Idempotence ist das Eigentum von bestimmten Operationen in der Mathematik und Informatik, dass sie mehrmals angewandt werden können, ohne das Ergebnis außer der anfänglichen Anwendung zu ändern. Das Konzept von idempotence entsteht in mehreren Plätzen in der abstrakten Algebra (insbesondere in der Theorie von Kinoprojektoren und Verschluss-Maschinenbedienern) und funktionelle Programmierung (in dem es mit dem Eigentum der Verweisungsdurchsichtigkeit verbunden wird).

Der Begriff wurde von Benjamin Peirce im Zusammenhang von Elementen einer Algebra eingeführt, die invariant, wenn erhoben, zu einer positiven Macht der ganzen Zahl bleiben, und wörtlich" (die Qualität davon bedeutet, zu haben), dieselbe Macht", von + (dasselbe + Macht).

Es gibt mehrere Bedeutungen von idempotence, abhängig davon, worauf das Konzept angewandt wird:

• Eine unäre Operation (oder Funktion) ist idempotent, wenn, wann auch immer es zweimal auf jeden Wert angewandt wird, es dasselbe Ergebnis gibt, als ob es einmal angewandt wurde; d. h.. Zum Beispiel, der absolute Wert:.
• Eine binäre Operation ist idempotent, wenn, wann auch immer es auf zwei gleiche Werte angewandt wird, es diesen Wert als das Ergebnis gibt. Zum Beispiel ist die Operation, die den maximalen Wert von zwei Werten gibt, idempotent:.
• In Anbetracht einer binären Operation ist ein idempotent Element (oder einfach ein idempotent) für die Operation ein Wert, für den die Operation, wenn gegeben, dass Wert für beide seiner operands, den Wert als das Ergebnis gibt. Zum Beispiel ist die Nummer 1 ein idempotent der Multiplikation:.

Definitionen

Unäre Operation

Eine unäre Operation f, d. h. eine Karte von einem Satz S in sich, wird idempotent wenn, für den ganzen x in S, genannt

:f (f (x)) = f (x).

Insbesondere die Identitätsfunktion id, definiert dadurch, ist idempotent, wie die unveränderliche Funktion K ist, wo c ein Element von S ist, der dadurch definiert ist.

Eine wichtige Klasse von Idempotent-Funktionen wird durch Vorsprünge in einem Vektorraum gegeben. Ein Beispiel eines Vorsprungs ist die Funktion π definiert dadurch, der einen willkürlichen Punkt im 3D-Raum zu einem Punkt auf dem x-y-plane plant, wo die dritte Koordinate (z) 0 gleich ist.

Eine unäre Operation ist idempotent, wenn es jedes Element von S zu einem festen Punkt von f kartografisch darstellt. Für einen Satz mit n Elementen gibt es

:

Idempotent-Funktionen, wo

:

ist die Zahl von Idempotent-Funktionen mit genau k befestigte Punkte. Die Folge der ganzen Zahl der Zahl von Idempotent-Funktionen, wie gegeben, durch die Summe oben für n = 0, 1, 2, fängt... mit 1, 1, 3, 10, 41, 196, 1057, 6322, 41393... an

Elemente von Idempotent und binäre Operationen

In Anbetracht einer binären Operation  auf einem Satz S, wie man sagt, ist ein Element x idempotent (in Bezug auf ) wenn

:x  x = x.

Insbesondere ist ein Identitätselement von , wenn es besteht, idempotent in Bezug auf die Operation .

Die binäre Operation selbst wird idempotent genannt, wenn jedes Element von S idempotent ist. D. h. für den ganzen x in S,

:x  x = x.

Zum Beispiel sind die Operationen der Satz-Vereinigung und Satz-Kreuzung sowohl idempotent, wie logische Verbindung als auch logische Trennung, und, im Allgemeinen, das Entsprechen sind und sich Operationen eines Gitters anschließen.

Verbindungen

Die Verbindungen zwischen den drei Begriffen sind wie folgt.

