In der Mathematik ist die umgekehrte Grenze (hat auch die projektive Grenze genannt), ein Aufbau, der demjenigen erlaubt, zusammen" mehrere zusammenhängende Gegenstände, die genaue Weise des Kleben-Prozesses "zu kleben, der durch morphisms zwischen den Gegenständen wird angibt. Umgekehrte Grenzen können in jeder Kategorie definiert werden.

Formelle Definition

Algebraische Gegenstände

Wir fangen mit der Definition eines Gegenteils (oder projektiv) System von Gruppen und Homomorphismus an. Lassen Sie (ich, &le), ein geleiteter poset sein (verlangen nicht alle Autoren, dass ich geleitet werde). Lassen Sie (A) eine Familie von Gruppen sein und anzunehmen, dass wir eine Familie des Homomorphismus f haben: → für alles ich ≤ j (bemerken die Ordnung), mit den folgenden Eigenschaften:

1. f ist die Identität in A,
2. f = f f für alles ich ≤ j ≤ k.

Dann wird das Paar ((A), (f)) ein umgekehrtes System von Gruppen und morphisms über mich genannt, und die morphisms f werden den Übergang morphisms vom System genannt.

Wir definieren die umgekehrte Grenze des umgekehrten Systems ((A), (f)) als eine besondere Untergruppe des direkten Produktes des A:

:

Die umgekehrte Grenze, A, kommt ausgestattet mit natürlichen Vorsprüngen π: → die den ith Bestandteil des direkten Produktes für jeden ich in mir auswählen. Die umgekehrte Grenze und die natürlichen Vorsprünge befriedigen ein universales in der folgenden Abteilung beschriebenes Eigentum.

Dieser derselbe Aufbau kann ausgeführt werden, wenn der A Sätze, Ringe, Module (über einen festen Ring), Algebra (über ein festes Feld) usw. ist, und der Homomorphismus Homomorphismus in der entsprechenden Kategorie ist. Die umgekehrte Grenze wird auch dieser Kategorie gehören.

Allgemeine Definition

Die umgekehrte Grenze kann abstrakt in einer willkürlichen Kategorie mittels eines universalen Eigentums definiert werden. Lassen Sie (X, f), ein umgekehrtes System von Gegenständen und morphisms in einer Kategorie C (dieselbe Definition wie oben) zu sein. Die umgekehrte Grenze dieses Systems ist ein Gegenstand X in C zusammen mit morphisms π: X → X (genannt Vorsprünge)&pi befriedigend; = f π für alles ich ≤ j. Das Paar (X, &pi) muss im Sinn das für jedes andere solches Paar universal sein (Y, &psi) dort besteht ein einzigartiger morphism u: Y → das X Bilden der ganzen "offensichtlichen" wahren Identität; d. h., das Diagramm

muss für alles mich &le eintauschen; j. Die umgekehrte Grenze wird häufig angezeigt

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mit dem umgekehrten System (X, f) verstanden zu werden.

Unterschiedlich für algebraische Gegenstände könnte die umgekehrte Grenze nicht in einer willkürlichen Kategorie bestehen. Wenn es jedoch tut, ist es eines starken Gefühls einzigartig: vorgeschrieben jede andere umgekehrte Grenze X′ dort besteht ein einzigartiger Isomorphismus X′ → das X Austauschen mit den Vorsprung-Karten.

Wir bemerken, dass ein umgekehrtes System in einer Kategorie C eine alternative Beschreibung in Bezug auf functors zulässt. Jeder teilweise bestellte Satz, der ich als eine kleine Kategorie betrachtet werden kann, wo die morphisms aus Pfeilen i &rarr bestehen; j wenn und nur wenn ich ≤ j. Ein umgekehrtes System ist dann gerade eine Kontravariante functor I → C. Und die umgekehrte Grenze functor

ist ein kovarianter functor.

Beispiele

• Der Ring von p-adic ganzen Zahlen ist die umgekehrte Grenze der Ringe Z/pZ (sieh Modularithmetik) mit dem Index-Satz, der die natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung und der morphisms ist, zu sein, "nimmt Rest". Die natürliche Topologie auf den p-adic ganzen Zahlen ist dasselbe als dasjenige beschrieben hier.
• Vom Ring der formellen Macht-Reihe über einen Ersatzring R kann als die umgekehrte Grenze der Ringe gedacht werden, die durch die natürlichen Zahlen, wie gewöhnlich bestellt, mit dem morphisms von zum gegebenen durch den natürlichen Vorsprung mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind.
• Pro-begrenzte Gruppen werden als umgekehrte Grenzen von (getrennten) begrenzten Gruppen definiert.
• Lassen Sie den Index I eines umgekehrten Systems setzen (X, f) haben ein größtes Element M. Dann der natürliche Vorsprung π: X → X ist ein Isomorphismus.
• Umgekehrte Grenzen in der Kategorie von topologischen Räumen werden durch das Stellen der anfänglichen Topologie auf der zu Grunde liegenden mit dem Satz theoretischen umgekehrten Grenze vorgeschrieben. Das ist als die Grenze-Topologie bekannt.
• Der Satz von unendlichen Schnuren ist die umgekehrte Grenze des Satzes von begrenzten Schnuren, und ist so mit der Grenze-Topologie ausgestattet. Da die ursprünglichen Räume getrennt sind, wird der Grenze-Raum völlig getrennt. Das ist eine Weise, die p-adic Zahlen und den Kantor-Satz (als unendliche Schnuren) zu begreifen.
• Lassen Sie (Ich, =) die triviale Ordnung (nicht geleitet) sein. Die umgekehrte Grenze jedes entsprechenden umgekehrten Systems ist gerade das Produkt.
• Lassen Sie ich bestehe aus drei Elementen i, j, und k mit mir ≤ j und ich ≤ k (nicht geleitet). Die umgekehrte Grenze jedes entsprechenden umgekehrten Systems ist das Hemmnis.

