich im 3-dimensionalen Raum

: und der Bereich von Riemann

der als der ein Punkt compactification vom komplizierten Flugzeug} oder als die komplizierte projektive Linie (ein Quotient-Raum) präsentiert werden kann

:

sind drei verschiedene Beschreibungen für einen mathematischen Gegenstand, von denen alle isomorph, aber nicht gleich sind, weil sie nicht alle Teilmengen eines einfachen Zeilenabstands sind: Das erste ist eine Teilmenge von R, das zweite ist plus ein zusätzlicher Punkt, und das dritte ist ein Subquotient von C

Im Zusammenhang der Kategorie-Theorie sind Gegenstände gewöhnlich höchstens - tatsächlich isomorph, eine Motivation für die Entwicklung der Kategorie-Theorie zeigte, dass verschiedene Aufbauten in der Homologie-Theorie gleichwertige (isomorphe) Gruppen nachgegeben haben. Gegebene Karten zwischen zwei Gegenständen X und Y, jedoch, fragt man, ob sie gleich sind oder nicht (sie sind beide Elemente des Satzes Hom (X, Y), folglich ist Gleichheit die richtige Beziehung), besonders in Ersatzdiagrammen.

Siehe auch

• Epimorphism
• Haufen (Mathematik)
• Isometrie
• Isomorphismus-Klasse
• Monomorphism
• Morphism
• Bisimulation

Referenzen

Weiterführende Literatur

Links