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In der Logik und den verwandten Feldern wie Mathematik und Philosophie, wenn und nur wenn (hat iff verkürzt), ist ein biconditional logisches Bindewort zwischen Behauptungen.

Darin ist es biconditional, das Bindewort kann mit dem bedingten Standardmaterial verglichen werden ("nur wenn," gleich "wenn... dann") hat sich mit seiner Rückseite ("wenn") verbunden; folglich der Name. Das Ergebnis besteht darin, dass die Wahrheit jeder der verbundenen Behauptungen die Wahrheit vom anderen verlangt, d. h., sind entweder beide Behauptungen wahr, oder beide sind falsch. Es ist umstritten, ob das so definierte Bindewort von den Engländern "wenn und nur wenn", mit seiner vorher existierenden Bedeutung richtig gemacht wird. Natürlich gibt es nichts, um uns aufzuhören, festsetzend, dass wir dieses Bindewort als "nur lesen können, wenn und wenn", obwohl das zu Verwirrung führen kann.

Schriftlich haben Ausdrücke allgemein mit dem diskutablen Anstand als Alternativen zu P verwendet, "wenn, und nur wenn" Q Q einschließen, notwendig und für P genügend ist, ist P gleichwertig (oder materiell gleichwertig) zu Q (vergleichen Sie materielle Implikation), P genau wenn Q, P genau (oder genau) wenn Q, P genau im Falle dass Q und P nur für den Fall Q. Viele Autoren betrachten "iff" als unpassend im formellen Schreiben; andere verwenden es frei.

In Logikformeln werden logische Symbole statt dieser Ausdrücke verwendet; sieh die Diskussion der Notation.

Definition

Die Wahrheitstabelle von p  q ist wie folgt:

Bemerken Sie, dass es dazu gleichwertig ist, das durch das XNOR Tor, und gegenüber dem erzeugt ist, das durch das XOR Tor erzeugt ist.

Gebrauch

Notation

Die entsprechenden logischen Symbole sind "", "" und "", und manchmal "iff". Diese werden gewöhnlich als gleichwertig behandelt. Jedoch machen einige Texte der mathematischen Logik (besonders diejenigen auf der Logik der ersten Ordnung, aber nicht Satzlogik) eine Unterscheidung zwischen diesen, in denen das erste, , als ein Symbol in Logikformeln verwendet wird, während  im Denken über jene Logikformeln (z.B, in metalogic) verwendet wird. In der Łukasiewicz's Notation ist es das Präfix-Symbol 'E'.

Ein anderer Begriff für dieses logische Bindewort ist exklusiv noch.

Beweise

In den meisten logischen Systemen beweist man eine Behauptung der Form "P iff Q", indem man sich "wenn P, dann Q" und "wenn Q, dann P" erweist. Der Beweis dieses Paares von Behauptungen führt manchmal zu einem natürlicheren Beweis, da es nicht offensichtliche Bedingungen gibt, in denen einen biconditional direkt ableiten würde. Eine Alternative soll die Trennung" (P und Q) oder (nicht-P und nicht-Q) beweisen", der selbst direkt entweder aus seines disjuncts abgeleitet werden kann — d. h. weil "iff" mit der Wahrheit funktionell ist, "folgt P iff Q", wenn P und Q beide wahr, oder beide falsch gezeigt worden sind.

Ursprung von iff

Der Gebrauch der Abkürzung "iff" ist zuerst im Druck erschienen 1955 von John L. Kelley bestellen Allgemeine Topologie vor.

Seine Erfindung wird häufig Paul Halmos kreditiert, der geschrieben hat, dass "Ich 'iff,' für erfunden habe, 'wenn und nur wenn' — aber ich konnte nie glauben, dass ich wirklich sein erster Erfinder war."

Unterscheidung von "wenn" und "nur wenn"

