Der Mandelbrot ist untergegangen ist ein mathematischer Satz von Punkten, deren Grenze eine kennzeichnende und leicht erkennbare zweidimensionale Fractal-Gestalt ist. Der Satz ist nah mit Sätzen von Julia verbunden (die ähnlich komplizierte Gestalten einschließen), und nach dem Mathematiker Benoît Mandelbrot genannt wird, der studiert hat und ihn verbreitet hat.

Genauer gehen Mandelbrot unter ist der Satz von Werten von c im komplizierten Flugzeug, für das die Bahn 0 unter der Wiederholung des komplizierten quadratischen Polynoms z = z + c begrenzt bleibt. D. h. eine komplexe Zahl c ist ein Teil des Satzes von Mandelbrot, wenn, wenn er mit z = 0 anfängt und die Wiederholung wiederholt anwendet, der absolute Wert von z begrenzt jedoch bleibt, kommt großer n.

Zum Beispiel gibt das Lassen c = 1 die Folge 0, 1, 2, 5, 26, …, der zur Unendlichkeit neigt. Da diese Folge unbegrenzt ist, 1 ist nicht ein Element des Satzes von Mandelbrot. Andererseits c = gebe ich (wo ich als ich = −1 definiert werde) die Folge 0, mich, (−1 + i), −i, (−1 + i), −i..., der begrenzt wird, und so gehöre ich dem Satz von Mandelbrot.

Images von Mandelbrot gehen unter zeigen eine wohl durchdachte Grenze, die progressiv jemals feineres rekursives Detail an der zunehmenden Vergrößerung offenbart. Der "Stil" dieses sich wiederholenden Details hängt vom Gebiet des Satzes ab, der wird untersucht. Die Grenze des Satzes vereinigt auch kleinere Versionen der Hauptgestalt, so gilt das fractal Eigentum der Selbstähnlichkeit für den kompletten Satz, und nicht nur für seine Teile.

Der Mandelbrot-Satz ist populäre Außenmathematik sowohl für seine ästhetische Bitte als auch als ein Beispiel einer komplizierten Struktur geworden, die aus der Anwendung einfacher Regeln entsteht, und ist eines der am besten bekannten Beispiele der mathematischen Vergegenwärtigung.

Geschichte

Der Mandelbrot ist untergegangen hat seinen Platz in der komplizierten Dynamik, ein Feld, das zuerst von den französischen Mathematikern Pierre Fatou und Gaston Julia am Anfang des 20. Jahrhunderts untersucht ist. Die ersten Bilder dieses fractal wurden 1978 von Robert W. Brooks und Peter Matelski als ein Teil einer Studie von Gruppen von Kleinian gezogen. Am 1. März 1980, am Forschungszentrum von Thomas J. Watson von IBM im Hinterland New York, hat Benoît Mandelbrot zuerst eine Vergegenwärtigung des Satzes gesehen.

Mandelbrot hat den Parameter-Raum von quadratischen Polynomen in einem Artikel studiert, der 1980 erschienen ist. Die mathematische Studie des Satzes von Mandelbrot hat wirklich mit der Arbeit von den Mathematikern Adrien Douady und John H. Hubbard begonnen, der viele seiner grundsätzlichen Eigenschaften eingesetzt hat und den Satz zu Ehren von Mandelbrot genannt hat.

Die Mathematiker Heinz-Otto Peitgen und Peter Richter sind weithin bekannt dafür geworden, den Satz mit Fotographien, Büchern und einem international Reiseausstellungsstück des deutschen Goethe-Institut zu fördern.

Der Deckel-Artikel des Wissenschaftlichen Amerikaners im August 1985 hat den Algorithmus eingeführt, für den Satz von Mandelbrot zu einem breiten Publikum zu schätzen. Der Deckel hat ein Image gezeigt, das von Peitgen, und al geschaffen ist.

Die Arbeit von Douady und Hubbard ist mit einer riesigen Zunahme im Interesse an der komplizierten Dynamik und abstrakten Mathematik zusammengefallen, und die Studie des Satzes von Mandelbrot ist ein Mittelstück dieses Feldes seitdem gewesen. Eine erschöpfende Liste aller Mathematiker, die zum Verstehen dieses Satzes seitdem beigetragen haben, ist außer dem Spielraum dieses Artikels, aber solch eine Liste würde namentlich Michail Lyubich, Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura und Jean-Christophe Yoccoz einschließen.

Formelle Definition

Der Mandelbrot-Satz wird von einer Familie von komplizierten quadratischen Polynomen definiert

:

gegeben durch

:

wo ein komplizierter Parameter ist. Für jeden denkt man das Verhalten der Folge

:

erhalten durch das Wiederholen anfangend am kritischen Punkt, der entweder zur Unendlichkeit flüchtet oder innerhalb einer Platte von einem begrenzten Radius bleibt. Der Mandelbrot-Satz wird als der Satz aller solcher Punkte definiert, dass die obengenannte Folge zur Unendlichkeit nicht flüchtet.

Mehr formell, wenn anzeigt, dass die n-ten davon wiederholen (d. h. zusammengesetzt mit sich n Zeiten), ist der Satz von Mandelbrot die Teilmenge des komplizierten durch gegebenen Flugzeugs

:

Wie erklärt, unten ist es tatsächlich möglich, diese Definition durch die Einnahme zu vereinfachen.