• Die Behauptung, dass die binäre Operation  auf einem Satz S idempotent ist, ist zur Behauptung gleichwertig, dass jedes Element von S idempotent für  ist.
• Das Definieren-Eigentum von unärem idempotence, für x im Gebiet von f, kann als mit der binären Operation der durch  angezeigten Funktionszusammensetzung gleichwertig umgeschrieben werden. So ist die Behauptung, dass f eine idempotent unäre Operation auf S ist, zur Behauptung gleichwertig, dass f ein idempotent Element in Bezug auf die Funktionszusammensetzungsoperation  auf Funktionen von S bis S ist.

Allgemeine Beispiele

Funktionen

Wie oben erwähnt sind die Identitätskarte und die unveränderlichen Karten immer idempotent Karten. Die absolute Wertfunktion eines echten oder komplizierten Arguments und die Fußboden-Funktion eines echten Arguments sind idempotent.

Die Funktion, die jeder Teilmenge U von einem topologischen Raum X der Verschluss von U zuteilt, ist idempotent auf dem Macht-Satz X. Es ist ein Beispiel eines Verschluss-Maschinenbedieners; alle Verschluss-Maschinenbediener sind Idempotent-Funktionen.

Die Operation, den Durchschnitt einer Liste von Zahlen von jeder Zahl in der Liste abzuziehen, ist idempotent. Denken Sie zum Beispiel die Liste. Der Durchschnitt ist 7. 7 von jeder Zahl in den Listenerträgen Abstriche machend. Der Durchschnitt dieser Liste ist 0. 0 von jeder Zahl in dieser Liste Abstriche zu machen, gibt dieselbe Liste nach.

Formelle Sprachen

Der Kleene Stern und Kleene plus Maschinenbediener, die verwendet sind, um Wiederholung auf formellen Sprachen auszudrücken, sind idempotent.

Idempotent rufen Elemente an

Ein idempotent Element eines Rings, ist definitionsgemäß, ein Element, das idempotent für die Multiplikation des Rings ist. D. h. für ein idempotent Element a.

Typen des Rings idempotents

Eine kurze Liste von wichtigen mit idempotents definierten Begriffen schließt ein:

• Zwei idempotents a und b werden orthogonal wenn genannt. Wenn idempotent im Ring R zu sein, dann so ist; a und b sind orthogonal.
• Ein idempotent in R wird einen zentralen idempotent wenn nach dem ganzen x in R. genannt
• Ein trivialer idempotent ist eines der Elemente 0 und 1.
• Ein primitiver idempotent ist ein idempotent ein solcher, dass aR direkt unzerlegbar ist.
• Ein lokaler idempotent ist ein idempotent ein solcher, dass aRa ein lokaler Ring ist. Das deutet an, dass aR direkt unzerlegbar ist, so sind lokale idempotents auch primitiv.
• Ein richtiger nicht zu vereinfachender idempotent ist ein idempotent, für den aR ein einfaches Modul ist. Durch das Lemma von Schur, ist ein Abteilungsring, und ist folglich ein lokaler Ring, so richtig (und verlassen) nicht zu vereinfachende idempotents sind lokal.
• Ein zentral primitiver idempotent ist ein zentraler idempotent, der als die Summe von zwei zentralen orthogonalen Nichtnullidempotents nicht geschrieben werden kann.
• Ein idempotent im Quotienten klingelt, wie man sagt, hebt R/I modulo I, wenn es einen idempotent f in solchem R dass gibt.
• Ein idempotent von e von R wird einen vollen idempotent wenn ReR=R genannt.

Jeder nichttriviale idempotent eines Nullteilers (weil weder mit a noch mit b zu sein, Null, wo zu sein). Das zeigt, dass integrierte Gebiete und Abteilungsringe solchen idempotents nicht haben. Lokale Ringe haben auch solchen idempotents, aber aus einem verschiedenen Grund nicht. Der einzige idempotent, der im eines Rings radikalen Jacobson enthalten ist, ist 0. Es gibt einen catenoid von idempotents im Coquaternion-Ring.

