In der Rechnung verwendet die Regierung von l'Hôpital (hat auch manchmal die Regierung von l'Hospital mit stillem "s" und identischer Artikulation buchstabiert), auch genannt die Regierung von Bernoulli, Ableitungen, um zu helfen, Grenzen zu bewerten, die unbestimmte Formen einschließen. Anwendung (oder wiederholte Anwendung) der Regel wandeln häufig eine unbestimmte Form zu einer bestimmten Form um, leichte Einschätzung der Grenze erlaubend. Die Regel wird nach dem französischen Mathematiker des 17. Jahrhunderts Guillaume de l'Hôpital genannt, der die Regel in seinem Buch Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes veröffentlicht hat (wörtliche Übersetzung: Analyse des Ungeheuer Kleinen für das Verstehen von Gekrümmten Linien) (1696), das erste Lehrbuch auf der Differenzialrechnung. Jedoch wird es geglaubt, dass die Regel vom schweizerischen Mathematiker Johann Bernoulli entdeckt wurde.

Der Stolz-Cesàro Lehrsatz ist ein ähnliches Ergebnis, das Grenzen von Folgen einschließt, aber er verwendet begrenzte Unterschied-Maschinenbediener aber nicht Ableitungen.

In seiner einfachsten Form stellt die Regierung von l'Hôpital fest, dass für Funktionen, und die differentiable darauf sind, wo ein offener Zwischenraum ist, der enthält:

Wenn

: und

:, besteht und

: für alle in mit,

dann

:.

Die Unterscheidung des Zählers und Nenners vereinfacht häufig den Quotienten und/oder wandelt es zu einer bestimmten Form um, der Grenze erlaubend, leichter bewertet zu werden.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der Regierung von l'Hôpital bedeckt viele Fälle. Lassen Sie und seien Sie erweiterte reelle Zahlen (d. h., reelle Zahlen, positive Unendlichkeit oder negative Unendlichkeit). Wie man annimmt, sind die echten geschätzten Funktionen f und g differentiable auf einem offenen Zwischenraum mit dem Endpunkt c, und zusätzlich auf dem Zwischenraum. Es wird auch angenommen, dass So die Regel für Situationen gilt, in denen das Verhältnis der Ableitungen eine begrenzte oder unendliche Grenze, und nicht zu Situationen hat, in denen dieses Verhältnis dauerhaft schwankt, weil x näher und näher an c wird.

Wenn irgendein

:

oder

:dann:

Die Grenzen können auch einseitige Grenzen sein. Im zweiten Fall wird die Hypothese, dass f zur Unendlichkeit abweicht, im Beweis nicht verwendet (sieh Zeichen am Ende der Probeabteilung); so, während die Bedingungen der Regel normalerweise als oben festgesetzt werden, kann die zweite genügend Bedingung für das Verfahren der Regel, um gültig zu sein, als kürzer festgesetzt werden

Die "" Hypothese erscheint meistens in der Literatur. Einige Autoren weichen die Hypothese aus, indem sie andere Hypothesen anderswohin hinzufügen. Eine Methode verwendet implizit darin ist, die Grenze einer Funktion mit der zusätzlichen Voraussetzung zu definieren, dass die Begrenzungsfunktion überall auf einem verbundenen Zwischenraum mit dem Endpunkt c definiert wird. Eine andere Methode, die darin erscheint, ist zu verlangen, dass sowohl f als auch g differentiable überall auf einem Zwischenraum sind, der c enthält.

Voraussetzung, dass Grenze besteht

Die Voraussetzung dass die Grenze

:

bestehen Sie ist notwendig. Ohne diese Bedingung kann es der Fall sein, dass und/oder feucht ungemachte Schwingungen ausstellt, weil sich x c nähert. Wenn das geschieht, dann gilt die Regierung von l'Hôpital nicht. Zum Beispiel, wenn und, dann

:

dieser Ausdruck nähert sich keiner Grenze, da die Kosinus-Funktion zwischen 1 und 1 schwingt. Aber mit den ursprünglichen Funktionen arbeitend, kann gezeigt werden zu bestehen:

:.

