In der Mathematik ist ein Filter eine spezielle Teilmenge eines teilweise bestellten Satzes. Ein oft verwendeter spezieller Fall ist die Situation, dass der bestellte Satz unter der Rücksicht gerade der Macht-Satz von einem Satz ist, der durch die Satz-Einschließung bestellt ist. Filter erscheinen in der Ordnung und Gitter-Theorie, aber können auch in der Topologie woher gefunden werden sie entstehen. Der Doppelbegriff eines Filters ist ein Ideal.

Filter wurden von Henri Cartan 1937 eingeführt und nachher von Bourbaki in ihrem Buch Topologie Générale als eine Alternative zum ähnlichen Begriff eines Netzes entwickelt 1922 von E. H. Moore und H. L. Smith verwendet.

Allgemeine Definition

Eine nichtleere Teilmenge F eines teilweise bestellten Satzes (P, ) ist ein Filter, wenn die folgenden Bedingungen halten:

1. Für jeden x, y in F, gibt es ein Element z in F, solch dass z  x und z  y. (F ist eine Filterbasis)
2. Für jeden x in F und y in P x  deutet y an, dass y in F. ist (F, ist ein oberer Satz)
3. Ein Filter ist richtig, wenn es dem ganzen Satz P nicht gleich ist. Das wird manchmal aus der Definition eines Filters weggelassen.

Während die obengenannte Definition die allgemeinste Weise ist, einen Filter für willkürlichen posets zu definieren, wurde es für Gitter nur ursprünglich definiert. In diesem Fall kann die obengenannte Definition durch die folgende gleichwertige Behauptung charakterisiert werden:

Eine nichtleere Teilmenge F eines Gitters (P, ) ist ein Filter, wenn sich und nur wenn es ein oberer Satz ist, der unter dem begrenzten geschlossen wird (infima), d. h., für den ganzen x, y in F trifft, finden wir, dass x  y auch in F ist.

Der kleinste Filter, der ein gegebenes Element p enthält, ist ein Hauptfilter, und p ist ein Hauptelement in dieser Situation. Der Hauptfilter für p wird gerade durch den Satz {x in P | p  x} gegeben und wird durch das Vorbefestigen p mit einem nach oben gerichteten Pfeil angezeigt:.

Der Doppelbegriff eines Filters, d. h. das erhaltene Konzept, indem er den ganzen  umgekehrt wird und  mit  wert gewesen wird, ist ideal. Wegen dieser Dualität läuft die Diskussion von Filtern gewöhnlich auf die Diskussion von Idealen hinaus. Folglich soll der grösste Teil der Zusatzinformation zu diesem Thema (einschließlich der Definition von maximalen Filtern und Hauptfiltern) im Artikel über Ideale gefunden werden. Es gibt einen getrennten Artikel über Ultrafilter.

Filter auf einem Satz

Ein spezieller Fall eines Filters ist ein auf einem Satz definierter Filter. In Anbetracht eines Satzes S kann eine teilweise Einrichtung  auf dem powerset P (S) durch die Teilmenge-Einschließung definiert werden, sich (P (S), ) in ein Gitter drehend. Definieren Sie einen Filter F auf S als eine Teilmenge von P (S) mit den folgenden Eigenschaften:

1. S ist in F. (F ist nichtleer)
2. Der leere Satz ist nicht in F. (F ist richtig)
3. Wenn A und B in F sind, dann so ist ihre Kreuzung. (F wird unter dem begrenzten geschlossen trifft sich)
4. Wenn A in F ist und A eine Teilmenge von B ist, dann ist B in F, für alle Teilmengen B S. (F ist ein oberer Satz)

Die ersten drei Eigenschaften deuten an, dass ein Filter auf einem Satz das begrenzte Kreuzungseigentum hat. Bemerken Sie, dass mit dieser Definition ein Filter auf einem Satz tatsächlich ein Filter ist; tatsächlich ist es ein richtiger Filter. Wegen dessen manchmal wird das einen richtigen Filter auf einem Satz genannt; jedoch, so lange der Satz-Zusammenhang klar ist, ist der kürzere Name genügend.