Ringe, die durch idempotents charakterisiert sind

• Ein Ring ist halbeinfach, wenn, und nur wenn jedes Recht (oder jeder linke) Ideal durch einen idempotent erzeugt wird.
• Ein Ring ist regelmäßiger von Neumann, wenn, und nur wenn jedes begrenzt erzeugte Recht (oder jeder begrenzt erzeugt verlassen) Ideal durch einen idempotent erzeugt wird.
• Ein Ring, in dem alle Elemente idempotent sind, wird einen Ring von Boolean genannt. Es kann gezeigt werden, dass in jedem solchem Ring Multiplikation auswechselbar ist, und jedes Element sein eigenes zusätzliches Gegenteil ist.
• Ein Ring, für den der Vernichter jede Teilmenge S R durch einen idempotent erzeugt wird, wird einen Ring von Baer genannt. Wenn die Bedingung nur für alle Singleton-Teilmengen von R hält, dann ist der Ring ein richtiger Ring von Rickart.
• Ein Ring, in dem alle idempotents zentral sind, wird einen Ring von Abelian genannt. Solche Ringe brauchen nicht auswechselbar zu sein.
• Ein Ring ist direkt nicht zu vereinfachend, wenn, und nur wenn 0 und 1 der einzige zentrale idempotents sind.
• Ein Ring R kann als mit jedem e ein lokaler idempotent geschrieben werden, wenn, und nur wenn R ein halbvollkommener Ring ist.
• Ein Ring wird Lift/rad genannt, wenn alle idempotents von R modulo der radikale Jacobson heben.
• Ein Ring befriedigt die steigende Kettenbedingung auf richtigem direktem summands, wenn, und nur wenn der Ring die hinuntersteigende Kettenbedingung auf linkem direktem summands befriedigt, wenn, und nur wenn jeder Satz von pairwise orthogonalem idempotents begrenzt ist.
• Wenn idempotent im Ring R zu sein, dann ist aRa wieder ein Ring, mit der multiplicative Identität a. Der Ring aRa wird häufig einen Eckring von R genannt. Der Eckring entsteht natürlich seit dem Ring von Endomorphismen.

Rolle in Zergliederungen

Die idempotents von R haben eine wichtige Verbindung zu decompositon von R Modulen. Wenn M ein R Modul ist und sein Ring von Endomorphismen, dann wenn und nur ist, wenn es einen einzigartigen idempotent e in solchem E dass gibt und. Klar dann ist M direkt unzerlegbar, wenn, und nur wenn 0 und 1 der einzige idempotents in E sind.

Im Fall wenn der Endomorphismus-Ring, wo jeder Endomorphismus als verlassen Multiplikation durch ein festes Ringelement entsteht. Mit dieser Modifizierung der Notation, als richtige Module wenn, und nur wenn dort ein einzigartiger idempotent e solch dass besteht und. So wird jedes Modul direkter summand von R durch einen idempotent erzeugt.

Wenn eines zentralen idempotent zu sein, dann ist der Eckring ein Ring mit der multiplicative Identität a. Da idempotents die direkten Zergliederungen von R als ein Modul bestimmen, bestimmen die zentralen idempotents von R die Zergliederungen von R als eine direkte Summe von Ringen. Wenn R die direkte Summe der Ringe R..., R ist, dann sind die Identitätselemente der Ringe R zentraler idempotents in R, pairwise orthogonal, und ihre Summe ist 1. Umgekehrt, in Anbetracht zentralen idempotents a..., in R, die orthogonal pairwise sind und Summe 1, dann R haben, ist die direkte Summe der Ringe Ra, …, Ra. So insbesondere verursacht jeder zentrale idempotent in R eine Zergliederung von R, weil eine direkte Summe der Ecke aRa anruft und. Infolgedessen ist ein Ring R als ein Ring direkt unzerlegbar, wenn, und nur wenn die Identität 1 zentral primitiv ist.