Beispiele

• Hier ist ein Beispiel, das die Sinc-Funktion und die unbestimmte Form einschließt:

::

\begin {richten }\aus

\lim_ {x \to 0} \operatorname {sinc} (x)

& = \lim_ {x \to 0} \frac {\\sin\pi x\{\\Pi x\\\

& = \lim_ {y \to 0} \frac {\\sündigen y\{y} \\

& = \lim_ {y \to 0} \frac {\\weil y\{1} \\

& = 1.

\end {richten }\aus</Mathematik>

:Alternatively, bemerken Sie gerade, dass die Grenze die Definition der Ableitung der Sinusfunktion an der Null ist.

• Das ist ein mehr wohl durchdachtes Beispiel-Beteiligen. Wenn sie die Regierung von l'Hôpital anwendet, läuft eine einzelne Zeit noch auf eine unbestimmte Form hinaus. In diesem Fall kann die Grenze durch die Verwendung der Regel dreimal bewertet werden:

:: \begin {richten }\aus

\lim_ {x\to 0} {\\frac {2\sin x-\sin 2x} {x-\sin x} }\

& = \lim_ {x\to 0} {\\frac {2\cos x-2\cos 2x} {1-\cos x}} \\

& = \lim_ {x\to 0} {\\frac {-2\sin x +4\sin 2x} sündigen {\\x\} \\

& = \lim_ {x\to 0} {\\frac {-2\cos x +8\cos 2x} {\\weil x\} \\

& = {\\frac {-2 +8} {1}} \\

& =6.

\end {richten }\aus</Mathematik>

• Dieses Beispiel schließt ein. Nehmen Sie das an. Dann

::

• Hier ist ein anderes Beispiel-Beteiligen:

::

\lim_ {x\to 0} {\\frac {e^x-1} {2x} }\

\lim_ {x\to 0} {\\frac {e^x} {2}}

{\\frac {1} {2}}. </Mathematik>

• Dieses Beispiel schließt ein. Nehmen Sie an ist eine positive ganze Zahl. Dann

::

\lim_ {x\to\infty} {\\frac {x^n} {e^x} }\

\lim_ {x\to\infty} {\\frac {Nx^ {n-1}} {e^x} }\

n\lim_ {x\to\infty} {\\frac {X^ {n-1}} {e^x}}. </Mathematik>

:Repeatedly wenden die Regierung von l'Hôpital an, bis die Hochzahl Null ist, um zu beschließen, dass die Grenze Null ist.

Hier ist ein anderes Beispiel-Beteiligen:::

\lim_ {x\to 0^ +} {\\frac {1/x} {-1/x^2} }\

\lim_ {x\to 0^ +}-x

0. </math>

• Hier ist ein Beispiel, das die Impuls-Antwort eines Filters des erhobenen Kosinus einschließt und:

:: \begin {richten }\aus

\lim_ {t\to 1/2} \operatorname {sinc} (t) \frac {\\weil \pi t\{1 - (2t) ^2 }\

& = \operatorname {sinc} (1/2) \lim_ {t\to 1/2} \frac {\\weil \pi t\{1 - (2 t) ^2} \\

& = \frac {2} {\\Pi} \lim_ {t\to 1/2} \frac {-\pi \sin \pi t} {-8 t} \\

& = \frac {2} {\\Pi} \cdot \frac {\\Pi} {4} \\

& = \frac {1} {2}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

• Man kann auch die Regierung von l'Hôpital verwenden, den folgenden Lehrsatz zu beweisen. Wenn an, dann dauernd

ist:: \begin {richten }\aus

\lim_ {h \to 0} \frac {f (x + h) + f (x - h) - 2f (x)} {h^2 }\

& = \lim_ {h \to 0} \frac {f' (x + h) - f' (x - h)} {2h} \\

& = f (x).

