In der Topologie und den verwandten Gebieten der Mathematik ist ein metrizable Raum ein topologischer Raum, der homeomorphic zu einem metrischen Raum ist. D. h. wie man sagt, ist ein topologischer Raum metrizable, wenn es einen metrischen gibt

solch, dass die durch d veranlasste Topologie ist. Lehrsätze von Metrization sind Lehrsätze, die genügend Bedingungen für einen topologischen Raum geben, um metrizable zu sein.

Eigenschaften

Räume von Metrizable erben alle topologischen Eigenschaften von metrischen Räumen. Zum Beispiel sind sie Hausdorff Parakompakträume (und folglich normal und Tychonoff) und erst-zählbar. Jedoch, wie man sagen kann, werden einige Eigenschaften des metrischen, wie Vollständigkeit, nicht geerbt. Das trifft auch auf andere mit dem metrischen verbundene Strukturen zu. Ein metrizable gleichförmiger Raum kann zum Beispiel einen verschiedenen Satz von Zusammenziehungskarten haben als ein metrischer Raum, zu dem es homeomorphic ist.

Lehrsätze von Metrization

Der erste wirklich nützliche metrization Lehrsatz war der metrization Lehrsatz von Urysohn. Das stellt fest, dass jeder Hausdorff zweit-zählbarer regelmäßiger Raum metrizable ist. Also, zum Beispiel ist jede zweit-zählbare Sammelleitung metrizable. (Historisches Zeichen: Die Form des Lehrsatzes gezeigt hier wurde tatsächlich von Tychonoff 1926 bewiesen. Was Urysohn in einer 1925 veröffentlichten postum Zeitung gezeigt hatte, war, dass jeder zweit-zählbare normale Raum von Hausdorff metrizable ist.)

Mehrere andere metrization Lehrsätze folgen als einfache Folgeerscheinungen zum Lehrsatz von Urysohn. Zum Beispiel ist ein Kompaktraum von Hausdorff metrizable, wenn, und nur wenn es zweit-zählbar ist.

Der Lehrsatz von Urysohn kann als neu formuliert werden: Ein topologischer Raum ist trennbar und metrizable, wenn, und nur wenn es, Hausdorff regelmäßig und zweit-zählbar ist. Der Nagata-Smirnov metrization Lehrsatz erweitert das zum nichttrennbaren Fall. Es stellt fest, dass ein topologischer Raum metrizable ist, wenn, und nur wenn es, Hausdorff regelmäßig ist und eine σ-locally begrenzte Basis hat. Eine σ-locally begrenzte Basis ist eine Basis, die eine Vereinigung von zählbar vielen lokal begrenzten Sammlungen von offenen Sätzen ist. Weil ein nah zusammenhängender Lehrsatz den Bing metrization Lehrsatz sieht.

Trennbare metrizable Räume können auch als jene Räume charakterisiert werden, die homeomorphic zu einem Subraum des Würfels von Hilbert, d. h. dem zählbar unendlichen Produkt des Einheitszwischenraums (mit seiner natürlichen Subraumtopologie vom reals) mit sich, ausgestattet mit der Produkttopologie sind.

sagt, ist ein Raum lokal metrizable, wenn jeder Punkt eine metrizable Nachbarschaft hat. Smirnov hat bewiesen, dass lokal metrizable Raum metrizable ist, wenn, und nur wenn es Hausdorff und parakompakt ist. Insbesondere eine Sammelleitung ist metrizable, wenn, und nur wenn es parakompakt ist.

Beispiele von non-metrizable Räumen

Nichtnormale Räume können nicht metrizable sein; wichtige Beispiele schließen ein

• die Topologie von Zariski auf einer algebraischen Vielfalt oder auf dem Spektrum eines Rings, der in der algebraischen Geometrie, verwendet ist
• der topologische Vektorraum aller Funktionen von der echten Linie R zu sich, mit der Topologie der pointwise Konvergenz.
• die Starke Maschinenbediener-Topologie auf dem Satz von einheitlichen Maschinenbedienern auf einem Hilbert Raum (häufig angezeigt)

Die echte Linie mit der niedrigeren Grenze-Topologie ist nicht metrizable. Die übliche Entfernungsfunktion ist nicht ein metrischer auf diesem Raum, weil die Topologie, die es bestimmt, die übliche Topologie, nicht die niedrigere Grenze-Topologie ist. Dieser Raum ist Hausdorff, parakompakt und erst zählbar.

Die lange Linie ist lokal metrizable, aber nicht metrizable; gewissermaßen ist es "zu lang".

Siehe auch

• Uniformizability, das Eigentum eines topologischen Raums, homeomorphic zu einem gleichförmigen Raum, oder gleichwertig die Topologie zu sein, die durch eine Familie der Pseudometrik wird definiert
• Raum von Moore (Topologie)