Mathematisch gehen Mandelbrot unter ist gerade eine Reihe von komplexen Zahlen. Eine gegebene komplexe Zahl c entweder gehört der M, oder es tut nicht. Ein Bild des Satzes von Mandelbrot kann durch das Färben aller Punkte gemacht werden, die der M schwarz, und alle anderen weißen Punkte gehören. Die bunteren gewöhnlich gesehenen Bilder werden durch das Färben von Punkten nicht im Satz gemäß erzeugt, wie schnell oder langsam die Folge zur Unendlichkeit abweicht. Sieh die Abteilung auf Computerzeichnungen unten für mehr Details.

Der Mandelbrot-Satz kann auch als der geometrische Zusammenhang-Ort der Familie von Polynomen definiert werden. D. h. es ist die Teilmenge des komplizierten Flugzeugs, das aus jenen Rahmen besteht, für die der Satz von Julia dessen verbunden wird.

Grundlegende Eigenschaften

Der Mandelbrot-Satz ist ein Kompaktsatz, der in der geschlossenen Platte des Radius 2 um den Ursprung enthalten ist. Tatsächlich gehört ein Punkt dem Satz von Mandelbrot wenn und nur wenn

: für alle.

Mit anderen Worten, wenn der absolute Wert dessen jemals größer wird als 2, wird die Folge zur Unendlichkeit flüchten.

Die Kreuzung mit der echten Achse ist genau der Zwischenraum [-2, 0.25]. Die Rahmen entlang diesem Zwischenraum können in der isomorphen Ähnlichkeit mit denjenigen des gestellt werden

echte logistische Familie,

:

Die Ähnlichkeit wird durch gegeben

:

Tatsächlich gibt das eine Ähnlichkeit zwischen dem kompletten Parameter-Raum der logistischen Familie und diesem des Satzes von Mandelbrot.

Wie man

schätzt, ist das Gebiet des Satzes von Mandelbrot ±.

Douady und Hubbard haben gezeigt, dass der Satz von Mandelbrot verbunden wird. Tatsächlich haben sie einen ausführlichen conformal Isomorphismus zwischen der Ergänzung des Satzes von Mandelbrot und der Ergänzung der geschlossenen Einheitsplatte gebaut. Mandelbrot hatte ursprünglich vermutet, dass der Satz von Mandelbrot getrennt wird. Diese Vermutung hat auf Computerbildern basiert, die durch Programme erzeugt sind, die unfähig sind, die dünnen Glühfäden zu entdecken, die verschiedene Teile dessen verbinden. Nach weiteren Experimenten hat er seine Vermutung revidiert, entscheidend, dass das verbunden werden sollte.

Die dynamische Formel für den uniformisation der Ergänzung von gesetztem Mandelbrot, aus Douadys Beweis und Hubbards des Zusammenhangs dessen entstehend, verursacht Außenstrahlen des Satzes von Mandelbrot. Diese Strahlen können verwendet werden, um den Satz von Mandelbrot in kombinatorischen Begriffen zu studieren und das Rückgrat des Pararätsels von Yoccoz zu bilden.

Die Grenze des Satzes von Mandelbrot ist genau der geometrische Gabelungsort der quadratischen Familie; d. h. der Satz von Rahmen, für die sich die Dynamik plötzlich unter kleinen Änderungen Davon ändert, kann als der Grenze-Satz einer Folge des Flugzeugs algebraische Kurven, die Kurven von Mandelbrot des allgemeinen Typs gebaut werden, der als Polynom lemniscates bekannt ist. Die Mandelbrot-Kurven werden durch das Setzen p=z, p=p+z, und dann die Interpretation des Satzes von Punkten |p (z) | =2 im komplizierten Flugzeug als eine Kurve im echten Kartesianischen Flugzeug des Grads 2 in x und y definiert.

Andere Eigenschaften

Hauptherzkurve und Periode-Zwiebeln

Nach dem Schauen an einem Bild des Satzes von Mandelbrot bemerkt man sofort das Gebiet in der großen Kardioidform im Zentrum. Diese Hauptherzkurve

ist das Gebiet von Rahmen, von denen ein Anziehen befestigter Punkt hat. Es besteht aus allen Rahmen der Form

:

für einige in der offenen Einheitsplatte.

Links von der Hauptherzkurve, die ihm am Punkt beigefügt ist, ist eine Zwiebel in der kreisförmigen Form sichtbar. Diese Zwiebel besteht aus jenen Rahmen, für die einen Anziehen-Zyklus der Periode 2 hat. Dieser Satz von Rahmen ist ein wirklicher Kreis, nämlich dieser des Radius 1/4 ungefähr-1.

Es gibt ungeheuer viele andere Zwiebel-Tangente zur Hauptherzkurve: Für jede rationale Zahl, mit p und q coprime, gibt es solch eine Zwiebel, die Tangente am Parameter ist

:

Diese Zwiebel wird - Zwiebel des Satzes von Mandelbrot genannt. Es besteht aus Rahmen, die einen Anziehen-Zyklus der Periode und kombinatorischen Drehzahl haben. Genauer, die periodischen Bestandteile von Fatou, die den Anziehen-Zyklus enthalten, alle legen in einem allgemeinen Punkt an (hat allgemein - befestigter Punkt gerufen). Wenn wir diese Bestandteile in gegen den Uhrzeigersinn der Orientierung, dann Karten der Bestandteil zum Bestandteil etikettieren.

Die Änderung des Verhaltens, das daran vorkommt, ist als eine Gabelung bekannt: Das Anziehen fester Punkt "kollidiert" mit einem Zurückschlagen-Periode-Q-Zyklus. Da wir den Gabelungsparameter in - Zwiebel, das Anziehen durchführen befestigter Punkt verwandelt sich in ein Zurückschlagen befestigter Punkt (-befestigter Punkt), und der Periode-Q-Zyklus wird das Anziehen.