\end {richten }\aus</Mathematik>

• Manchmal wird die Regierung von l'Hôpital auf eine heikle Weise angerufen: Denken Sie läuft als zusammen. Es folgt:

::

:and so, wenn besteht und, dann begrenzt

ist

:Note, dass der obengenannte Beweis das annimmt, läuft zur positiven oder negativen Unendlichkeit als zusammen, uns erlaubend, die Regierung von L'Hôpital anzuwenden. Die Ergebnisse halten jedoch noch, wenn auch der Beweis nicht völlig abgeschlossen ist.

• Die Regierung von L'Hôpital kann verwendet werden, um die Begrenzungsform einer Funktion zu finden. Im Feld der Wahl unter der Unklarheit, die Dienstprogramm-Funktion von von Neumann-Morgenstern

::Wie man

sagt, hat:with, der über x> 0 definiert ist, unveränderliche Verhältnisrisikoabneigung, die dem gleich ist. Aber Einheitsverhältnisrisikoabneigung kann direkt mit diesem Ausdruck, seitdem als Annäherungen 1 der Zähler und Nenner beide Annäherungsnull nicht ausgedrückt werden. Jedoch erlaubt eine einzelne Anwendung der Regierung von l'Hôpital diesem Fall, als ausgedrückt zu werden

::

Komplikationen

Manchmal führt die Regierung von l'Hôpital zu keiner Antwort in einer begrenzten Zahl von Schritten, wenn eine Transformation von Variablen nicht angewandt wird. Beispiele schließen den folgenden ein:

• Zwei Anwendungen können zu einer Rückkehr zum ursprünglichen Ausdruck führen, der bewertet werden sollte:

::

:This-Situation kann durch das Ersetzen und die Anmerkung befasst werden, dass y zur Unendlichkeit geht, wie x zur Unendlichkeit geht; mit diesem Ersatz kann dieses Problem mit einer einzelnen Anwendung der Regel behoben werden:

::

• Eine willkürlich Vielzahl von Anwendungen kann zu einer Antwort sogar ohne das Wiederholen nie führen:

::

:This-Situation kann auch durch eine Transformation von Variablen in diesem Fall befasst werden:

::

Andere unbestimmte Formen

Andere unbestimmte Formen, solcher als, und, können manchmal mit der Regierung von l'Hôpital bewertet werden. Zum Beispiel, um ein Grenze-Beteiligen zu bewerten, wandeln Sie den Unterschied von zwei Funktionen zu einem Quotienten um:

:\begin {richten }\aus

\lim_ {x \to 1} \left (\frac {x} {x-1} - \frac {1} {\\ln x} \right)

& = \lim_ {x \to 1} \frac {x \ln x - x + 1} {(x-1) \ln x} \quad (1) \\

& = \lim_ {x \to 1} \frac {\\ln x\{\\frac {x-1} {x} + \ln x\\quad (2) \\

& = \lim_ {x \to 1} \frac {x \ln x} {x - 1 + x \ln x} \quad (3) \\

& = \lim_ {x \to 1} \frac {1 + \ln x} {1 + 1 + \ln x} \quad (4) \\

& = \lim_ {x \to 1} \frac {1 + \ln x} {2 + \ln x} \\

& = \frac {1} {2},

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo die Regierung von l'Hôpital im Gehen von (1) bis (2) und andererseits im Gehen von (3) bis (4) angewandt wurde.

die Regierung von l'Hôpital kann auf unbestimmten Formen verwendet werden, die Hochzahlen durch das Verwenden von Logarithmen einschließen, um die Hochzahl "herunterzulassen". Hier ist ein Beispiel, das die unbestimmte Form einschließt:

:

\lim_ {x \to 0^ +} x^x

\lim_ {x \to 0^ +} e^ {\\ln x^x }\

\lim_ {x \to 0^ +} e^ {x \ln x }\

e^ {\\lim_ {x \to 0^ +} (x \ln x)}.

