Mathematische Konstante

Eine mathematische Konstante ist eine spezielle Zahl, gewöhnlich eine reelle Zahl, die irgendwie "bedeutsam interessant ist". Konstanten entstehen in vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik, mit Konstanten solcher als und in solchen verschiedenen Zusammenhängen als Geometrie, Zahlentheorie und Rechnung vorkommend.

Was es für eine Konstante bedeutet, "natürlich" zu entstehen, und was eine Konstante "interessant" macht, ist schließlich eine Sache des Geschmacks, und einige mathematische Konstanten sind mehr aus historischen Gründen bemerkenswert als für ihr inneres mathematisches Interesse. Die populäreren Konstanten sind überall in den Altern studiert und zu vielen dezimalen Plätzen geschätzt worden.

Alle mathematischen Konstanten sind definierbare Zahlen und sind gewöhnlich auch berechenbare Zahlen (die Konstante von Chaitin, die eine bedeutende Ausnahme ist).

Allgemeine mathematische Konstanten (von denen einige auch in der Wissenschaft allgegenwärtig sind)

Allgegenwärtig in vielen verschiedenen Feldern der Wissenschaft schließen solche wiederkehrenden Konstanten ein, und die Konstanten von Feigenbaum, die mit den mathematischen Modellen verbunden werden, haben gepflegt, physische Phänomene, Euklidische Geometrie, Analyse und logistische Karten beziehungsweise zu beschreiben. Jedoch kommen mathematische Konstanten wie die Konstante von Apéry und das Goldene Verhältnis unerwartet außerhalb der Mathematik vor.

Die Konstante von Archimedes

Die Konstante hat eine natürliche Definition in der Euklidischen Geometrie (das Verhältnis zwischen dem Kreisumfang und Diameter eines Kreises), aber kann auch in vielen verschiedenen Plätzen in der Mathematik gefunden werden: Zum Beispiel Gaussian, der in der komplizierten Analyse, den n-ten Wurzeln der Einheit in der Zahlentheorie und des Vertriebs von Cauchy in der Wahrscheinlichkeit integriert ist. Jedoch wird seine Allgemeinheit auf die reine Mathematik nicht beschränkt. Tatsächlich schließen verschiedene Formeln in der Physik, wie der Unklarheitsgrundsatz von Heisenberg und Konstanten wie die kosmologische Konstante die Konstante ein. Die Anwesenheit in physischen Grundsätzen, Gesetzen und Formeln kann sehr einfache Erklärungen haben. Zum Beispiel stellt das Gesetz der Ampere-Sekunde, die umgekehrte Quadratproportionalität des Umfangs der elektrostatischen Kraft zwischen zwei elektrischen Anklagen und ihrer Entfernung beschreibend, dass, in SI-Einheiten, fest

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Der numerische Wert dessen ist etwa 3.14159. Das Merken von zusätzlichen Ziffern dessen ist eine Weltrekordverfolgung.

Die Zahl von Euler

Die Zahl von Euler, auch bekannt als das unveränderliche Exponentialwachstum, erscheinen in vielen Gebieten der Mathematik, und eine mögliche Definition davon ist der Wert des folgenden Ausdrucks:

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Zum Beispiel hat der schweizerische Mathematiker Jacob Bernoulli entdeckt, dass das in Zinseszinsen entsteht: Eine Rechnung, die an 1 $ anfängt, und Interesse an der jährlichen Rate mit dem dauernden Zusammensetzen nachgibt, wird zu Dollars am Ende eines Jahres anwachsen. Die Konstante hat auch Anwendungen auf die Wahrscheinlichkeitstheorie, wo es in einem Weg entsteht, der nicht offensichtlich mit dem Exponentialwachstum verbunden ist. Nehmen Sie an, dass ein Spieler einen Spielautomaten mit demjenigen in der Wahrscheinlichkeit des Gewinnens spielt, und es Zeiten spielt. Dann für den großen (wie eine Million) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler nichts überhaupt gewinnen wird (ungefähr).

