Die Laplace verwandeln sich ist ein weit verwendetes Integral verwandeln sich mit vielen Anwendungen in der Physik und Technik. Angezeigt ist es ein geradliniger Maschinenbediener einer Funktion f (t) mit einem echten Argument t (t  0), der es in eine Funktion F (s) mit einem komplizierten Argument s umgestaltet. Diese Transformation ist für die Mehrheit des praktischen Gebrauches im Wesentlichen bijektiv; die jeweiligen Paare von f (t) und F (s) werden in Tischen verglichen. Die Laplace verwandeln sich hat das nützliche Eigentum, dass viele Beziehungen und Operationen über die Originale f (t) einfacheren Beziehungen und Operationen über die Images F (s) entsprechen.

Es wird für Pierre-Simon Laplace genannt, der das Umgestalten in seiner Arbeit an der Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt hat.

Die Laplace verwandeln sich ist mit dem Fourier verbunden verwandeln sich, aber wohingegen sich der Fourier verwandelt, drückt eine Funktion oder Signal als eine Reihe von Weisen des Vibrierens (Frequenzen) aus, Laplace verwandeln sich löst eine Funktion in seine Momente auf. Wie der Fourier verwandeln sich, Laplace verwandeln sich wird verwendet, um unterschiedliche und Integralgleichungen zu lösen. In der Physik und Technik wird es für die Analyse von geradlinigen Zeit-Invariant Systemen wie elektrische Stromkreise, harmonische Oszillatoren, optische Geräte und mechanische Systeme verwendet. In solchen Analysen verwandeln sich Laplace wird häufig als eine Transformation vom Zeitabschnitt interpretiert, in dem Eingänge und Produktionen Funktionen der Zeit zum Frequenzgebiet sind, wo dieselben Eingänge und Produktionen Funktionen der komplizierten winkeligen Frequenz in radians pro Einheitszeit sind. In Anbetracht eines einfachen mathematischen oder Funktionsbeschreibung eines Eingangs oder Produktion zu einem System verwandeln sich Laplace stellt eine alternative Funktionsbeschreibung zur Verfügung, die häufig den Prozess vereinfacht, das Verhalten des Systems, oder im Synthetisieren eines neuen auf einer Reihe von Spezifizierungen gestützten Systems zu analysieren.

Geschichte

Der Laplace verwandelt sich wird genannt, nachdem sich Mathematiker und Astronom Pierre-Simon Laplace, der einen ähnlichen verwendet hat, verwandeln (jetzt hat gerufen z verwandeln sich) in seiner Arbeit an der Wahrscheinlichkeitstheorie. Der aktuelle weit verbreitete Gebrauch des Umgestaltens ist bald nach dem Zweiten Weltkrieg geschehen, obwohl es im 19. Jahrhundert von Abel, Lerch, Heaviside, Bromwich verwendet worden war.

Die ältere Geschichte von ähnlichen verwandelt sich ist wie folgt.

Von 1744 hat Leonhard Euler Integrale der Form untersucht

:

als Lösungen von Differenzialgleichungen, aber hat die Sache sehr weit nicht verfolgt. Joseph Louis Lagrange war ein Bewunderer von Euler und, in seiner Arbeit an der Integrierung von Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen, untersuchten Ausdrücken der Form

:

den einige moderne Historiker innerhalb von modernem Laplace interpretiert haben, gestalten Theorie um.

Diese Typen von Integralen scheinen erst, um die Aufmerksamkeit von Laplace 1782 angezogen zu haben, wo er im Geist von Euler im Verwenden der Integrale selbst als Lösungen von Gleichungen folgte. Jedoch, 1785, hat Laplace den kritischen Schritt vorwärts gemacht, als, anstatt gerade nach einer Lösung in der Form eines Integrals zu suchen, er angefangen hat, das Umgestalten im Sinn anzuwenden, der später war, populär zu werden. Er hat ein Integral der Form verwendet:

:

verwandt mit Mellin verwandeln sich, um den ganzen eine Unterschied-Gleichung umzugestalten, um nach Lösungen der umgestalteten Gleichung zu suchen. Er hat dann fortgesetzt sich zu wenden Laplace verwandeln sich ebenso und haben angefangen, einige seiner Eigenschaften abzuleiten, beginnend, seine potenzielle Macht zu schätzen.

Laplace hat auch erkannt, dass die Methode von Joseph Fourier der Reihe von Fourier, für die Verbreitungsgleichung zu lösen, nur für ein beschränktes Gebiet des Raums gelten konnte, weil die Lösungen periodisch waren. 1809 hat Laplace seinen angewandt verwandelst, um Lösungen zu finden, die sich unbestimmt im Raum verbreitet haben.