Hyperbelbestandteile

Alle Zwiebeln, auf die wir in der vorherigen Abteilung gestoßen sind, waren Innenbestandteile von

Mandelbrot gehen unter, in dem die Karten einen anziehenden periodischen Zyklus haben. Solche Bestandteile werden Hyperbelbestandteile genannt.

Es wird vermutet, dass das die einzigen Innengebiete dessen sind. Dieses Problem, das als Dichte von hyperbolicity bekannt ist, kann das wichtigste offene Problem im Feld der komplizierten Dynamik sein. Hypothetische Nichthyperbelbestandteile des Satzes von Mandelbrot werden häufig "sonderbare" Bestandteile genannt.

Für echte quadratische Polynome wurde auf diese Frage positiv in den 1990er Jahren unabhängig von Lyubich und von Graczyk und Świątek geantwortet. (Bemerken Sie, dass Hyperbelbestandteile, die die echte Achse durchschneiden, genau zu periodischen Fenstern im Diagramm von Feigenbaum entsprechen. So stellt dieses Ergebnis fest, dass solche Fenster in der Nähe von jedem Parameter im Diagramm bestehen.)

Nicht jeder Hyperbelbestandteil kann durch eine Folge von direkten Gabelungen von der Hauptherzkurve des Satzes von Mandelbrot erreicht werden. Jedoch kann solch ein Bestandteil durch eine Folge von direkten Gabelungen von der Hauptherzkurve einer kleinen Kopie von Mandelbrot (sieh unten) erreicht werden.

Jeder der Hyperbelbestandteile hat a, nämlich der Punkt c solch, dass das innere Gebiet von Fatou dafür einen Superanziehen-Zyklus hat (die Anziehungskraft ist unendlich). Das bedeutet, dass der Zyklus den kritischen Punkt 0 enthält, so dass 0 zurück zu sich nach einigen Wiederholungen wiederholt wird. Wir haben deshalb das für einen n. Wenn wir dieses Polynom nennen (das Lassen davon von c statt z abhängen), haben wir das, und dass der Grad dessen ist. Wir können deshalb die Zentren der Hyperbelbestandteile durch aufeinander folgenden solvation der Gleichungen bauen. Bemerken Sie, dass für jeden Schritt wir so viele neue Zentren bekommen, wie wir bis jetzt gefunden haben.

Lokale Konnektivität

Es wird vermutet, dass der Satz von Mandelbrot lokal verbunden wird. Diese berühmte Vermutung ist als MLC (für Mandelbrot Lokal Verbunden) bekannt. Durch die Arbeit von Adrien Douady und John H. Hubbard würde diese Vermutung auf eine einfache abstrakte "geklemmte Platte" Modell des Satzes von Mandelbrot hinauslaufen. Insbesondere es würde die wichtige Hyperbolicity-Vermutung einbeziehen, die oben erwähnt ist.

Die Arbeit von Jean-Christophe Yoccoz hat lokale Konnektivität des Satzes von Mandelbrot überhaupt begrenzt-renormalizable Rahmen gegründet; d. h. grob diejenigen sprechend, die nur in begrenzt vielen kleinen Kopien von Mandelbrot enthalten werden. Seitdem ist lokale Konnektivität an vielen anderen Punkten dessen bewiesen worden, aber die volle Vermutung ist noch offen.

Selbstähnlichkeit

Der Mandelbrot-Satz ist unter der Vergrößerung in der Nachbarschaft der Punkte von Misiurewicz selbstähnlich. Es wird auch vermutet, um um verallgemeinerte Punkte von Feigenbaum selbstähnlich zu sein (z.B. −1.401155 oder −0.1528 + 1.0397i), im Sinne des Zusammenlaufens zu einer Grenze geht unter.

Der Mandelbrot-Satz ist im Allgemeinen nicht ausschließlich selbstähnlich, aber es ist "Quasi-selbst ähnlich", weil kleine ein bisschen verschiedene Versionen von sich an willkürlich kleinen Skalen gefunden werden können.

Die kleinen Kopien des Satzes von Mandelbrot sind alle größtenteils wegen der dünnen Fäden ein bisschen verschieden, die sie mit dem Hauptkörper des Satzes verbinden.

Weitere Ergebnisse

Die Hausdorff Dimension der Grenze des Satzes von Mandelbrot ist 2, wie bestimmt, durch ein Ergebnis von Mitsuhiro Shishikura gleich. Es ist nicht bekannt, ob die Grenze des Satzes von Mandelbrot positiven planaren Lebesgue messen lässt.

Im Modell von Blum-Shub-Smale der echten Berechnung gehen Mandelbrot unter ist nicht berechenbar, aber seine Ergänzung ist berechenbar enumerable. Jedoch sind viele einfache Gegenstände (z.B, der Graph von exponentiation) auch im BSS Modell nicht berechenbar.

Zurzeit ist es unbekannt, ob der Satz von Mandelbrot in Modellen der echten auf der berechenbaren Analyse gestützten Berechnung berechenbar ist, die näher zum intuitiven Begriff entsprechen, "den Satz durch einen Computer zu planen." Hertling hat gezeigt, dass der Satz von Mandelbrot in diesem Modell berechenbar ist, wenn die Hyperbolicity-Vermutung wahr ist.