</Mathematik>

Es ist gültig, um die Grenze innerhalb der Exponentialfunktion zu bewegen, weil die Exponentialfunktion dauernd ist. Jetzt ist die Hochzahl "heruntergelassen" worden. Die Grenze ist der unbestimmten Form, aber wie gezeigt, in einem Beispiel oben kann die Regierung von l'Hôpital verwendet werden, um das zu bestimmen

:

So

:

Andere Methoden, Grenzen zu bewerten

Obwohl die Regierung von l'Hôpital eine starke Weise ist, sonst hard-evaluate Grenzen zu bewerten, ist es nicht immer der leichteste Weg. Denken Sie

:

\lim_x | \to \infty} x \sin \frac {1} {x}.

</Mathematik>

Diese Grenze kann mit der Regierung von l'Hôpital bewertet werden:

:\begin {richten }\aus

\lim_x | \to \infty} x \sin \frac {1} {x }\

& = \lim_x | \to \infty} \frac {\\sündigen \frac {1} {x}} {1/x} \\

& = \lim_x | \to \infty} \frac {-x^ {-2 }\\cos\frac {1} {x}} {-x^ {-2}} \\

& = \lim_x | \to \infty} \cos\frac {1} {x} \\

& = \cos {\\verlassen (\lim_x | \to \infty} \frac {1} {x} \right)} \\

& = 1.\end {richten }\aus</Mathematik>

Es ist gültig, um die Grenze innerhalb der Kosinus-Funktion zu bewegen, weil die Kosinus-Funktion dauernd ist.

Aber eine einfachere Weise, diese Grenze zu bewerten, soll einen Ersatz verwenden.. Als Annäherungsunendlichkeit, Annäherungsnull. Also,

:

Die Endgrenze kann mit der Regierung von l'Hôpital oder durch die Anmerkung bewertet werden, dass es die Definition der Ableitung der Sinusfunktion an der Null ist.

Noch soll eine andere Weise, diese Grenze zu bewerten, eine Reihenentwicklung von Taylor verwenden:

:\begin {richten }\aus\lim_x | \to \infty} x \sin \frac {1} {x }\

& = \lim_x | \to \infty} x \left (\frac {1} {x} - \frac {1} {3! \, x^3} + \frac {1} {5! \, x^5} - \cdots \right) \\

& = \lim_x | \to \infty} 1 - \frac {1} {3! \, x^2} + \frac {1} {5! \, x^4} - \cdots \\

& = 1 + \lim_x | \to \infty} \frac {1} {x }\\verlassen (-\frac {1} {3! \, x\+ \frac {1} {5! \, x^3} - \cdots \right).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Da der Ausdruck in Parenthesen begrenzt wird, so ist die Grenze in der letzten Linie Null.

Geometrische Interpretation

Denken Sie die Kurve im Flugzeug, dessen - durch Koordinate gegeben wird, und dessen - durch Koordinate gegeben wird, d. h.

:

Denken. Die Grenze des Verhältnisses, wie der Hang der Tangente zur Kurve am Punkt ist. Durch die Tangente zur Kurve am Punkt wird gegeben. Die Regierung von L'Hôpital stellt dann fest, dass der Hang der Tangente daran die Grenze des Hangs von Tangenten an den Punkten ist, die sich Null nähern.

Beweis der Regierung von l'Hôpital

Spezieller Fall

Der Beweis der Regierung von l'Hôpital ist im Fall einfach, wo und unaufhörlich differentiable am Punkt sind, und wo eine begrenzte Grenze nach der ersten Runde der Unterscheidung gefunden wird. Es ist nicht ein Beweis der Regierung von General l'Hôpital, weil es in seiner Definition strenger ist, sowohl differentiability als auch dass c verlangend, eine reelle Zahl sein. Da viele allgemeine Funktionen dauernde Ableitungen haben (z.B Polynome, Sinus und Kosinus, Exponentialfunktionen), ist es ein spezieller der Aufmerksamkeit würdiger Fall.