Formelle Definition

Die Laplace verwandeln sich von einer Funktion f (t), definiert für alle reellen Zahlen t  0, ist die Funktion F (s), definiert durch:

:

Der Parameter s ist eine komplexe Zahl:

: mit reellen Zahlen σ und ω.

Die Bedeutung des Integrals hängt von Typen von Funktionen von Interesse ab. Eine notwendige Bedingung für die Existenz des Integrals besteht darin, dass ƒ lokal integrable auf [0,  sein muss). Für lokal integrable Funktionen, die an der Unendlichkeit verfallen oder des Exponentialtyps sind, kann das Integral als (richtiger) integrierter Lebesgue verstanden werden. Jedoch für viele Anwendungen ist es notwendig, es als ein bedingt konvergentes unpassendes Integral an  zu betrachten. Noch mehr allgemein kann das Integral in einem schwachen Sinn verstanden werden, und das wird unten befasst.

Man kann Laplace definieren gestalten von Maß-μ eines begrenzten Borels durch Lebesgue integrierten um

:

Ein wichtiger spezieller Fall ist, wo μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder, noch mehr spezifisch, die Delta-Funktion von Dirac ist. In der betrieblichen Rechnung verwandeln sich Laplace eines Maßes wird häufig behandelt, als ob das Maß aus einem Vertriebsfunktions-ƒ gekommen ist. In diesem Fall, um potenzielle Verwirrung zu vermeiden, schreibt man häufig

:

wo die niedrigere Grenze 0 Schnellschrift-Notation für ist

:

Diese Grenze betont, dass jede Punkt-Masse, die an 0 gelegen ist, von Laplace völlig gewonnen wird, verwandeln sich. Obwohl mit integriertem Lebesgue es nicht notwendig ist, solch eine Grenze zu nehmen, erscheint es wirklich natürlicher im Zusammenhang mit dem Laplace-Stieltjes verwandeln sich.

Wahrscheinlichkeitstheorie

In der reinen und angewandten Wahrscheinlichkeit verwandeln sich Laplace wird mittels eines Erwartungswerts definiert. Wenn X eine zufällige Variable mit dem Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktions-ƒ ist, dann verwandeln sich Laplace des ƒ wird durch die Erwartung gegeben

:

Durch den Missbrauch der Sprache wird das Laplace genannt verwandeln sich von der zufälligen Variable X selbst. Das Ersetzen s durch −t gibt die Moment-Erzeugen-Funktion X. Die Laplace verwandeln sich hat Anwendungen überall in der Wahrscheinlichkeitstheorie, einschließlich der ersten Durchlasszeit von stochastischen Prozessen wie Ketten von Markov und Erneuerungstheorie.

Bilaterale Laplace verwandeln sich

Wenn man sagt, dass "sich Laplace" ohne Qualifikation verwandeln, verwandeln sich das einseitige oder einseitige, ist normalerweise beabsichtigt. Die Laplace verwandeln sich kann wechselweise definiert werden, weil sich bilaterale Laplace verwandeln oder sich zweiseitige Laplace durch das Verlängern der Grenzen der Integration verwandeln, um die komplette echte Achse zu sein. Wenn das getan wird, verwandeln sich die allgemeinen einseitigen einfach wird ein spezieller Fall des bilateralen verwandeln sich, wo die Definition der Funktion, die wird umgestaltet, mit der Schritt-Funktion von Heaviside multipliziert wird.

Bilaterale Laplace verwandeln sich wird wie folgt definiert:

:

Umgekehrte Laplace verwandeln sich

Umgekehrte Laplace verwandeln sich wird durch das folgende komplizierte Integral gegeben, das durch verschiedene Namen (Bromwich integriert, der Fourier-Mellin die umgekehrte Formel des integrierten und Mellins) bekannt ist:

:

wo eine reelle Zahl ist, so dass der Kontur-Pfad der Integration im Gebiet der Konvergenz von F (s) ist. Eine alternative Formel für umgekehrten Laplace verwandelt sich wird durch die Inversionsformel des Postens gegeben.

Gebiet der Konvergenz

Wenn ƒ lokal integrable Funktion ist (oder mehr allgemein ein Maß von Borel lokal der begrenzten Schwankung), dann verwandeln sich Laplace F (s) des ƒ läuft vorausgesetzt, dass die Grenze zusammen

:

besteht. Die Laplace verwandeln sich läuft absolut wenn der integrierte zusammen

:

besteht (als richtiger Lebesgue integriert). Die Laplace verwandeln sich wird gewöhnlich als bedingt konvergent verstanden, bedeutend, dass es im ersteren statt des letzten Sinns zusammenläuft.