Das Ereignis von π im Satz von Mandelbrot wurde von David Boll 1991 entdeckt. Er hat gefunden, dass, als es auf die Kneifen-Punkte des Satzes von Mandelbrot, die Zahl von Wiederholungen geschaut hat, die für den Punkt (-.75, ε) bevor erforderlich sind, das Entgehen, das mit ε multipliziert ist, π gleich war. Gestützt auf dieser Initiale-Entdeckung hat Aaron Klebanoff einen weiteren Test in der Nähe von einem anderen Kneifen-Punkt (.25, ε) im Satz von Mandelbrot entwickelt und hat gefunden, dass die Zahl von Wiederholungszeiten die Quadratwurzel von ε π gleich war.

Beziehung mit Sätzen von Julia

Demzufolge der Definition vom Satz von Mandelbrot gibt es eine nahe Ähnlichkeit zwischen der Geometrie des Satzes von Mandelbrot an einem gegebenen Punkt, und die Struktur der entsprechenden Julias ist untergegangen.

Dieser Grundsatz wird in eigentlich allen tiefen Ergebnissen auf dem Satz von Mandelbrot ausgenutzt. Zum Beispiel beweist Shishikura, dass, für einen dichten Satz von Rahmen in der Grenze des Satzes von Mandelbrot, der Satz von Julia Dimension von Hausdorff zwei hat, und dann diese Information dem Parameter-Flugzeug überträgt. Ähnlich hat Yoccoz zuerst die lokale Konnektivität von Sätzen von Julia, vor dem Herstellen davon für den Satz von Mandelbrot an den entsprechenden Rahmen bewiesen. Adrien Douady drückt diesen Grundsatz als aus:

Geometrie

Rufen Sie zurück, dass, für jede rationale Zahl, wo p und q relativ erst sind, es einen Hyperbelbestandteil der Periode q gibt, sich von der Hauptherzkurve gabelnd. Der Teil vom Satz von Mandelbrot, der mit der Hauptherzkurve an diesem Gabelungspunkt verbunden ist, wird den p/q-limb genannt'. Computerexperimente weisen darauf hin, dass das Diameter des Gliedes zur Null wie neigt. Die beste aktuelle bekannte Schätzung ist die berühmte Yoccoz-Ungleichheit, die feststellt, dass die Größe zur Null wie neigt.

Ein Glied der Periode-q wird q &minus haben; 1 "Antennen" an der Oberseite von seinem Glied. Wir können so die Periode einer gegebenen Zwiebel bestimmen, indem wir diese Antennen aufzählen.

In einem Versuch zu demonstrieren, dass die Dicke des p/q-limb Null ist, hat David Boll ein Computerexperiment 1991 ausgeführt, wo er die Zahl von für die Reihe erforderlichen Wiederholungen geschätzt hat, für z = zusammenzulaufen (die Position davon zu sein). Da die Reihe für den genauen Wert von z = nicht zusammenläuft, hat die Zahl von Wiederholungen Zunahmen mit einem kleinen ε verlangt. Es stellt sich heraus, dass das Multiplizieren des Werts von ε mit der Zahl von Wiederholungen verlangt hat, gibt eine Annäherung von π nach, der besser der kleinere ε wird. Zum Beispiel für ε = 0.0000001 ist die Zahl von Wiederholungen 31415928, und das Produkt ist 3.1415928.

Bildgalerie einer Zoom-Folge

Die Mandelbrot setzen Shows mehr kompliziertes Detail der nähere schaut oder vergrößert das Image, gewöhnlich genannt "das Heranholen". Das folgende Beispiel einer Bildfolge, die zu einem ausgewählten C-Wert surrt, gibt einen Eindruck des unendlichen Reichtums von verschiedenen geometrischen Strukturen, und erklärt einige ihrer typischen Regeln.

Die Vergrößerung des letzten Images hinsichtlich des ersten ist ungefähr 10,000,000,000 bis 1. In Zusammenhang mit einem gewöhnlichen Monitor vertritt es eine Abteilung eines Satzes von Mandelbrot mit einem Diameter von 4 Millionen Kilometern. Seine Grenze würde eine astronomische Zahl von verschiedenen fractal Strukturen zeigen.

Image:mandel Zoom 00 mandelbrot ist untergegangen jpg|Start. Mandelbrot gehen mit der unaufhörlich farbigen Umgebung unter.

Image:mandel Zoom 01 Kopf und Schulter jpg|Gap zwischen dem "Kopf" und dem "Körper", auch genannt das "Seepferdchen-Tal"

Image:mandel Zoom 02 seehorse Tal jpg|On die linken doppelten Spiralen; auf den richtigen "Seepferdchen"

Image:mandel Zoom 03 seehorse.jpg | "Seepferdchen" umgekehrt

</Galerie>

Das Seepferdchen "Körper" wird durch 25 "spokes" zusammengesetzt, die aus zwei Gruppen von 12 "spokes" jeder bestehen, und man hat "gesprochen", zur Hauptherzkurve in Verbindung stehend. Diese zwei Gruppen können durch eine Art Metamorphose den zwei "Fingern" der "Oberhand" des Satzes von Mandelbrot zugeschrieben werden; deshalb nimmt die Zahl von "spokes" von einem "Seepferdchen" bis das folgende um 2 zu; der "Mittelpunkt" ist ein so genannter Punkt von Misiurewicz. Zwischen dem "Oberkörper" und dem "Schwanz" ist eine verdrehte kleine Kopie von Mandelbrot untergegangen genannter Satellit kann anerkannt werden.

