In der Mengenlehre und seinen Anwendungen überall in der Mathematik ist eine Klasse eine Sammlung von Sätzen (oder manchmal andere mathematische Gegenstände), der durch ein Eigentum eindeutig definiert werden kann, das alle seine Mitglieder teilen. Die genaue Definition "der Klasse" hängt von foundational Zusammenhang ab. In der Arbeit an der ZF Mengenlehre ist der Begriff der Klasse informell, wohingegen andere Mengenlehren, wie NBG-Mengenlehre, axiomatize der Begriff "der Klasse", z.B, als Entitäten, die nicht Mitglieder einer anderen Entität sind.

Jeder Satz ist eine Klasse, macht dir nichts aus der Fundament gewählt wird. Eine Klasse, die nicht ein Satz ist (informell in Zermelo-Fraenkel) wird eine richtige Klasse genannt, und eine Klasse, die ein Satz ist, wird manchmal eine kleine Klasse genannt. Zum Beispiel sind die Klasse aller Ordinalzahlen und die Klasse aller Sätze, richtige Klassen in vielen formellen Systemen.

Außerhalb der Mengenlehre wird das Wort "Klasse" manchmal synonymisch mit "dem Satz" verwendet. Diese Gebrauch-Daten von einer historischen Periode, wo Klassen und Sätze nicht bemerkenswert waren, wie sie in der modernen mit dem Satz theoretischen Fachsprache sind. Viele Diskussionen von "Klassen" im 19. Jahrhundert und beziehen sich wirklich früher auf Sätze, oder vielleicht auf ein mehr zweideutiges Konzept.

Beispiele

Die Sammlung aller algebraischen Gegenstände eines gegebenen Typs wird gewöhnlich eine richtige Klasse sein. Beispiele schließen die Klasse aller Gruppen, die Klasse aller Vektorräume und vieler anderer ein. In der Kategorie-Theorie wird eine Kategorie, deren Sammlung von Gegenständen eine richtige Klasse bildet (oder dessen Sammlung von morphisms eine richtige Klasse bildet) eine große Kategorie genannt.

Die surrealen Zahlen sind eine richtige Klasse von Gegenständen, die die Eigenschaften eines Feldes haben.

Innerhalb der Mengenlehre erweisen sich viele Sammlungen von Sätzen, richtige Klassen zu sein. Beispiele schließen die Klasse aller Sätze, die Klasse aller Ordinalzahlen und die Klasse aller Grundzahlen ein.

Eine Weise zu beweisen, dass eine Klasse richtig ist, soll sie in die Bijektion mit der Klasse aller Ordinalzahlen legen. Diese Methode wird zum Beispiel im Beweis verwendet, dass es kein freies ganzes Gitter gibt.

Paradoxe

Die Paradoxe der naiven Mengenlehre können in Bezug auf die inkonsequente Annahme erklärt werden, dass "alle Klassen Sätze sind". Mit einem strengen Fundament deuten diese Paradoxe stattdessen Beweise an, dass bestimmte Klassen richtig sind. Zum Beispiel deutet das Paradox von Russell einen Beweis an, dass die Klasse aller Sätze, die sich nicht beherrschen, richtig ist, und das Burali-Forti Paradox darauf hinweist, dass die Klasse aller Ordinalzahlen richtig ist.

Klassen in formellen Mengenlehren

ZF Mengenlehre formalisiert den Begriff von Klassen nicht. Sie können stattdessen in der Metasprache als Gleichwertigkeitsklassen von logischen Formeln beschrieben werden. Zum Beispiel, wenn eine Struktur ist, ZF interpretierend, dann wird der Metasprache-Ausdruck in durch die Sammlung aller Elemente vom Gebiet dessen interpretiert; d. h. alle Sätze darin. So können wir die "Klasse aller Sätze" mit dem Prädikat x=x oder jedem gleichwertigen Prädikat identifizieren.

Weil Klassen keinen formellen Status in der Theorie von ZF haben, gelten die Axiome von ZF für Klassen nicht sofort. Jedoch, wenn ein unzugänglicher grundsätzlicher κ angenommen wird, dann bilden die Sätze der kleineren Reihe ein Modell von ZF (ein Weltall von Grothendieck), und von seinen Teilmengen kann als "Klassen" gedacht werden.

Eine andere Annäherung wird von den Axiomen von von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) genommen; Klassen sind die grundlegenden Gegenstände in dieser Theorie, und ein Satz wird dann definiert, um eine Klasse zu sein, die ein Element einer anderen Klasse ist. Jedoch werden die Satz-Existenz-Axiome von NBG eingeschränkt, so dass sie nur über Sätze, aber nicht über alle Klassen messen. Das veranlasst NBG, eine konservative Erweiterung von ZF zu sein.

Mengenlehre der Morsezeichen-Kelley lässt richtige Klassen als grundlegende Gegenstände wie NBG zu, sondern auch erlaubt Quantifizierung über alle richtigen Klassen in seinen Satz-Existenz-Axiomen. Das veranlasst MK, ausschließlich stärker zu sein, sowohl als NBG als auch als ZF.

In anderen Mengenlehren, wie Neue Fundamente oder die Theorie von Halbsätzen, hat das Konzept der "richtigen Klasse" noch Sinn (nicht alle Klassen sind Sätze), aber das Kriterium von sethood wird unter Teilmengen nicht geschlossen. Zum Beispiel hat jede Mengenlehre mit einem universalen Satz richtige Klassen, die Unterklassen von Sätzen sind.