Der Satz von Werten, für die F (s) absolut zusammenläuft, ist irgendein der Form

Re {s}> oder Re {s}  a, wo einer verlängerten echten Konstante, −  ein   zu sein. (Das folgt aus dem beherrschten Konvergenz-Lehrsatz.) Die Konstante bekannt als die Abszisse der absoluten Konvergenz zu sein, und hängt vom Wachstumsverhalten von ƒ (t) ab. Analog verwandeln sich die zweiseitigen läuft absolut in einem Streifen der Form Die Teilmenge von Werten von s zusammen, für den sich Laplace verwandeln, läuft zusammen absolut wird das Gebiet der absoluten Konvergenz oder das Gebiet der absoluten Konvergenz genannt. Im zweiseitigen Fall wird es manchmal den Streifen der absoluten Konvergenz genannt. Die Laplace verwandeln sich ist im Gebiet der absoluten Konvergenz analytisch.

Ähnlich ist der Satz von Werten, für die F (s) zusammenläuft (bedingt oder absolut) als das Gebiet der bedingten Konvergenz oder einfach das Gebiet der Konvergenz (ROC) bekannt. Wenn sich Laplace verwandeln, läuft (bedingt) an s = s zusammen, dann läuft er automatisch für den ganzen s mit Re {s}> Re {s} zusammen. Deshalb ist das Gebiet der Konvergenz ein Halbflugzeug der Form Re {s}> a, vielleicht einschließlich einiger Punkte der Grenzlinie Re {s} = a. Im Gebiet der Konvergenz kann Re {s}>, den Re {s}, Laplace des ƒ umgestalten, durch die Integrierung durch Teile als der integrierte ausgedrückt werden

:

D. h. im Gebiet der Konvergenz F kann (s) effektiv ausgedrückt werden, weil sich absolut konvergente Laplace von einer anderen Funktion verwandeln. Insbesondere es ist analytisch.

Eine Vielfalt von Lehrsätzen, in der Form von Paley-Wiener Lehrsätzen, besteht bezüglich der Beziehung zwischen den Zerfall-Eigenschaften von ƒ, und die Eigenschaften von Laplace verwandeln sich innerhalb des Gebiets der Konvergenz.

In Technikanwendungen ist eine Funktion entsprechend einem System des geradlinigen Zeit-Invariant (LTI) stabil, wenn jeder begrenzte Eingang eine begrenzte Produktion erzeugt. Das ist zur absoluten Konvergenz von Laplace gleichwertig verwandeln sich der Impuls-Ansprechfunktion in Gebiet Re {s}  0. Infolgedessen sind LTI Systeme stabil, vorausgesetzt dass sich die Pole von Laplace der Impuls-Ansprechfunktion verwandeln, haben negativen echten Teil.

Eigenschaften und Lehrsätze

Die Laplace verwandeln sich hat mehrere Eigenschaften, die es nützlich machen, um geradlinige dynamische Systeme zu analysieren. Der bedeutendste Vorteil besteht darin, dass Unterscheidung und Integration Multiplikation und Abteilung, beziehungsweise, durch s (ähnlich zu Logarithmen werden, die Multiplikation von Zahlen zur Hinzufügung ihrer Logarithmen ändern). Wegen dieses Eigentums ist die Variable von Laplace s auch bekannt als Maschinenbediener-Variable im L Gebiet: entweder abgeleiteter Maschinenbediener oder (für s) Integrationsmaschinenbediener. Die umgestalten Umdrehungsintegralgleichungen und Differenzialgleichungen zu polynomischen Gleichungen, die viel leichter sind zu lösen. Einmal gelöst verwandelt sich der Gebrauch umgekehrten Laplace kehrt zum Zeitabschnitt zurück.

In Anbetracht der Funktionen f (t) und g (t), und ihr jeweiliger Laplace gestaltet F (s) und G (s) um:

::

der folgende Tisch ist eine Liste von Eigenschaften von einseitigem Laplace verwandeln Sie sich:

F \left ({s \over} \right) </Mathematik>

|

| -

! Frequenz, die sich bewegt

| |

|

| -

! Zeit, sich bewegend

| |

| ist die Schritt-Funktion von Heaviside

| -

! Multiplikation

| |

| die Integration wird entlang der vertikalen Linie getan, die völlig innerhalb des Gebiets der Konvergenz von F liegt.

| -

! Gehirnwindung

| |

| ƒ (t) und g (t) werden durch die Null für t erweitert

| || -

! Quer-Korrelation

| | || -

! periodische Funktion

| |

| ist eine periodische Funktion der Periode so dass. Das ist das Ergebnis des Zeitverschiebungseigentums und der geometrischen Reihe.

| }\

• Anfangswert-Lehrsatz:

:

• Endwertlehrsatz:

:, wenn alle Pole dessen im linken Halbflugzeug sind.