Image:mandel Zoom 04 seehorse Schwanz jpg|The Hauptendpunkt des "Seepferdchen-Schwanzes" ist auch ein Punkt von Misiurewicz.

Image:mandel Zoom 05 Schwanz-Teil jpg|Part des "Schwanzes" - es gibt nur einen Pfad, der aus den dünnen Strukturen besteht, die durch den ganzen "Schwanz" führen. Dieser zickzackförmige Pfad passiert die "Mittelpunkte" der großen Gegenstände mit 25 "spokes" an der inneren und Außengrenze des "Schwanzes"; so gehen Mandelbrot unter ist ein einfach verbundener Satz, was bedeutet, dass es keine Inseln und keine Schleife-Straßen um ein Loch gibt.

Image:mandel Zoom 06 doppelter Haken jpg|Satellite. Die zwei "Seepferdchen-Schwänze" sind der Anfang einer Reihe von konzentrischen Kronen mit dem Satelliten im Zentrum. Öffnen Sie diese Position in einem interaktiven Zuschauer.

Image:mandel Zoom 07 Satellit jpg|Each dieser Kronen besteht aus ähnlichen "Seepferdchen-Schwänzen"; ihre Zahl nimmt mit Mächten 2, ein typisches Phänomen in der Umgebung von Satelliten zu. Der einzigartige Pfad zum spiralförmigen Zentrum passiert den Satelliten von der Rinne der Herzkurve zur Spitze der "Antenne" auf dem "Kopf".

Image:mandel Zoom 08 Satellit antenna.jpg | "Antenne" des Satelliten. Mehrere Satelliten der zweiten Ordnung können anerkannt werden.

Image:mandel Zoom 09 Satellitenkopf und Schulter jpg|The "Seepferdchen-Tal" des Satelliten. Alle Strukturen vom Anfang des Zooms erscheinen wieder.

Image:mandel Zoom 10 Satellit seehorse valley.jpg|Double-Spiralen und "Seepferdchen" - verschieden vom 2. Image vom Anfang haben sie Anhänge, die aus Strukturen wie "Seepferdchen-Schwänze" bestehen; das demonstriert die typische Verbindung von n+1 verschiedenen Strukturen in der Umgebung von Satelliten des Auftrags n, hier für den einfachsten Fall n=1.

Image:mandel Zoom 11 doppelte Satellitenspiral.jpg|Double-Spiralen mit Satelliten der zweiten Ordnung - Analogon zu den "Seepferdchen" die doppelten Spiralen kann als eine Metamorphose der "Antenne" interpretiert werden.

Image:mandel Zoom 12 Satellit spiralförmig Rad mit julia Inseln jpg|In der Außenteil der Anhang-Inseln von Strukturen kann anerkannt werden; sie haben eine Gestalt wie Sätze von Julia J; der größte von ihnen kann im Zentrum des "doppelten Hakens" rechts gefunden werden.

Image:mandel Zoom 13 Satellit seehorse Schwanz mit der julia Insel jpg|Part des "doppelten Hakens"

Image:mandel Zoom 14 Satellit julia Insel jpg|Islands; sieh unter

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Die Inseln scheinen oben, aus ungeheuer vielen Teilen wie Kantor-Sätze zu bestehen, wie wirklich der Fall für Satz-J der entsprechenden Julias ist. Jedoch werden sie durch winzige Strukturen verbunden, so dass der Ganze einen einfach verbundenen Satz vertritt. Die winzigen Strukturen treffen einander an einem Satelliten im Zentrum, das zu klein ist, um an dieser Vergrößerung anerkannt zu werden. Der Wert von c für den entsprechenden J ist nicht der des Bildzentrums, aber hinsichtlich des Hauptkörpers des Satzes von Mandelbrot, hat dieselbe Position als das Zentrum dieses Images hinsichtlich des im 7. Zoom-Schritt gezeigten Satelliten.

Generalisationen

Sätze von Multibrot werden Sätze begrenzt, die im komplizierten Flugzeug für Mitglieder des allgemeinen monic univariate polynomische Familie von recursions gefunden sind

:

Für die ganze Zahl d sind diese Sätze geometrische Zusammenhang-Orte für die von derselben Formel gebauten Sätze von Julia. Die volle Kubikzusammenhang-Karte ist auch studiert worden; hier denkt man den Zwei-Parameter-recursion, dessen zwei kritische Punkte die komplizierten Quadratwurzeln des Parameters k sind. Ein Punkt ist in der Karte, wenn jeder kritischer Punkt stabil ist.

Für allgemeine Familien von Holomorphic-Funktionen verallgemeinert die Grenze des Satzes von Mandelbrot zum geometrischen Gabelungsort, der ein natürlicher Gegenstand ist zu studieren, selbst wenn der geometrische Zusammenhang-Ort nicht nützlich ist.

Anderer nichtanalytischer mappings

Vom besonderen Interesse ist der

Dreispitz fractal, der geometrische Zusammenhang-Ort der anti-holomorphic Familie

:

Auf den Dreispitz (hat auch manchmal den Satz von Mandelbar genannt), wurde von Milnor in seiner Studie von Parameter-Scheiben von echten Kubikpolynomen gestoßen. Es wird nicht lokal verbunden. Dieses Eigentum wird durch den geometrischen Zusammenhang-Ort von echten Kubikpolynomen geerbt.