Eine Filterbasis (oder Filterbasis) ist eine Teilmenge B von P (S) mit den folgenden Eigenschaften:

1. Die Kreuzung irgendwelcher zwei Sätze von B enthält eine Reihe von B
2. B ist nichtleer, und der leere Satz ist nicht in B

In Anbetracht eines FiltergrundB kann man einen (richtigen) Filter durch das Umfassen aller Sätze von P (S) erhalten, die eine Reihe von B enthalten. Wie man sagt, wird der resultierende Filter dadurch erzeugt oder durch FiltergrundB abgemessen. Jeder Filter ist ein fortiori ein Filter

Basis, so kann der Prozess des Übergangs von der Filterbasis, um durchzuscheinen

,

werden Sie als eine Art Vollziehung angesehen.

Wenn B und C zwei Filterbasen auf S sind, sagt man, dass C feiner ist als B (oder dass C eine Verbesserung von B ist), wenn für jeden B  B, gibt es einen C  C solch dass C  B.

• Weil Filter B und C stützt, wenn B feiner ist, als C und C feiner sind als B, dann, wie man sagt, sind B und C gleichwertige Filterbasen. Zwei Filterbasen sind gleichwertig, wenn, und nur wenn die Filter sie erzeugen, gleich sind.
• Weil Filter A, B, und C stützt, wenn A feiner ist, als B und B feiner sind als C dann, ist A feiner als C. So ist die Verbesserungsbeziehung eine Vorordnung auf dem Satz von Filterbasen, und der Durchgang von der Filterbasis, um durchzuscheinen, ist ein Beispiel des Übergangs von einer Voreinrichtung bis die verbundene teilweise Einrichtung.

In Anbetracht einer Teilmenge T P (S) können wir fragen, ob dort ein kleinster Filter F besteht, T enthaltend. Solch ein Filter besteht, wenn, und nur wenn die begrenzte Kreuzung von Teilmengen von T nichtleer ist. Wir nennen T eine Subbasis von F und sagen, dass F durch T erzeugt wird. F kann durch die Einnahme aller begrenzten Kreuzungen von T gebaut werden, der dann Filterbasis für F ist.

Beispiele

• Lassen Sie S ein nichtleerer Satz und C sein, eine nichtleere Teilmenge sein. Dann ist eine Filterbasis. Der Filter, den es erzeugt (d. h., die Sammlung aller Teilmengen, die C enthalten), wird den durch C erzeugten Hauptfilter genannt.

Wie man

• sagt, ist ein Filter ein freier Filter, wenn die Kreuzung von allen seinen Mitgliedern leer ist. Ein Hauptfilter ist nicht frei. Da die Kreuzung jeder begrenzten Mitgliederzahl eines Filters auch ein Mitglied ist, ist kein Filter auf einem begrenzten Satz frei, und ist tatsächlich der Hauptfilter, der durch die allgemeine Kreuzung von allen seinen Mitgliedern erzeugt ist. Ein Nichthauptfilter auf einem unendlichen Satz ist nicht notwendigerweise frei.
• Der Fréchet Filter auf einem unendlichen Satz S ist der Satz aller Teilmengen von S, die begrenzte Ergänzung haben. Der Fréchet Filter ist frei, und er wird in jedem freien Filter auf S enthalten.
• Eine gleichförmige Struktur auf einem Satz X ist (insbesondere) ein Filter auf

X×X.

• Ein Filter in einem poset kann mit dem Lemma von Rasiowa-Sikorski geschaffen werden, das häufig im Zwingen verwendet ist.
• Der Satz wird eine Filterbasis von Schwänzen der Folge von natürlichen Zahlen genannt. Eine Filterbasis von Schwänzen kann aus jedem Netz mit dem Aufbau gemacht werden. Deshalb erzeugen alle Netze eine Filterbasis (und deshalb ein Filter). Da alle Folgen Netze sind, hält das für Folgen ebenso.