Induktiv arbeitend, kann man versuchen, sich 1 in eine Summe zentral primitiver Elemente zu zersetzen. Wenn 1 zentral primitiv ist, werden wir getan. Wenn nicht, es ist eine Summe von zentralen orthogonalen idempotents, die der Reihe nach primitiv sind oder Summen von zentralerem idempotents und so weiter. Das Problem, das vorkommen kann, besteht darin, dass das ohne Ende weitergehen kann, eine unendliche Familie von zentralem orthogonalem idempotents erzeugend. Die Bedingung "R enthält unendliche Sätze von zentralem orthogonalem idempotents nicht" ist ein Typ der Endlichkeitsbedingung auf dem Ring. Es kann auf viele Weisen, wie das Verlangen den Ring erreicht werden, richtiger Noetherian zu sein. Wenn eine Zergliederung mit jedem c ein zentral primitiver idempotent besteht, dann ist R eine direkte Summe der Eckring-cRc, von denen jeder nicht zu vereinfachender Ring ist.

Kategorie von R Modulen

Das Heben idempotents hat auch Hauptfolgen für die Kategorie von R Modulen. Alle idempotents heben modulo I, wenn, und nur wenn jeder R direkte summand von R/I einen projektiven Deckel als ein R Modul hat. Idempotents heben immer modulo Null-Ideale und Ringe, für die R/I abgeschlossener I-adically ist.

Das Heben ist wenn, der von R radikale Jacobson am wichtigsten. Und doch besteht eine andere Charakterisierung von halbvollkommenen Ringen darin, dass sie halblokale Ringe sind, deren idempotents modulo J(R) heben.

Gitter von Idealen

Man kann eine teilweise Ordnung auf dem idempotents eines Rings wie folgt definieren: Wenn a und b idempotents sind, schreiben wir wenn und nur wenn. In Bezug auf diese Ordnung, 0 ist am kleinsten und 1 der größte idempotent. Für orthogonalen idempotents a und b, ist auch idempotent, und wir haben und. Die Atome dieser teilweisen Ordnung sind genau der primitive idempotents.

Wenn die obengenannte teilweise Ordnung auf den zentralen idempotents von R eingeschränkt wird, kann eine Gitter-Struktur gegeben werden. Für zwei zentrale idempotents werden e und f, den die Ergänzung und die Verbindungslinie und entsprechen, durch gegeben

:e  f = e + f  ef

und

:e  f = ef.

Die Einrichtung wird jetzt einfach, wenn, und nur wenn sich und die Verbindungslinie und treffen, befriedigen und. Es wird in dass gezeigt, wenn R von Neumann regelmäßiger und richtiger self-injective ist, dann ist das Gitter ein ganzes Gitter.

Beziehung mit Involutionen

Wenn eines idempotent des Endomorphismus-Ringendes (M) zu sein, dann ist der Endomorphismus eine R Modul-Involution der M. D. h. f ist ein R solcher Homomorphismus, dass f der Identitätsendomorphismus der M ist.

Ein idempotent Element R und seiner verbundenen Involution f verursacht zwei Involutionen des Moduls R, abhängig von Betrachtung R als ein linkes oder richtiges Modul. Wenn r ein willkürliches Element von R vertritt, kann f als ein richtiger R-Homomorphismus angesehen werden, so dass ffr=r oder f auch als ein linker R Modul-Homomorphismus, wo rff=r angesehen werden kann.

Dieser Prozess kann umgekehrt werden, wenn 2 ein invertible Element von R ist: Wenn b eine Involution ist, dann und sind orthogonaler idempotents entsprechend a und. So für einen Ring, in dem 2 invertible ist, entsprechen die idempotent Elemente Involutionen auf eine isomorphe Weise.

Numerische Beispiele

Man kann den Ring von ganzen Zahlen mod n denken, wo n squarefree ist. Durch den chinesischen Rest-Lehrsatz, dieser Ring Faktoren ins direkte Produkt von Ringen von ganzen Zahlen mod p. Jetzt ist jeder dieser Faktoren ein Feld, so ist es klar, dass der einzige idempotents 0 und 1 sein wird. D. h. jeder Faktor hat 2 idempotents. So, wenn es M Faktoren gibt, wird es 2 idempotents geben.

Wir können das für die ganzen Zahlen mod 6 überprüfen. Seitdem 6 hat 2 Faktoren (2, und 3) sollte es 2 idempotents haben.