Eine andere nichtanalytische Generalisation ist das Brennende Schiff fractal, der durch das Wiederholen erhalten wird kartografisch darzustellen

:

Der Multibrot-Satz wird durch das Verändern des Werts der Hochzahl d erhalten. Der Artikel hat ein Video, das die Entwicklung von d = 0 bis 7 an der Punkt zeigt, dort sind 6 d. h. (d - 1) Lappen um den Umfang. Eine ähnliche Entwicklung mit negativen Hochzahlen läuft (1 - d) auf Spalten innerhalb eines Rings hinaus.

Computerzeichnungen

Es gibt viele Programme, die verwendet sind, um den Satz von Mandelbrot und andere fractals zu erzeugen, von denen einige im Fractal-Erzeugen der Software beschrieben werden. Diese Programme verwenden eine Vielfalt von Algorithmen, um die Farbe von individuellen Pixeln zu bestimmen und effiziente Berechnung zu erreichen.

Flucht-Zeitalgorithmus

Der einfachste Algorithmus, für eine Darstellung des Satzes von Mandelbrot zu erzeugen, ist als der "Flucht" Zeitalgorithmus bekannt. Eine sich wiederholende Berechnung wird für jeden x, y Punkt im Anschlag-Gebiet durchgeführt und auf dem Verhalten dieser Berechnung gestützt, eine Farbe wird für dieses Pixel gewählt.

Der x und die y Positionen jedes Punkts werden als das Starten von Werten in einem Wiederholen oder dem Wiederholen der Berechnung (beschrieben im Detail unten) verwendet. Das Ergebnis jeder Wiederholung wird als die Startwerte für das folgende verwendet. Die Werte werden während jeder Wiederholung überprüft, um zu sehen, ob sie eine kritische 'Flucht'-Bedingung oder 'Sicherheitsleistung' erreicht haben. Wenn diese Bedingung erreicht wird, wird die Berechnung angehalten, das Pixel wird gezogen, und der folgende x, y Punkt wird untersucht. Für einige Startwerte kommt Flucht schnell nach nur einer kleinen Zahl von Wiederholungen vor. Um Werte sehr in der Nähe von, aber nicht im Satz anzufangen, kann es Hunderte oder Tausende von Wiederholungen bringen, um zu flüchten. Für Werte innerhalb des Satzes von Mandelbrot wird Flucht nie vorkommen. Der Programmierer oder Benutzer müssen wählen, wie viel Wiederholung oder 'Tiefe', sie untersuchen möchten. Je höher die maximale Zahl von Wiederholungen, desto mehr Detail und Subtilität im Endimage erscheinen, aber die längere Zeit wird es nehmen, um das fractal Image zu berechnen.

Flucht-Bedingungen können einfach oder kompliziert sein. Weil keine komplexe Zahl mit einem echten oder imaginären Teil, der größer ist als 2, ein Teil des Satzes sein kann, soll eine allgemeine Sicherheitsleistung flüchten, wenn jeder Koeffizient 2 zu weit geht. Eine mehr rechenbetont komplizierte Methode, aber der Flüchte eher entdeckt, ist, die Entfernung vom Ursprung mit dem Pythagoreischen Lehrsatz zu schätzen, und wenn diese Entfernung zwei zu weit geht, hat der Punkt Flucht erreicht. Mehr rechenbetont intensive Übergabe-Schwankungen schließen die Methode von Buddhabrot ein, die flüchtende Punkte findet und ihre wiederholten Koordinaten plant.

Die Farbe jedes Punkts vertritt, wie schnell die Werte den Flucht-Punkt erreicht haben. Häufig schwarz wird verwendet, um Werte zu zeigen, die scheitern zu flüchten, bevor die Wiederholungsgrenze und allmählich helleren Farben für Punkte diese Flucht verwendet werden. Das gibt eine Sehdarstellung dessen, wie viele Zyklen vor dem Erreichen der Flucht-Bedingung erforderlich waren.

Für Programmierer

Die Definition von Mandelbrot ist zusammen mit seinen grundlegenden Eigenschaften untergegangen, deutet einen einfachen Algorithmus an, für ein Bild des Satzes von Mandelbrot zu ziehen. Das Gebiet des komplizierten Flugzeugs, das wir denken, wird in eine bestimmte Anzahl von Pixeln unterteilt. Um jedes solches Pixel zu färben, lassen Sie, der Mittelpunkt dieses Pixels zu sein. Wir wiederholen jetzt den kritischen Punkt 0 unter, an jedem Schritt überprüfend, ob der Bahn-Punkt Modul hat, das größer ist als 2.

Wenn das der Fall ist, wissen wir, dass das dem Satz von Mandelbrot nicht gehört, und wir uns färben, hat unser Pixel gemäß der Zahl von Wiederholungen gepflegt herauszufinden. Sonst setzen wir fort, bis zu einer festgelegten Zahl von Schritten zu wiederholen, nach denen wir entscheiden, dass unser Parameter "wahrscheinlich" im Satz von Mandelbrot, oder mindestens sehr in der Nähe davon ist, und färben Sie das Pixel schwarz.

Im Pseudocode würde dieser Algorithmus wie folgt aussehen. Der Algorithmus verwendet komplexe Zahlen nicht, und täuscht manuell Operationen der komplexen Zahl mit zwei reellen Zahlen, für diejenigen vor, die keinen komplizierten Datentyp haben. Das Programm kann vereinfacht werden, wenn die Programmiersprache komplizierte Datentyp-Operationen einschließt.