: Der Endwertlehrsatz ist nützlich, weil er das Langzeitverhalten gibt, ohne teilweise Bruchteil-Zergliederungen oder andere schwierige Algebra durchführen zu müssen. Wenn Pole einer Funktion im rechten Flugzeug sind (z.B oder), ist das Verhalten dieser Formel unbestimmt.

Der Beweis von Laplace verwandelt sich von einer Ableitung einer Funktion

Es ist häufig günstig, das Unterscheidungseigentum von Laplace zu verwenden, verwandeln sich, um das Umgestalten einer Ableitung einer Funktion zu finden. Das kann aus dem grundlegenden Ausdruck für Laplace abgeleitet werden verwandeln sich wie folgt:

:

\begin {richten }\aus

\mathcal {L} \left\{f (t) \right\} & = \int_ {0^-} ^ {\\infty} e^ {-der St.} f (t) \, dt \\[8pt]

& = \left [\frac {f (t) e^ {-der St.}} {-s} \right] _ {0^-} ^ {\\infty} -

\int_ {0^-} ^\\infty \frac {e^ {-der St.}} {-s} f' (t) \, dt\quad \text {(durch Teile)} \\[8pt]

& = \left [-\frac {f (0)} {-s }\\Recht] +

\frac {1} {s }\\mathcal {L }\\left\{f' (t) \right\},

\end {richten }\aus</Mathematik>

das Tragen

:

und im bilateralen Fall,

:

= s \int_ {-\infty} ^\\infty e^ {-der St.} f (t) \, dt = s \cdot \mathcal {L} \{f (t) \}. </Mathematik>

Das allgemeine Ergebnis

:

wo f die n-te Ableitung von f ist, kann dann mit einem induktiven Argument gegründet werden.

Das Auswerten unpassender Integrale

Lassen Sie dann (sieh den Tisch oben)

:

oder

:

Das Lassen, wir bekommen die Identität

:

Zum Beispiel,

:

Ein anderes Beispiel ist integrierter Dirichlet.

Die Beziehung zu anderem verwandelt sich

Laplace-Stieltjes verwandeln sich

Die (einseitigen) Laplace-Stieltjes verwandeln sich von einer Funktion g: R  wird R durch den Lebesgue-Stieltjes integrierten definiert

:Wie man

annimmt, ist die Funktion g von der begrenzten Schwankung. Wenn g die Antiableitung von ƒ ist:

:

dann verwandeln sich die Laplace-Stieltjes von g, und Laplace verwandeln sich vom ƒ fallen zusammen. Im Allgemeinen verwandeln sich die Laplace-Stieltjes ist Laplace verwandeln sich des zu g vereinigten Maßes von Stieltjes. Also in der Praxis verwandelt sich die einzige Unterscheidung zwischen den zwei ist, dass sich Laplace verwandeln, wird als funktionierend auf der Dichte-Funktion des Maßes gedacht, wohingegen sich die Laplace-Stieltjes verwandeln, wird als funktionierend auf seiner kumulativen Vertriebsfunktion gedacht.

Fourier verwandelt sich

Der dauernde Fourier verwandelt sich ist zum Auswerten bilateralen Laplace gleichwertig verwandeln sich mit dem imaginären Argument s = iω oder s = 2πfi:

: \begin {richten }\aus

\hat {f} (\omega) & = \mathcal {F }\\left\{f (t) \right\} \\[1em]

& = \mathcal {L }\\left\{f (t) \right\} | _ {s = i\omega} = F (s) | _ {s = ich \omega }\\\[1em]

& = \int_ {-\infty} ^ {\\infty} e^ {-\imath \omega t} f (t) \, \mathrm {d} t. \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dieser Ausdruck schließt den Skalenfaktor aus, der häufig in Definitionen des Fouriers eingeschlossen wird, verwandeln sich. Diese Beziehung zwischen dem Laplace und Fourier verwandelt sich wird häufig verwendet, um das Frequenzspektrum eines Signals oder dynamischen Systems zu bestimmen.

Die obengenannte Beziehung, ist wie festgesetzt, gültig, wenn, und nur wenn das Gebiet der Konvergenz (ROC) von F (s) die imaginäre Achse, σ = 0 enthält. Zum Beispiel, die Funktion f (t) =, weil (ωt) Laplace F (s) = s / umgestalten lässt (s + ω), wessen ROC Re (s)> 0 ist. Als s = ist iω ein Pol von F (s), s = vertretend, iω in F (s) trägt nicht der Fourier verwandeln sich f (t) u (t), der zur Delta-Funktion von Dirac δ (ω-ω proportional ist).

