In der abstrakten Algebra ist ein integriertes Gebiet ein Ersatzring, der keine Nullteiler hat, und der nicht der triviale Ring {0} ist. Es wird gewöhnlich angenommen, dass Ersatzringe und integrierte Gebiete eine multiplicative Identität haben, wenn auch das in die Definition eines Rings nicht immer eingeschlossen wird. Integrierte Gebiete sind Generalisationen der ganzen Zahlen und stellen eine natürliche Einstellung zur Verfügung, um Teilbarkeit zu studieren. Ein integriertes Gebiet ist ein Ersatzgebiet mit der Identität.

Der obengenannte ist, wie "integriertes Gebiet" fast allgemein definiert wird, aber es gibt etwas Schwankung. Insbesondere integrierte Nichtersatzgebiete werden manchmal zugelassen. Jedoch folgen wir der viel üblicheren Tagung, den Begriff integriertes Gebiet für den Ersatzfall vorzubestellen, und verwenden Gebiet für den Nichtersatzfall; neugierig bezieht das adjektivische "Integral" "auswechselbar" in diesem Zusammenhang ein. Einige Quellen, namentlich Lang, gebrauchen den Begriff kompletter Ring für das integrierte Gebiet.

Einige spezifische Arten von integrierten Gebieten werden mit der folgenden Kette von Klasseneinschließungen gegeben:

: Ersatzringe  integrierte Gebiete  integriert geschlossene Gebiete  einzigartige factorization Gebiete  ideale Hauptgebiete  Euklidische Gebiete  Felder

Die Abwesenheit von Nullteilern bedeutet, dass in einem integrierten Gebiet das Annullierungseigentum für die Multiplikation durch jedes Nichtnullelement a hält: Eine Gleichheit bezieht ein.

Definitionen

Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen des integrierten Gebiets:

• Ein integriertes Gebiet ist ein Ersatzring mit der Identität, in der das Produkt irgendwelcher zwei nicht Nullelemente der Null nicht gleich ist.
• Ein integriertes Gebiet ist ein Ersatzring mit der Identität, in der das Nullideal {0} ein Hauptideal ist.
• Ein integriertes Gebiet ist ein Ring mit der Identität, die ein Subring eines Feldes ist. Das bedeutet, dass es auch ein Ersatzring mit der Identität ist.
• Ein integriertes Gebiet ist ein Ersatzring mit der Identität in der für jedes Nichtnullelement r die Funktion stellt die jedes Element x vom Ring zum Produkt xr kartografisch dar ist injective. Elemente, die dieses Eigentum haben, werden regelmäßig genannt, so ist es gleichwertig, um dass jedes Nichtnullelement des Rings zu verlangen, regelmäßig zu sein.

Beispiele

• Das archetypische Beispiel ist der Ring Z von allen ganzen Zahlen.
• Jedes Feld ist ein integriertes Gebiet. Umgekehrt ist jeder Artinian integriertes Gebiet ein Feld. Insbesondere alle begrenzten integrierten Gebiete sind begrenzte Felder (mehr allgemein, durch den kleinen Lehrsatz von Wedderburn, begrenzte Gebiete sind begrenzte Felder). Der Ring von ganzen Zahlen Z stellt ein Beispiel eines non-Artinian unendlichen integrierten Gebiets zur Verfügung, das nicht ein Feld ist, unendliche hinuntersteigende Folgen von Idealen besitzend, wie:

:

• Ringe von Polynomen sind integrierte Gebiete, wenn die Koeffizienten aus einem integrierten Gebiet kommen. Zum Beispiel ist der Ring Z [X] aller Polynome in einer Variable mit Koeffizienten der ganzen Zahl ein integriertes Gebiet; so ist der Ring R [X, Y] aller Polynome in zwei Variablen mit echten Koeffizienten.
• Für jede ganze Zahl n> 1 ist der Satz aller reellen Zahlen gegen die Form + bn mit a und b ganzen Zahlen ein Subring von R und folglich einem integrierten Gebiet.
• Für jede ganze Zahl n> 0 ist der Satz aller komplexen Zahlen der Form + bin mit a und b ganzen Zahlen ein Subring von C und folglich einem integrierten Gebiet. Im Fall n = wird 1 dieses integrierte Gebiet die ganzen Zahlen von Gaussian genannt.
• Die p-adic ganzen Zahlen.
• Wenn U eine verbundene offene Teilmenge des Flugzeugs der komplexen Zahl C, dann der Ring H (U) ist, aus allen Holomorphic-Funktionen f bestehend: U  ist C ein integriertes Gebiet. Dasselbe ist für Ringe von analytischen Funktionen auf verbundenen offenen Teilmengen von analytischen Sammelleitungen wahr.
• Wenn R ein Ersatzring ist und P ein Ideal in R ist, dann der Faktor-Ring R/P ist ein integriertes Gebiet, wenn, und nur wenn P ein Hauptideal ist. Außerdem ist R ein integriertes Gebiet, wenn, und nur wenn das Ideal (0) ein Hauptideal ist.
• Ein regelmäßiger lokaler Ring ist ein integriertes Gebiet. Tatsächlich ist ein regelmäßiger lokaler Ring ein UFD.

Die folgenden Ringe sind nicht integrierte Gebiete.