Weil jedes Pixel auf dem Schirm tut:

{\

x0 = hat geklettert x Koordinate des Pixels (muss erklettert werden, um irgendwo im Zwischenraum (-2.5 zu 1) zu liegen

y0 = hat geklettert y Koordinate des Pixels (muss erklettert werden, um irgendwo im Zwischenraum (-1, 1) zu liegen

x = 0

y = 0

Wiederholung = 0

max_iteration = 1000

während (x*x + y*y

wo, den Pseudocode mit verbindend, und:

und so, wie im Pseudocode in der Berechnung von x und y gesehen werden kann:

• und

Um bunte Images des Satzes zu bekommen, kann die Anweisung einer Farbe zu jedem Wert der Zahl von durchgeführten Wiederholungen mit einer einer Vielfalt von Funktionen (geradlinig, Exponential-, usw.) gemacht werden. Eine praktische Weise, zu tun ist es, ohne die Berechnungen zu verlangsamen, die Zahl von durchgeführten Wiederholungen als ein Zugang zu einem beim Anlauf initialisierten Farbenpalette-Tisch des Blicks zu verwenden. Wenn der Farbentisch, zum Beispiel, 500 Einträge hat, dann ist die Farbenauswahl n mod 500, wo n die Zahl von Wiederholungen ist.

Das dauernde (glatte) Färben

Der Flucht-Zeitalgorithmus ist für seine Einfachheit populär. Jedoch schafft es Bänder der Farbe, die, als ein Typ von aliasing, einen ästhetischen Wert eines Images schmälern kann. Das kann mit einem als "Normalisierter Wiederholungsgraf bekannten Algorithmus" verbessert werden, der einen glatten Übergang von Farben zwischen Wiederholungen zur Verfügung stellt. Der Algorithmus vereinigt eine reelle Zahl mit jedem Wert von z durch das Verwenden der Verbindung der Wiederholungszahl mit der potenziellen Funktion. Diese Funktion wird durch gegeben

:

wo z der Wert danach n Wiederholungen ist und P die Macht ist, für die z zu in der Satz-Gleichung von Mandelbrot erhoben wird (z = z + c, ist P allgemein 2).

Wenn wir einen großen Sicherheitsleistungsradius N wählen (z.B 10), haben wir das

:

für eine reelle Zahl, und ist das

:

und weil n die erste solche Wiederholungszahl ist, dass |z> N, die Zahl, die wir von n abziehen, im Zwischenraum ist.

Für das Färben müssen wir eine zyklische Skala von Farben (gebaut mathematisch, zum Beispiel) haben und H Farben enthaltend, die von 0 bis H &minus numeriert sind; 1 (H = 500, zum Beispiel). Wir multiplizieren die reelle Zahl mit einer festen reellen Zahl, die die Dichte der Farben im Bild bestimmt, und nehmen den integralen Bestandteil dieser Zahl modulo H.

Entfernungsschätzungen

Man kann die Entfernung vom Punkt c (im Äußeren oder Interieur) zum nächsten Punkt an der Grenze des Satzes von Mandelbrot schätzen.

Außenentfernungsbewertung

Der Beweis des Zusammenhangs des Satzes von Mandelbrot gibt tatsächlich eine Formel für die uniformizing Karte der Ergänzung (und der Ableitung dieser Karte). Durch Koebe 1/4 Lehrsatz kann man dann die Entfernung zwischen dem Mittelpunkt unseres Pixels und Mandelbrot schätzen, der zu einem Faktor 4 aufgestellt ist.

Mit anderen Worten vorausgesetzt, dass die maximale Zahl von Wiederholungen genug hoch ist, erhält man ein Bild des Satzes von Mandelbrot mit den folgenden Eigenschaften:

</ol>

Die Entfernungsschätzung b eines Pixels c (eine komplexe Zahl) vom Satz von Mandelbrot wird durch gegeben

:

wo

; </li>

Ableitung in Bezug auf c. Diese Ableitung

kann durch das Starten mit gefunden werden

und dann. Das kann durch das Verwenden der Kettenregel für die Ableitung leicht nachgeprüft werden. </ul>

Die Idee hinter dieser Formel ist einfach: Wenn die equipotential Linien für die potenzielle Funktion nahe liegen, ist die Zahl, und umgekehrt groß, deshalb sollten die equipotential Linien für die Funktion ungefähr regelmäßig liegen.

Aus einem Gesichtspunkt eines Mathematikers arbeitet diese Formel nur in der Grenze, wohin n zur Unendlichkeit geht, aber sehr angemessene Schätzungen können mit gerade einigen zusätzlichen Wiederholungen nach den Hauptschleife-Ausgängen gefunden werden.

Sobald b von Koebe 1/4-theorem gefunden wird, wissen wir, dass es nichts des Satzes von Mandelbrot mit der Entfernung vom c gibt, der kleiner ist als

Die Entfernungsbewertung kann verwendet werden, um von der Grenze des Satzes von Mandelbrot zu ziehen, zu sehen, dass der Artikel Julia untergegangen ist.

Innenentfernungsbewertung

Es ist auch möglich einzuschätzen, dass die Entfernung eines limitly periodischen (d. h., inner) zur Grenze des Satzes von Mandelbrot hinweisen. Die Schätzung wird durch gegeben

:

{\\Mitte {\\frac {\\teilweise} {\\teilweise {c} }\\frac {\\teilweise} {\\teilweise {z}} P_c^p (z_0) +

\frac {\\teilweise} {\\teilweise {z} }\\frac {\\teilweise} {\\teilweise {z}} P_c^p (z_0)

\frac {\\frac {\\teilweise} {\\teilweise {c}} P_c^p (z_0) }\

{1-\frac {\\teilweise} {\\teilweise {z}} P_c^p (z_0)} }\\Mitte} </Mathematik>

wo

und

sind verschiedene Ableitungen von

bewertet daran. </li> </ul>

Analog dem Außenfall sobald wird b gefunden, wir wissen, dass alle Punkte innerhalb der Entfernung von b/4 von c innerhalb des Satzes von Mandelbrot sind.