Jedoch, eine Beziehung der Form

:

hält unter viel schwächeren Bedingungen. Zum Beispiel hält das für das obengenannte Beispiel vorausgesetzt, dass die Grenze als eine schwache Grenze von Maßnahmen verstanden wird (sieh vage Topologie). Allgemeine Bedingungen, die die Grenze von Laplace verbinden, verwandeln sich einer Funktion an der Grenze dem Fourier verwandeln sich nehmen die Form von Paley-Wiener Lehrsätzen an.

Mellin verwandeln sich

Die Mellin verwandeln sich, und sein Gegenteil sind mit zweiseitigem Laplace verbunden verwandeln sich durch eine einfache Änderung von Variablen. Wenn in Mellin umgestalten

:

wir setzen θ = e wir kommen zweiseitiger Laplace verwandeln sich.

Z-transform

Der einseitige oder einseitige Z-transform ist einfach Laplace verwandeln sich von einem ideal probierten Signal mit dem Ersatz von

:

: wo die ausfallende Periode (in Einheiten der Zeit z.B, Sekunden) ist und die ausfallende Rate (in Proben pro Sekunde oder Hertz) ist

Lassen Sie

:

seien Sie ein ausfallender Impuls-Zug (auch hat einen Kamm von Dirac genannt), und

: \begin {richten }\aus

x_q (t) & \stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\x (t) \Delta_T (t) = x (t) \sum_ {n=0} ^ {\\infty} \delta (t - n T) \\

& = \sum_ {n=0} ^ {\\infty} x (n T) \delta (t - n T) = \sum_ {n=0} ^ {\\infty} x [n] \delta (t - n T)

\end {richten }\aus</Mathematik>

seien Sie die dauernd-malige Darstellung des probierten

: sind die getrennten Proben dessen.

Die Laplace verwandeln sich vom probierten Signal ist

: \begin {richten }\aus

X_q (s) & = \int_ {0^-} ^\\infty x_q (t) e^ {-s t} \, dt \\

& = \int_ {0^-} ^\\infty \sum_ {n=0} ^\\infty x [n] \delta (t - n T) e^ {-s t} \, dt \\

& = \sum_ {n=0} ^\\infty x [n] \int_ {0^-} ^\\infty \delta (t - n T) e^ {-s t} \, dt \\

& = \sum_ {n=0} ^\\infty x [n] e^ {-n s T}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das ist genau die Definition des einseitigen Z-transform der getrennten Funktion

:

mit dem Ersatz dessen.

Die letzten zwei Gleichungen vergleichend, finden wir, dass sich die Beziehung zwischen dem einseitigen Z-transform und Laplace vom probierten Signal verwandelt:

:

Die Ähnlichkeit zwischen Z und Laplace verwandelt sich wird auf in der Theorie der Rechnung des zeitlichen Rahmens ausgebreitet.

Borel verwandelt sich

Die integrierte Form des Borels gestaltet um

:

ist ein spezieller Fall von Laplace gestalten für den ƒ eine komplette Funktion des Exponentialtyps um, das bedeutend

:

für einige Konstanten A und B. Der verallgemeinerte Borel verwandelt sich erlaubt einer verschiedenen Gewichtungsfunktion, aber nicht die Exponentialfunktion verwendet zu werden, Funktionen nicht des Exponentialtyps umzugestalten. Der Lehrsatz von Nachbin gibt notwendige und genügend Bedingungen für den Borel verwandeln sich, um gut definiert zu werden.

Grundsätzliche Beziehungen

Seit gewöhnlichem Laplace verwandeln sich kann als ein spezieller Fall geschrieben werden

eines zweiseitigen verwandeln sich, und da sich die zweiseitigen verwandeln, kann als geschrieben werden

die Summe von zwei einseitigen verwandelt sich, die Theorie des Laplace-, Fourier - Mellin-, und Z-transforms sind im Grunde dasselbe Thema. Jedoch, ein verschiedener Gesichtspunkt und verschiedener

charakteristische Probleme werden mit jedem dieses vier Hauptintegrals vereinigt verwandelt sich.

Der Tisch von ausgewähltem Laplace verwandelt sich

Der folgende Tisch stellt Laplace zur Verfügung verwandelt sich für viele allgemeine Funktionen einer einzelnen Variable. Für Definitionen und Erklärungen, sieh die Erklärenden Zeichen am Ende des Tisches.

Weil sich Laplace verwandeln, ist ein geradliniger Maschinenbediener:

• Die Laplace verwandeln sich von einer Summe ist die Summe von Laplace verwandelt sich von jedem Begriff.

::

• Die Laplace verwandeln sich von einem Vielfache einer Funktion ist dass mehrmals die Transformation von Laplace dieser Funktion.