1. "die Frucht ist ein Apfel, dann wird Madison sie essen." oder "Madison wird die Frucht essen es ist ein Apfel." (gleichwertig "Madison wird die Frucht essen, ist es ein Apfel.")
2. :This stellt nur fest, dass Madison Früchte essen wird, die Äpfel sind. Es schließt jedoch die Möglichkeit nicht aus, dass Madison auch Gelegenheit haben könnte, um Bananen zu essen. Vielleicht wird sie, vielleicht wird sie nicht — der Satz erzählt uns nicht. Alles, was wir sicher wissen, ist, dass sie irgendwelchen und alle Äpfel essen wird, auf die sie stößt. Dass die Frucht ein Apfel ist, ist eine genügend Bedingung für Madison, die Frucht zu essen.
3. "die Frucht ist ein Apfel, wird Madison sie essen." oder "Madison wird die Frucht essen es ist ein Apfel." (gleichwertig "Madison wird die Frucht dann essen, es ist ein Apfel.")
4. :This stellt fest, dass die einzige Frucht, die Madison essen wird, ein Apfel ist. Es schließt jedoch die Möglichkeit nicht aus, dass Madison einen Apfel ablehnen wird, wenn es, im Vergleich mit (1) bereitgestellt wird, der verlangt, dass Madison jeden verfügbaren Apfel isst. In diesem Fall, dass eine gegebene Frucht ein Apfel ist, ist eine notwendige Bedingung für Madison, es zu essen. Es ist nicht eine genügend Bedingung, seitdem Madison keinen und alle Äpfel essen könnte, die ihr gegeben wird.
5. "die Frucht ist ein Apfel wird Madison es essen." oder "Madison wird die Frucht essen es ist ein Apfel."
6. :This macht jedoch ganz verständlich, dass Madison alle und nur jene Früchte essen wird, die Apfel sind. Sie wird keine solche Frucht ungegessen verlassen, und sie wird keinen anderen Typ der Frucht essen. Dass eine gegebene Frucht Apfel ist, ist sowohl ein notwendiger als auch eine genügend Bedingung für Madison, die Frucht zu essen.

Angemessenheit ist das notwendige Gegenteil. Das heißt, gegeben PQ (d. h. wenn P dann Q), P würde eine genügend Bedingung für Q sein, und Q würde eine notwendige Bedingung für P sein. Außerdem gegeben PQ, es ist wahr, dass ¬ Q  ¬ P (wo ¬ der Ablehnungsmaschinenbediener, d. h. ist "nicht"). Das bedeutet, dass die Beziehung zwischen P und Q, der durch PQ gegründet ist, im folgenden, der ganzen Entsprechung, den Wegen ausgedrückt werden kann:

:P ist für Q genügend

:Q ist für P notwendig

: ¬ ist Q für ¬ P genügend

: ¬ ist P für ¬ Q notwendig

Als ein Beispiel, nehmen Sie (1), oben, der PQ festsetzt, wo P "die fragliche Frucht ist, ist ein Apfel", und Q ist "Madison wird die fragliche Frucht essen". Der folgende ist vier gleichwertige Weisen, diese wirkliche Beziehung auszudrücken:

:If die fragliche Frucht ist ein Apfel, dann Madison, wird sie essen.

:Only, wenn Madison die fragliche Frucht essen wird, ist sie ein Apfel.

:If Madison wird die fragliche Frucht dann nicht essen, ist es nicht ein Apfel.

:Only, wenn die fragliche Frucht nicht ein Apfel ist, wird Madison sie nicht essen.

So sehen wir, dass (2) oben in der Form dessen neu formuliert werden kann, wenn... dann als, "Wenn Madison die fragliche Frucht essen wird, dann ist es ein Apfel"; das in Verbindung mit (1) nehmend, finden wir, dass (3) als festgesetzt werden kann, "Wenn die fragliche Frucht ein Apfel ist, dann wird Madison sie essen; UND wenn Madison die Frucht essen wird, dann ist es ein Apfel".

Fortgeschrittene Rücksichten

Philosophische Interpretation

Ein Satz, der aus zwei anderen durch "iff" angeschlossenen Sätzen zusammengesetzt wird, wird einen biconditional genannt. "Iff" schließt sich zwei Sätzen an, um einen neuen Satz zu bilden. Es sollte mit der logischen Gleichwertigkeit nicht verwirrt sein, die eine Beschreibung einer Beziehung zwischen zwei Sätzen ist. Der biconditional "Ein iff B" verwendet die Sätze A und B, eine Beziehung zwischen der Lage der Dinge beschreibend, die A und B beschreiben. Im Vergleich "A ist zu B logisch gleichwertig" erwähnt beide Sätze: Es beschreibt eine logische Beziehung zwischen jenen zwei Sätzen und nicht eine sachliche Beziehung zwischen beliebigen Sachen, die sie beschreiben. Sieh Unterscheidung der Gebrauch-Erwähnung für mehr auf dem Unterschied zwischen Verwenden eines Satzes und Erwähnen davon.

Die Unterscheidung ist eine sehr verwirrende, und hat manch einen Philosophen irregeführt. Sicher ist es dass der Fall, wenn A zu B logisch gleichwertig ist, "Ist ein iff B" wahr. Aber das gegenteilige hält nicht. Das Nachprüfen des Satzes:

:If, und nur wenn die Frucht ein Apfel ist, wird Madison sie essen.