Es gibt zwei praktische Probleme mit der Innenentfernungsschätzung: Erstens müssen wir genau, und zweitens finden, wir müssen genau finden.

Das Problem damit besteht darin, dass die Konvergenz zu durch das Wiederholen, theoretisch, eine unendliche Zahl von Operationen verlangt.

Das Problem mit der Periode besteht darin, dass, manchmal, wegen Rundungsfehler, eine Periode falsch identifiziert wird, um eine der echten Periode vielfache ganze Zahl zu sein (z.B, wird eine Periode 86 entdeckt, während die echte Periode nur 43=86/2 ist). In solchem Fall wird die Entfernung überschätzt, d. h. der berichtete Radius konnte Punkte außerhalb des Satzes von Mandelbrot enthalten.

Optimierungen

Eine Weise, Berechnungen zu verbessern, ist, im Voraus herauszufinden, ob der gegebene Punkt innerhalb der Herzkurve oder in der Periode 2 Zwiebel liegt. Vor dem Übergang des komplizierten Werts durch den Flucht-Zeitalgorithmus, überprüfen Sie zuerst wenn:

:::

wo x den echten Wert des Punkts und y der imaginäre Wert vertritt. Die ersten zwei Gleichungen bestimmen, ob der Punkt innerhalb der Herzkurve, das letzte die Periode 2 Zwiebel ist.

Der Kardioidtest kann ohne die Quadratwurzel gleichwertig durchgeführt werden:

::

3. und höherwertige Knospen haben gleichwertige Tests nicht, weil sie nicht vollkommen kreisförmig sind. Jedoch ist es möglich zu finden, ob die Punkte innerhalb von Kreisen sind, die durch diese höheren Ordnungszwiebeln umschrieben werden, viele, obwohl nicht alle der Punkte in der Zwiebel davon verhindernd, wiederholt zu werden.

Um zu verhindern, riesige Zahlen von Wiederholungen für andere Punkte im Satz tun zu müssen, kann man "Periodizitätsüberprüfung" tun; was Kontrolle bedeutet, wenn ein im Wiederholen eines Pixels erreichter Punkt vorher erreicht worden ist. Wenn so, das Pixel kann nicht abweichen, und muss im Satz sein. Das ist für Festkommarechnungen am meisten wichtig, wo es eine relativ hohe Chance solcher Periodizität-a voller Schwimmpunkt gibt (oder höhere Genauigkeit), würde Durchführung in solch eine Periode selten eintreten.

Periodizitätsüberprüfung, ist natürlich, ein Umtausch. Das Bedürfnis, sich an Punkte zu erinnern, kostet Gedächtnis und Datenverwaltungsinstruktionen, wohingegen es rechenbetonte Instruktionen spart.

Populäre Kultur

• Das Lied von Jonathan Coulton, "Satz von Mandelbrot", ist eine Huldigung sowohl zum fractal selbst, als auch seinem Vater Benoît Mandelbrot. Jedoch beschreibt die im Lied gegebene Definition die Bahn von einem willkürlichen Punkt auf dem komplizierten Flugzeug, statt der Bahn 0.
• Das zweite Buch der Weise-Reihe, Fractal Weise, beschreibt eine Welt es ist ein vollkommenes 3. Modell des Satzes.
• Der Mandelbrot-Satz wird auf den Flügeln des erfundenen Quant-Wetterschmetterlings in der Discworld Reihe von Terry Pratchett gefunden.
• Der Roman von Arthur C. Clarke Der Geist von den Großartigen Banken zeigt einen Stausee, der gemacht ist die Gestalt des Satzes von Mandelbrot wiederholen.

Siehe auch

• Buddhabrot
• Brennendes Schiff fractal
• Collatz fractal
• Mandelbar setzen
• Mandelbox
• Mandelbulb
• Multibrot setzen
• Newton fractal
• Bahn-Bildnis
• Bahn-Falle
• Pickover pirschen sich an heran

Weiterführende Literatur

• John W. Milnor, Dynamik in Einer Komplizierter Variable (die Dritte Ausgabe), Annalen von Mathematik-Studien 160, (Universität von Princeton Presse, 2006), internationale Standardbuchnummer 0-691-12488-4 (Ist zuerst 1990 als ein Steiniger Bach IMS Vorabdruck, verfügbar als arXiV:math erschienen. DS/9201272)
• Nigel Lesmoir-Gordon, Die Farben der Unendlichkeit: Die Schönheit, Die Macht und der Sinn von Fractals, internationale Standardbuchnummer 1-904555-05-5 (schließt eine DVD ein, die Arthur C. Clarke und David Gilmour zeigt)
• Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe, Chaos und Fractals - Neue Grenzen der Wissenschaft (Springer, New York, 1992, 2004), internationale Standardbuchnummer 0-387-20229-3

Links

• Die Sätze von Satz und Julia von Mandelbrot durch Michael Frame, Benoit Mandelbrot und Nial Neger
• Video: Zoom von Mandelbrot fractal zu 6.066 e228
•  (ma  alabeth) ist das 3D-Analogon des mandelbrot, mit verschiedenen Symmetrie-Gruppen untergegangen