::

Das Verwenden dieser Linearität und verschiedener trigonometrischer, hyperbolischer und Komplexer Zahl (usw.). Eigenschaften und/oder Identität, ein Laplace verwandelt sich kann bei anderen erhalten werden, die schneller sind als durch das Verwenden der Definition direkt.

Einseitige Laplace verwandeln sich nimmt als Eingang eine Funktion, deren Zeitabschnitt der nichtnegative reals ist, der ist, warum alle Zeitabschnitt-Funktionen im Tisch unten Vielfachen der Schritt-Funktion von Heaviside, u (t) sind. Die Einträge des Tisches, die mit einer Verzögerung τ verbunden sind, sind erforderlich, kausal zu sein (Bedeutung davon τ> 0). Ein kausales System ist ein System, wo die Impuls-Antwort h (t) Null für alle Zeiten t vor t = 0 ist. Im Allgemeinen ist das Gebiet der Konvergenz für kausale Systeme nicht dasselbe als dieses von antikausalen Systemen.

\</Mathematik>

||

||

|| Frequenzverschiebung ofunit geht

| - Stil = "text-align:Center;"

| Exponentialannäherung

||||||

|| Einheitsschritt minusexponential verfällt

| - Stil = "text-align:Center;"

| Sinus

||||||

||

| - Stil = "text-align:Center;"

| Kosinus

||||||||| - Stil = "text-align:Center;"

| Sinus hyperbolicus

||||||||| - Stil = "text-align:Center;"

| Cosinus hyperbolicus

||||||||| - Stil = "text-align:Center;"

| Exponential verfallende Sinus-Welle

||||||||| - Stil = "text-align:Center;"

| Exponential verfallende Kosinus-Welle

||||||||| - Stil = "text-align:Center;"

| natürlicher Logarithmus

||||||||| - Stil = "text-align:Center;"

| Funktion von Bessel der ersten Art, des Auftrags n

||||

||

||| - Stil = "text-align:Center;"

| Fehlerfunktion

||||||||| -

| Colspan=5|Explanatory-Zeichen:

• vertritt die Schritt-Funktion von Heaviside.

• vertritt die Delta-Funktion von Dirac.

• vertritt die Gammafunktion.

• ist die Euler-Mascheroni Konstante.

• eine reelle Zahl, vertritt normalerweise Zeit, obwohl sie jede unabhängige Dimension vertreten kann.

• ist die komplizierte winkelige Frequenz, und ist sein echter Teil.

• und sind reelle Zahlen.

• ist eine ganze Zahl.

| }\

S-Gebiet gleichwertige Stromkreise und Scheinwiderstände

Die Laplace verwandeln sich wird häufig in der Stromkreis-Analyse verwendet, und einfache Konvertierungen zum S-Gebiet von Stromkreis-Elementen können gemacht werden. Stromkreis-Elemente können in Scheinwiderstände umgestaltet, in Operator-Scheinwiderstände sehr ähnlich werden.

Hier ist eine Zusammenfassung von Entsprechungen:

:

Bemerken Sie, dass der Widerstand genau dasselbe im Zeitabschnitt und dem S-Gebiet ist. Die Quellen werden gebracht, in wenn es anfängliche Bedingungen auf den Stromkreis-Elementen gibt. Zum Beispiel, wenn ein Kondensator eine anfängliche Stromspannung darüber hat, oder wenn der Induktor einen anfänglichen Strom dadurch, die Quellen hat, die in die S-Bereichsrechnung dafür eingefügt sind.

Die Entsprechungen für den Strom und die Stromspannungsquellen werden einfach aus den Transformationen im Tisch oben abgeleitet.

Beispiele: Wie man die Eigenschaften und Lehrsätze anwendet

Die Laplace verwandeln sich wird oft in der Technik und Physik verwendet; die Produktion einer geradlinigen Zeit invariant System kann durch convolving seine Einheitsimpuls-Antwort mit dem Eingangssignal berechnet werden. Das Durchführen dieser Berechnung im Raum von Laplace verwandelt die Gehirnwindung in eine Multiplikation; das letzte Wesen, das leichter ist, wegen seiner algebraischen Form zu lösen. Für mehr Information, sieh Steuerungstheorie.

Die Laplace verwandeln sich kann auch verwendet werden, um Differenzialgleichungen zu lösen, und wird umfassend in der Elektrotechnik verwendet. Die Laplace verwandeln sich reduziert eine lineare Differenzialgleichung auf eine algebraische Gleichung, die dann durch die formellen Regeln der Algebra gelöst werden kann. Die ursprüngliche Differenzialgleichung kann dann durch die Verwendung umgekehrten Laplace gelöst werden verwandeln sich. Der englische Elektroingenieur Oliver Heaviside hat zuerst ein ähnliches Schema vorgeschlagen, obwohl sich ohne Laplace zu verwenden, verwandeln; und die resultierende betriebliche Rechnung wird als die Rechnung von Heaviside kreditiert.