Abgeleiteter functors der umgekehrten Grenze

Für eine abelian Kategorie C, die umgekehrte Grenze functor

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wird genau verlassen. Wenn mir (nicht einfach teilweise bestellt) und zählbar befohlen wird, und C die Kategorie Ab von abelian Gruppen ist, ist die Mittag-Leffler Bedingung eine Bedingung auf dem Übergang morphisms f, der die Genauigkeit dessen sichert. Spezifisch hat Eilenberg einen functor gebaut

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(ausgesprochen "lim ein") solch das, wenn (A, f), (B, g), und (C, h) drei projektive Systeme von abelian Gruppen und sind

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ist eine kurze genaue Folge von umgekehrten Systemen, dann

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ist eine genaue Folge in Ab.

Mittag-Leffler Bedingung

Wenn die Reihen des morphisms des umgekehrten Systems von abelian Gruppen (A, f) stationär sind, d. h. für jeden k dort besteht j  k solch dass für alles ich  j: Man sagt, dass das System die Mittag-Leffler Bedingung befriedigt. Diese Bedingung bezieht das ein

Für eine Diskussion des Namens "Mittag-Leffler" in seiner Beziehung mit dem Mittag-Leffler Lehrsatz, sieh diesen Faden auf MathOverflow.

Die folgenden Situationen sind Beispiele, wo die Mittag-Leffler Bedingung zufrieden ist:

• ein System, in dem die morphisms f surjective sind
• ein System von endlich-dimensionalen Vektorräumen.

Ein Beispiel, wo das Nichtnull ist, wird durch die Einnahme I erhalten, um die natürlichen Zahlen, das Lassen = pZ, B = Z, und C = B / = Z/pZ zu sein. Dann

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wo Z die p-adic ganzen Zahlen anzeigt.

Weitere Ergebnisse

Mehr allgemein, wenn C eine willkürliche abelian Kategorie ist, die genug injectives, dann so C hat, und das Recht abgestammt hat, functors der umgekehrten Grenze kann functor so definiert werden. Das n-te Recht hat abgestammt functor wird angezeigt

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Im Fall, wo C das Axiom von Grothendieck (AB4 *) befriedigt, hat Jan-Erik Roos den functor lim auf Ab zur Reihe von functors lim solch dass verallgemeinert

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Es wurde seit fast 40 Jahren gedacht, dass sich Roos erwiesen hatte (in Sur les foncteurs dérivés de lim. Anwendungen.) dass lim = 0 für (A, f) ein umgekehrtes System mit dem surjective Übergang morphisms und mir der Satz von natürlichen Zahlen (werden solche umgekehrten Systeme häufig "Mittag-Leffler Folgen" genannt). Jedoch, 2002, haben Amnon Neeman und Pierre Deligne ein Beispiel solch eines Systems in einer Kategorie gebaut, die (AB4) befriedigt (zusätzlich zu (AB4 *)) mit lim Ein  0. Roos hat seitdem gezeigt (in "Abgeleitetem functors von umgekehrten Grenzen wieder besucht"), dass sein Ergebnis richtig ist, wenn C eine Reihe von Generatoren hat (zusätzlich zur Zufriedenheit (von AB3) und (AB4 *)).

Barry Mitchell hat gezeigt (in "Der cohomological Dimension eines geleiteten Satzes"), dass, wenn ich cardinality (der dth unendliche Kardinal) dann habe, Rlim Null für den ganzen n  d + 2 ist. Das gilt für die I-indexed Diagramme in der Kategorie von R-Modulen, mit R ein Ersatzring; es ist in einer willkürlichen abelian Kategorie nicht notwendigerweise wahr (sieh den "abgeleiteten functors von Roos von umgekehrten Grenzen wieder besucht" für Beispiele von abelian Kategorien, in denen lim^n, auf durch einen zählbaren Satz mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Diagrammen, Nichtnull für n> 1) ist.

Zusammenhängende Konzepte und Generalisationen

Die kategorische Doppel-von einer umgekehrten Grenze ist eine direkte Grenze (oder induktive Grenze). Mehr Gesamtkonzepte sind die Grenzen und colimits der Kategorie-Theorie. Die Fachsprache ist etwas verwirrend: Umgekehrte Grenzen sind Grenzen, während direkte Grenzen colimits sind.

Siehe auch

• Direkte oder induktive Grenze
• Abschnitt 3.5 von