Es gibt klar keine logische Gleichwertigkeit zwischen den zwei Hälften dieses besonderen biconditional. Für mehr auf der Unterscheidung, sieh die Mathematische Logik von W. V. Quine, Abschnitt 5.

Eine Weise, auf "Wenn, und nur zu schauen wenn B" ist, dass es "Bedeutet, wenn B" (B bezieht A ein), und "Ein einziger wenn B" (bezieht nicht B nicht A ein). "Nicht B bezieht nicht ein" bedeutet, dass A B einbezieht, so dann bekommen wir zwei Weg Implikation.

Definitionen

In der Philosophie und Logik wird "iff" verwendet, um Definitionen anzuzeigen, da Definitionen biconditionals allgemein gemessen werden sollen. In der Mathematik und anderswohin, jedoch, das Wort, "wenn" normalerweise in Definitionen, aber nicht "iff" verwendet wird. Das ist wegen der Beobachtung das, "wenn" auf der englischen Sprache eine definitorische Bedeutung hat, die von seiner Bedeutung als eine Satzverbindung getrennt ist. Diese getrennte Bedeutung kann durch die Anmerkung dass eine Definition erklärt werden (zum Beispiel: Eine Gruppe ist "abelian", wenn es das Ersatzgesetz befriedigt; oder: Eine Traube ist eine "Rosine", wenn sie gut ausgetrocknet wird), ist nicht eine Gleichwertigkeit, die zu beweisen ist, aber eine Regel, für den definierten Begriff zu interpretieren.

Beispiele

Hier sind einige Beispiele von wahren Behauptungen, die "iff" - wahrer biconditionals verwenden (das erste ist ein Beispiel einer Definition, so sollte es normalerweise mit "wenn" geschrieben worden sein):

• Eine Person ist ein Junggeselle iff, dass Person ein heiratsfähiger Mann ist, der sich nie verheiratet hat.
• "Schnee ist" in Englisch weiß ist wahrer iff "Schnee ist weiß" in Deutsch ist wahr.
• Für jeden p, q, und r: (p & q) & r iff p & (q & r). (Da das mit Variablen geschrieben wird und "&" die Behauptung würde gewöhnlich mit "" geschrieben, oder eines der anderen Symbole hat gepflegt, biconditionals, im Platz von "iff" zu schreiben).
• Für irgendwelche reellen Zahlen x und y, x=y+1 iff y=x1.
• Eine Teilmenge, die n Elemente eines n-dimensional Vektorraums enthält, ist linear unabhängiger iff es misst den Vektorraum ab.
• Die Dreieckszahl / ist eine gleiche vollkommene Zahl iff n = 2-1 ist Mersenne erst mit p eine Primzahl zu sein. Bezüglich des Jahres 2011 sind nur 47 solche gleichen vollkommenen Zahlen und Blüte von Mersenne entdeckt worden.

Analoga

Andere Wörter werden auch manchmal ebenso durch das Wiederholen des letzten Briefs betont; zum Beispiel orr für "Oder und nur Oder" (die exklusive Trennung).

Die Behauptung" (Ein iff B)" ist zur Behauptung" (nicht A oder B) und (nicht B oder A) gleichwertig," und ist auch zur Behauptung" (nicht A und nicht B) oder (A und B) gleichwertig".

Es ist auch gleichwertig zu: nicht [(A oder B) und (nicht A oder nicht B)],

oder einfacher:

: ¬ [(¬ EIN  ¬ B)  (EIN  B)]

der sich zu umwandelt

: [(¬ EIN  ¬ B)  (EIN  B)]

und

: [(¬ EIN  B)  (EIN  ¬ B)]

die in wörtlichen Interpretationen oben gegeben wurden.

Allgemeinerer Gebrauch

Iff wird außerhalb des Feldes der Logik verwendet, wo auch immer Logik besonders in mathematischen Diskussionen angewandt wird. Es hat dieselbe Bedeutung wie oben: Es ist eine Abkürzung dafür, wenn und nur wenn, anzeigend, dass eine Behauptung sowohl notwendig als auch für den anderen genügend ist. Das ist ein Beispiel des mathematischen Jargons. (Jedoch, wie bemerkt, oben, wenn, aber nicht iff, öfter in Behauptungen der Definition verwendet wird.)

Die Elemente X sind alle, und nur die Elemente von Y werden verwendet, um zu bedeuten: "Für jeden z im Gebiet des Gesprächs ist z in X, wenn, und nur wenn z in Y." ist

Referenzen

Siehe auch

• Kovarianz
• Logischer biconditional
• Logische Gleichheit
• Notwendige und genügend Bedingung
• Polysyllogismus