Nehmen Sie an, dass und unaufhörlich differentiable an einer reellen Zahl, dass und das sind. Dann

:

Das folgt aus der Definition des Unterschied-Quotienten der Ableitung. Die letzte Gleichheit folgt aus der Kontinuität der Ableitungen daran. Die Grenze im Beschluss ist weil ziemlich bestimmt.

Der Beweis einer allgemeineren Version der Regierung von L'Hôpital wird unten gegeben.

Allgemeiner Beweis

Der folgende Beweis ist wegen, wo ein vereinigter Beweis für den 0/0 und die ± /±  unbestimmte Formen gegeben wird. Taylor bemerkt, dass verschiedene Beweise in gefunden werden können und.

Lassen Sie f und g Funktionen sein, die die Hypothesen in der Allgemeinen Form-Abteilung befriedigen. Lassen Sie, der offene Zwischenraum in der Hypothese mit dem Endpunkt c zu sein. Das Denken, das auf diesem Zwischenraum und g dauernd ist, kann kleiner gewählt werden, so dass g Nichtnull darauf ist.

Für jeden x im Zwischenraum, definieren Sie und als Reihen über alle Werte zwischen x und c. (Die Symbole inf und der Mund voll zeigen den infimum und das Supremum an.)

Vom differentiability von f und g auf stellt der Mittelwertlehrsatz von Cauchy sicher, dass für irgendwelche zwei verschiedenen Punkte x und y darin dort zwischen x und solchem y dass besteht. Folglich für alle Wahlen von verschiedenem x und y im Zwischenraum. Der Wert g (x) ist-g (y) immer Nichtnull für verschiedenen x und y im Zwischenraum, weil, wenn es nicht war, der Mittelwertlehrsatz die Existenz eines p zwischen x und solchem y dass g' (p) =0 einbeziehen würde.

Die Definition der M (x) und M (x) wird auf eine verlängerte reelle Zahl hinauslaufen, und so ist es für sie möglich, die Werte ±  zu übernehmen. In den folgenden zwei Fällen werden M (x) und M (x) Grenzen auf dem Verhältnis f/g gründen.

Fall 1:

Für jeden x im Zwischenraum und Punkt y zwischen x und c,

:

und deshalb weil sich y c nähert, und werden Sie Null, und so

:.

Fall 2:

Für jeden x im Zwischenraum, definieren. Für jeden Punkt y zwischen x und c haben wir

:.

Da sich y c, beider nähert und werden Sie Null, und deshalb

:

Die Grenze höher und untergeordnete Grenze sind notwendig, seitdem die Existenz der Grenze von f/g noch nicht gegründet worden ist.

Wir brauchen die Tatsachen das

:

und

: und.

Im Falle dass 1, der Druck-Lehrsatz, feststellt, dass besteht und L gleich ist. Im Fall 2, und der Druck-Lehrsatz behauptet wieder, dass, und so besteht die Grenze und ist L gleich. Das ist das Ergebnis, das bewiesen werden sollte.

Zeichen: Im Falle dass 2 wir die Annahme nicht verwendet haben, dass f (x) zur Unendlichkeit innerhalb des Beweises abweicht. Das bedeutet, dass, wenn |g (x) | zur Unendlichkeit abweicht, weil sich x c nähert und sowohl f als auch g die Hypothesen der Regierung von l'Hôpital befriedigen, dann ist keine zusätzliche Annahme über die Grenze von f (x) erforderlich: Es konnte sogar der Fall sein, dass die Grenze von f (x) nicht besteht.

Im Fall, wenn |g (x) | zur Unendlichkeit abweicht, weil nähert sich x c, und f (x) läuft zu einer begrenzten Grenze an c zusammen, dann würde die Regierung von l'Hôpital anwendbar, aber nicht absolut notwendig sein, da grundlegende Grenze-Rechnung zeigen wird, dass die Grenze von f (x) sich/g (x) als x nähert, muss c Null sein.

Siehe auch

• Meinungsverschiedenheit von l'Hôpital

Referenzen

Links

• die Regierung von l'Hôpital an PlanetMath