Beispiel 1: Das Lösen einer Differenzialgleichung

In der Kernphysik regelt die folgende grundsätzliche Beziehung radioaktiven Zerfall: Die Zahl von radioaktiven Atomen N in einer Probe eines radioaktiven Isotops verfällt an einer zu N proportionalen Rate. Das führt zur ersten linearen Ordnungsdifferenzialgleichung

:

wo λ der unveränderliche Zerfall ist. Die Laplace verwandeln sich kann verwendet werden, um diese Gleichung zu lösen.

Die Gleichung zu einer Seite umordnend, haben wir

:

Dann nehmen wir Laplace verwandeln sich von beiden Seiten der Gleichung:

:wo:und:

Das Lösen, wir finden

:

Schließlich nehmen wir umgekehrten Laplace verwandeln sich, um die allgemeine Lösung zu finden

: \begin {richten }\aus

N (t) & = \mathcal {L} ^ {-1} \{\\Tilde {N} (s) \} = \mathcal {L} ^ {-1} \left\{\frac {N_o} {s + \lambda} \right\} \\

& = \N_o e^ {-\lambda t},

\end {richten }\aus</Mathematik>

der tatsächlich die richtige Form für den radioaktiven Zerfall ist.

Beispiel 2: Das Abstammen des komplizierten Scheinwiderstands für einen Kondensator

In der Theorie von elektrischen Stromkreisen ist der aktuelle Fluss in einem Kondensator zur Kapazität und Rate der Änderung im elektrischen Potenzial (in SI-Einheiten) proportional. Symbolisch wird das durch die Differenzialgleichung ausgedrückt

:

wo C die Kapazität (in Farad) vom Kondensator ist, ich = bin ich (t) der elektrische Strom (in Ampere) durch den Kondensator als eine Funktion der Zeit, und v = v (t) ist die Stromspannung (in Volt) über die Terminals des Kondensators auch als eine Funktion der Zeit.

Einnahme von Laplace verwandelt sich von dieser Gleichung, wir erhalten

:wo::und:Wenn wir

für V (s) lösen, haben wir

:

Die Definition des komplizierten Scheinwiderstands Z (in Ohm) ist das Verhältnis der komplizierten Stromspannung V geteilt durch den komplizierten Strom I, während sie den anfänglichen Staat V an der Null hält:

:

Mit dieser Definition und der vorherigen Gleichung finden wir:

:

der der richtige Ausdruck für den komplizierten Scheinwiderstand eines Kondensators ist.

Beispiel 3: Methode der teilweisen Bruchteil-Vergrößerung

Denken Sie ein geradliniges Zeit-Invariant System mit der Übertragungsfunktion

:

Die Impuls-Antwort ist einfach umgekehrter Laplace verwandeln sich von dieser Übertragungsfunktion:

:

Um dieses Gegenteil zu bewerten, verwandeln sich, wir beginnen, indem wir uns H (s) das Verwenden der Methode der teilweisen Bruchteil-Vergrößerung ausbreiten:

:

Die unbekannten Konstanten P und R sind die an den entsprechenden Polen der Übertragungsfunktion gelegenen Rückstände. Jeder Rückstand vertritt den Verhältnisbeitrag dieser Eigenartigkeit zur gesamten Gestalt der Funktion der Übertragung. Durch den Rückstand-Lehrsatz verwandeln sich umgekehrte Laplace hängt nur auf die Pole und ihre Rückstände ab. Um den Rückstand P zu finden, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung durch s + α, um zu bekommen

:

Dann durch das Lassen s = &minus; verschwindet der Beitrag von R und alles, was verlassen wird, ist

:

Ähnlich wird der Rückstand R durch gegeben

:

Bemerken Sie das

:

und so der Ersatz von R und P in den ausgebreiteten Ausdruck für H gibt (s)

:

Schließlich verwandelt sich das Verwenden des Linearitätseigentums und des bekannten für den Exponentialzerfall (sieh, dass Sich Artikel #3 im Tisch von Laplace, oben Verwandelt), können wir umgekehrten Laplace nehmen verwandeln sich von H (s), um vorzuherrschen:

:

der die Impuls-Antwort des Systems ist.