: 0 = 0 = 0 = usw. (mod 6)

: 1 = 1 = 1 = usw. (mod 6)

: 3 = 3 = 3 = usw. (mod 6)

: 4 = 4 = 4 = usw. (mod 6)

Das demonstriert auch die Zergliederungseigenschaften: Weil es eine Ringzergliederung 3Z/6Z4Z/6Z gibt. In 3Z/6Z ist die Identität 3+6Z, und in 4Z/6Z ist die Identität 4+6Z.

Andere Beispiele

In der Boolean Algebra sind sowohl das logische als auch und das logische oder die Operationen idempotent. Das deutet an, dass jedes Element der Algebra von Boolean idempotent in Bezug auf beide dieser Operationen ist. Spezifisch, xx = x und xx = x für alle x.

In der geradlinigen Algebra sind Vorsprünge idempotent. Tatsächlich sind die Vorsprünge eines Vektorraums genau die idempotent Elemente des Rings von geradlinigen Transformationen des Vektorraums. Nach dem Befestigen einer Basis kann es gezeigt werden, dass die Matrix eines Vorsprungs in Bezug auf diese Basis eine idempotent Matrix ist.

Ein Idempotent-Halbring (hat auch manchmal einen dioid genannt), ist ein Halbring, dessen Hinzufügung (nicht Multiplikation) idempotent ist. Wenn beide Operationen des Halbrings idempotent sind, dann wird der Halbring doppelt idempotent genannt.

Informatik-Bedeutung

In der Informatik wird der Begriff idempotent umfassender gebraucht, um eine Operation zu beschreiben, die dieselben Ergebnisse, wenn durchgeführt, einmal oder mehrmals erzeugen wird. Das kann eine verschiedene Bedeutung abhängig vom Zusammenhang haben, in dem sie angewandt wird. Im Fall von Methoden oder Unterprogramm-Anrufe mit Nebenwirkungen, zum Beispiel, bedeutet es, dass der modifizierte Staat dasselbe nach dem ersten Anruf bleibt. In der funktionellen Programmierung aber ist eine Idempotent-Funktion diejenige, die das Eigentum für jeden Wert x. hat

Das ist ein sehr nützliches Eigentum in vielen Situationen, weil es bedeutet, dass eine Operation wiederholt oder so häufig neu verhandelt werden kann wie notwendige, ohne unbeabsichtigte Effekten zu verursachen. Mit non-idempotent Operationen kann der Algorithmus das nachgehen müssen, ob die Operation bereits durchgeführt wurde oder nicht.

Stärker ist nullipotent, bedeutend, dass die Ergebnisse dasselbe sind, wenn durchgeführte Null oder mehrmals, der mit "keinen Nebenwirkungen" synonymisch ist.

Beispiele

Das Aufblicken Namens und Anschrift eines Kunden in einer Datenbank ist normalerweise idempotent (tatsächlich nullipotent), da das die Datenbank nicht veranlassen wird sich zu ändern. Ähnlich ist das Ändern einer Adresse eines Kunden normalerweise idempotent, weil die Endadresse dasselbe sein wird, egal wie oft es vorgelegt wird. Jedoch ist das Erteilen eines Auftrags für ein Auto für den Kunden normalerweise nicht idempotent, seit dem Laufen der Methode/Anrufs wird mehrere Male zu mehreren Ordnungen führen, die legen werden. Das Annullieren einer Ordnung ist idempotent, weil die Ordnung annulliert bleibt, egal wie viele Bitten gemacht werden.

Eine Zusammensetzung von idempotent Methoden oder Unterprogrammen ist jedoch nicht notwendigerweise idempotent, wenn eine spätere Methode in der Folge einen Wert ändert, von dem eine frühere Methode - idempotence abhängt, wird unter der Zusammensetzung nicht geschlossen. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass der Anfangswert einer Variable 3 ist und es eine Folge gibt, die die Variable liest, sie dann zu 5 ändert, und sie dann wieder liest. Jeder Schritt in der Folge ist idempotent: Beide Schritte, die Variable lesend, haben keine Nebenwirkungen, und das Ändern einer Variable zu 5 wird immer dieselbe Wirkung haben, egal wie oft es durchgeführt wird. Dennoch erzeugt die Durchführung der kompletten Folge einmal die Produktion (3, 5), aber Durchführung davon ein zweites Mal erzeugt die Produktion (5, 5), so ist die Folge nicht idempotent.