Filter in der Mustertheorie

Für jeden Filter F auf einem Satz S die Satz-Funktion durch definiert

:

M (A) =

\begin {Fälle }\

1 & \text {wenn} A\in F \\

0 & \text {wenn} S\setminus A\in F \\

\text {unbestimmt} & \text {sonst }\

\end {Fälle }\

</Mathematik>

ist

— ein "Maß" begrenzt zusätzlich, wenn dieser Begriff eher lose analysiert wird. Deshalb die Behauptung

:

kann etwas analog der Behauptung betrachtet werden, dass φ "fast überall" hält. Diese Interpretation der Mitgliedschaft in einem Filter wird verwendet (für die Motivation, obwohl es für wirkliche Beweise nicht erforderlich ist) in der Theorie von Ultraprodukten in der Mustertheorie, einem Zweig der mathematischen Logik.

Filter in der Topologie

In der Topologie und Analyse werden Filter verwendet, um Konvergenz zu definieren, die gewissermaßen der Rolle von Folgen in einem metrischen Raum ähnlich ist.

In der Topologie und den verwandten Gebieten der Mathematik ist ein Filter eine Generalisation eines Netzes. Sowohl Netze als auch Filter stellen sehr allgemeine Zusammenhänge zur Verfügung, um die verschiedenen Begriffe der Grenze zu willkürlichen topologischen Räumen zu vereinigen.

Eine Folge wird gewöhnlich durch die natürlichen Zahlen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen, die ein völlig bestellter Satz sind. So können Grenzen in erst-zählbaren Räumen durch Folgen beschrieben werden. Jedoch, wenn der Raum nicht erst-zählbar ist, müssen Netze oder Filter verwendet werden. Netze verallgemeinern den Begriff einer Folge durch das Verlangen des Index-Satzes, einfach ein geleiteter Satz sein. Von Filtern kann als von vielfachen Netzen gebaute Sätze gedacht werden. Deshalb sind sowohl die Grenze eines Filters als auch die Grenze eines Netzes begrifflich dasselbe als die Grenze einer Folge.

Nachbarschaft-Basen

Lassen Sie X ein topologischer Raum und x ein Punkt X sein.

• Nehmen Sie N, um der Nachbarschaft-Filter am Punkt x für X zu sein. Das bedeutet, dass N der Satz der ganzen topologischen Nachbarschaft des Punkts x ist. Es kann nachgeprüft werden, dass N ein Filter ist. Ein Nachbarschaft-System ist ein anderer Name für einen Nachbarschaft-Filter.
• Zu sagen, dass N eine Nachbarschaft-Basis an x für X Mittel ist, dass für alle V  N, dort ein N  N solch dass N  V besteht. Bemerken Sie, dass jede Nachbarschaft-Basis an x eine Filterbasis ist, die den Nachbarschaft-Filter an x erzeugt.

Konvergente Filterbasen

Lassen Sie X ein topologischer Raum und x ein Punkt X sein.

• Zu sagen, dass ein Filter B stützt, läuft zu x zusammen, hat B  x, Mittel angezeigt, dass für jede Nachbarschaft U x es einen B  B solch dass B  U gibt. In diesem Fall wird x eine Grenze von B genannt, und B wird eine konvergente Filterbasis genannt.
• Weil jede Nachbarschaft N von x, N  x stützt.
• Wenn N eine Nachbarschaft-Basis an x ist und C eine Filterbasis auf X ist, dann C  x wenn, und nur wenn C feiner ist als N.
• Für Y  X, um zu sagen, dass p ein Grenze-Punkt von Y in X Mitteln das für jede Nachbarschaft U von p in X, U  ist (Y &minus; {p}) .
• Für Y  X ist p ein Grenze-Punkt von Y in X, wenn, und nur wenn dort besteht, ein Filter B auf Y &minus stützt; {p} solch dass B  p.
• Für Y  X ist der folgende gleichwertig:
• (i) Dort besteht ein Filter stützt F, dessen Elemente alle in solchem Y dass F  x enthalten werden.
• (ii) Dort besteht ein Filter F solch, dass Y ein Element von F und F  x ist.
• (iii) Der Punkt x liegt im Verschluss von Y.