Eine andere Anwendung, entdeckt teilweise von Jacob Bernoulli zusammen mit dem französischen Mathematiker Pierre Raymond de Montmort, ist im Problem des Durcheinanders, auch bekannt als dem Hut-Kontrolle-Problem. Hier werden Gäste zu einer Partei eingeladen, und zur Tür überprüft jeder Gast seinen Hut mit dem Butler, der sie dann in etikettierte Kästen legt. Aber der Butler weiß den Namen der Gäste nicht, und muss sie so in Kästen ausgewählt aufs Geratewohl stellen. Das Problem von de Montmort ist: Was die Wahrscheinlichkeit ist, dass keiner der Hüte in den richtigen Kasten gestellt wird. Die Antwort ist

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und wie zur Unendlichkeit, Annäherungen neigt.

Der numerische Wert dessen ist etwa 2.71828.

Die Feigenbaum Konstanten α und δ

Wiederholungen von dauernden Karten dienen als die einfachsten Beispiele von Modellen für dynamische Systeme. Genannt nach dem mathematischen Physiker Mitchell Feigenbaum erscheinen die zwei Konstanten von Feigenbaum in solchen wiederholenden Prozessen: Sie sind mathematischer invariants von logistischen Karten mit quadratischen maximalen Punkten und ihren Gabelungsdiagrammen.

Die logistische Karte ist polynomisch kartografisch darzustellen, der häufig als ein archetypisches Beispiel dessen zitiert ist, wie chaotisches Verhalten aus sehr einfachen nichtlinearen dynamischen Gleichungen entstehen kann. Die Karte wurde in einem Samen-1976-Vortrag vom englischen Biologen Robert May, teilweise als eine diskrete Zeit demografisches Modell verbreitet, das der logistischen von Pierre François Verhulst zuerst geschaffenen Gleichung analog ist. Die Unterschied-Gleichung ist beabsichtigt, um die zwei Effekten der Fortpflanzung und des Verhungerns zu gewinnen.

Die Konstante von Apéry ζ (3)

Trotz, ein spezieller Wert vom Riemann zeta Funktion zu sein, entsteht die Konstante von Apéry natürlich in mehreren physischen Problemen, einschließlich im zweiten - und Begriffe der dritten Ordnung des gyromagnetic Verhältnisses des Elektrons, geschätzter Verwenden-Quant-Elektrodynamik. Außerdem hat der neuroscientist David Eagleman das bemerkt

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wo die Neutronmasse, die Elektronmasse und das Goldene Verhältnis beziehungsweise sind.

Das goldene Verhältnis φ

Die Zahl taucht oft in der Geometrie besonders in Zahlen mit der fünfeckigen Symmetrie auf. Tatsächlich ist die Länge einer Diagonale eines regelmäßigen Pentagons Zeiten seine Seite. Die Scheitelpunkte eines regelmäßigen Ikosaeders sind diejenigen von drei gegenseitig orthogonalen goldenen Rechtecken. Außerdem erscheint es in der Folge von Fibonacci, die mit dem Wachstum durch recursion verbunden ist. Es ist 1.61803398874, oder, genauer ungefähr gleich

Adolf Zeising, dessen Hauptinteressen Mathematik und Philosophie waren, hat das goldene Verhältnis ausgedrückt in der Einordnung von Zweigen entlang den Stämmen von Werken und von Adern in Blättern gefunden. Er hat seine Forschung zu den Skeletten von Tieren und das Ausbreiten ihrer Adern und Nerven, zu den Verhältnissen von chemischen Zusammensetzungen und der Geometrie von Kristallen sogar zum Gebrauch des Verhältnisses in künstlerischen Versuchen erweitert. In diesen Phänomenen hat er das goldene Verhältnis gesehen als ein universales Gesetz funktionieren. Zeising hat 1854 geschrieben:

Die Euler-Mascheroni Konstante γ

Die Euler-Mascheroni Konstante ist ein in der Zahlentheorie unveränderliches Wiederkehren. Der französische Mathematiker Charles Jean de la Vallée-Poussin hat 1898 bewiesen, dass, wenn er jede positive ganze Zahl n nimmt und sie durch jede positive ganze Zahl M weniger teilt als n, der durchschnittliche Bruchteil, durch den der Quotient n/m hinter der folgenden ganzen Zahl zurückbleibt, dazu neigt, wie n zur Unendlichkeit neigt. Überraschend neigt dieser Durchschnitt zu einer Hälfte nicht. Die Euler-Mascheroni Konstante erscheint auch im dritten Lehrsatz von Merten und hat Beziehungen zur Gammafunktion, der Zeta-Funktion und vielen verschiedenen Integralen und Reihe.