Im Übertragungsprotokoll von HyperText (HTTP) sind idempotence und der Sicherheit die Hauptattribute das trennt HTTP Verben. Der HTTP Hauptverben, BEKOMMEN SIE, STELLEN SIE und LÖSCHEN SIE sind idempotent (wenn durchgeführt, gemäß dem Standard), aber POSTEN ist nicht. Diese Verben vertreten sehr abstrakte Operationen in der Informatik: KOMMEN SIE bekommt eine Quelle wieder; STELLEN SIE Lager-Inhalt an einer Quelle; und LÖSCHEN SIE beseitigt eine Quelle. Als im Beispiel oben hat das Lesen von Daten gewöhnlich keine Nebenwirkungen, so ist es idempotent (tatsächlich nullipotent). Die Speicherung eines gegebenen Satzes des Inhalts ist gewöhnlich idempotent, weil der versorgte Endwert dasselbe nach jeder Ausführung bleibt. Und das Löschen von etwas ist allgemein idempotent, wie das Endergebnis immer die Abwesenheit des gelöschten Dings ist.

In der Ereignis-Strom-Verarbeitung bezieht sich idempotence auf die Fähigkeit eines Systems, dasselbe Ergebnis zu erzeugen, selbst wenn ein Ereignis oder Nachricht mehr erhalten werden als einmal.

In einer Lastladen-Architektur sind Instruktionen, die vielleicht eine Seitenschuld verursachen könnten, idempotent. So, wenn eine Seitenschuld vorkommt, kann der OS die Seite von der Platte laden und dann einfach die faulted Instruktion wiederdurchführen.

In einem Verarbeiter, wo solche Instruktionen nicht idempotent sind, sich mit Seitenschulden befassend, ist viel komplizierter.

Der Begriff von idempotence am Ende einer Kette von Operationen wurde auf so genannte Funktionen "des gewünschten Ergebnisses" in der weit verwendeten Konfigurationsverwaltungssoftware Cfengine 1993 angewandt, die Industrieannäherung an die datacenter Automation durch das Holen "der Selbstheilung" durch die einfache Wiederholung mit einem voraussagbaren Ergebnis ändernd.

Angewandte Beispiele

Angewandte Beispiele, auf die viele Menschen in ihren täglichen Leben stoßen konnten, schließen Aufzug-Anruf-Knöpfe und Fußgängerübergang-Knöpfe ein. Obwohl die Letzteren, auch besonders als ein Suggestionsmittel-Knopf durchgeführt werden könnte. Die anfängliche Aktivierung des Knopfs bewegt das System in einen Anforderungsstaat, bis die Bitte zufrieden ist. Nachfolgende Aktivierungen des Knopfs zwischen der anfänglichen Aktivierung und der Bitte, die zufriedene, haben keine Wirkung. Viele Menschen werden nachher einen idempotent Knopf aktivieren, selbst wenn bewusst bewusst der vernünftigen Information, dass sie keine Wirkung haben wird. Im Wesentlichen konnten die nachfolgenden Aktivierungen als Suggestionsmittel handeln, aber sich von in diesem diesem Gebrauch richtigen Suggestionsmittel-Knöpfen unterscheiden, ist ein Nebenprodukt aber nicht das beabsichtigte Design des Knopfs.

Siehe auch

• Verschluss-Maschinenbediener
• Fester Punkt (Mathematik)
• Idempotent eines Codes
• Nilpotent
• Matrix von Idempotent
• Liste von matrices
• Reine Funktion
• Verweisungsdurchsichtigkeit (Informatik)
• Wiederholte Funktion
• Biordered setzen
• Involution (Mathematik)

Zeichen

• "idempotent" an FOLDOC

• p. 443
• Peirce, Benjamin.. Geradlinige Assoziative Algebra 1870.

Außenverbindungen