Tatsächlich:

(i) bezieht (ii) ein: Wenn F eine Filterbasis Zufriedenheit der Eigenschaften von (i) ist, dann befriedigt der zu F vereinigte Filter die Eigenschaften (ii).

(ii) bezieht (iii) ein: Wenn U eine offene Nachbarschaft von x dann durch die Definition der Konvergenz U ist, ist ein Element von F; da auch Y ein Element von F, ist

U und Y haben nichtleere Kreuzung.

(iii) bezieht (i) ein: Definieren. Dann ist F eine Filterbasis Zufriedenheit der Eigenschaften von (i).

Das Sammeln

Lassen Sie X ein topologischer Raum und x ein Punkt X sein.

• Zu sagen, dass x ein Traube-Punkt für eine Filterbasis B auf X Mitteln das für jeden B  B und für jede Nachbarschaft U von x in X, BU  ist. In diesem Fall, wie man sagt, sammelt sich B am Punkt x.
• Weil Filter B und solchen C stützt, dass C feiner ist als B und C Trauben am Punkt x, B Trauben an x auch.
• Weil Filter solchen B stützt, dass B  x, die Grenze x ein Traube-Punkt ist.
• Weil Filter B mit Traube-Punkt-x stützt, ist es nicht der Fall, dass x notwendigerweise eine Grenze ist.
• Weil ein Filter B stützt, dass Trauben am Punkt x, es einen FiltergrundC gibt, der feiner ist, als Filter B stützt, der zu x zusammenläuft.
• Weil ein Filter B, den Satz  {Kl. (B) stützt: BB} ist der Satz aller Traube-Punkte von B (Zeichen: Kl. (B) ist der Verschluss von B). Nehmen Sie an, dass T ein teilweise bestellter Satz ist.
• Die von B untergeordnete Grenze ist der infimum des Satzes aller Traube-Punkte von B.
• Die von B höhere Grenze ist das Supremum des Satzes aller Traube-Punkte von B.
• B ist eine konvergente Filterbasis, wenn, und nur wenn seine Grenze untergeordnet und höhere Grenze zustimmen; in diesem Fall ist der Wert, auf dem sie zustimmen, die Grenze der Filterbasis.

Eigenschaften eines topologischen Raums

Lassen Sie X ein topologischer Raum sein.

• X ist ein Raum von Hausdorff, wenn, und nur wenn jede Filterbasis auf X höchstens eine Grenze hat.
• X ist kompakt, wenn, und nur wenn jeder Filter auf X Trauben stützt.
• X ist kompakt, wenn, und nur wenn jede Filterbasis auf X eine Teilmenge einer konvergenten Filterbasis ist.
• X ist kompakt, wenn, und nur wenn jeder Ultrafilter auf X zusammenläuft.

Funktionen auf topologischen Räumen

Lassen Sie X, Y topologische Räume sein. Lassen Sie B eine Filterbasis auf X sein und eine Funktion zu sein. Das Image von B unter f ist f [B] ist der Satz. Das Image f [B] bildet eine Filterbasis auf Y.

• f ist an x dauernd, wenn, und nur wenn einbezieht.

Filter von Cauchy

Lassen Sie, ein metrischer Raum zu sein.

• Zu sagen, dass ein Filter B auf X stützt, ist Mittel von Cauchy, dass für jede reelle Zahl ε> 0 es einen B  B solch gibt, dass das metrische Diameter von B weniger ist als ε.
• Nehmen Sie (x), um eine Folge im metrischen Raum X. (x) zu sein, ist eine Cauchyfolge, wenn, und nur wenn der Filter stützt