• Der Ring von n×n matrices über jeden nichttrivialen Ring wenn n  2.
• Der Ring von dauernden Funktionen auf dem Einheitszwischenraum.
• Der Quotient-RingZ/mZ, wenn M eine zerlegbare Zahl ist.
• Der Ersatzring mit einer multiplicative Identität Z×Z.

Teilbarkeit, erste und nicht zu vereinfachende Elemente

Wenn a und b Elemente des integrierten Gebiets R sind, sagen wir, dass ein Teilen b oder eines Teilers von b oder b zu sein, ein Vielfache sind, wenn, und nur wenn dort ein Element x in solchem R dass Axt = b besteht.

Die Elemente, die sich 1 teilen, werden die Einheiten von R genannt; das sind genau die invertible Elemente in R. Einheiten teilen alle anderen Elemente.

Wenn ein Teilen b und b a teilen, dann sagen wir, dass a und b vereinigte Elemente oder Partner sind.

Wenn q eine Nichteinheit ist, sagen wir, dass q ein nicht zu vereinfachendes Element ist, wenn q als ein Produkt von zwei Nichteinheiten nicht geschrieben werden kann.

Wenn p eine Nichtnullnichteinheit ist, sagen wir, dass p ein Hauptelement ist, wenn, wann auch immer p ein Produkt ab teilt, dann teilt p a oder p, b teilt. Gleichwertig ist ein Element erst, wenn, und nur wenn ein dadurch erzeugtes Ideal ein Nichtnullhauptideal ist. Jedes Hauptelement ist nicht zu vereinfachend. Umgekehrt, in einem GCD Gebiet (z.B, einem einzigartigen factorization Gebiet), ist ein nicht zu vereinfachendes Element ein Hauptelement.

Der Begriff des Hauptelements verallgemeinert die gewöhnliche Definition der Primzahl im Ring Z, außer dass es negative Hauptelemente berücksichtigt. Während jede Blüte nicht zu vereinfachend ist, ist das gegenteilige nicht im Allgemeinen wahr. Zum Beispiel, in der quadratischen ganzen Zahl klingeln die Nummer 3 ist nicht zu vereinfachend, aber ist nicht eine Blüte, weil 9, die Norm 3, factored auf zwei Weisen im Ring nämlich sein kann, und. So, aber 3 teilt sich nicht noch Die Zahlen 3 und sind nicht zu vereinfachend, wie es nicht gibt, wo oder wie keine Lösung der ganzen Zahl hat.

Während einzigartig, hält factorization das obengenannte Beispiel nicht zurück, wenn wir Ideale verwenden, bekommen wir wirklich einzigartigen factorization. Sieh Lasker-Noether Lehrsatz.

Eigenschaften

• Lassen Sie R ein integriertes Gebiet sein. Dann gibt es ein integriertes Gebiet S solch, dass R  S und S ein Element hat, das über R transzendental ist.
• Das Annullierungseigentum hält in integrierten Gebieten. D. h. lassen Sie a, b, und c gehören einem integrierten Gebiet. Wenn ein  0 und ab = ac dann b = c. Eine andere Weise, das festzusetzen, besteht darin, dass die Funktion x Axt injective für jede Nichtnull a im Gebiet ist.
• Ein integriertes Gebiet ist der Kreuzung seiner Lokalisierungen an maximalen Idealen gleich.

Feld von Bruchteilen

Wenn R ein gegebenes integriertes Gebiet, das kleinste Feld ist, das R enthält, weil ein Subring bis zum Isomorphismus einzigartig bestimmt wird und das Feld von Bruchteilen oder Quotient-Feld von R genannt wird. Davon kann als bestehend aus allen Bruchteilen a/b mit a und b in R und b  0, modulo eine passende Gleichwertigkeitsbeziehung gedacht werden. Das Feld von Bruchteilen der ganzen Zahlen ist das Feld von rationalen Zahlen. Das Feld von Bruchteilen eines Feldes ist zum Feld selbst isomorph.

Algebraische Geometrie

In der algebraischen Geometrie entsprechen integrierte Gebiete nicht zu vereinfachenden Varianten. Sie haben einen einzigartigen allgemeinen Punkt, der durch das Nullideal gegeben ist. Integrierte Gebiete werden auch durch die Bedingung charakterisiert, dass sie reduziert und nicht zu vereinfachend werden. Die ehemalige Bedingung stellt sicher, dass der nilradical des Rings Null ist, so dass die Kreuzung der minimalen Blüte ganzen Rings Null ist. Die letzte Bedingung besteht darin, dass der Ring nur eine minimale Blüte hat. Hieraus folgt dass das einzigartige minimale Hauptideal eines reduzierten und nicht zu vereinfachenden Rings das Nullideal ist, folglich sind solche Ringe integrierte Gebiete. Das gegenteilige ist klar: Kein integriertes Gebiet kann nilpotent Elemente haben, und das Nullideal ist das einzigartige minimale Hauptideal.

Eigenschaft und Homomorphismus

Die Eigenschaft jedes integrierten Gebiets ist entweder Null oder eine Primzahl.

Wenn R ein integriertes Gebiet mit der ersten Eigenschaft p ist, dann definiert f (x) = x einen Injective-Ringhomomorphismus f: R  R, der Endomorphismus von Frobenius.

Siehe auch

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• Norm von Dedekind-Hasse - die für ein integriertes Gebiet erforderliche Extrastruktur, um hauptsächlicher zu sein
• Nullprodukt-Eigentum

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