Die Definition der Euler-Mascheroni unveränderlichen Ausstellungsstücke eine nahe Verbindung zwischen dem getrennten und dem dauernden (sieh Kurven links).

Die Konstante von Conway λ

Die Konstante von Conway ist die invariant Wachstumsrate aller abgeleiteten Schnuren, die der schauen-und-sagen Folge (außer zwei trivialen) ähnlich sind.

Es wird durch die einzigartige positive echte Wurzel eines Polynoms des Grads 71 mit Koeffizienten der ganzen Zahl gegeben.

Der unveränderliche K von Khinchin

Wenn eine reelle Zahl r als ein einfacher fortlaufender Bruchteil geschrieben wird:

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wo natürliche Zahlen für den ganzen k sind

dann, weil sich der russische Mathematiker Aleksandr Khinchin 1934 erwiesen hat, neigt die Grenze als n zur Unendlichkeit des geometrischen Mittels: (aa... a) besteht und ist eine Konstante, die Konstante von Khinchin, abgesehen von einer Reihe des Maßes 0.

Mathematische Wissbegierde und unangegebene Konstanten

Einfache Vertreter von Sätzen von Zahlen

Einige Konstanten, wie die Quadratwurzel 2, die Konstante von Liouville und unveränderlicher Champernowne:

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sind nicht wichtiger mathematischer invariants, aber behalten Interesse, das einfache Vertreter von speziellen Sätzen von Zahlen, den irrationalen Zahlen, den transzendenten Zahlen und den normalen Zahlen (in der Basis 10) beziehungsweise ist. Die Entdeckung der irrationalen Zahlen wird gewöhnlich dem Pythagoreer Hippasus von Metapontum zugeschrieben, der, am wahrscheinlichsten geometrisch, die Unvernunft der Quadratwurzel 2 bewiesen hat. Bezüglich der Konstante von Liouville, genannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Liouville, war es die erste Zahl, die transzendental zu beweisen ist.

Die Konstante von Chaitin Ω

Im Informatik-Teilfeld der algorithmischen Informationstheorie ist die Konstante von Chaitin die reelle Zahl, die die Wahrscheinlichkeit vertritt, dass eine zufällig gewählte Maschine von Turing, gebildet von einem Aufbau wegen des argentinisch-amerikanischen Mathematikers und Computerwissenschaftlers Gregory Chaitin hinken wird. Wie man bewiesen hat, ist die Konstante von Chaitin, nicht berechenbar seiend, transzendental und normal gewesen. Die Konstante von Chaitin ist nicht universal, schwer von der numerischen für Maschinen von Turing verwendeten Verschlüsselung abhängend; jedoch sind seine interessanten Eigenschaften der Verschlüsselung unabhängig.

Unangegebene Konstanten

Wenn unangegeben, zeigen Konstanten Klassen von ähnlichen Gegenständen, allgemein Funktionen an, alle sind bis zu einer Konstante — technisch das Sprechen gleich, das ist kann als 'Ähnlichkeit bis zu einer Konstante' angesehen werden. Solche Konstanten erscheinen oft wenn, sich mit Integralen und Differenzialgleichungen befassend. Obwohl unangegeben, haben sie einen spezifischen Wert, der häufig nicht wichtig ist.

In Integralen

Unbestimmte Integrale werden unbestimmt genannt, weil ihre Lösungen nur bis zu einer Konstante einzigartig sind. Zum Beispiel, wenn man über das Feld von reellen Zahlen arbeitet

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wo C, die Konstante der Integration, eine willkürliche feste reelle Zahl ist. Mit anderen Worten, was auch immer der Wert von C, Sünde x + C in Bezug auf x unterscheidend, immer weil x trägt.

In Differenzialgleichungen

Auf eine ähnliche Mode erscheinen Konstanten in den Lösungen von Differenzialgleichungen, wo nicht genug Anfangswerte oder Grenzbedingungen gegeben werden. Zum Beispiel hat die gewöhnliche Differenzialgleichung y = y (x) Lösung Ce, wo C eine willkürliche Konstante ist.