Beispiel 3.2: Gehirnwindung

Dasselbe Ergebnis kann mit dem Gehirnwindungseigentum erreicht werden, als ob das System eine Reihe von Filtern mit Übertragungsfunktionen 1 / (s+a) und 1 / (s+b) ist. D. h. das Gegenteil von

:

ist

:

Beispiel 4: Sinus, Kosinus und exponentials mischend

Das Starten mit Laplace gestaltet um

:

wir finden, dass sich das Gegenteil durch das erste Hinzufügen und Abziehen desselben unveränderlichen α zum Zähler verwandelt:

:

Durch das Shift-In-Frequency-Eigentum haben wir

: \begin {richten }\aus

x (t) & = e^ {-\alpha t} \mathcal {L} ^ {-1} \left\{{s \over s^2 + \omega^2} + {\beta - \alpha \over s^2 + \omega^2} \right\} \\[8pt]

& = e^ {-\alpha t} \mathcal {L} ^ {-1} \left\{{s \over s^2 + \omega^2} + \left ({\beta - \alpha \over \omega} \right) \left ({\omega \over s^2 + \omega^2} \right) \right\} \\[8pt]

& = e^ {-\alpha t} \left [\mathcal {L} ^ {-1} \left\{{s \over s^2 + \omega^2} \right\} + \left ({\beta - \alpha \over \omega} \right) \mathcal {L} ^ {-1} \left\{{\omega \over s^2 + \omega^2} \right\} \right].

\end {richten }\aus</Mathematik>

Schließlich verwandelt sich das Verwenden von Laplace für den Sinus und Kosinus (sieh den Tisch, oben), wir haben

::

Beispiel 5: Phase-Verzögerung

Das Starten mit Laplace verwandelt sich,

:

wir finden das Gegenteil durch die ersten Umordnen-Begriffe im Bruchteil:

: \begin {richten }\aus

X (s) & = \frac {s \sin \phi} {s^2 + \omega^2} + \frac {\\Omega \cos \phi} {s^2 + \omega^2} \\

& = (\sin \phi) \left (\frac {s} {s^2 + \omega^2} \right) + (\cos \phi) \left (\frac {\\Omega} {s^2 + \omega^2} \right).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wir sind jetzt im Stande, umgekehrten Laplace zu nehmen, verwandeln sich von unseren Begriffen:

: \begin {richten }\aus

x (t) & = (\sin \phi) \mathcal {L} ^ {-1 }\\left\{\\frac {s} {s^2 + \omega^2} \right\} + (\cos \phi) \mathcal {L} ^ {-1 }\\left\{\\frac {\\Omega} {s^2 + \omega^2} \right\} \\

& = (\sin \phi) (\cos \omega t) + (\sin \omega t) (\cos \phi).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das ist gerade der Sinus der Summe der Argumente, tragend:

:

Wir können ähnliche Logik anwenden, um das zu finden

:

Beispiel 6: Das Schließen der Raumstruktur des astronomischen Gegenstands vom Frequenzspektrum

Die breite und allgemeine Anwendbarkeit von Laplace verwandelt sich, und sein Gegenteil wird durch eine Anwendung in der Astronomie illustriert, die eine Auskunft über den Raumvertrieb der Sache einer astronomischen Quelle der radiofrequency Thermalradiation gibt, die zu entfernt ist, um sich als mehr als ein Punkt in Anbetracht seines Flussdichte-Spektrums aufzulösen, anstatt den Zeitabschnitt mit dem Spektrum (Frequenzgebiet) zu verbinden.

Bestimmte Eigenschaften des Gegenstands, z.B kugelförmige Gestalt und unveränderliche Temperatur annehmend, können Berechnungen, die auf dem Ausführen einer umgekehrten Transformation von Laplace auf dem Spektrum des Gegenstands gestützt sind, das einzige mögliche Modell des Vertriebs der Sache darin (Dichte als eine Funktion der Entfernung vom Zentrum) im Einklang stehend mit dem Spektrum erzeugen. Wenn die unabhängige Information über die Struktur eines Gegenstands verfügbar ist, verwandeln sich umgekehrte Laplace, wie man gefunden hat, ist Methode in der guten Abmachung gewesen.

Siehe auch

• Pierre-Simon Laplace
• Laplace verwandeln sich angewandt auf Differenzialgleichungen
• Momentenerzeugungsfunktion
• Z-transform (getrennte Entsprechung von Laplace verwandeln sich)
• Fourier gestaltet um
• Sumudu verwandeln sich, oder Laplace-Carson gestalten um
• Analoges Signal, das in einer Prozession geht
• Hypothek der dauernden Erstattung
• Zäher-Littlewood tauberian Lehrsatz
• Der Lehrsatz von Bernstein auf der Eintönigkeit fungiert
• Symbolische Integration

Zeichen

Modern

. . . . . . . . . .

Historisch

. .

• Kapitel 3-5.

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Außenverbindungen

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