Wenn, sich mit teilweisen Differenzialgleichungen befassend, die Konstanten Funktionen sein können, die in Bezug auf einige Variablen (aber nicht notwendigerweise sie alle) unveränderlich sind. Zum Beispiel, der PDE

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hat Lösungen f (x, y) =C (y), wo C (y) eine willkürliche Funktion in der Variable y ist.

Notation

Das Darstellen von Konstanten

Es ist üblich, den numerischen Wert einer Konstante durch das Geben seiner Dezimaldarstellung (oder gerade die ersten paar Ziffern davon) auszudrücken. Aus zwei Gründen kann diese Darstellung Probleme verursachen. Erstens, wenn auch rationale Zahlen alle haben eine begrenzte oder sich jemals wiederholende dezimale Vergrößerung, irrationale Zahlen, solch einen Ausdruck nicht haben, der sie unmöglich macht, auf diese Weise völlig zu beschreiben. Außerdem ist die dezimale Vergrößerung einer Zahl nicht notwendigerweise einzigartig. Zum Beispiel sind die zwei Darstellungen 0.999... und 1 im Sinn gleichwertig, dass sie dieselbe Zahl vertreten.

Das Rechnen von Ziffern der dezimalen Vergrößerung von Konstanten ist ein allgemeines Unternehmen seit vielen Jahrhunderten gewesen. Zum Beispiel hat der deutsche Mathematiker Ludolph van Ceulen des 16. Jahrhunderts einen Hauptteil seines Lebens ausgegeben, das die ersten 35 Ziffern des Pis berechnet. Mit Computern und Supercomputern sind einige der mathematischen Konstanten, einschließlich π, e, und der Quadratwurzel 2, zu mehr als hundert Milliarden Ziffern geschätzt worden. Schnelle Algorithmen sind entwickelt worden, von denen einige — bezüglich der Konstante von Apéry — unerwartet schnell sind.

Einige Konstanten unterscheiden sich so viel von der üblichen Art, dass eine neue Notation erfunden worden ist, um sie vernünftig zu vertreten. Die Zahl von Graham illustriert das, weil die-Pfeil-Notation von Knuth verwendet wird.

Es kann von Interesse sein, um sie zu vertreten, verwendend hat Bruchteile fortgesetzt, um verschiedene Studien einschließlich der statistischen Analyse durchzuführen. Viele mathematische Konstanten haben eine analytische Form, die ist, können sie gebaute verwendende wohl bekannte Operationen, die sich sogleich zur Berechnung leihen. Nicht alle Konstanten haben analytische Formen, obwohl gewusst; die Konstante des unveränderlichen und Foias von Grossman ist Beispiele.

Das Symbolisieren und das Namengeben Konstanten

Das Symbolisieren von Konstanten mit Briefen ist ein häufiges Mittel, die Notation kürzer zu machen. Eine Standardtagung, die von Leonhard Euler im 18. Jahrhundert angestiftet ist, soll Briefe der unteren Umschaltung vom Anfang des lateinischen Alphabetes oder des griechischen Alphabetes wenn verwenden, sich mit Konstanten im Allgemeinen befassend.

Jedoch, für wichtigere Konstanten, können die Symbole komplizierter sein und einen Extrabrief, ein Sternchen, eine Zahl, einen lemniscate haben oder verschiedene Alphabete solcher als hebräisch, Kyrillisch oder gotisch verwenden.

Manchmal ist das Symbol, das eine Konstante vertritt, ein ganzes Wort. Zum Beispiel hat der 9-jährige Neffe des amerikanischen Mathematikers Edward Kasner die Namen googol und googolplex ins Leben gerufen.

Die Namen werden entweder mit der Bedeutung der Konstante (universale parabolische Konstante, Zwilling Hauptkonstante...) oder einer spezifischen Person (die Konstante von Sierpiński, Josephson unveränderlich...) verbunden.

Tisch von ausgewählten mathematischen Konstanten

Abkürzungen haben verwendet:

: R - Rationale Zahl, ich - Irrationale Zahl (kann algebraisch oder transzendental sein), - Algebraische Zahl (vernunftwidrig), T - Transzendente Zahl (vernunftwidriger)

: Information - Allgemein, NuT - Zahlentheorie, ChT - Verwirrungstheorie, Com - Combinatorics, Inf - Informationstheorie, Ana - Mathematische Analyse

Siehe auch

  • Invariant (Mathematik)

Referenzen

Außenverbindungen


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